桥梁毕业设计解读

第一章引言

1.1 研究背景

由于使用、超载、环境作用以及功能退化等人为或自然因素，导致公路桥梁在服役期间发生各种结构损伤，如何对其进行评估已成为世界各国桥梁工程界研究的热点问题之一。

钢筋混凝土桥梁结构是处于暴露环境中的结构物，在服役过程中，不但要承受各种荷载的作用，还要受到环境因素的侵袭。桥梁结构在自然环境、使用环境及材料内部因素的作用下，结构的性能会逐步退化，如钢筋锈蚀等导致结构性能劣化及耐久性降低，从而使承载能力下降，影响结构的安全和正常使用性能，缩短结构的使用寿命。

因此，对既有钢筋混凝土桥梁结构进行混凝土可靠度评估及剩余寿命预测，可以揭示结构潜在的危险，为及时作出维修加固决策提供重要的依据。

桥梁可靠性设计要解决的问题是：在结构承受外荷载和结构抗力的统计特征已知的条件下，根据规定的目标可靠指标，选择结构（构件）截面几何参数，使结构在规定的时间内，在规定的条件下，保证其可靠度不低于预先给定的值。可靠性的数量描述一般用可靠度。我国在桥梁设计过程中，存在着考虑强度多而考虑耐久性少；重视强度极限状态不重视使用极限状态厘视桥梁结构的建造而忽视其检测和维护，使结构安全性存在不同程度的隐患和缺陷。

桥梁快速的发展，使人们越来越重视桥梁结构的可靠性。在经济与技术许可的情况下，对桥梁进行可靠性研究，可以使得桥梁的技术改造决策更加科学、改造技术方案的设计更加合理、经济，从而提高桥梁的承载能力、延长其使用寿命和改善其使用功能并保障结构的使用安全性能，具有重要的社会意义、经济价值和广泛的应用前景。

目前，国内外正在不断发展和大力推广以统计数学为基础的结构可靠度理论和概率极限状态设计方法。从概率统计的意义上讲，所谓结构设计，本质上就是综合经济和安全两个方面，将工程结构的失效概率控制在某一范围内，即在结构的可靠性与经济之间选择一种合理的平衡。

1.2 国内外桥梁结构可靠度研究现状及发展趋势

20 世纪70 年代至80 年代，是结构可靠性理论完善并被各国规范、标准相继采用时期，自从康奈尔（C.A.Cornell）提出了一次二阶矩法之后，林德（N.C.Lind）根据康奈尔（C.A.Cornell）的可靠指标，推证出一整套荷载和抗力安全系数，这次研究使可靠度分析与实际可接受的设计方法联系起来。随后，德国的拉克维茨（R.Rackwitz）和菲斯勒（B.Fiessler），对基本变量为非正态分布情况提出了一种等价正态变量求法，这种方法经过系统改进之后，作为结构安全度联合委员会（JCSS）的文件附录推荐给土模工程界。该方法也被许多国家规范所采纳，我国的《建筑结构设计统一标准》（GBJ68- 84）也是

以该方法作为可靠性校准的基础。

进入20 世纪80 年代后，结构系统的可靠性理论研究工作已经成为结构工程中的研究热点，并已出版了许多专著，对于复杂的结构系统可靠度分析和先进的计算该方法蓬勃发展。概括而言，如下几方面是结构可靠度理论研究的热点：

（1）结构系统的可靠度分析。对于结构系统可靠度分析的非常复杂的研究课题，许多学者对此从不同角度进行了研究，得出了一些概念和方法。如结构可靠度分析的一阶矩概念及荷载为Ferrry Borges Castanheta 组合情况下的计算方法问题；利用系统系数，针对结构各种破坏水平所对应的极限状态不同，计算系统可靠度并进行结构设计的方法：利用蒙特卡洛（Monte- Carlo）法采用重要抽样技术计算结构系统的可靠度等，同时，一些学者还研究了系统可靠度界限的问题。总之，系统可靠度分析研究内容丰富，难度较大。

