北京中考数学新定义压轴题素材1

北京中考数学压轴题素材

3、10．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：

（i ）1*1=1，（ii ）（n +1）*1=n *1+1，则n *1等于

A ．n

B ．n +1

C ．n -1

D ．2

n 答案：D

4、若)(n f 为*)(12

N n n ∈+的各位数字之和，如：1971142

=+，17791=++，则

17

)14(=f ;记

=∈===+)8(*,)),(()(,)),(()(),()(20081121f N k n f f n f n f f n f n f n f k k 则 ____

答案：5

6、一个计算装置有一个入口A 和一输出运算结果的出口B ，将自然数列{}(1)n n ≥中的各数依次输入A 口，从B 口得到输出的数列{}n a ，结果表明：①从A 口输入1n =时，从B 口得11

3

a =

；②当2n ≥时，从A 口输入n ，从B 口得到的结果n a 是将前一结果1n a -先乘以自然数列{}n 中的第1n -个奇数，再除以自然数列{}n a 中的第1n +个奇数。试问：

（1） 从A 口输入2和3时，从B 口分别得到什么数？

（2） 从A 口输入100时，从B 口得到什么数？并说明理由。 解（1）2111515a a =?÷=

3213735

a a =?÷= （2）先用累乖法得*1

()(21)(21)

n a n N n n =

∈-+

得10011

(21001)(21001)39999

a ==?-?+

7、在△ABC 中，),(),0,2(),0,2(y x A C B -，给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：

则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为 （用代号

1C 、2C 、3C 填入） 答案：213C C C

8、已知两个函数)(x f 和)(x g 的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表.

填写下列)]([x f g 的表格,其三个数依次为

A. 3,1,2 B . 2,1,3

C. 1,2,3

D. 3,2,1

答案：

D

9、

C

）

（“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）

B. 1

C. 6

D.

12

10、

［x ］表示不大于x

x 的取值范围是_____________ 答案：2

13、在算式“2×□+1×□=30”的两个口中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，

则这两个数应分别为

和 . 答案：9，12.

14、如图为一几何体的的展开图，其中ABCD 是边长 为6的正方形，SD=PD ＝6，CR=SC ，AQ=AP ，点S, D,A,Q 及P,D,C,R 共线，沿图中虚线将它们折叠起来， 使P ，Q ，R ，S 四点重合，则需要 个这样的 几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体。 答案：3

15、用水清洗一堆蔬菜上残留的农药的效果假定如下：用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与这次清洗前残留的农药量之比．．为2

1

()1f x x =+． （Ⅰ）试解释(0)f 的实际意义；

（Ⅱ）现有a （a ＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少？请说明理由． 答案：解：（I ）f （0）=1．表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化．……………2＇ （Ⅱ）设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a 单位量的水清洗1次后．残留的农药量

为 W 1=1×f （a ）=

2

11

a +；……………………………………………………………………4＇ 又如果用2a 单位量的水清洗1次，残留的农药量为1×f （2a ）=2)2

(11

a +，

此后再用2

a

单位量的水清洗1次后，残留的农药量为

W 2=2)2(11a +·f （2a ）=[2

)2

(11a +]2

=22)4(16a +．……………………………8＇ 由于W 1－W 2=211

a

+－22)4(16a +=2

2222)4)(1()8(a a a a ++-，………………………9＇ 故当a >22时，W 1>W 2，此时，把a 单位量的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少；当a =22时，W 1=W 2，此时，两种清洗方式效果相同；当a <22时，W 1

16、直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过k(k ∈N*)个格点，则称函数f(x)为k 阶格点函数。下列函数：

① f(x)=sinx ； ②f(x)=π(x －1)2

+3； ③;)3

1()(x

x f = ④x x f 6.0log )(=，

其中是一阶格点函数的有 . 答案：①②④

0点到6点,

),

甲乙丙

（1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（

3）4点到6点不进水不出水。则一定不确定的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上)。

答案：（2）（3）

19、2005年底，某地区经济调查队对本地区居民收入情况进行抽样调查，抽取1000户，按

本地区在“十一五”规划中明确

提出要缩小贫富差距，到2010年

要实现一个美好的愿景，由右边圆图显示，则中等收入家庭的数

量在原有的基础要增加的百分比和低收入家庭的数量在原有的基

础要降低的百分比分别为 ( B )

