(完整版)圆锥曲线经典中点弦问题
中点弦问题专题练习
一．选择题（共8小题）
1．已知椭圆，以及椭圆内一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（）
A．B．C．2D．﹣2
2．已知A（1，2）为椭圆内一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）
A．x+2y+4=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+y+4=0 D．2x+y﹣4=0
3．AB是椭圆（a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为
AB的中点，则K AB?K OM的值为（）
A．e﹣1 B．1﹣e C．e2﹣1 D．1﹣e2
4．椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（）
A．3x+2y﹣12=0 B．2x+3y﹣12=0 C．4x+9y﹣144=0 D．9x+4y﹣144=0
5．若椭圆的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（）
A．2B．﹣2 C．D．
6．已知椭圆的一条弦所在直线方程是x﹣y+3=0，弦的中点坐标是（﹣2，1），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．
7．直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（）
A．
（）B．
（﹣，）
C．
（，﹣）
D．
（﹣，）
8．以椭圆内一点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（）
A．4x﹣3y﹣3=0 B．x﹣4y+3=0 C．4x+y﹣5=0 D．x+4y﹣5=0
二．填空题（共9小题）
9．过椭圆内一点M（2，0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是_________．10．已知点（1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：_________．
11．椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为_________，直线方程为_________．
12．椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为_________．13．过椭圆=1内一定点（1，0）作弦，则弦中点的轨迹方程为_________．
14．设AB是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则k AB?k OM=_________．15．以椭圆内的点M（1，1）为中点的弦所在直线方程为_________．
16．在椭圆+=1内以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为_________．
17．直线y=x+2被椭圆x2+2y2=4截得的线段的中点坐标是_________．
三．解答题（共13小题）
18．求以坐标轴为对称轴，一焦点为且截直线y=3x﹣2所得弦的中点的横坐标为的椭圆方程．19．已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截的弦AB的中点，其直线l的方程．
20．已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的方程．
21．已知椭圆，求以点P（2，﹣1）为中点的弦AB所在的直线方程．
22．已知椭圆与双曲线2x2﹣2y2=1共焦点，且过（）
（1）求椭圆的标准方程．
（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．
23．直线l：x﹣2y﹣4=0与椭圆x2+my2=16相交于A、B两点，弦AB的中点为P（2，﹣1）．（1）求m的值；（2）设椭圆的中心为O，求△AOB的面积．
24．AB是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，O是椭圆的中心，求证：k AB?k OM为定值．
25．已知椭圆C：+=1和点P（1，2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程．
26．已知椭圆．
（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（2）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；
（3）过点P（）且被P点平分的弦所在的直线方程．
27．已知椭圆．
（1）求过点且被点P平分的弦所在直线的方程；
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过点A（2，1）引直线与椭圆交于B、C两点，求截得的弦BC中点的轨迹方程．
28．已知某椭圆的焦点是F1（﹣4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标．
29．（2010?永春县一模）过椭圆内一点M（1，1）的弦AB．
（1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；
（2）求过点M的弦的中点的轨迹方程．
30．已知椭圆C方程为，直线与椭圆C交于A、B两点，点，
（1）求弦AB中点M的轨迹方程；
（2）设直线PA、PB斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2为定值．
2014年1月panpan781104的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知椭圆，以及椭圆内一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（）A．B．C．2D．﹣2
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：利用中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”即可得出．
解答：解：设以点P为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k．则，，两式相减得，又x1+x2=8，y1+y2=4，，
代入得，解得k=．
故选A．
点评：熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”是解题的关键．
2．已知A（1，2）为椭圆内一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）
A．x+2y+4=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+y+4=0 D．2x+y﹣4=0
考点：直线的一般式方程．
专题：计算题．
分析：首先根据题意设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，然后结合题意与跟与系数的关系得到答案．解答：解：设直线的方程为y﹣2=k（x﹣1），
联立直线与椭圆的方程代入可得：（4+k2）x2+2k（2﹣k）x+k2﹣4k﹣12=0
因为A为椭圆的弦的中点，
所以，解得k=﹣2，
所以直线的方程为2x+y﹣4=0．
故选D．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线与椭圆的位置关系的判定，以及掌握弦中点与中点弦问题．