（2）对结构极限状态分析的改进，除考虑强度极限状态外，还应考虑结构的正常使用极状态、破坏安全极限状态，以及地震和其他特殊情况下考虑能量耗损极限状态等。

（3）目标可靠度的量化问题。虽然校准法已经部分解决了这个问题，但与实际情况相比，这方面的问题还远远没有解决。

（4）人为差错的分析。许多结构的失效并非由荷载、强度的不确定性造成，而往往是设计、施工、使用等环节中人为差错造成的，这方面事例很多，已成为目前研究热点之一。

（5）在役结构的可靠性评估与维修决策问题。对在役建筑结构的可靠性评估与维修决策正成为建筑结构学的边缘学科，它不仅涉及结构力学、断裂力学、建筑材料科学、工程地质学等基础理论，而且，与施工技术、检验手段、建筑物的维修使用状况等有密切的关系。同时，经典的结构可靠性理论，在在役结构的可靠性评估中也必将得到相应的发展。

（6 ）模糊随机可靠度的研究。模糊随机可靠度理论研究是工程结构广义可靠度理论研究的重要内容，随着模糊数学理论与方法的完善，模糊随机可靠度理论也必将进一步完善和发展。

1.3 桥梁可靠度研究的重要性

我国对结构可靠度的研究现阶段只限于理论方面，且侧重于可靠度设计方面，对结构耐久性方面的研究，特别是对耐久性评估理论的研究还很落后。

且在桥梁设计过程中，存在着考虑强度多而考虑耐久性少；重视强度极限状态不重视使用极限状态；重视桥梁结构的建造而忽视其检测和维护，使结构安全性存在不同程度的隐患和缺陷。

近几年来，国内发生的几起大桥坍塌或局部破坏事故在很大程度上是由于构件疲劳损坏(如结构开裂、变形过大等) 所导致，从而严重影响桥梁结构的承载能力和使用性能。

实际上对现有桥梁结构做出正确的可靠性评估，准确预测出其剩余寿命，才能保证结构在寿命延续期内的安全性，节省大量的维修加固资金。因而对桥梁结构可靠性研究非常

必要和迫切。

1.4 本文研究的主要内容

本文反复强调了结构可靠度的基本概念，基本理论和基本方法。先从结构可靠度分析中的若干概念出发，阐述了可靠度、失效概率同可靠指标的关系，再从一次二阶矩法入手，逐步深入到JC法，蒙特卡罗法。对桥梁评估方法及损伤评估的影响因素进行总结，介绍了可靠度计算的各种方法，并详细叙述推导了常用的中心点法和JC法。并利用JC法对一混凝土简支桥梁的跨中弯矩进行可靠性的分析。

本文介绍了结构的抗力模型、荷载模型。其中抗力模型主要从混凝土强度、钢筋强度、钢筋锈蚀损失面积及钢筋锈蚀粘结能力等方面的时变性来研究。对于影响桥梁结构变化的混凝土强度、钢筋强度、钢筋截面积以及钢筋与混凝土的粘结退化等因素进行分析，然后形成多种因素作用下的抗力衰减模型，其中钢筋锈蚀是重点。

而荷载模型主要是从恒荷载、活荷载及偶然荷载三方面来分析。在本文中主要研究恒载与车辆荷载对损伤评估的影响。

在前四章的基础上，推导出了损伤状态下的桥梁结构承载力极限状态方程，即功能函数。引入可靠度理论，针对一个具体的工程实例，编制JC法程序，计算桥梁构件的时变可靠指标。

1.5 小结

1、可靠度分析研究背景：

由于使用、超载、环境作用以及功能退化等人为或自然因素，导致公路桥梁在服役期间发生各种结构损伤，如何对其进行评估已成为世界各国桥梁工程界研究的热点问题之一。

目前，国内外正在不断发展和大力推广以统计数学为基础的结构可靠度理论和概率极限状态设计方法。从概率统计的意义上讲，所谓结构设计，本质上就是综合经济和安全两个方面，将工程结构的失效概率控制在某一范围内，即在结构的可靠性与经济之间选择一种合理的平衡。

2、本文的框架：

本文反复强调了结构可靠度的基本概念，基本理论和基本方法。先从结构可靠度分析中的若干概念出发，阐述了可靠度、失效概率同可靠指标的关系，再从一次二阶矩法入手，逐步深入到JC法，蒙特卡罗法。并利用JC法对一混凝土简支桥梁的跨中弯矩进行可靠性的分析。

第二章结构可靠性理论概述

2.1 可靠度和可靠指标

2.1.1 结构的可靠度

早期工程结构设计一般采用安全系数法，即为了保证结构设计的安全，都引进了大于1的安全系数。其主要缺点为：

1）由于安全系数是根据经验进行粗略确定的数值，往往由于人为地选择不同安全系数而与精确的计算方法不相匹配；

2）规范中的安全系数主要是根据工程经验确定的，没有考虑到影响构件安全系数的各种值的不确定性，所有安全系数法不能作为度量结构可靠度的统一尺度，安全系数的大小只能反映同一类型的某种受力状态下结构的安全度，对于不同类型结构或不同受力状态的同一结构同一截面，即使使用同一安全系数也不能使之具有相同的安全度。