A．25% , 27.5% B．62.5% , 57.9% C．25% , 57.9% D．

20、一个三位数abc称为“凹数”，如果该三位数同时满足a＞b且b＜c，那么所有不同的三位“凹数”的个数是_____________________．

答案：三位“凹数”可分两类：一类是aba，共有2

10

C＝45，另一类是abc，a≠c，共有

23

10

C＝240，故共有45+240＝285个

23、定义运算x※y=

?

?

?

>

≤

)

(

)

(

y

x

y

y

x

x

，若|m－1|※m=|m－1|，则m的取值范围是

2

1

≥

m 26、对任意实数y

x,，定义运算cxy

by

ax

y

x+

+

=

*，其中c

b

a,

,为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算。现已知

6

3

*

2,4

2

*1=

=，且有一个非零实数m，使得对任意实数x，都有x

m

x=

*，则=

m5。

28、我国男足运动员转会至海外俱乐部常会成为体育媒体关注的热点新闻。05年8月，在

上海申花俱乐部队员杜威确认转会至苏超凯尔特人俱乐部之前，各种媒体就两俱乐部对于杜威的转会费协商过程纷纷“爆料”：

媒体A：“……, 凯尔特人俱乐部出价已从80万英镑提高到了120万欧元。”

媒体B：“……, 凯尔特人俱乐部出价从120万欧元提高到了100万美元，同时增加了不少附加条件。”

媒体C：“……, 凯尔特人俱乐部出价从130万美元提高到了120万欧元。”

请根据表中提供的汇率信息（由于短时间内国际货币的汇率变化不大，我们假定比值为定值），我们可以发现只有媒体C（填入媒体的字母编号）的报道真实性强一些。

30、在R上定义运算△：x△y=x(1 -y) 若不等式(x-a)△(x+a)<1,对任意实数x恒成立，则

实数a的取值范围是)

2

3

,

2

1

(-。

32、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的()*

1

N

k

k

∈。已知一个铁钉受击3次后全部

进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的

7

4

，请从这个实事中提炼

出一个不等式组是

?

?

?

??

?

?

≥

+

+

<

+

1

7

4

7

4

7

4

1

7

4

7

4

2

k

k

k

。

37、先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：

已知R

a

a∈

2

1

,，1

2

1

=

+a

a，求证

2

1

2

2

2

1

≥

+a

a，

证明：构造函数2

2

2

1

)

(

)

(

)

(a

x

a

x

x

f-

+

-

=

2

2

2

1

2

2

2

2

1

2

1

22

2

)

(2

2

)

(a

a

x

x

a

a

x

a

a

x

x

f+

+

-

=

+

+

+

-

=

因为对一切x?R，恒有)

(x

f≥0，所以)

(8

42

2

2

1

a

a+

-

=

?≤0,

从而得

2

1

2

2

2

1

≥

+a

a，

（1）若R a a a n ∈,,,21 ，121=+++n a a a ，请写出上述结论的推广式；

（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明。 解：（1）若R a a a n ∈,,,21 ，121=+++n a a a ，

求证：n

n a a a 12

2221≥

+++ (4￠)

（2）证明：构造函数2

2221)()()()(n a x a x a x x f -++-+-= (6￠)

2

2221212)(2n n a a a x a a a nx +++++++-= (9￠)

2

222122n a a a x nx ++++-= (11￠)

因为对一切x ?R ，都有)(x f ≥0，所以△=)(442

2221n a a a n +++- ≤0, 从而证得：n

n a a a 12

2221≥

+++ . (14￠)