3．AB是椭圆（a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为
AB的中点，则K AB?K OM的值为（）
A．e﹣1 B．1﹣e C．e2﹣1 D．1﹣e2
考点：椭圆的简单性质．
专题：综合题．
分析：设出弦AB所在的直线方程，与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2，的表达式，根据直线方程求得y1+y2的表达式，进而根据点M为AB的中点，表示出M的横坐标和纵坐标，求得直线OM的斜率，进而代入k AB?k OM中求得结果．
解答：解：设直线为：y=kx+c
联立椭圆和直线消去y得
b2x2+a2（kx+c）2﹣a2b2=0，即（b2+k2a2）x2+2a2kcx+a2（c2﹣b2）=0
所以：x1+x2=﹣
所以，M点的横坐标为：M x=（x1+x2）=﹣
又：y1=kx1+c
y2=kx2+c
所以y1+y2=k（x1+x2）+2c=
所以，点M的纵坐标M y=（y1+y2）=
所以：Kom===﹣
所以：
k AB?k OM=k×（﹣）=﹣=e2﹣1
点评：本题主要考查了椭圆的应用．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便．
4．椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（）
A．3x+2y﹣12=0 B．2x+3y﹣12=0 C．4x+9y﹣144=0 D．9x+4y﹣144=0
考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：利用平方差法：设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，两式作差，利用中点坐标公式及
斜率公式可求得直线斜率，再用点斜式即可求得直线方程．
解答：解：设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=6，y1+y2=4，
把A、B坐标代入椭圆方程得，，，
两式相减得，4（﹣）+9（﹣y22）=0，即4（x1+x2）（x1﹣x2）+9（y1+y2）（y1﹣y2）=0，
所以=﹣=﹣=﹣，即k AB=﹣，
所以这弦所在直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣3），即2x+3y﹣12=0．
故选B．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程的求解，涉及弦中点问题常运用平方差法，应熟练掌握．5．若椭圆的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（）
A．2B．﹣2 C．D．
考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设此弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．利用中点坐标公式和“点差法”即可得出．
解答：解：设此弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．
则，，两式相减得=0．
∵，，．
代入上式可得，解得k AB=．
故选D．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式和“点差法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．6．已知椭圆的一条弦所在直线方程是x﹣y+3=0，弦的中点坐标是（﹣2，1），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题．
分析：设出以M为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与a，b 的关系式，从而求得椭圆的离心率．
解答：解：显然M（﹣2，1）在椭圆内，设直线与椭圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2），
则+=1，+=1，相减得：=0，
整理得：k=﹣=1，
又弦的中点坐标是（﹣2，1），
∴，
∴，
则椭圆的离心率是e===．
故选B．
点评：本题考查椭圆的标准方程和简单性质，中点公式及斜率公式的应用，以及直线方程，属于基础题．本题解题中直接利用点差法巧妙用上了中点坐标公式与弦的斜率，方法极为巧妙，此方法即为通常所说的点差法，研究弦中点问题时经常采用此方法
7．直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（）
A．
（）B．
（﹣，）
C．
（，﹣）
D．
（﹣，）
考点：直线与圆锥曲线的关系．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：将直线y=x+1代入椭圆x2+2y2=4中，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得结论．
解答：解：将直线y=x+1代入椭圆x2+2y2=4中，得x2+2（x+1）2=4
∴3x2+4x﹣2=0
∴弦的中点横坐标是x==﹣，
代入直线方程中，得y=
∴弦的中点是（﹣，）
故选B．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于基础题．
8．以椭圆内一点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（）
A．4x﹣3y﹣3=0 B．x﹣4y+3=0 C．4x+y﹣5=0 D．x+4y﹣5=0
考点：直线与圆锥曲线的关系．
专题：计算题．
分析：
设直线方程为y﹣1=k （x﹣1），代入椭圆化简，根据x1+x2==2，求出斜
率k的值，即得所求的直线方程．
解答：解：由题意可得直线的斜率存在，设直线方程为y﹣1=k （x﹣1），
代入椭圆化简可得，
（4k2+1）x2+8（k﹣k2）x+4k2﹣8k﹣12．
∴由题意可得x1+x2==2，∴k=﹣，
故直线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+4y﹣5=0，
故选D．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，中点公式的应用，求出直线的斜率，是解题的关键．
二．填空题（共9小题）
9．过椭圆内一点M（2，0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．
专题：综合题．
分析：设出N，A，B的坐标，将A，B的坐标代入椭圆方程，结合N为AB的中点，求出AB的斜率，再利用动弦AB过点M（2，0），弦AB的中点N，求出AB的斜率，从而可得方程，化简即可．
解答：解：设N（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），则
①，②
①﹣②，可得：
∴
∵动弦AB过点M（2，0），弦AB的中点N，
当M、N不重合时，有
∴
∴
∴，（m≠2）
当M、N重合时，即M是A、B中点，M（2，0）适合方程，
则N的轨迹方程为，
故答案为：
点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查点差法的运用，这是解决弦中点问题，常用的一种方法．
10．已知点（1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：x+2y﹣3=0．
