常微分方程差分解法、入门、多解法
毕业论文
题目抛物型方程的差分解法学院数学科学学院
专业信息与计算科学
班级计算0802
学生王丹丹
学号20080901045
指导教师王宣欣
二〇一二年五月二十五日
摘要
偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题【1】。近三十多年来，数值解法的理论和方法都有了很大的发展，而且在各个科学技术的领域中应用也愈来愈广泛。本文的研究主要集中在依赖于时间的问题，借助于简单的常系数扩散方程，介绍抛物型方程的差分解法。本文以基本概念和基本方法为主，同时结合算例实现算法。
第一部分介绍偏微分方程及差分解法的基本概念，引入本文的研究对象——常系
数扩散方程：
2
2
,,0 u u
a x R t
t x
??
=∈>??
第二部分介绍上述方程的几种差分格式及每种格式的相容性、收敛性与稳定性。
第三部分通过算例检验每种差分格式的可行性。
关键词：偏微分方程；抛物型；差分格式；收敛性；稳定性；算例
ABSTRACT
The numerical solution of partial differential equation holds an important role in numerical analysis .Many problems of compution in the field of science and techology include the numerical solution of partial differential equation. For more than 30 years, the theory and method of the numerical computation made a great development and its applications in various fields of science and technology are more and more widely. This paper focuses on the problems based on time. I will use object-constant diffusion equation to introduces the finite difference method of parabolic equation. This paper mainly focus on the basic concept ,basic method and simple numerical example.
The first part of this paper introduces partial differential equations and basic concepts of finite difference method.I will introduce the object-constant diffusion equation for the
first time.
2
2
,,0 u u
a x R t
t x
??
=∈>??
The second part of this paper introduces several difference schemes of the above equation and their compatibility ,convergence and stability.
The third part tests the accuracy of each scheme.
Key words:partial differential equation；parabolic；difference scheme；convergence；stability；application
目录
摘要..................................................................................................I ABSTRACT.......................................................................................II 目录.....................................................................................................III 1前言 (1)
2基本概念和定理 (2)
2.1抛物型方程的基本概念 (2)
2.1.1偏微分方程的定义 (2)
2.1.2抛物型方程的定义 (2)
2.1.3初边值条件的定义 (3)
2.2 差分方法的基本思想 (3)
2.3网格剖分 (4)
2.4截断误差的基本概念 (5)
2.5相容性的基本概念 (7)
2.6收敛性的基本概念 (7)
2.7稳定性的基本概念 (8)
2.7.1判断稳定性的直接法 (8)
2.7.2判断稳定性的Fourier方法 (9)
3常系数扩散方程的差分格式及其相容性、收敛性和稳定性分析 (12)
3.1向前差分格式 (12)
3.2向后差分格式 (13)
3.3 Crank-Nicolson格式 (14)
3.4 Richardson格式 (16)
4差分解法的应用 (18)
结论 (25)
参考文献..................................................... .................. .. (26)
致谢 (27)
附录 (28)
1前言
微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程[2]。偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。对于偏微分方程的求解，虽然具有明确表达式的解析解是很好的结果，但是能求出解析解的情况却十分有限，即使是最简单的双变量二阶线性常系数偏微分方程，也往往难以得到解析解。这是因为方程的解除了取决于方程本身的复杂度外，还要考虑到边界条件的复杂性[3]。很复杂的二阶偏微分方程，也许因为边界条件的简单性存在很简单的解析解，但是如果边界条件稍微复杂，就算是二阶常微分方程也没有解析解。
从目前的研究现状来看，偏微分方程数值解的理论和方法都日趋成熟，很多学术论文都在力求寻找更为精确且性质良好的求解方法。而且在实际问题中常会遇到多个自变量，非线性的方程或方程组；它们还可能是混合型的偏微分方程（如机翼的跨声速绕流），其解包含着各种间断（如激波间断、按触间断等）[4]。非线性问题的差分法求解是十分困难的。抛物型方程的数值解法目前有傅里叶算法(SSPE)、有限差分法(FDM)、有限元法(FEM)等，每种方法都有自己的适用范围，虽然SSPE 的效率高，但本文将选择使用更容易处理阻抗边界条件的FDM。由于FDM对网格间距要求足够小，计算效率很依赖计算机硬件速度，21 世纪前，大多是FDM的理论推导和误差分析，直到2007 年国际上才出现公开发表的使用FDM求解抛物型方程的实验并得出简单模型的计算结果。随着电子计算机的发展，在解决各种非线性问题中，FDM法得到了很快的发展，并且出现了许多新的思想和方法，如守恒差分格式，时间相关法、分步法等。
本文将从基本概念和基本方法入手，通过简单的常系数扩散方程，介绍抛物型方程的差分解法及其简单的实际应用，起到初步介绍偏微分方程数值解法的目的，希望有助于初学者了解相关基本知识，培养进一步学习的兴趣。
2基本概念和定理
2.1抛物型方程的基本概念
2.1.1偏微分方程的定义
偏微分方程在科学研究和工程技术中常常会出现，比如核反应和核爆炸过程的数学模型、飞行器设计过程中的空气动力学问题等等。
定义2.1 含有未知函数12(,,,)n u x x x t …,的偏导数的方程称为偏微分方程。如果方程中对于未知函数和它的所有偏导数都是线性的，这样的方程称为线性偏微分方程，否则称它为非线性偏微分方程。方程中出现的偏导数的最高阶是方程的阶。
下面举出几个典型的偏微分方程： （1）Laplace 方程[5]
22222
2120n
u u u
x x x ???++=???…+ 其中()u u x =，该方程称为调和方程。在力学、电学常常遇到的势函数满足这个方程。
（2）对流扩散方程
222222()u u u u u u
a b F k x y t x y t
??????++=+++?????? 其中(,,)u u x y t =表示流场中某种物质的浓度，(,)a b 是流速。
（3）波动方程
22222222212()(,)n
u u u u a F x t t x x x ????=+++????…+ 其中()u u x =，而(,)F x t 给定。在一些声学、光学和力学的波动问题中常常出现这类方程。
2.1.2抛物型方程的定义
定义2.2 设12(,,)n u u x x x =…,，其中n x 可以是时间变量t ，二阶拟线性方程指
2,11n
n
ij i
i j i i j i u u a b cu f x x x ==??++=???∑∑，其中ij a ，b ，c 和f 可以与12,,n x x x …,有关，也可以与u 和
i
u
x ??有关。
定义2.3 对于二阶拟线性方程2,11n
n
ij
i i j i i j i
u u
a b cu f x x x ==??++=???∑∑，设矩阵[]ij A a =是一个n n ?的矩阵，如果A 的特征值至少有一个为零，则该方程称为抛物型方程。
考虑常系数扩散方程
22,,0u u
a x R t t x ??=∈>?? （2.1）
其中u 是扩散过程中某种物质的浓度，a 是扩散系数。显然它是二阶线性方程，其中
11122122,0a a a a a ====，它的矩阵为000a A ??= ???