44、已知点列B 1(1,y 1)、B 2(2,y 2)、…、B n (n,y n )（n ∈N ） 顺次为一次函数1214

1+=

x y 图象上的点，

点列A 1(x 1,0)、A 2(x 2,0)、…、A n (x n ,0)（n ∈N ）

顺次为x 轴正半轴上的点，其中x 1=a （0＜a ＜1），

对于任意n ∈N ，点A n 、B n 、A n+1构成以 B n 为顶点的等腰三角形。 ⑴求{y n }的通项公式，且证明{y n }是等差数列； ⑵试判断x n+2-x n 是否为同一常数（不必证明）

⑶在上述等腰三角形A n B n A n+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a 值；若不存在， 请说明理由。

解：（1）12141n n y +=(n ?N),y n+1-y n =41

,∴{y n }为等差数列 (4￠)

（2）x n+1-x n =2为常数 (6￠) ∴x 1,x 3,x 5,…,x 2n-1及x 2,x 4,x 6,,…，x 2n 都是公差为2的等差

数列，

∴x 2n-1=x 1+2(n-1)=2n-2+a ，x 2n =x 2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a ， ∴x n =??

?-+当n为偶数

a，-n ，当n为奇数1,a n (10￠) （3）要使A n B n A n+1为直角三形，则 |A n A n+1|=2n B y =2(1214+n )Tx n+1-x n =2(1214

+n ) 当n 为奇数时，x n+1=n+1-a ，x n =n+a-1,∴x n+1-x n =2(1-a).

T2(1-a)=2(1214+n ) Ta=41211

n -(n 为奇数，0＜a ＜1) (*)

取n=1，得a=32，取n=3，得a=61

，若n ≥5，则(*)无解； (14￠) 当偶数时，x n+1=n+a ，x n =n-a ，∴x n+1-x n =2a.

∴2a=2(1214+n )Ta=1214

+n (n 为偶数，0＜a ＜1) (*￠)，取n=2，得a=127

, 若n ≥4，则(*￠)无解.

综上可知，存在直角三形，此时a 的值为32

、6

1、127

. (18￠)

45、⑴证明：当a ＞1时，不等式23

a 12a 13a a +>+

成立。

⑵要使上述不等式23

a 12a 13a a +>+

成立，能否将条件“a ＞1”适当放宽？若能，请放

宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由。

⑶请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明。 解：（1）证：1)-1)(a -(a -a -a 5a 1

a

12a 133

23=+,∵a ＞1，∴1)-1)(a -(a 5a 13＞0，

∴原不等式成立 (6￠)

（2）∵a-1与a 5

-1同号对任何a ＞0且a 11恒成立，∴上述不等式的条件可放宽 为a ＞0且a 11 (9￠)

（3）根据（1）（2）的证明，可推知：若a ＞0且a 11，m ＞n ＞0，则有n m a 1n a 1m a a +>+(12￠)

证：左式-右式=1)-1)(a -(a 1)-(a -1)-(a

a -a -a n m n -m a 1n -m a 1n

-m n

a 1a 1n

m

m m n m +==+

(14￠)

若a ＞1，则由m ＞n ＞0Ta m-n ＞0,a m+n

＞0T不等式成立；

若0＜a ＜1，则由m ＞n ＞0T0＜a m-n ＜1, 0＜a m+n

＜1T不等式成立.(16￠)

46、为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：

明文 密文 密文

明文， 现在加密密钥为y=log a (x+2)，如下所示：明文“6”通过加密后得到密文“3”， 再发送，接受方通过解密密钥解密得明文“6”，问“接受方接到密文”4“，则解密 后得到明文为 14 。

47、规定a △b=b a ab ++，a, b +∈R ，若1△k=3，则函数f(x)=k △x 的值域为 (1,+￥ )

48、同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低； 反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语 言描述为：若有限数列n a a a ,,,21 满足n a a a ≤≤≤ 21，则 （结论用数学式子表示）.