考点：直线与圆锥曲线的关系．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设以A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），A（1，1）为EF中点，x1+x2=2，y1+y2=2，利用点差法能够求出以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程．
解答：解：设以A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），
∵A（1，1）为EF中点，
∴x1+x2=2，y1+y2=2，
把E（x1，y1），F（x2，y2）分别代入椭圆，
可得，
两式相减，可得（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，
∴2（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，
∴=﹣
∴以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），
整理，得x+2y﹣3=0．
故答案为：x+2y﹣3=0．
点评：本题考查以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程的求法，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
11．椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为，直线方程为2x+3y﹣12=0．
考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：平方差法：设弦端点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程后作差，利用斜率公式及中点坐标公式可得斜率；根据点斜式可得直线方程．
解答：解：设弦端点为A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=6，y1+y2=4，
①，=144②，
①﹣②得，+9=0，即4（x1+x2）（x1﹣x2）+9（y1+y2）（y1﹣y2）=0，
所以==，即，
所以弦所在直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣3），即2x+3y﹣12=0．
故答案为：﹣；2x+3y﹣12=0．
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系、直线方程的求解，弦中点问题常利用平方差法解决，应熟练掌握．12．椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为2x+3y﹣12=0．
考点：直线与圆锥曲线的关系．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设以P（3，2）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），P（3，2）为EF中点，x1+x2=6，y1+y2=4，利用点差法能够求出这弦所在直线的方程．
解答：解：设以P（3，2）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），
∵P（3，2）为EF中点，
∴x1+x2=6，y1+y2=4，
把E（x1，y1），F（x2，y2）分别代入椭圆4x2+9y2=144，
得，
∴4（x1+x2）（x1﹣x2）+9（y1+y2）（y1﹣y2）=0，
∴24（x1﹣x2）+36（y1﹣y2）=0，
∴k==﹣，
∴以P（3，2）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣3），
整理，得2x+3y﹣12=0．
故答案为：2x+3y﹣12=0．
点评：本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质、点差法、直线方程等知识点的合理运用．
13．过椭圆=1内一定点（1，0）作弦，则弦中点的轨迹方程为4x2+9y2﹣4x=0．
考点：椭圆的应用；轨迹方程．
专题：计算题．
分析：设弦两端点坐标为（x1，y1），（x2．y2），诸弦中点坐标为（x，y）．弦所在直线斜率为k，把两端点坐标代入椭圆方程相减，把斜率看的表达式代入后整理即可得到弦中点的轨迹方程．
解答：解：设弦两端点坐标为（x1，y1），（x2．y2），诸弦中点坐标为（x，y）．弦所在直线斜率为k
两式相减得；（x1+x2）（x1﹣x2）+（y1+y2）（y1﹣y2）=0
即
又∵k=，代入上式得
2x/9+2y^2/4（x﹣1）=0
整理得诸弦中点的轨迹方程：4x2+9y2﹣4x=0
故答案为4x2+9y2﹣4x=0
点评：本题主要考查了椭圆的应用及求轨迹方程的问题．考查了学生对圆锥曲线知识综合的把握．
14．设AB是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则k AB?k OM=．
考点：椭圆的应用．
专题：计算题．
分析：
设M（a，b），A（x1，y1），B（x2，y2），易知k OM=，再由点差法可知k AB=﹣，由此可求出k AB?k OM=﹣．
解答：解：设M（a，b），A（x1，y1），B（x2，y2），∵M为AB的中点，∴x1+x2=2a，y1+y2=2b，把A、B代入椭圆得，
①﹣②得（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，
∴2a（x1﹣x2）+4b（y1﹣y1）=0，∴．
∵，∴k AB?k OM=．
答案：﹣．
点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要注意点差法的合理运用．
15．以椭圆内的点M（1，1）为中点的弦所在直线方程为x+4y﹣5=0．
考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设点M（1，1）为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．利用“点差法”即可得出直线的斜率，再利用点斜式即可得出．
解答：解：设点M（1，1）为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．
则，，
相减得=0，
∵，，．．
∴，解得k AB=﹣．
故所求的直线方程为，化为x+4y﹣5=0．
故答案为x+4y﹣5=0．
点评：本题考查了直线与椭圆相交的中点弦问题和“点差法”等基础知识与基本方法，属于中档题．
16．在椭圆+=1内以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为x﹣2y+4=0．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：计算题．
分析：
设以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线与椭圆+=1交于A（x1，y1），B（x2，y2），由点P（﹣2，1）是线段AB的中点，知，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆x2+4y2=16，由点差法得到k==，由此能求出以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程．
解答：
解：设以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线与椭圆+=1交于A（x1，y1），B（x2，y2），
∵点P（﹣2，1）是线段AB的中点，
∴，
把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆x2+4y2=16，