3）加大结构的安全系数并不一定能按比例地增加结构的安全度，对于那些存在着不同符号应力叠加情况的结构这种问题则更加突出。

由于结构的材料性能、构件尺寸以及结构的外来作用都是随机的几何量或者物理量，而不是确定的单值量，而安全系数法只是把这些不确定量用一个笼统的安全系数掩盖起来，所以会造成工程的安全系数可能不足的情况，使结构发生破坏的事件时有发生，这表明将结构设计中变量全部按确定性量与实际有差距。

为了克服安全系数法的这些缺点，人们发展了一门新的学科——结构的可靠度。

结构可靠度的定义是：结构在规定的时间内，在规定的条件下，完成预定功能的概率。

1）规定的时间是指对结构进行可靠性分析时，结合结构使用期，考虑各种变量与时间的关系所取用的基准时间；

2）规定的条件是指结构正常设计，正常施工和正常使用的条件，即不考虑人为的影响；

3）预定功能是指：能承受在正常施工和正常使用期间可能出现的各种作用，在正常使用时结构及其组成具有较好的工作性能，在正常维护下具有足够的耐久性，在发生规定的偶然事件情况下结构能保持必要的整体稳定性。

此学科承认几乎所有的工程变量都是随机变量，在此基础上发展出一整套基于可靠度理论的计算方法，并由此算出概括结构安全性与可靠度的可靠度和可靠指标，以设计或校核结构。

结构可靠度分析过程大致可以分为三个阶段：

1）搜集结构材料性能、结构几何尺寸与外来作用等随机变量的观测或试验资料，以大量的实测资料为基础，利用统计方法进行统计分析，求出其分布规律及有关的统计量；

2）用力学方法计算结构的荷载效应（内力、应力、位移或变形等），通过实验与统计获得结构的抗力（屈服极限、强度极限、容许变形和位移等），从而建立结构的破坏标准。

结构的破坏标准由规范确定，目前由于建筑结构的设计一般采用极限状态设计，因此破坏标准就用极限状态表示；

3）计算结构的可靠度（结构的失效概率、可靠度或可靠指标）。

结构可靠度设计的目的：

1）在已知结构尺寸、荷载、材料特性以及目标可靠度指标的情况下，校核结构的可靠度；

2）校核现行规范，给出规范中有关系数所对应的安全水准；

3）在可靠度设计中，目前还达不到直接用β值设计。在现行规范中，通常是用可靠指标β计算现行规范设计式中的分项系数，以分项系数表达式作为实用计算式，以供设计使用。

2.1.2 极限状态

目前判断结构是否可靠的标准是极限状态。

极限状态是指若整个结构或结构的一部分超过某一特定状态就不能满足设计规定的某一功能，此特定状态就称为该功能的极限状态。

极限状态分为两类：承载力极限状态和正常使用极限状态。极限状态的实质就是结构可靠和不可靠的界限。

对于不同受力状态(使用功能) 的功能函数，可以根据规范中规定的承载能力极限状态表达式建立。

X，2X…，n X组成，且结构功能Z是以1X，2X…，n X为如果结构的基本变量由

1

X，2X…，n X)。对应的极限方程基本变量的函数，则结构的功能函数可表示为Z=g(

1

X，2X…，n X)=0。

为：Z = g(

1

若将基本变量归结为结构抗力R和荷载效应S两大类，则结构功能函数可简化为：Z =g(R，S)= R - S

对应的极限方程为：Z = R - S=0

当Z>0时，结构处于可靠状态，反之结构失效。

其中， R ，S 分别为构件截面的综合抗力、荷载效应。该表达式包含了两个基本综合变量，即作用效应和抗力。作用效应是指结构在荷载作用下产生的内力，它取决于结构形式、荷载作用方式及荷载大小等。抗力是指构件截面的承载能力，它主要取决于材料性能、几何参数及计算模式，可通过对上述三者进行综合分析间接获得。