，A 的特征值为1
21
,0a λλ==，所以方程（2.1）是一个抛物型方程。
在下文中我们将以该方程为基本模型讨论适用于抛物型方程定解问题的几种差分格式。
2.1.3初边值条件的定义
定义2.4 对于偏微分方程我们都是在一些特定条件下求方程的解，这样的条件称为定解条件。如果在n
R 的某个区域Ω内求解方程，在Ω的边界?Ω上给出u 的条件称
为边界条件。在超平面0t t =给出的条件称为初始条件。给出了方程和定解条件，就构成了一个定解问题。
按照定解条件的不同给法，可将方程（2.1）的定解问题分为两类。
第一类，初值问题：空间变量x 的变化范围是x -∞<<∞。求具有所需次数偏微分的函数(,)u x y ，满足（2.1）和初始条件
(,0)(),u x x x ?=-∞<<∞
第二类，初边值问题：空间变量x 的变化范围是a x b <<。求具有所需次数偏微分的函数(,)u x y ，满足（2.1）和初始条件
(,0)(),u x g x x =-∞<<∞
及边界条件
12(,)(),(,)()
u a t t u b t t ??==
2.2 差分方法的基本思想
差分方法又称为有限差分方法或网格法，是求偏微分方程定解问题的数值解中应
用最广泛的方法之一。它的基本思想是：先对求解区域作网格剖分，将自变量的连续变化区域用有限离散点（网格点）集代替；将问题中出现的连续变量的函数用定义在网格点上离散变量的函数代替；通过用网格点上函数的差商代替导数，将含连续变量的偏微分方程定解问题化成只含有限个未知数的代数方程组（称为差分格式）。如果差分格式有解，且当网格无限变小时其解收敛于原微分方程定解问题的解，则差分格式的解就作为原问题的近似解（数值解）。
衡量一个差分格式是否经济实用，由多方面的因素决定，主要有：
1、计算简单。显格式无需解方程组，计算较隐格式简单。但有些隐格式左端的系数矩阵式与n 无关的三对角矩阵，相当于求解三对角矩阵系数的方程组，用消元法也是可取的。
2、收敛性和收敛速度。当网格比固定，步长趋于零时，差分解n j u 应收敛到真解，并希望有尽可能快的收敛速度。
3、稳定性。由于初始数据有误差，并不可避免的有舍入误差，因此必然要关心误差传递时是无限增长还是可以被控制。
因此，用差分方法求偏微分方程定解问题一般需要解决以下问题： 1、选取网格；
2、对微分方程及定解条件选择差分近似，列出差分格式；
3、求解差分格式；
4、讨论差分格式解对于微分方程解的收敛性及误差估计。 下面我们就按照这样的步骤来进行讨论。
2.3网格剖分的概念
用有限差分方法求解偏微分方程问题必须把连续问题进行离散化，因此首先要对求解区域进行网格剖分[6]。
在求解区域的平面画出两族平行于坐标轴的直线，把平面分成矩形网格。这样的直线称为网格线，其交点称为网格点或节点[7]。平行于t 轴的直线可以是等距的，可设距离为0x ?>，记为h ，称为空间步长。平行于x 轴的直线则大多是不等距的，设为0t ?>，记为τ，称为时间步长。
下面用例子来说明不同区域的剖分。
例2.1 双曲型方程和抛物型方程的初值问题，求解区域为：
{}
1(,)|,0x t x t ?=-∞<<∞≥
两族网格线可以写为：
,0,1,2,,0,1,2,j n x x j x jh j t t n t n n τ==?==±±==?==…,…
1?的网格剖分见图2.1.
图2.1
例2.2双曲型方程和抛物型方程的初边值问题，设其求解区域是
{}
2(,)|0,0x t x l t ?=≤≤≥
这个区域的网格由平行于t 轴的直线族
,0,1,j x j x ==…,J
与平行于x 轴的直线族
,0,1,2,n t t n ==…
所构成，其中,;n l
x j x jh x h t n t n j τ=?=?===?=。
2?的网格剖分见图2.2
图 2.2
2.4有限差分格式的截断误差
为叙述方便，先引入下面的差分记号： 向前差分
(,)(,)(,),(,)(,)(,)
t x v x t v x t t v x t v x t v x x t v x t ++?=+?-?=+?-
向后差分
(,)(,)(,),(,)(,)(,).
t x v x t v x t v x t t v x t v x t v x x t --?=--??=--?
中心差分
11(,)(,)(,),
2
211
(,)(,)(,).
22
t x v x t v x t t v x t t v x t v x x t v x x t δδ=+?--?=+?--?
二阶中心差分
2(,)(,)2(,)(,)x u x t v x x t v x t v x x t δ=+?-+-?