)1(2121n m n

a a a m a a a n

m <≤+++≤+++ 和

)1(2121n m n

a a a m n a a a n

n m m <≤+++≥-+++++

加密密钥密码 发送 解密密钥密码

50、定义一种运算“*”，对于N n ∈，满足以下运算性质：

① 12*2=；② 3)2*2(2*)22(+=+n n 。则2*2004的数值为_____3004_____。

54、如图，一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ，当Ⅰ、Ⅱ分别

输入正整数n m ,时，输出结果记为),(n m f ，且计算装置运算原理如下： ① 若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则1)1,1(=f ；②若Ⅰ输入固定的正整数， Ⅱ输入的正整数增大1，则输出结果比原来增大3；③若Ⅱ输入1， Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来3倍。 试求：

（1）)1,(m f 的表达式)(N m ∈；（2）),(n m f 的表达式),(N n m ∈； （3）若Ⅰ、Ⅱ都输入正整数n ，则输出结果),(n n f 能否为2005？

若能，求出相应的n ；若不能，则请说明理由。 解：（1）()()()()11

2

31,13

1,231,131,--===-=-=m m f m f m f m f

（2

）

()()()()()()133131,232,31,,1-+=-+==?+-=+-=-n n m f n m f n m f n m f m

（3）

()()133,1-+=-n n n f n ，∵()20057471837,76<=+=f ，

()200522082138,87>=+=f

∴),(n n f 输出结果不可能为2005。

55、对数列{}n a ，规定{}n a ?为数列{}n a 的一阶差分数列，其中)(1N n a a a n n n ∈-=?+。 对自然数k ，规定

{}

n

k

a ?为

{}

n a 的k 阶差分数列，其中

)(1111n k n k n k n k a a a a --+-??=?-?=?。

（1）已知数列{}n a 的通项公式),(2N n n n a n ∈+=，试判断{}n a ?，{}

n a 2

?是否为等差

或等比数列，为什么？

（2）若数列{}n a 首项11=a ，且满足)(212N n a a a n

n n n ∈-=+?-?+，求数列{}n a 的

通项公式。

（3）对（2）中数列{}n a ，是否存在等差数列{}n b ，使得n

n

n n n n a C b C b C b =+++ 2211对一切自然N n ∈都成立？若存在，求数列{}n b 的通项公式；若不存在，则请说明理由。

解：（1）()()()

22112

2

1+=+-+++=-=?+n n n n n a a a n n n ，∴{}n a ?是首项为4，

公差为2的等差数列。

()()2222122

=+-++=?n n a n

∴{}

n a 2

?是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。

（2）n n n n a a a 212-=+?-?+，即n

n n n n a a a a 211-=+?-?-?++，即

n n n a a 2=-?，∴n n n a a 221+=+

∵11=a ，∴12224?==a ，2

32312?==a ，3

42432?==a ，猜想：

12-?=n n n a

证明：ⅰ）当1=n 时，0

1211?==a ；

ⅱ）假设k n =时，1

2-?=k k k a

1+=k n 时，()()1

11212222-++?+=+?=+=k k k k k k k k a a 结论也

成立

∴由ⅰ）、ⅱ）可知，12-?=n n n a

（3）n n n n n n a C b C b C b =+++ 2211，即 122112-?=+++n n n n n n n C b C b C b ∵()

1

112111013212321------?=++++=++++n n n n n n n n n n n n C C C C n nC C C C ∴存在等差数列{}n b ，n b n =，使得n n

n n n n a C b C b C b =+++ 2211对一切自然

N n ∈都成立。

56、对于在区间[m ，n ]上有意义的两个函数f (x )与g (x )，如果对任意x ∈[m ，n ]均有| f (x ) – g (x ) |≤1，则称f (x )与g (x )在[m ，n ]上是接近的，否则称f (x )与g (x )在[m ，

n ]上是非接近的，现有两个函数f 1(x ) = log a (x – 3a )与f 2 (x ) = log a

a

x -1

(a > 0，a ≠1)，给定区间[a + 2，a + 3]．

（1）若f 1(x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上都有意义，求a 的取值范围； （2）讨论f 1(x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是否是接近的？ 解：（1）要使f 1 (x )与f 2 (x )有意义，则有

a x a a a x a x 3100

3>???