结构或结构构件完成预定功能（Z>0）的概率称为可靠概率，也称为可靠度（S P）；不能完成预定功能（Z<0）的概率称为失效概率（f P）。

1)若R ，S 均服从正态分布，且相互独立，其均值和标准差分别为R μ、

S μ和R σ、S σ，而功能函数Z 是R ，S 两个随机变量联合组成的新函数，由概率论可知，Z 也服从正态分布，其均值和标准差分别为Z μ=R μ–S μ，Z σ

。 Z 的密度函数为：

(

)212z

z z z Z f μσ⎡⎤

⎛⎫-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

Z -∞<<+∞

其分布图如图2-1所示：

图2-1 正态功能函数概率密度曲线

根据定义，阴影部分的面积f

P （Z<0）即为结构的失效概率。则：

f P =()0P Z <=()0

z f Z dz -∞⎰

=20

12z

z z dz μσ⎡⎤

⎛⎫-⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰

而非阴影部分的面积

S

P （Z>0）即为结构的可靠度。则：

S P = ()0P Z >=1-()0P Z <=1-f P

可用结构的失效概率f P 来描述结构的可靠度。

2)若作用效应R 和结构抗力S 不服从正态分布，但服从其他已知概率分布，且相互独立，这时可用积分求解结构的可靠度和失效概率。用()R r f 和()S s f 分别表示抗力和荷载

效应的概率密度，用(),,R S r s f 表示R ，S 的联合概率密度，则结构的失效概率可按下式确

定：

f P =()0P Z <=()0P R S -<=(),0,R S R S f r s drds -<⎰⎰

=

()()0

R S R S f r f s drds -<⎰⎰

3)当极限状态功能函数的基本变量为多个时，多个基本变量i X 的功能函数为：

Z=g(1X ，2X …，n X )

式中1X ，2X …，n X 相互独立，且其各自的概率分布，均值，标准差为已知时，可用多重积分计算Z 的分布函数()Z Z F 。即：

()Z

Z F =()()()1

2

1212.........n

Z x x x n n f f f x x x dxdx dx <⎰⎰⎰

式中，(

)11

x f x ，()2

2

x f x …()n

x n

f x 为1

x ，2

x …n

x 的概率密度。

f P =()

z z f z dz -∞

⎰

=()0Z

Z F

式中

z 表示结构的极限状态，所以失效概率为：

f P = ()0P Z <=()0

Z

Z F

f P =()()()1

2

1212.........n

Z x x x n n f f f x x x dxdx dx <⎰⎰⎰

上述计算结构失效概率的公式为精确式，无论结构的极限状态的功能函数是线性还是非线性都适用。理论上可以认为只要各设计变量的概率分布类型和统计参数已知，则可求的相应的失效概率。

但在实际应用中，

1）由于各基本变量的统计数据不足，很难精确掌握各设计变量的理论分布； 2）进行多重积分相当困难，有时甚至不可能。

因此，必须寻求近似或简化的方法，使可靠度的分析达到适用的目的，因此一般需要采用近似的计算方法处理或间接求解方法求解。

2.1.3 结构可靠指标

考虑到直接应用数值积分方法计算结构失效概率的困难性，工程中多采用近似方法，为此引入了结构可靠指标的概念。

由图2-1所示的正态功能函数概率密度曲线可知，由0到平均值Z μ的这段距离，可以用标准差去度量，即Z μ=β

⋅Z σ

不难看出，β与f P 之间存在一一对应的关系，因此，β和f P 一样，可以作为衡量结构可靠性的一个指标。目前工程上常用结构可靠指标β来表示结构的可靠度。

现在将Z 的正态分布N （Z μ，Z σ）转化为标准正态分布N(0，1).

令t=

z

z

z μσ-，则有

z dz dt σ=，则有：

f P

=

12

exp()2

z z

t dt μσ-

-∞

-⎰

=()z z

μσ-Φ

=()β-

Φ=1-()

βΦ

所以β

=()

1

1f

P --Φ

且β=z z μσ

-

由此可得β与f P 的量值对应关系如下表2-1所示：

表2-1

β与f P 的对应关系

结构可靠指标β的定义是以结构功能函数Z 服从正态分布为基础的。在实际工程中，结构的功能函数服从非线性函数，大多数基本变量不服从正态分布，由此结构的功能函数一般也不服从正态分布，因而不能直接计算结构的可靠指标β。这时为了计算可靠指标，需要将功能函数近似为服从正态分布的随机变量。此时失效概率f P 与可靠指标β之间已不再具有如式β

=()1

1f

P --Φ

所示的精确关系，而只是一种近似关系。

2.1.