那么对于扩散方程（2.1）的解，关于t 的向前差分的Taylor 级数展开为
232
323
11(,)(,)(,)(,)(,)(,)26t u u u u x t u x t u x t x t x t x t t t t
ττττ+????=+-=+++???…. （2.2） 对变量x 进行Taylor 级数展开为
242
2
424
1(,)(,)(,)12x
u u u x t x t h x t h x x
δ??=++??…. （2.3）
定义 2.5 用微分方程的解(,)j n u x t 来替代差分格式中的全部近似解n j u ，这样得到的方程两边的差就是截断误差[8]。如果一个差分格式的截断误差()()p q T O O h τ=+，则称差分格式对τ是p 阶精度，对h 是q 阶精度。
例2.3 考虑下列差分格式的截断误差
111
2
20n n
n n n
j j
j j j u u u u u a
h τ
++---+-=， （2.4）
假定(,)u x t 是充分光滑的，将(,)j n u x t 带入上式的左侧,利用（2.2）式，（2.3）式有
2242
224
1(,)()212u u u a u T x t a h t x t x τ????=-+-+????…
24224
1212u a u h t x τ??=-+??…
这样就得到差分格式（2.4）的截断误差为2()()O O h τ+。事实上，对于不在边界上的任何一点(,)x t ，可以定义（2.4）式的截断误差(,)T x t 为
2211
(,)(,)(,)t x T x t u x t a u x t h
δτ+=?-，
由截断误差的定义及以上例子可知，只要网格剖分得很细，即τ和h 很小，那么
偏微分方程的解近似地满足相应的差分方程。其实，一个有限差分格式的截断误差表示了用(,)j n u x t （偏微分方程的解）代替n j u （差分方程的解）的差分方程与偏微分方程在点(,)j n x t 上的差。
2.5有限差分格式的相容性
从偏微分方程建立差分方程时，总是要求当0,0h τ→→时差分方程能与微分方程充分“接近”，这就导致了差分方程的一个基本特征，差分格式的相容性。
考虑一般性的问题，设L 为微分算子，初值问题可以叙述为
0,
(,0)().Lu u x g x =??=? （2.5）
其差分格式可以统一写成
1
n n j h j u L u +=，
（2.6） 其中h L 是一个依赖于τ和h 的线性算子，称为差分算子，它把定义在第n 层上的函数
n j
u 变换到定义在第1n +层上的函数1n j u +。
设（2.6）式为（2.5）式的差分格式，则相应的截断误差应是 1
(,)((,)(,)),j n h j n j n T x t L u x t u x t τ
=-
定义2.6 设(,)u x t 是定解问题（2.5）的充分光滑解，（2.6）式为求解问题（2.5）所得的差分格式，如果，当,0h τ→时有
(,)0j n T x t →，
则称差分格式（2.6）与定解问题（2.5）是相容的。由此可知，相容性表达了微分方程与差分方程间的关系。
2.6有限差分格式的收敛性
构造一个差分格式，它是否能在实际中应用，应该考虑当时间步长τ和空间步长h
无限缩小时，差分格式的解能否逼近微分方程问题的解，这就是差分格式的收敛性问题。
定义2.7 设(,)u x t 是偏微分方程的解，n j u 是逼近这个微分方程的差分格式的“真解”，所谓真解是指在求解差分格式的过程中忽略了各种类型的误差。如果当时间步
长τ和空间步长h 趋向于0时，(,)0n n
j j n j e u x t u =-→，我们称差分格式是收敛的。
应该注意的是，收敛性和相容性是两个完全不同的概念。对于一个相容的差分格式，从定义判断其是否收敛是不容易的，通常需要寻求一些判别差分格式的收敛准则。不加证明地，我们给出如下定理。
定理2.1（Lax 等价定理） 给定一个适定的线性初值问题以及与其相容的差分格式，则差分格式的稳定性是差分格式收敛性的充分必要条件
在应用中，差分格式的相容性是容易验证的，只要使截断误差趋于0就可以了。有了Lax 等价定理，我们可以着重于差分格式的稳定性的讨论，一般不再讨论收敛性问题。差分格式一旦具有稳定性，就可以用差分格式计算出偏微分方程的近似解来。
2.7有限差分格式的稳定性
2.7.1判断稳定性的直接法
利用有限差分格式进行计算时是按时间逐层推进的，计算第1n +层上的值1
n j u +要用到第n 层上的计算结果，而前一步的舍入误差必然会影响到1
n j u +的值。所以要分析
这种误差传播的情况，我们希望误差的影响不会越来越大以至于掩盖差分格式的解的面貌，这就是所谓稳定性问题。
差分格式可以统一写成（2.6）式，重复应用该式，有
n n j h j
u L u = '
(2.6)
为了度量误差及其他应用，引入范数
12
2||||()n n h j
j u u h ∞
=-∞??=????∑
现在给出差分格式（2.6）的稳定性描述。
定义2.8 设0j u 有一个误差0j ε，则n j u 就有一个误差n
j ε。如果存在一个正常数K ，
使得当0,n T τττ≤≤时，一致地有
0||||||||n
K εε≤ （2.7）
则称差分格式（2.6）是稳定的。
2.7.2判断稳定性的Fourier 方法
按差分格式稳定性的定义来直接验证其稳定性往往比较复杂，对于现行常系数偏微分方程初值问题可以用Fourier 变换来进行求解和研究。Fourier 积分和Fourier 变换是很多数学分支用到的有利工具，本文用于差分方法的分析。
1、Fourier 变换的定义：
从Fourier 级数出发进行推导可以得到Fourier 积分，所谓Fourier 积分公式，是指定义在(,)-∞+∞上的函数()v x 的一个关系式，设
|()|v x dx +∞
-∞
<∞?
，有关系式
()
1()()2i x v x v e d d λξξξλπ+∞+∞---∞-∞=??。令1()()2i x
v v x e
dx λλπ∧+∞
--∞
=
?