得，
①﹣②得（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，
∴﹣4（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，
k==，
∴以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为，
整理，得x﹣2y+4=0．
故答案为：x﹣2y+4=0．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系．考查运算求解能力，推理论证能力．解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．
17．直线y=x+2被椭圆x2+2y2=4截得的线段的中点坐标是．
考点：直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系．
专题：计算题．
分析：直线方程与椭圆方程联立，可得交点横坐标，从而可得线段的中点坐标．
解答：解：将直线y=x+2代入椭圆x2+2y2=4，消元可得3x2+8x+4=0
∴x=﹣2或x=﹣
∴中点横坐标是=﹣，代入直线方程可得中点纵坐标为﹣+2=，
∴直线y=x+2被椭圆x2+2y2=4截得的线段的中点坐标是
故答案为：
点评：本题考查中点坐标的求解，解题的关键是直线与椭圆方程联立，求得交点横坐标．
三．解答题（共13小题）
18．求以坐标轴为对称轴，一焦点为且截直线y=3x﹣2所得弦的中点的横坐标为的椭圆方程．
考点：椭圆的标准方程．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：
由题意，设椭圆方程为，与直线y=3x﹣2消去y得关于x的一元二次方程．利用根与系数的关系结合中点坐标公式，得x1+x2==1，再由椭圆的c=，得a2﹣b2=50，两式联解得a2=75，b2=25，
从而得到所求椭圆的方程．
解答：解：∵椭圆一个焦点为，
∴椭圆是焦点在y轴的椭圆，设方程为（a＞b＞0）
将椭圆方程与直线y=3x﹣2消去y，得（a2+9b2）x2﹣12b2x+4b2﹣a2b2=0
设直线y=3x﹣2与椭圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2）
∴x1+x2==1…①
又∵a2﹣b2=（）2=50…②
∴①②联解，得a2=75，b2=25
因此，所求椭圆的方程为：
点评：本题给出焦点在y轴上的一个椭圆，在已知椭圆被直线截得弦的中点横坐标的情况下，求椭圆的方程，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和直线与椭圆位置关系等知识，属于中档题．
19．已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截的弦AB的中点，其直线l的方程．
考点：直线与圆相交的性质．
专题：计算题．
分析：
设直线l的方程为y﹣2=k（x﹣4），代入椭圆的方程化简，由x1+x2==8解得k值，即得直线l
的方程．
解答：解：由题意得，斜率存在，设为k，则直线l的方程为y﹣2=k（x﹣4），即kx﹣y+2﹣4k=0，代入椭圆的方程化简得：（1+4k2）x2+（16k﹣32k2）x+64k2﹣64k﹣20=0，
∴x1+x2==8，解得：k=﹣，
则直线l的方程为x+2y﹣8=0．
点评：本题考查了直线与圆相交的性质，一元二次方程根与系数的关系，线段的中点公式，得到（1+4k2）x2+（16k ﹣32k2）x+64k2﹣64k﹣20=0，是解题的关键．
20．已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的方程．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：综合题．
分析：设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦AB的中点坐标为M（1，1），求出斜率，即可求得直线AB的方程．
解答：解：设通过点M（1，1）的直线方程为y=k（x﹣1）+1，代入椭圆方程，
整理得（9k2+4）x2+18k（1﹣k）x+9（1﹣k）2﹣36=0
设A、B的横坐标分别为x1、x2，则
解之得
故AB方程为，
即所求的方程为4x+9y﹣13=0．
点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查弦中点问题，解题的关键是直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求解．21．已知椭圆，求以点P（2，﹣1）为中点的弦AB所在的直线方程．
考点：直线的一般式方程；中点坐标公式；直线与圆锥曲线的关系．
专题：计算题．
分析：先设出弦所在的直线方程，然后与椭圆方程联立；设两端点的坐标，根据韦达求出x1+x2，进而求得弦所在的直线的斜率，进而利用点斜式求得该直线的方程．
解答：解：设弦AB所在的直线方程为y﹣（﹣1）=k（x﹣2），即y=kx﹣2k﹣1．
，消去y得x2+4（kx﹣2k﹣1）2﹣16=0，
整理得（1+4k2）x2﹣8k（2k+1）x+4（2k+1）2﹣16=0（1）
．
因为P（2，﹣1）为弦AB中点，
．
代入方程（1），验证△＞0，合题意．
．
点评：本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系．在解决弦长的中点问题，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的．
22．已知椭圆与双曲线2x2﹣2y2=1共焦点，且过（）
（1）求椭圆的标准方程．
（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．
考点：椭圆的标准方程；轨迹方程．
专题：计算题．
分析：（1）求出双曲线的焦点，由此设出椭圆方程，把点（，0）代入椭圆方程，求出待定系数即得所求的椭圆方程．
（2）设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y），把y=2x+b 代入椭圆的方程，利用一元二次方程根与系数的关系，求出轨迹方程为y=﹣x，求出直线y=2x+b 和椭圆相切时的b值，即
得轨迹方程中自变量x
的范围．
解答：
解：（1）依题意得，将双曲线方程标准化为=1，则c=1．
∵椭圆与双曲线共焦点，∴设椭圆方程为=1，∵椭圆过（，0），
∴=2，∴椭圆方程为=1．
（2）依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y），则
y=2x+b 且=1得，9x2+8xb+2b2﹣2=0，∴x1+x2=﹣．
即x=﹣两式消掉b得y=﹣x．
令△=0，64b2﹣36（2b2﹣2）=0，即b=±3，所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y=2x±3
即当x=±时斜率为2的直线与椭圆相切．
所以平行弦得中点轨迹方程为：y=﹣x（﹣）．
点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，以及简单性质的应用；求点的轨迹方程的方法，求轨迹方程中自变量x的范围，是解题的易错点．
23．直线l：x﹣2y﹣4=0与椭圆x2+my2=16相交于A、B两点，弦AB的中点为P（2，﹣1）．（1）求m的值；（2）设椭圆的中心为O，求△AOB的面积．
考点：椭圆的应用；中点坐标公式；点到直线的距离公式．
专题：计算题；压轴题．
分析：（1）先把直线方程与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2的表达式，进而根据其中点的坐标求得m．