3.1 结构可靠指标的几何意义

可靠指标β从几何观点是在标准正态坐标系统中坐标原点到破坏曲面的最短距离，而求可靠指标β问题就转化为受破坏函数约束的极值问题。

P *称为演算点，是破坏曲面上与结构最大可能失效概率所对应的点，也即在作新的标

准化坐标系统中坐标原点到破坏曲面的最短距离时的垂足。

如下图所示的是R,S 均服从正态分布时可靠指标的几何表示：

P*_

R θ( , )R*

_S*_θS

B

βμ

σ_S

_

σμR

S σ

_

R

S

S

S'=σ_R'=R

R

_R=

__R μ

R

σR

σ_

___μS=

S S

S

_A

Limite state line

β=z z μσ

-μμ

ln R

S ⎛⎫

⎪ ⎪

μμ

当R δ和S δ均小于0.3或者近似相等时，上式可进一步简化为：

βln ≈

μμ

2.1.

3.3 结构可靠指标与中心安全系数的关系

传统的设计原则是抗力不小于荷载效应，其可靠性用安全系数来表示。

R

0S

k =μμ（其中R μ为抗力均值，S μ为荷载效应均值，0k 为中心安全系数。）

相应的设计表达式为：R

0S k μμ≥

假定R ，S 均服从正态分布，且相互独立，相应的变异系数分别为R δ和S δ,结构的功能函数为Z=R-S.则：

β=z z

μσ-μμ

=

1k -=

或 01S k =

-

同理，若假定

R ，S 均服从对数正态分布，且相互独立，则

(0exp k β≈

由此可看出，结构可靠指标β和中心安全系数0k 的关系与随机变量R,S 的变异系数

R δ和S δ有关，而中心安全系数0k 的定义中只考虑到随机变量的均值（一阶矩），没有考

虑到R,S 的离散程度，即变异系数（二阶矩）。

所以，相同的0k 如果R,S 的变异系数不同，所得到的可靠指标β也不同，即相同的安全系数，失效概率可能会相差很多。

因此，这就反映了用中心系数法进行结构设计的不合理性，

2.1.

3.4 结构可靠指标与分项系数之间的关系

现行的设计准则中并不采用单一的安全系数设计表达式，而是采用分项系数表达式。分项系数是利用分离函数与可靠指标联系起来，把安全系数加以分离，使其表达为分项系数的形式。这样做可以同现行的设计准则相配合，从而使基于可靠度的设计实用化。

因此在现行规范中，通常用可靠指标β计算现行规范设计式中的分项系数，以分项系数表达式作为实用计算式，以供设计使用。

2.1.4 桥梁的目标可靠度

对于抗力随时间变化的结构，其可靠指标是个随时间变化的量，可以表示为时间t 的函数()t β

，由此可以计算桥梁设计使用期N 年的目标可靠度()N β，从而根据保证可

靠指标不低于一定值来预测桥梁剩余寿命。有文献把0.850β作为结构可靠指标的临界值，认为当结构可靠指标()t β

<0.850β时，该结构已处于破损状态，不能满足安全性和使用

功能的要求，必须经过一定的处理之后才能继续使用。

其中0β为表2-2列出的统一标准规定的公路桥梁结构的目标可靠指标。不过对于一座具体的桥，还要根据其重要程度，经济状况和使用情况加以调整。

表2-2 公路桥梁结构的目标可靠指标

注：公路桥梁结构按其重要性和跨径大小及破坏后果的影响程度划分为三个安全级别。一级用于特大桥与重要大桥，二级用于大桥、中桥与重要的小桥，三级用于小桥与涵洞。

2.2 桥梁可靠度分析方法

要对既有桥梁的使用状况进行评估，需要对桥梁结构进行可靠性分析。桥梁结构大多数为钢筋混凝土桥梁和钢桥，目前对钢桥的可靠性分析比较成熟，而对钢筋混凝土桥梁的可靠性分析还需要做大量而艰巨的基础工作。

2.2.1 结构可靠度分析的实用计算方法简介

进行结构可靠度分析的实用计算方法主要有：

(1) 一次二阶矩法。该方法只需考虑随机变量的前一阶矩(均值) 和二阶矩(标准差) ，功能函数泰勒级数展开式的常数项和一次项；并以随机变量相对独立为前提，建立求解可靠度指标的公式。基于一次二阶矩的分析方法主要有一次二阶矩中心点法及由国际安全度联合委员会(JCSS) 推荐使用的“JC ”方法。