，则()v λ∧
称为()v x 的
Fourier 变换[9]。
2、线性常系数方程的Fourier 方法
由于解n j u 及初值()i g x 只在网格点上有意义，为了应用Fourier 方法讨论方程（2.1）的第一类初值问题，需要扩充这些函数的定义域，使它们在整个实轴R 上都有定义。令
(,),22()(),22n n j j j j j j h h U x t u x x x h h
x g x x x x =-
≤≤+Φ=-≤≤+
这样，(,)n U x t ，()x Φ对任意x R ∈都有定义。
例2.4 以差分格式 11
2
0n n n n j j
j j
u u u u a
h τ
+---+= （2.9）
为例讨论Fourier 方法。 （2.9）式可以写为
1(,)(,)[(,)
(,)]
n n n n U x t U x t a U x t U x h t λ+=--- （2.10）
对（2.10）式两边用Fourier 积分，可以得到
()
1(,)(,)(,)(,)ikx
ikx
ikx
ik x h n n n n U k t e dk U k t e dk a U k t e dk U k t e dk λ∧
∧
∧
∧
+∞+∞+∞+∞
-+-∞
-∞
-∞
-∞
?=-??
消去ikx e 可得
1(,)[1(1)](,)
ikh
n n U k t a e
U k t λ∧
∧
-+=--
以上方法推广到一般形式的差分格式可以得到
1(,)(,)(,)
n n U k t G k U k t τ∧
∧
+=
式中(,)G k τ为增长因子，显然差分格式（2.9）的增长因子为(,)[1(1)]ikh G k a e τλ-=--。
不加证明地，我们给出以下结论：
差分格式稳定的充分必要条件是存在常数00,0K τ>>使得当0,,n T k R τττ≤≤∈时，有
||(,)||n G k K τ≤
上式也称为von Neumann 条件[10]。
3、线性常系数方程组的Fourier 方法
稳定性的概念及相关Fourier 方法的推导可以推广到线性常系数方程组。这在下面我们讨论Richardson 差分格式时需要用到。
一般的差分方程组可以写为
1(,)l
n a
n j
a
j
j
a l
u
A x T
u τ→→+=-=
∑
其中,(,)n p p p j
a u R A x R τ→
?∈∈。由于()h g τ=，即h 和τ满足一定关系，故在(,)a A x τ中仅标出τ。令
(,)(,)l
a
j a
j
a l
C x A x T
ττ=-=
∑
则有
1(,)n n j
j j
u
C x u τ→→
+=
（2.11） 其中(,)j C x τ称为差分算子，上式为一个差分格式。 由（2.11）式可以得出
0[(,)]n n
j
j j
u C x u τ→→=
如果(,)j C x τ不依赖于j x ，即为常系数差分方程组，则可利用Fourier 积分得到
1(,)(,)(,)n n U k t G k U k t τ∧∧→
→
+=，
1(,)(,)(,)n n U k t G k U k t τ∧∧→
→
+=，
其中(,)p n U k t R ∧→
∈，(,)p p G k R τ?∈，称(,)G k τ为增长矩阵。
类似于差分方程的情况，我们有如下结论：
差分格式（2.11）稳定的充要条件是存在常数00,0K τ>>使得当0,ττ≤,n T τ≤
k R ∈时，有
||(,)||n G k K τ≤
定理2.2 差分格式（2.11）稳定的必要条件是当0,,n T k R τττ≤≤∈时，有
|((,))|1,1,2,j G k M j λττ≤+=…,p ，
其中((,))n j G k λτ表示(,)G k τ的特征值，M 为常数。
定理2.3[11] 当(,)G k τ只有一个元素时，von Neumann 条件是差分格式稳定的充要条件。
对于Fourier 方法，还有很多定理和推论可以帮助我们更加容易的判断不同性质的差分格式的稳定性，本文仅给出了需要用到的基本定理。
3常系数扩散方程的差分格式及其相容性、收敛性和稳定性分析
用Taylor 级数展开方法求解偏微分方程实际上等价于用差商来近似微商得到相应的差分格式，除此之外也可以用积分的方法。下面用Taylor 级数展开的方法来讨论扩散方程初值问题
22,,0u u
a x R t t x ??=∈>?? （3.1）
(,0)(),u x g x x R =∈ （3.2）
的差分格式。
3.1向前差分格式
假定偏微分方程初值问题的解(,)u x t 是充分光滑的。由Taylor 级数展开有
1112
111121(,)(,)[](),(,)(,)[](),2(,)(,)[](),(,)(,)[](),
(,)(,)[](),
2(,)2(,j n j n n
j j n j n n j j n j n n
j j n j n n j
j n j n n j
j n j u x t u x t u O t u x t u x t u O t
u x t u x t u O h h x
u x t u x t u O h h x u x t u x t u O h h x
u x t u x ττττ++-+-+-+-?=+?-?=+?-?=+?-?=+?-?=+?-2
122)(,)[]().
2n j n n j t u x t u O h h x -??
?
???
????
???
???+??=+??? （3.3）
1、差分格式的推导过程
利用（3.3）中第一式和第六式有：
1112
222(,)(,)
(,)2(,)(,)
[]()j n j n j n j n j n n
j u x t u x t u x t u x t u x t a
h u u a O h t x
τ
τ++---+-??=-++??
如果u 是（3.1）式的光滑解，即u 是满足
22u u
a t x ??=??