（2）把（1）中求得椭圆方程与直线方程联立消去y，进而根据韦达定理求得x1x2的值，进而求得出|AB|的距离和坐标原点到直线的距离，进而根据三角形面积公式求得答案．
解答：
解：（1）：消去y，整理得（+1）x2﹣2mx+4m﹣16=0
∴x1+x2==4，则m=4
（2）由（1）知，消去y，
∴x1x2=0
∴|AB|==2
坐标原点O到直线x﹣2y﹣4=0的距离为d==
∴三角形ABC的面积为×|AB|×d=4
点评：本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系，点到直线的距离公式等，考查了学生综合分析问题和推理的能力．
24．AB是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，O是椭圆的中心，求证：k AB?k OM为定值．
考点：椭圆的应用．
专题：证明题．
分析：设出直线方程，与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2，的表达式，根据直线方程求得y1+y2的表达式，进而根据点M为AB的中点，表示出M的横坐标和纵坐标，求得直线OM的斜率，进而代入k AB?k OM 中求得结果为定值，原式得证．
解答：证明：设直线为：y=kx+c
联立椭圆和直线消去y得
b2x2+a2（kx+c）2﹣a2b2=0，即（b2+k2a2）x2+2a2kcx+a2（c2﹣b2）=0
所以：x1+x2=﹣
所以，M点的横坐标为：M x=（x1+x2）=﹣
又：y1=kx1+c
y2=kx2+c
所以y1+y2=k（x1+x2）+2c=
所以，点M的纵坐标M y=（y1+y2）=
所以：Kom===﹣
所以：
k AB?k OM=k×=
点评：本题主要考查了椭圆的应用．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便．
25．已知椭圆C：+=1和点P（1，2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程．
考点：轨迹方程．
专题：综合题．
分析：设弦中点为M（x，y），交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线．故（y2﹣y1）（x﹣1）=（x2﹣x1）（y﹣2）．再由点差法知=﹣，由此可得：
9x2+16y2﹣9x﹣32y=0．
解答：解：设弦中点为M（x，y），交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线．
∴（y2﹣y1）（x﹣1）=（x2﹣x1）（y﹣2），①
由=1，+=1两式相减得
+=0．
又x1+x2=2x，y1+y2=2y，
∴=﹣，②
由①②可得：9x2+16y2﹣9x﹣32y=0，③
当点M与点P重合时，点M坐标为（1，2）适合方程③，
∴弦中点的轨迹方程为：9x2+16y2﹣9x﹣32y=0．
点评：本题考查轨迹方程的求法，解题时要注意点差法的合理运用．
26．已知椭圆．
（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（2）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；
（3）过点P（）且被P点平分的弦所在的直线方程．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．
专题：综合题．
分析：
（1）设弦的两端点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），中点为R（x，y），则，，两式相减得=﹣，由此能求出斜率为2的平行弦的中点轨迹方程．
（2）设直线方程为y﹣1=k（x﹣2），设两交点分别为（x3，y3），（x4，y4），则，，两式相减得
，故
+，令中点坐标为（x，y），则x+2y?=0，由此能求出l被截得的弦的中点轨迹方程．
（3）设过点P（）的直线与交于E（x5，y5），F（x6，y6），由P（）是EF的中点，知x5+x6=1，y5+y6=1，把E（x5，y5），F（x6，y6）代入与，得k==﹣，由此能求出过点P（）且被P点平分的弦所在的直线方程．
解答：解：（1）设弦的两端点分别为M（x1，y1），N（x2，y2）的中点为R（x，y），
则，，
两式相减并整理可得，①
将代入式①，得所求的轨迹方程为x+4y=0（椭圆内部分）．
（2）可设直线方程为y﹣1=k（x﹣2）（k≠0，否则与椭圆相切），
设两交点分别为（x3，y3），（x4，y4），
则，，两式相减得
，
显然x3≠x4（两点不重合），
故+，
令中点坐标为（x，y），
则x+2y?=0，
又（x，y）在直线上，所以，
显然，
故x+2y?k=x+2y=0，即所求轨迹方程为x2+2y2﹣2x﹣2y=0（夹在椭圆内的部分）．
（3）设过点P（）的直线与交于E（x5，y5），F（x6，y6），
∵P（）是EF的中点，
∴x5+x6=1，y5+y6=1，
把E（x5，y5），F（x6，y6）代入与，
得，
∴（x5+x6）（x5﹣x6）+2（y5+y6）（y5﹣y6）=0，
∴（x5﹣x6）+2（y5﹣y6）=0，
∴k==﹣，
∴过点P（）且被P点平分的弦所在的直线方程：，
即2x+4y﹣3=0．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题．解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．27．已知椭圆．
（1）求过点且被点P平分的弦所在直线的方程；
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过点A（2，1）引直线与椭圆交于B、C两点，求截得的弦BC中点的轨迹方程．
考点：圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：综合题．
分析：（1）设出两个交点坐标，利用两点在椭圆上，代入椭圆方程，利用点差法，求斜率，再代入直线的点斜式方程即可．
（2）同（1）类似，设出这一系列的弦与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，利用点差法，求斜率，再让斜率等于2，化简，即可得斜率为2的平行弦的中点轨迹方程．
（3）设出直线BC方程，用参数k表示，，再利用中点坐标公式，消去k，即可得弦BC中
点的轨迹方程．
解答：
解：（1）设过点且被点P平分的弦与椭圆交与A（x1，y1），B（x2，y2）点，
则=，=
∵A，B在椭圆上，∴①②
②﹣①得，
=﹣
即，弦AB的斜率为﹣
∴方程为y﹣=﹣（x﹣）
即
（2）设斜率为2的平行弦的中点坐标为（x，y），
则根据中点弦的斜率公式，有﹣=2
（3）当过点A（2，1）引的直线斜率存在时，设方程为y﹣1=k（x﹣2），
代入椭圆方程，消y，得（+k2）x2+2（1﹣2k）kx+4k2﹣4k=0
∴x1+x2=，y1+y2=，
设弦BC中点坐标为（x，y），则x==，y==，
∴=﹣2k
又∵k=，∴，整理得x2﹣2x+2y2﹣2y=0
当过点A（2，1）引的直线斜率不存在时，方程为x=2，与椭圆无交点
∴所求弦BC中点的轨迹方程为x2﹣2x+2y2﹣2y=0．
圆锥曲线经典中点弦问题