(2)响应面法。该方法是假设一个包括一些未知参量的极限状态变量与基本变量之间的解析表达式，然后用插值方法来确定表达式中的未知参量。

(3) 蒙特卡罗递进法。这是结构可靠度分析的基本方法之一，具有模拟的收敛速度与基本随机向量的维数无关，极限状态函数的复杂程度与模拟过程无关，无需将状态函数线形化和随机变量当量正态化，能直接解决问题和精度较容易确定的特点。

本文主要介绍在实际中经常运用的中心点法、JC 法和蒙特卡罗法。

2.2.2中心点法

中心点法是结构可靠度研究初期提出的一种方法，其基本思想是首先将非线性功能函数在随机变量的均值即中心点处作泰勒级数展开，且只展开到第一项，使之线性化。在结构的可靠度分析中，对功能函数Z 往往采用线性化后的表达式，而不直接用原来的表达式，原因是线性化后的Z 无论是求解均值还是求解方差都容易得多，可近似计算功能函数的均值和方差，进而可靠指标可直接用功能函数的均值和方差表示。

设1X ，2X …，n X 是结构中n 个独立的随机变量，其平均值为x i

μ（i=1，2…n ），

标准差为x i

σ（i=1，2…n ），由这些随机变量表示的功能函数为Z=g (1X ，2X …，n X )。

将功能函数Z 在随机变量的均值处展开到一次项可得：

Z=g (1X ，2X …，n X )

= g(1x μ，2x μ…，n x μ)+()

1|i i x i

n

i x i i x g X x μ

μ==⎛⎫

∂- ⎪

∂⎝⎭∑ Z 的均值为：

Z μ=E(Z)= g(1x μ，2x μ…，n x μ)

由于1X ，2X …，n X 相互独立，所以线性函数

Z= g(1x μ，2x μ…，n x μ)+()1|i

i x i

n

i x i i x g X x μ

μ==⎛⎫

∂- ⎪∂⎝⎭∑的方差为：

2Z σ= D(Z)= ()(

)

121|D ,...n

i

i x i

n

x x x i x i i x g g X x μ

μμμμ==⎛

⎫

⎛⎫

∂ ⎪+- ⎪∂ ⎪⎝⎭⎝

⎭

∑ =(

)

1|i

i x i n i x i i x g D X x μ

μ==⎛⎫⎛⎫∂ ⎪- ⎪

∂ ⎪⎝⎭⎝

⎭∑ = ()

1

|i

i x i n

i x i i x g D X x μμ==⎛⎫

⎛⎫∂ ⎪- ⎪

∂ ⎪⎝⎭⎝

⎭

∑ =()

2

1|i

i x i

n

i x i i x g D X x μμ==⎛⎫

∂- ⎪

∂⎝⎭

∑ = 2

21|i

i x i

n

x i i x g x μσ==⎛⎫

∂ ⎪

∂⎝⎭

∑

从而结构的可靠指标可表示为：

β=z

z μσ

,...x x x g μμμ

中心点法的优点：

1）中心点法最大的特点是计算简捷，不需要进行过多的数值计算。概念清楚，只是将功能函数Z 在中心点处一阶泰勒展开，使之线性化，并求得功能函数Z 的均值Z μ和方差

z σ，再利用当功能函数Z 近似服从正态分布时β=z

z

μσ得出可靠指标β的值。

2）当结构的可靠指标β较小，即失效概率f P 较大时，f P 值对功能函数的概率分布类型不敏感，即由各种合理分布算出的f P 值大都在同一数量级上，其精度在工程中可以满足。

中心点法的缺点：

1）不能考虑随机变量的分布概型，只是直接取用随机变量的前一阶矩和二阶矩。当基本变量不服从正态分布时，结构可靠度的计算结果与实际情况有较大出入。

2）功能函数Z 在中心点处一阶泰勒展开，其结果对非线性功能函数略去各次高阶项的误差将随着线性化点（均值点）到失效边界的距离的增加而增大。而中心点法中所选用的线性化点即均值点一般在可靠区而不在失效边界上，结果往往带来相当大的误差。