的光滑函数，那么，方程（3.1）可以用如下差分方程来近似：
111
2
20
n n n n n
j j
j j j u u u u u a
h τ
++---+-= ， （3.4）
这就是微分方程（3.1）的向前差分格式。它所联系的网点分布为：
2、截断误差
在前面的分析中，我们曾经利用这种差分格式来讨论截断误差的概念，得知其截断误差为2()()O O h τ+。 3、稳定性分析
用Fourier 方法来讨论其稳定性，容易求出（3.1）式的增长因子是
2
(,)14sin 2kh
G k a τλ=-，
其中2h τ
λ=
，如果1
2
a λ≤
，那么有|(,)|1G k τ≤，即满足von Neumann 条件，所以向前
差分格式的稳定性条件是1
2
a λ≤。这种情况的差分格式是条件稳定的。
4、收敛性分析
由Lax 定理可知，当差分格式稳定时一定是收敛的，所以当1
2
a λ≤时，向前差分格式收敛。
3.2向后差分格式
1、差分格式的推导过程
上面构造的差分格式是显式的，即在时间层1n t +上的每一个1
n j u +可以独立地根据在
时间层n t 上的值n j u 得出。但是如果采用
1(,)(,)
[
]()j n j n n
j u x t u x t u O t ττ
--?=+?，
和（3.3）中的六式，就可以得到扩散方程（3.1）的另一个差分格式
1
11
2
20
n n n n n
j j
j j j u u u u u a
h
τ
-+---+-= （3.5）
这是微分方程（3.1）的向后差分格式。它所联系的网点分布为
:
向后差分格式与向前差分格式不同，在新时间层n 上包含了3个未知量1n j u -，n j u ，
1n j u +，因此不能由1n j u -直接计算出n
j u ，这种差分格式称为隐式格式。
2、截断误差
考虑其截断误差
2242224
1
1(,)(,)(,)(,)(,)212t x u ah u
T x t u x t a u x t x t h t x τδηξτ-??=?-=--??，
其中(,),(,)t t x h x h ητξ∈-∈-+。因此其截断误差为2()()O O h τ+。 3、稳定性分析
先把差分格式变形为
11111(12)n n n n
j j j j a u a u a u u λλλ+++-+-++-=
其中2
h
τ
λ=
，令n n i
k j h j j u v e
=，并把它带入上面方程并消去公因子ikjh
e
，容易求出（3.5）
式的增长因子为
2
1(,)14sin 2
G k kh
a τλ=
+
由于0a >，所以对任何网格比λ都有|(,)|1G k τ≤。由定理2.3知，差分格式（3.5）是稳定的。 4、收敛性分析
由Lax 定理可知，当差分格式稳定时一定是收敛的，所以差分格式（3.5）收敛。
3.3 Crank-Nicloson 格式
1、差分格式的推导过程
将向前差分格式与向后差分格式作算术平均，即得Crank-Nicolson 格式：
111111112
[(2)(2)]02n n j j
n n n n n n
j j j j j j u u a u u u u u u h
τ
+++++-+---
-++-+= （3.6） Crank-Nicolson 格式又叫六点对称格式[12]
，因为这种格式所联系的网点分布为
:
Crank-Nicolson 格式也是隐式格式。 2、截断误差 令
111!11112222[]2n n n n n n n n
j j
j j j j j j n h j
u u u u u u u u a L u h h
τ
+++++-+---+-+=
-+ 将截断误差
(,)(,)[]n h j n j T x t L u x t Lu =-
在11
2
2
1
(,)(())2
j n n x t
t n τ+
+
=+处展开，则得
22(,)()T x t O h τ=+
因此其截断误差为22()O h τ+。 3、稳定性分析
仍然用Fourier 方法。先把差分格式变形为
111
11112(1)2(1)n n n n n n j j j j j j a u a u a u a u a u a u λλλλλλ---+-+--++-=+-+
令n n ikjh j j u v e
=，带入上面方程并消去公因子ikjh
e ，容易求出（3.6）式的增长因子为 2
2
12sin 2(,)12sin 2
kh
a G k kh
a λτλ-=
+ 由于0a >，显然对任何网格比λ都有|(,)|1G k τ≤，由定理2.3知，差分格式（3.6）是稳定的。 4、收敛性分析
由Lax 定理可知，当差分格式稳定时一定是收敛的，所以差分格式（3.6）收敛。
3.4 Richardson 格式
1、差分格式的推导过程
利用（3.3）式中的第二式和第六式可以得到Richardson 格式：
11
11
2
20
2n n n n n
j j
j j j u u u u u a
h τ
+-+---+-= （3.7）
从（3.7）式可以看出，这种格式联系到三个时间层，称为三层格式。一般地，一个多于二层的差分格式成为多层差分格式。它所联系的网点分布为：
2、截断误差
这个格式是为了提高差分方程的截断误差所设计的，利用上述方法我们可以很容易的求出其截断误差为22()O h τ+。单从截断误差这一角度来考虑，这个格式是比较好的，但是以后的分析可以看到，它是没有实用价值的。 3、稳定性分析
首先将（3.7）式变形为
11112(2)n n n n n
j j j j j u u a u u u λ+-+-=+-+
讨论多层差分格式，一般先化成与其等价的二层差分方程组。Richardson 差分方程的等价二层差分方程组为
11112(2),
.
n n n n n j j j j j n n
j j u v a u u u v u λ++-+?=+-+??=?? 如果令[,]n n n T
j
j j u u v →=，则上面的方程组可以写成
111204020000000n n
n n
j
j j j a a a u
u u u λλλ
→
→→→++--??????=++ ? ? ???????