.. . … 中点弦问题专题练习 一．选择题（共8小题） 1．已知椭圆，以及椭圆一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（）A．B．C．2D．﹣2 2．已知A（1，2）为椭圆一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（） A．x+2y+4=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+y+4=0 D．2x+y﹣4=0 3．AB是椭圆（a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则K AB?K OM的值为（） A．e﹣1 B．1﹣e C． e2﹣1 D． 1﹣e2 4．椭圆4x2+9y2=144有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（） A．3x+2y﹣12=0 B．2x+3y﹣12=0 C．4x+9y﹣144=0 D．9x+4y﹣144=0 5．若椭圆的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（） A．2B．﹣2 C．D． 6．已知椭圆的一条弦所在直线方程是x﹣y+3=0，弦的中点坐标是（﹣2，1），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D． 7．直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（） A．（）B．（﹣，）C．（，﹣）D．（﹣，） 8．以椭圆一点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（） A．4x﹣3y﹣3=0 B．x﹣4y+3=0 C．4x+y﹣5=0 D．x+4y﹣5=0 二．填空题（共9小题） 9．过椭圆一点M（2，0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是_________ ．
10．已知点（1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：_________ ． 11．椭圆4x2+9y2=144有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为_________ ，直线方程为_________ ． 12．椭圆4x2+9y2=144有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为_________ ． 13．过椭圆=1一定点（1，0）作弦，则弦中点的轨迹方程为_________ ． 14．设AB是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则k AB?k OM= _________ ． 15．以椭圆的点M（1，1）为中点的弦所在直线方程为_________ ． 16．在椭圆+=1以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为_________ ． 17．直线y=x+2被椭圆x2+2y2=4截得的线段的中点坐标是_________ ． 三．解答题（共13小题） 18．求以坐标轴为对称轴，一焦点为且截直线y=3x﹣2所得弦的中点的横坐标为的椭圆方程．19．已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截的弦AB的中点，其直线l的方程． 20．已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的方程．21．已知椭圆，求以点P（2，﹣1）为中点的弦AB所在的直线方程． 22．已知椭圆与双曲线2x2﹣2y2=1共焦点，且过（） （1）求椭圆的标准方程． （2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程． 23．直线l：x﹣2y﹣4=0与椭圆x2+my2=16相交于A、B两点，弦AB的中点为P（2，﹣1）．（1）求m的值；（2）设椭圆的中心为O，求△AOB的面积．
1. 中点弦问题(点差法)
圆锥曲线常规题型方法归纳与总结 ①中点弦问题;②焦点三角形;③直线与圆锥位置关系问题;④圆锥曲线的相关最值（范围）问题;⑤求曲线的方程问题;⑥存在两点关于直线对称问题;⑦两线段垂直问题 圆锥曲线的中点弦问题------点差法 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 解题策略：具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。 如：（1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 02020=-k b y a x （3）y 2 =2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 一、求以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y 又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 一、 以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B Θ )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y Θ又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642 222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴ 2 1244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2 11--=-x y ，即042=-+y x 。 例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。 本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B 则221=+x x ，221=+y y 122121=-y x ，122 222=-y x 两式相减，得 0))((2 1))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121 =--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由?? ???=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=??--=? 这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。 评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。 二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2 1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
圆锥曲线中点弦问题