3）对有相同力学含义但数学表达式不同的极限方程，求得的结构可靠指标不同。如：

210s Z bh M σ=-=与()2260s Z M

bh σ=-=力学含义是等价的，但

可靠指标111

L L Z Z βμ=，可靠指标222L L Z Z βμσ=（其中1L Z μ，2L Z μ，1L Z σ，

2

L Z

σ是将两个极限方程一阶线性展开后所求得的均值和标准差），除s σ，M ，b ，h 均

服从对数正态分布的情况外，由两个极限方程所求得的可靠指标并不相等，即1

2ββ≠。

因此中心点法计算的结果比较粗糙，一般常用于结构可靠度要求不高的情况，对于

β=1~2的正常使用极限状态可靠度的分析较为适用。

2.2.3 JC 法

在一次二阶矩理论的发展中，德国的拉克维茨(R.Rackwitz)和菲斯勒(B.Fiessler)等人，对基本变量为非正态分布情况提出了一种等价正态变量求法。它的特点是能够考虑非正态的随机变量，在计算工作量增加不多的条件下，可对可靠指标β进行精度较高的近似计算，把线性化点选在结构最大可能失效概率对应的设计验算点上，求得满足极限状态方程的“验算点”设计值，便于根据规范给出的标准值计算分项系数，以利于设计人员采用惯用的多系数设计表达式。

一般情况下，极限状态方程由多个相互独立的随机变量1X ，2X …，n X 组成，即：

Z=g(1X ，2X …，n X ) =0

其中1X ，2X …，n X 并非都服从正态分布，而由于传统的结构可靠度分析都是在正态空间进行的，当随机变量不服从正态分布时，则需当量正态化，使之由正态分布近似代替，即将不服从正态分布的随机变量近似为正态分布。从而使结构可靠度分析在正态空间进行，可以利用一次二阶矩的方法进行计算。

JC 法的基本理论是首先将非正态分布的随机变量化为正态分布，即“当量正态化”。 “当量正态化”的原理为：把原来的非正态变量i X 按对应于f P 或1f P -有相同分位值（即此处的分布函数值相等）的条件，用当量正态变量'

X i 来代替，并要求当量正态变量的均值'x i

μ

与原来的非正态变量i X 的均值x i

μ相等。即'x i μ

=x i μ。

当量正态化的条件是：

在设计验算点*x i 处，当量正态变量'X i （其均值和方差分别为'

x i μ，

'x i σ）的分布函

数值()'

*

X F

x i

i

与原非正态变量（其均值和方差分别为x i

μ，x i

σ）的分布函数值()*

X F x i

i

相等。即：()'

*X F x i i

=()*

X F x i

i

在设计验算点*

x i

处，当量正态变量概率密度()'

*

X f x i i

与原非正态变量的概率密度值()*X f x i

i

相等。即()'

*X f x i

i

=()*

X f x i

i

。

'x i μ x i μ

图2-3 当量正态化条件示意图

由（1）可知：

()*X F x i i =()()

'*'*X F x =P X x i

i i i ≤''''x x x '''x x x

X x x i i

i

i i i i i i P μμμσσσΦ**⎛⎫⎛⎫

---=≤= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭

所以当量正态分布的均值'x i

μ

为：

'x i

μ=i X *-()1*X F x i

i Φ-⎡⎤⎣⎦'x i

σ

由（2）可知：

()*X x i i f =()*

X x i i f '='x 'x x i i

i μσΦ*'⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥

⎝

⎭⎣⎦

='x 'x 'x x i i i i μϕσσ*⎛⎫

- ⎪ ⎪⎝⎭

'

x i σ=()'x *X 'x

x x i i i i i f μϕσ*⎛⎫

-

⎪ ⎪⎝

⎭

=()()

()1**X X F x x i i i i f ϕΦ-⎡⎤⎣⎦

式中()X Φ

为标准正态分布，()1X Φ-为标准正态分布的反函数，()X Φ为标准

正态分布的概率密度函数。

将功能函数在验算点处一阶泰勒展开，得到的极限状态方程为：

Z=g(1

X *，2X *

，…，n X *

)+()1n

i

i i i

p g

X

X x *

*=∂-∂∑

=0

Z μ= g(1

X *，2X *

，…，n X *

)+(

)

1i

n

X i i i

p g

X x μ*

*=∂-∂∑

由于设计验算点就在失效边界上，即：

g(1X *，2X *，…，n X *) =0

所以Z μ=

()

1i

n

X i i i

p g X x μ

*

*=∂-∂∑

由于基本变量相互独立，所以得Z 的标准差为：

Z σ=1

2

2

1i n x i i p g x σ*=⎡⎤

⎛⎫∂⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝

⎭

⎣⎦

∑ 所以可得可靠指标β为：

β=z Z

μσ=(

)

