常微分方程的差分方法-欧拉法

常微分方程的差分方法-欧拉法

一、摘要：人类社会已迈进电子计算机时代。在今天，熟练地

运用计算机进行科学计算，已成为广大科技工作者和学者的一项基

本技能，数值分析的基本内容是数值算法的设计与分析，科学技术

当中常常需要求解常微分方程的定解问题，本文中主要以解决此问

题最简单形式（一阶方程的初值问题）来求解微分方程。虽然求解

常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些

特殊类型的方程，求解从实际问题中归结出来的微分方程主要主要

靠数值解法，本文就数值解法中的差分方法进行求解微分方程。

二、关键词：差分方法、初值问题、数值解法、MATLAB

三、引言：科学计算不应当将计算方法片面的理解为各种算法

的简单罗列和堆积，它也是一门内容丰富、思想方法深刻而有着自

身理论体系的数学学科。微积分的发明是人类智慧的伟大发展。求

解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一

些特殊类型的方程，求解从实际问题中归结出来的微分方程主要主

要靠数值解法。怎样应用数值解法求解从实际问题中归结出来的微

分方程呢？

四、正文

y′=f x,y (1)

y(x0)=y0 (2)

方程（1）中含有导数项y′(x),这是微分方程的本质特征，也正

是它难以求解的症结所在。

数值解法的第一步就是设法消除其导数项，这项手续称离散化。由于差分是微分的近似运算，实现离散化的基本途径是用差商替代

导数。

譬如，若在点x n列出方程（1）：

y′(x n)=f(x n,y(x n))

替代其中的导数项y′(x n),结果有：并用差商y x n+1?y(x n)

h

y(x n+1)≈y(x n)+hf(x n,y(x n))

设用y（x x）的近似值y n代入上式的右端，记所得结果为y n+1,这样导出的计算公式：

y(x n+1)=y(x n)+hf(x n,y(x n))，n=0,1,2, (3)

这就是众所周知的欧拉（Euler）格式。若初值y0是已知的，则据式（3）可以逐步算出数值解y1,y2,…。

为简化分析，人们常在y n为准确，即在y n=y(x n)的前提下估计

误差y(x n+1)-y n+1。这种误差称为局部截断误差。

称一种数值方法的精度是p阶的，如果其局部截断误差为O

（h p+1）。

对于欧拉格式（3），假定y n=y(x n)，则据方程（1）有：

y n+1=y(x n)+hf(x n,y(x n))

=y(x n)+h y′(x n)

而按泰勒公式

y(x n+1)=y(x n)+h y′(x n)+h 2

2

y′′(ε), x n<ε

y(x n+1)-y n+1=h 2

2

y′′(ε) 这说明欧拉格式仅为一阶方法。

例求解初值问题

x′+5x+y=e′

y′?x?3y=0

x t=0,y t=0解：用MATLAB写出如下程序：

% By lyqmath

function main()

clc;

clear all;

close all;

% 3??μ

t0 = 0;

y0 = [0; 0];

xmax = 1;

h = 0.01;

% ????

n = (xmax - t0)/h; for i = 1 :n+1 if i == 1 t(i) = t0; y(:, i) = y0; else

t(i) = t0 + (i - 1)*h;

y(:, i) = y(:, i - 1) + h*test_fun(t(i-1), y(:, i-1)); end end % ??í? figure; hold on ; box on ;

plot(t, y(1, :), 'r-', t, y(2, :), 'g-'); grid on ;

legend('x', 'y');

xlabel('t', 'FontWeight', 'Bold', 'Color', 'r'); ylabel('data', 'FontWeight', 'Bold', 'Color', 'r');

title('Euler·¨?????￠·?·?3ì×é By lyqmath', 'FontWeight', 'Bold', 'Color', 'r'); % ?￠·?·?3ì

function fxy = test_fun(t,y) fxy = zeros(2, 1)

fxy(1) = exp(t) - 5*y(1) - y(2); fxy(2) = y(1) + 3*y(2);

当h=0.01时，得出以下图像：

当h=0. 1时，得到以下图像：

0.1

0.2

0.3

0.4

0.50.6

0.7

0.8

0.9

1

00.10.20.30.40.50.6

0.70.80.91t

d a t a

Euler 法计算微分方程组 By lyqmath

取其中一部分

0.10.20.30.4

0.50.60.70.80.91

00.10.20.30.4

0.5

0.6

0.7

t

d a t a

Euler 法计算微分方程组 By lyqmath

0.08

0.0850.090.0950.1

0.1050.110.1150.12

t

d a t a

Euler 法计算微分方程组 By lyqmath

由上h=0.001和h=0.1所得的图像，可看出精度h越精，图像拟合的越好，拟合度越高，效果越佳。

五、结束语

虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程。求解从实际问题当中归结出来的微分方程主要靠数值解法。欧拉方法是一类重要的数值解法。这类方法回避解y(x)的函数表达式，而是寻求它在一系列离散节点上的近似值，相邻的两个节点的间距称作步长。假定步长为定数。欧拉方法是一类离散化方法，这类方法将寻求解y(x)的分析问题转化为计算离散值值的代数问题，从而使问题获得了实质性的简化。然而随之带来的困难是，由于数据量往往很大，差分方法所归结出的可能是个大规模的代数方程组。