关于圆锥曲线的中点弦问题 直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型： （1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题； （3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。 一、求中点弦所在直线方程问题 例1 过椭圆14 162 2=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。 解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得： 016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k 又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是 1 4) 2(82 221+-=+k k k x x ， 又M 为AB 的中点，所以21 4) 2(422 221=+-=+k k k x x ， 解得2 1 -=k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。 解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），M （2，1）为AB 的中点， 所以421=+x x ，221=+y y ， 又A 、B 两点在椭圆上，则1642 12 1=+y x ，1642 22 2=+y x ， 两式相减得0)(4)(2 22 12 22 1=-+-y y x x ， 所以 21)(421212121-=++-=--y y x x x x y y ，即21 -=AB k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。 解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(y x ,)，由于中点为M （2，1）， 则另一个交点为B(4-y x -2,)， 因为A 、B 两点在椭圆上，所以有???=-+-=+16 )2(4)4(1642 222y x y x ， 两式相减得042=-+y x ， 由于过A 、B 的直线只有一条， 故所求直线方程为042=-+y x 。 二、求弦中点的轨迹方程问题 例2 过椭圆 136 642 2=+y x 上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。 解法一：设弦PQ 中点M （y x ,），弦端点P （11,y x ），Q （22,y x ），
中点弦问题(基础知识)
圆锥曲线的中点弦问题 一：圆锥曲线的中点弦问题： 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. ①在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率； ②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率； ③在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。 注意：因为Δ＞0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验Δ＞0！ 1、以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。 本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 2、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2 1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。 例4、已知椭圆125 752 2=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 3、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为 2 1，求椭圆的方程。 ∴所求椭圆的方程是125 752 2=+x y 4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题 例6、已知椭圆13 42 2=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。 五、注意的问题 （1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。 利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。
高考数学专题复习之圆锥曲线的中点弦问题
高考数学专题复习之圆锥曲线的中点弦问题 直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型： （1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题； （3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。 一、求中点弦所在直线方程问题 例1 过椭圆14 162 2=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。 解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得： 016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k 又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是 1 4)2(82221+-=+k k k x x ， 又M 为AB 的中点，所以21 4)2(422221=+-=+k k k x x ， 解得2 1-=k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。 解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），M （2，1）为AB 的中点， 所以421=+x x ，221=+y y ， 又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642 222=+y x ， 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ， 所以21)(421212121-=++-=--y y x x x x y y ，即2 1-=AB k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。 解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(y x ,)，由于中点为M （2，1）， 则另一个交点为B(4-y x -2,)， 因为A 、B 两点在椭圆上，所以有???=-+-=+16 )2(4)4(1642222y x y x ， 两式相减得042=-+y x ， 由于过A 、B 的直线只有一条， 故所求直线方程为042=-+y x 。 二、求弦中点的轨迹方程问题 例2 过椭圆136 642 2=+y x 上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。
秒杀题型09 圆锥曲线中的中点弦(解析版)