设n n
ikjh j
u v e →→=，将其带入上式并消去公因子ikjh e ，可以得
常微分方程和偏微分方程的数值解法教学大纲
上海交通大学致远学院 《常微分方程和偏微分方程的数值解法》教学大纲 一、课程基本信息 课程名称（中文）：常微分方程和偏微分方程的数值解法 课程名称（英文）：Numerical Methods for Ordinary and Partial Differential Equations 课程代码：MA300 学分 / 学时：4学分 / 68学时 适用专业：致远学院与数学系相关专业 先修课程：偏微分方程，数值分析 后续课程：相关课程 开课单位：理学院数学系计算与运筹教研室 Office hours: 每周二19：00—21：00，地点：数学楼1204 二、课程性质和任务 本课程是致远学院和数学系应用数学和计算数学方向的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过数学建模、算法设计、理论分析和上机实算“四位一体”的教学方法，使学生掌握常微分方程与偏微分方程数值解的基本方法、基本原理和基本理论，进一步提升同学们利用计算机解决实际问题的能力。在常微分方程部分，将着重介绍常微分方程初值问题的单步法，含各类Euler方法和Runge-Kutta方法，以及线性多步法。将简介常微分方程组和高阶常微分方程的数值方法。在偏微分方程部分，将系统介绍求解椭圆、双曲、抛物型方程的差分方法的构造方法和理论分析技巧，对于椭圆型方程的边值问题将介绍相应变分原理与有限元方法。将在课堂上实时演示讲授的核心算法的计算效果，以强调其直观效果与应用性。本课程重视实践环节建设，学生要做一定数量的大作业。 三、教学内容和基本要求 第一部分：常微分方程数值解法 1 引论 1.1回顾：一阶常微分方程初值问题及解的存在唯一性定理
常微分方程的初等解法与求解技巧
师大学本科毕业论文（设计） 常微分方程的初等解法与求解技巧 姓名娟 院系数学与计算机科学学院 专业信息与计算科学 班级12510201 学号1251020126 指导教师王晓锋 答辩日期 成绩
常微分方程的初等解法与求解技巧 容摘要 常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧. 【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧
Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary Differential Equation Abstract Ordinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve. 【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques
一阶常微分方程解法总结
第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有 xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(2 2 =--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如 )(x y g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到
常微分方程解题方法总结.docx
常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半，课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来，如何将零散的知识点有机地结合起来，而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆，使知识自成体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴，他强调读 书要 “由薄到厚、由厚到薄 ”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 dy P ( x)dx P ( x) dx Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx
伯努利方程解法：令 dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1） 代入得到dx —u y1 n，有 du(1 n) y n dy ， du(1 n) P(x)u(1 n)Q(x) dx 求解特征方程： 2pq 0三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根： 1 ,2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2)两个相等实根：12 通解： y c1c2 x e x (3)一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x] 当i不是特征值时，令 欢迎下载2
(整理)常微分方程(含解答)
第八章 常微分方程 【教学要求】 一、了解微分方程的基本概念：微分方程，微分方程的阶、解、特解、通解、初始条件和初值问题，线性微分方程。 二、熟练掌握一阶可分离变量微分方程的解法。 三、熟练掌握一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+' 的解法——常数变易法和公式法。 四、理解线性微分方程解的性质和解的结构。 五、熟练掌握二阶线性常系数齐次微分方程0=+'+''qy y p y 的解法——特征根法。 会根据特征根的三种情况，熟练地写出方程的通解，并根据定解的条件写出方程特解。 六、熟练掌握二阶线性常系数非齐次微分方程qy y p y +'+'' )(x f =，当自由项f (x )为某些特殊情况时的解法——待定系数法。 所谓f (x )为某些特殊情况是指f (x )为多项式函数，指数函数 或它们的和或乘积形式、三角函数x x x ββαsin cos ,e 。 关键是依据f (x )的形式及特征根的情况，设出特解y *,代入原方程，定出y *的系数。 【教学重点】 一阶可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性常系数微分方程的解法。 【典型例题】 。的阶数是微分方程例)(e )(12x y y y =-'+'' 2.1.B A 4. 3.D C 解：B 。的特解形式是微分方程例)( e 232x x y y y +=+'-'' x x x b ax B b ax A e )(.e ).(++ x x c b ax D cx b ax C e ).(e ).(++++ 解：C 是一阶线性微分方程。下列方程中例)( ,3 x x y y x B y A y x cos sin 1.e .2=+'='+ y x y D y y x y C ='=+'+''.0 . 解：B ???=='++1)1(0)1(4y y x y y 求解初值问题例 ??-=+x x y y y d )1(d 解：由变量可分离法得 c x y y ln ln 1ln +-=+∴ 代入上式得通解为由21ln ln 1)1(=?=c y x y y 211=+ 的特解。满足求解微分方程例1)0(e 252==-'y x y y x 解：由公式法得 ]d e e 2[e d 12d 1c x x y x x x +???=---?
常微分方程边值问题的数值解法
第8章 常微分方程边值问题的数值解法 引 言 第7章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的边值问题的数值方法。 只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 推论 若线性边值问题 ()()()()()(),, (),()y x p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ'''=++≤≤?? ==? (8.1.2) 满足 (1) (),()p x q x 和()f x 在[,]a b 上连续； (2) 在[,]a b 上, ()0q x >, 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 求边值问题的近似解，有三类基本方法： (1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解； (2) 有限元法(finite element method)；
(3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。 差分法 8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法 设二阶线性常微分方程的边值问题为 (8.2.1)(8.2.2) ()()()(),,(),(), y x q x y x f x a x b y a y b αβ''-=<
常微分方程数值解法的误差分析教材
淮北师范大学 2013届学士学位论文 常微分方程数值解法的误差分析 学院、专业数学科学学院数学与应用数学 研究方向计算数学 学生姓名李娜 学号 20091101070 指导教师姓名陈昊 指导教师职称讲师 年月日
常微分方程数值解法的误差分析 李娜 （淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000） 摘要 自然界与工程技术中的很多现象，往往归结为常微分方程定解问题。许多偏微分方程问题也可以化为常微分方程问题来近似求解。因此，研究常微分方程的数值解法是有实际应用意义的。数值解法是一种离散化的数学方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。随着计算机计算能力的增强以及数值计算方法的发展，常微分方程的数值求解方法越来越多，比较成熟的有Euler 法、后退Euler法、梯形方法、Runge—Kutta方法、投影法和多步法，等等．本文将对这些解的误差进行分析,以求能够得到求解常微分数值解的精度更好的方法。 关键词：常微分方程, 数值解法, 单步法, 线性多步法, 局部截断误差