?

??≠>>->-且

要使f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上有意义， 等价于真数的最小值大于0 即???

?

???≠><-+>-+1010032031

a a a a a a a 且 （2）f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的

?| f 1 (x ) – f 2 (x )|≤1

?a

x a x a a ---1

log )3(log ≤1

?|log a [(x – 3a )(x – a )]|≤1 ?a ≤(x – 2a )2 – a 2≤

a

1 对于任意x ∈[a + 2，a + 3]恒成立

设h (x ) = (x – 2a )2 – a 2

，x ∈[a + 2，a + 3] 且其对称轴x = 2a < 2在区间[a + 2，a + 3]的左边 ???

??++???

????)3( 1

)2( )( 1)( max min a h a a h a x h a x h a ?????+-??????--?0 19265

4 69 144 a a a a a a

a ????

??

?+-?12579 12579 54 a a a 或 12

57

9 0-

57

9 0-

当12

57

9 -< a < 1时，f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是非接近的．

58、歌德巴赫（Goldbach ．C ．德．1690—1764）曾研究过“所有形如

1

)1(1

++m n （m ，n

≤ ≤ ≤ ≤

≤ ≤ ≤

≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≤

为正整数）的分数之和”问题．为了便于表述，引入记号：

∑∑∞=∞

=++111)

1(1n m m n ＝)212121(432???+++＋)31

3131(4

32???+++＋┅ ＋))1(1

)1(1)1(1(

4

32???++++++n n n ＋┅ 写出你对此问题的研究结论： ∑∑∞=∞

=++11

1

)1(1

n m m n ＝1 （用数学符号表示）．

59、集合P ＝{1，3，5，7，9，┅，2n －1，┅}(n ∈N *)，若a ∈P ，b ∈P 时，

a b ∈P ，则运算 可能是（ D ）

（A ）加法； （B ）除法； （C ）减法； （D ）乘法．

60、min{1s ，2s ，┅，n s }，max{1s ，2s ，┅，n s }分别表示实数1s ，2s ，┅，n s 中的最小者和最大者．

（1）作出函数)(x f ＝｜x ＋3｜＋2｜x －1｜（x ∈R ）的图像；

（2）在求函数)(x f ＝｜x ＋3｜＋2｜x －1｜（x ∈R ）的最小值时，有如下结论：

min )(x f ＝min{)3(-f ，)1(f }＝4．请说明此结论成立的理由； （3）仿照（2）中的结论，讨论当1a ，2a ，┅，n a 为实数时，

函数)(x f ＝||11x x a -＋||22x x a -＋┅＋||n n x x a -(x ∈R ，1x ＜2x ＜┅＜n x ∈R )的最值．

解：（1）图略；

（2）当x ∈（－∞，－3）时，)(x f 是减函数，

当x ∈[－3，1）时，)(x f 是减函数， 当x ∈[1，＋∞）时，)(x f 是增函数，

∴min )(x f ＝min{)3(-f ，)1(f }＝4．

（3）当1a ＋2a ＋┅＋n a ＜0时，max )(x f ＝max{)(1x f ，)(2x f ，┅，)(n x f }；

当1a ＋2a ＋┅＋n a ＞0时，min )(x f ＝min{)(1x f ，)(2x f ，┅，)(n x f }； 当1a ＋2a ＋┅＋n a ＝0时，min )(x f ＝min{)(1x f ，)(n x f }，

max )(x f ＝max{)(1x f ，)(n x f }．

61、在4×□＋9×□=60的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上 和 。 答案：设两数为x 、y ，即4x ＋9y =60，又

60)94()11(11y x y x y x ++=+=)9413(601x

y

y x ++ ≥12

5

)1213(601=

+?，等于当且仅当x y y x 94=，且4x ＋9y =60，即x =6且y =4时成立，故应分别有6、4。

62、我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长度

相同）称为斜坐标系．平面上任意一点