112

2

1i

i n

X i

i i

p n x i i p g X x g x μσ*

**

==∂-∂⎡⎤

⎛⎫∂⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝

⎭

⎣⎦

∑∑

(

)

1i

n

X i i i

g X x μ*

*

=∂-∂∑

2

1i n

x i i p g x σ*=⎛⎫

∂ ⎪ ⎪∂=

∑

12

x x

p p σσ**

=

+

...n

x

p σ*

++

1

12

21

2

cos cos ...cos n

n

x x x x x x

n

p p p g

g

g

x x x θσθσθσ**

*

∂∂∂=+++∂∂∂

1

cos i

i

n

x

x i i p

g

x θσ*

=∂=∂∑

其中cos i

x θ为极限状态曲面在点P *

的法线对坐标向量的方向余弦。

cos i x θ

i

x

i

g x σ*

∂∂

可得：β=z

Z

μσ=

(

)

112

2

1i

i n

X i

i i

p n x i i p g X x g x μσ*

**

==∂-∂⎡⎤

⎛

⎫∂⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝

⎭

⎣⎦

∑∑=

(

)

11

cos i

i i

n

X i i i

p n

x x

i i p

g

X x g x μθσ*

*

*

==∂-∂∂∂∑∑

⇒β1cos i

i n

x x i i p g

x θσ*

=∂∂∑=(

)

1i

n

X i i i p g

X x μ*

*

=∂-∂∑

⇒βcos i

i x x i

p g

x θσ*

∂∂=

(

)

i

X i i

p g

X x μ*

*

∂-∂

⇒cos i i i i X x x X μβθσ*-=

⇒cos i i i i x x X X βθσμ*=+（i=1，2…n ）

由于上式中设计验算点的i X *（i=1，2…n ）值及β值都是待定的，先给i X *

及β赋以初值，然后利用迭代法直到|上次β值-本次β值|≤允许误差。

迭代求β的框图如图2-3所示：

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓否↓是

图2-3 迭代求解可靠指标的框图

2.2.4 蒙特卡罗法

由于某事件发生的概率可用大量试验中该事件发生的频率来估算，因此可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量随机抽样，然后将这些抽样值一组一组地代入功能函数中，确定结构失效与否，最后从中得到结构的失效概率。

蒙特卡罗法就是依据上述思路求解结构的失效概率的。

蒙特卡罗法又称随机抽样技巧法或统计试验法，在目前的结构可靠度计算中，它被认为是一种相对精确法。蒙特卡罗法是结构可靠度分析的基本方法之一，由于具有相对精确的特点，除用于复杂情况的可靠度分析外，也常用于各种可靠度近似方法分析精度的校核。

蒙特卡罗法求解结构失效概率的过程如下：

1）用随机抽样分别获得各变量的分位值12,,...,n x x x ； 2）计算功能函数()1

12,,...,n Z g x x x =的值；

3）设抽样次数为N ,功能函数0i Z <的次数为L ,则在大批抽样之后，结构失效概

率为：f

P L N ≈。

利用蒙特卡罗法计算结构失效概率时，需要掌握随机数的产生方法，且需要规定最低的取样数N 。取样数N 大小与计算成果精确度有关，设允许误差为ε，一般用95%的置信度以保证用蒙特卡罗法计算可靠指标是的误差ε为：

()()12

21f f P N P ε⎡⎤=-⋅⎣⎦

由上式可见，要达到一定精度取样数N 必须足够大。 为了简便起见，一般要求100f N P ≥

工程结构中的失效概率一般在0.1%以下，因此要求的计算次数需要达到10万次以上。这个要求使采用计算机分析时不是遇到困难就是花费过多的时间。由此可见，这样直接的蒙特卡罗法是很难应用于实际的工程结构中的，只有利用方差缩减技术，降低抽样模拟数目N ，才能使蒙特卡罗法在结构可靠度分析中得以应用。

2.3一次二阶矩与蒙特卡罗法的比较

一次二阶矩方法是目前常用的结构可靠度分析方法，尽管计算简便，但不能适用所有情况，需要根据不同问题的特点和要求作进一步的研究。相关的研究涉及到：

1）目前的结构可靠度分析仅限于结构随机变量不相关的情形，而实际工程中有些情况下的随机变量可能是相关的；

2）目前结构可靠指标的计算是针对线性极限状态方程或线性化极限状态方程而言的，只适用于结构极限状态方程非线性程度不高的情况；