Error Analysis of Numerical Method for Solving the Ordinary Differential Equation Li Na (School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000) Abstract In nature and engineering have many phenomena , definite solution of the problem often boils down to ordinary differential equations. So study the numerical solution of ordinary differential equations is practical significance. The numerical method is a discrete mathematical methods, and exact solution of the function can be obtained in the approximation of a series of discrete points of the argument.With the enhanced computing power and the development of numerical methods,ordinary differential equations have more and more numerical solution,there are some mature methods. Such as Euler method, backward Euler method, trapezoidal method, Runge-Kutta method, projection method and multi-step method and so on.Therefore, numerical solution of differential equation is of great practical significance. Through this paper, error of these solutions will be analyzed in order to get a the accuracy better way to solve the numerical solution of ordinary differential. Keywords:Ordinary differential equations, numerical solution methods, s ingle ste p methods, l inear multi-step methods, local truncation error
常微分方程数值解法
i.常微分方程初值问题数值解法 常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。
二阶常系数齐次线性微分方程求解方法
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数 非齐次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为
函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111 =++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y 1e (i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e (i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 2 2ie x sin x )(21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为 y e x (C 1cos x C 2sin x )
各类微分方程的解法大全
各类微分方程的解法 1.可分离变量的微分方程解法 一般形式:g(y)dy=f(x)dx 直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx 设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解 2.齐次方程解法 一般形式:dy/dx=φ(y/x) 令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］=dx/x 两端积分,得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x 最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解 3.一阶线性微分方程解法 一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x) 先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0解得y=Ce－ ∫P(x)dx,再令y=u e－∫P(x)dx代入原方程解得u=∫Q(x) e∫P(x)dx dx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C］ 即y=Ce－∫P(x)dx +e－ ∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dx dx为一阶线性微分方程的通解 4.可降阶的高阶微分方程解法 ①y(n)=f(x)型的微分方程 y(n)=f(x) y(n-1)= ∫f(x)dx+C1 y(n-2)= ∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2 依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解②y”=f(x,y’) 型的微分方程 令y’=p则y”=p’,所以p’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C1) 即dy/dx=φ(x,C1),所以y=∫φ(x,C1)dx+C2 ③y”=f(y,y’) 型的微分方程
令y ’=p 则y ”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C 1) 即dy/dx=φ(y,C 1),即dy/φ(y,C 1)=dx,所以∫dy/φ(y,C 1)=x+C 2 5.二阶常系数齐次线性微分方程解法 一般形式:y ”+py ’+qy=0,特征方程r 2+pr+q=0 6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法 一般形式: y ”+py ’+qy=f(x) 先求y ”+py ’+qy=0的通解y 0(x),再求y ”+py ’+qy=f(x)的一个特解y*(x) 则y(x)=y 0(x)+y*(x)即为微分方程y ”+py ’+qy=f(x)的通解 求y ”+py ’+qy=f(x)特解的方法: ① f(x)=P m (x)e λx 型 令y*=x k Q m (x)e λx ［k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Q m (x)的m+1个系数 ② f(x)=e λx ［P ｌ(x)cos ωx+P n (x)sin ωx ］型 令y*=x k e λx ［Q m (x)cos ωx+R m (x)sin ωx ］［m=max ﹛ｌ,n ﹜,k 按λ+i ω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Q m (x)和R m (x)的m+1个系数
常微分方程的初等解法与求解技巧
山西师范大学本科毕业论文（设计） 常微分方程的初等解法与求解技巧 姓名张娟 院系数学与计算机科学学院 专业信息与计算科学 班级12510201 学号1251020126 指导教师王晓锋 答辩日期 成绩
常微分方程的初等解法与求解技巧 内容摘要 常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧. 【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧
Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary Differential Equation Abstract Ordinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve. 【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques
常微分方程数值解法
第八章 常微分方程的数值解法 一．内容要点 考虑一阶常微分方程初值问题:?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 微分方程的数值解：设微分方程的解y (x )的存在区间是[a,b ]，在[a,b ]内取一系列节 点a= x 0< x 1<…< x n =b ,其中h k =x k+1-x k ；(一般采用等距节点，h=(b-a)/n 称为步长)。在每个节点x k 求解函数y(x)的近似值:y k ≈y(x k )，这样y 0 , y 1 ,...,y n 称为微分方程的数值解。 用数值方法，求得f(x k )的近似值y k ，再用插值或拟合方法就求得y(x)的近似函数。 (一)常微分方程处置问题解得存在唯一性定理 对于常微分方程初值问题:?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 如果： (1) 在B y y A x x 00≤-≤≤,的矩形内),(y x f 是一个二元连续函数。 (2) ),(y x f 对于y 满足利普希茨条件，即 2121y y L y x f y x f -≤-),(),(则在C x x 0≤≤上方程?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 的解存在且唯一，这里C=min((A-x 0),x 0+B/L),L 是利普希茨常数。 定义：任何一个一步方法可以写为),,(h y x h y y k k k 1k Φ+=+，其中),,(h y x k k Φ称为算法的增量函数。 收敛性定理：若一步方法满足： (1)是p 解的. (2) 增量函数),,(h y x k k Φ对于y 满足利普希茨条件. (3) 初始值y 0是精确的。则),()()(p h O x y kh y =-kh =x -x 0,也就是有 0x y y lim k x x kh 0h 0 =--=→)( (一)、主要算法 1．局部截断误差 局部截断误差：当y(x k )是精确解时，由y(x k )按照数值方法计算出来的1~ +k y 的误差y (x k+1)- 1~ +k y 称为局部截断误差。 注意：y k+1和1~ +k y 的区别。因而局部截断误差与误差e k +1=y (x k +1) -y k +1不同。 如果局部截断误差是O (h p+1),我们就说该数值方法具有p 阶精度。
如何求解常微分方程
如何求解常微分方程？ 常数变易法、积分因子法，函数变换法。 大致与微积分同时产生。事实上，求y′＝f(x)的原函数问题便是最简单的微分方程。I.牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型……。因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。当初，数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上，后来证明这一般不可能，于是逐步放弃了这一奢望，而转向定解问题：初值问题、边值问题、混合问题等。但是，即便是一阶常微分方程，初等解(化为积分形式)也被证明不可能，于是转向定量方法（数值计算）、定性方法，而这首先要解决解的存在性、唯一性等理论上的问题。 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。
常微分方程数值解法
常微分方程数值解法 【作用】微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步： 1. 根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。 2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。 3. 运用这些规律列出方程和定解条件。基本模型 1. 发射卫星为什么用三级火箭 2. 人口模型 3. 战争模型 4. 放射性废料的处理通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来” 的于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。 1. 改进Euler 法： 2. 龙格—库塔( Runge—Kutta )方法： 【源程序】 1. 改进Euler 法： function [x,y]=eulerpro(fun,x0,x1,y0,n);%fun 为函数，(xO, x1)为x 区间，yO 为初始值，n 为子 区间个数 if nargin<5,n=5O;end h=(x1-xO)/n; x(1)=xO;y(1)=yO; for i=1:n x(i+1)=x(i)+h; y1=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i)); y2=y(i)+h*feval(fun,x(i+1),y1); y(i+1)=(y1+y2)/2; end 调用command 窗口 f=i nlin e('-2*y+2*x A2+2*x') [x,y]=eulerpro(f,O,,1,1O) 2 x +2x , (0 < x < , y(0) = 1 求解函数y'=-2y+2 2. 龙格—库塔( Runge—Kutta )方法： [t,y]=solver('F',tspan ，y0) 这里solver为ode45, ode23, ode113，输入参数F是用M文件定义的微分方程y'= f (x, y)右端的函数。tspan=[t0,tfinal]是求解区间，y0是初值。 注：ode45和ode23变步长的，采用Runge-Kutta算法。 ode45表示采用四阶-五阶Runge-Kutta算法，它用4阶方法提供候选解，5阶方法控制误差，是一种自适应步长(变步长)的常微分方程数值解法，其整体截断误差为(△ 口人5解 决的是Nonstiff(非刚性)常微分方程。
常微分方程差分解法、入门、多解法
毕业论文 题目抛物型方程的差分解法学院数学科学学院 专业信息与计算科学 班级计算0802 学生王丹丹 学号20080901045 指导教师王宣欣 二〇一二年五月二十五日
摘要 偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题【1】。近三十多年来，数值解法的理论和方法都有了很大的发展，而且在各个科学技术的领域中应用也愈来愈广泛。本文的研究主要集中在依赖于时间的问题，借助于简单的常系数扩散方程，介绍抛物型方程的差分解法。本文以基本概念和基本方法为主，同时结合算例实现算法。 第一部分介绍偏微分方程及差分解法的基本概念，引入本文的研究对象——常系 数扩散方程： 2 2 ,,0 u u a x R t t x ?? =∈>?? 第二部分介绍上述方程的几种差分格式及每种格式的相容性、收敛性与稳定性。 第三部分通过算例检验每种差分格式的可行性。 关键词：偏微分方程；抛物型；差分格式；收敛性；稳定性；算例
ABSTRACT The numerical solution of partial differential equation holds an important role in numerical analysis .Many problems of compution in the field of science and techology include the numerical solution of partial differential equation. For more than 30 years, the theory and method of the numerical computation made a great development and its applications in various fields of science and technology are more and more widely. This paper focuses on the problems based on time. I will use object-constant diffusion equation to introduces the finite difference method of parabolic equation. This paper mainly focus on the basic concept ,basic method and simple numerical example. The first part of this paper introduces partial differential equations and basic concepts of finite difference method.I will introduce the object-constant diffusion equation for the first time. 2 2 ,,0 u u a x R t t x ?? =∈>?? The second part of this paper introduces several difference schemes of the above equation and their compatibility ,convergence and stability. The third part tests the accuracy of each scheme. Key words:partial differential equation；parabolic；difference scheme；convergence；stability；application
常微分方程的差分方法
第五章 常微分方程的差分方法 一、教学目标及基本要求 通过对本节课的学习，使学生掌握常微分方程、常微分方程方程组的数值解法。 二、教学内容及学时分配 本节课主要介绍常微分方程的数值解法。具体内容如下： 讲授内容：欧拉公式、改进的欧拉公式。 三、教学重点难点 1．教学重点：改进的欧拉公式、龙格库塔方法、收敛性与稳定性。 2. 教学难点：收敛性与稳定性。 四、教学中应注意的问题 多媒体课堂教学为主。适当提问，加深学生对概念的理解。 五、正文 基于数值积分的求解公式：欧拉公式、改进的欧拉公式 引 言 1．主要考虑如下的一阶常微分方程初值问题的求解: 00()(,)()y x f x y y x y '=??=? 微分方程的解就是求一个函数y=y(x)，该函数满足微分方程并且符合初值条件。 2. 例如微分方程: xy'-2y=4x ；初始条件: y(1)=-3。 于是可得一阶常微分方程的初始问题 24(1)3y y x y ?'=+???=-?。 显然函数y(x)=x 2-4x 满足以上条件,因而是该初始问题的微分方程的解。
3. 但是,只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解析解，有的甚至无法用解析表达式来表示。因此，只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。 4． 微分方程的数值解： 设微分方程问题的解y(x)的存在区间是[a,b]，初始点x 0=a ，将[a,b]进行划分得一系列节点x 0 , x 1 ,...,x n ，其中a= x 0< x 1<…< x n =b 。y(x)的解析表达式不容易得到或根本无法得到，我们用数值方法求得y(x)在每个节点x k 的近似值y(x k )，即 y≈y(x k )，这样y 0 , y 1 ,...,y n 称为微分方程的数值解。 如果计算y n 时，只利用y n-1，称这种方法为单步法；如果在计算y n 时不仅利用y n-1，而且还要利用y n-2, y n-3,…, y n-r ,则称这种方法为r 步方法，也称多步法。 §5.1 欧拉方法 §5.1.1 欧拉格式 方程()(,)n n n y x f x y '=中，1()()()n n n y x y x y x h +-'≈ 1()()(,())n n n n y x y x hf x y x +≈+?1(,)n n n n y y hf x y +=+ 称为解一阶常微分方程初值问题的欧拉公式，也称显示欧拉公式。 欧拉公式的几何意义非常明显，因为微分方程的解在xoy 平面上表示一族积分曲线。用欧拉公式求数值解的几何意义如图： 容易验证，该折线各个顶点的纵坐标(1,2...)n y n =就是欧拉公式算得的近似值解，所以，欧拉方法又称为折线法。 算例：P98