秒杀题型：玩转压轴题之中点弦问题： 秒杀题型一：圆、椭圆、双曲线的中点弦问题： 注：方程：2 2 1mx ny +=，①当0,>n m 且n m ≠时，表示椭圆； ②当0,>n m 且n m =时，表示圆； ③当n m ,异号时，表示双曲线。 秒杀策略：点差法：简答题模板：step1：设直线与曲线 ：设直线:l y kx t =+与曲线：2 2 1mx ny +=交于 两点A 、B ，AB 中点为),(中中y x P ，则有,A B 既在直线上又在曲线上，设),(11y x A ,),(22y x B ， Step2：代入点坐标：即1122y kx t y kx t =+??=+?;22 1122 22 1 (1) 1 (2) mx ny mx ny ?+=??+=??, Step3：作差得出结论：（1）-（2）得：..AB AB OP y m k k k x n =-=中中。(作为公式记住，在小题中直接用。) 题型一：求值 ： 〖母题1〗已知椭圆 22 1164 x y +=,求以点P(2,－1)为中点的弦所在的直线方程. 【解析】:由结论可得： 16421-=?-k ，得2 1 -=k ，直线方程为：240x y --=。 1.(2013年新课标全国卷I10)已知椭圆22 22:1(0)x y G a b a b +=>>的右焦点为()0,3F ,过点F 的直线交椭圆 于B A ,两点.若AB 的中点坐标为()11-， ,则E 的方程为 ( ) A. 1364522=+y x B.1273622=+y x C.1182722=+y x D.19182 2=+y x 【解析】:由结论可得： 22 2111a b -=?-，得222b a =，3= c ，选D 。 2.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线E 的中心为原点,()3,0F 是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于 ,A B 两点,且AB 的中点为()12,15N --,则E 的方程为 ( )
圆锥曲线经典中点弦问题
中点弦问题专题练习 一．选择题（共8小题） ．已知椭圆，以及椭圆内一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（1） 2 C．D．B．A．﹣2 2．已知A（1，2）为椭圆内一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（） 2x+y+4=0 x+2y+4=0 C．D．2x+y﹣4=0 B．x+2yA．﹣4=0 （a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O3．AB是椭圆是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则K?K的值为（）OMAB22D．﹣1e C．A．e﹣1 B．﹣ee﹣1 122）P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（+9y=144内有一点P（3，2）过点4．椭圆4x 144=0 ﹣．9x+4yD12=0 C．4x+9y﹣144=0 12=0 A．3x+2y ﹣B．2x+3y﹣）），则此弦所在直线的斜率是（5．若椭圆的弦中点（4，2 2．．A．D．B ﹣2 C 6．已知椭圆的一条弦所在直线方程是x﹣y+3=0，弦的中点坐标是（﹣2，1），则椭圆的离心率 是（） B．CA．．D．
227．直线y=x+1被椭圆x+2y=4所截得的弦的中点坐标是（） A．B．C．D．（﹣，））（）（﹣，）（，﹣8．以椭圆内一点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（） A．4x﹣3y﹣3=0 x C．4x+y﹣5=0 D．+4y﹣5=0 4y+3=0 B．x﹣ 二．填空题（共9小题） 9．过椭圆内一点M（2，0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是 _________． 10．已知点（1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为： _________． 22，_________那么这弦所在直线的斜率为PP），（内有一点+9y椭圆11．4x=144P32过点的弦恰好以为中点，．_________直线方程为 22 _________．的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（4x+9y=144内有一点P3，2）过点P12．椭圆________．1，0）作弦，则弦中点的轨迹方程为 1．过椭圆=1内一定点（是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则ABk?k=_________．14．设OMAB ．以椭圆内的点M（1，1）为中点的弦所在直线方程为 15_________． +=1内以点P（﹣2，161．在椭圆）为中点的弦所在的直线方程为_________． 2217．直线y=x+2被椭圆x+2y=4截得的线段的中点坐标是_________． 三．解答题（共13小题） 所得弦的中点的横坐标为的椭圆方程．2 且截直线y=3x18﹣．求以坐标轴为对称轴，一焦点为22的方程．的中点，其直线ll19．已知M（4，2）是直线被椭圆x+4y=36所截的弦AB
圆锥曲线中点弦公式
圆锥曲线中点弦公式 中点弦抛物线中点弦公式 抛物线C：x^2（这里x^2表示x的平方，下同）=2py上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：py-αx=pβ-α^2。 中点弦存在的条件：2pβ>α^2（点P在抛物线开口内）。 中点弦椭圆中点弦公式 椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为： αx/a^2+βy/b^2=α^2/a^2+β^2/b^2。 中点弦存在的条件：α^2/a^2+β^2/b^2<1（点P在椭圆内）。 中点弦双曲线中点弦公式 双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为： αx/a^2-βy/b^2=α^2/a^2-β^2/b^2。 中点弦存在的条件：(α^2/a^2-β^2/b^2)(α^2/a^2-β^2/b^2-1)>0（点P不在双曲线、渐近线上以及它们所围成的区域内）。 中点弦二次曲线中点弦性质与蝴蝶定理 蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理，它充分体现了蝴蝶生态美与“数学美”的一致性．不少中数专著或杂志至今还频繁讨论．本文揭示了它与中点弦性质的紧密联系，并给出统一而简明的证明，指出了一种有用的特殊情形和一种推广形式． 引理：设两条不同的二次曲线 S：F(x，y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线，则过A、B、C、D四点的任意一条二次曲线S2必可唯一地表示成： (证明略)
定理1 设三条不同的二次曲线(S、S1、S2)有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线；又直线L0被S、S1、S2各截得一弦．若其中两弦中点重合，则第三弦中点亦重合．证设S、S1的方程为(1)、(2)，则S2方程可表为(3)．因直线L0(设斜率为k)关于二次曲线S、S1、S2的共轭直径分别为： L：(a11x+a12y+a13)+k(a12x+a22y+a23)=f(x，y)=0 因L、L1都通过L0被S与S1所截得的弦PQ与EF的共同中点O，显然L2也必通过点O，故O也是L0被S2所截得的弦GH的中点． 注两直线AB和CD或AD和CB或AC和BD都可看做二次曲线S1的特殊情形，甚至E和F重合于O．故本定理包括了蝴蝶定理众多情形． 定理2 设AB∥CD，S和S1是过A、B、C、D四点的任意两条二次曲线．若平行于AB的任意直线与S、S1各有两个交点，则夹在两曲线之间的两线段相等．证设AB、CD的中点分别为M、N，又AB∥CD，故直线MN就是AB关于S和S1的共轭直径，故若平行于AB的任意直线被S、S1所截的弦PQ、EF有共同中点O，故有PE=QF，命题得证． 注由于PQ可为AB与CD之间任意平行弦，皆有PE=QF，故夹在S和S1之间的两曲边区域△1和△2面积相等．[1]它酷似蝴蝶两翼，不过并非轴对称，而是沿AB方向共轭．如果世上真有这样的蝴蝶，飞行亦能平衡自如． 定理1还可推广得到更一般的结论． 定理3 若三条不同的二次曲线S、S1、S2有无三点共线的四个公共点，沿某一确定方向的任意直线L0被S、S1、S2各截得一弦PQ、EF、GH，则三弦中点O、O1、O2之间有向线段之比为常数． 证不妨取坐标系使确定方向为x轴．于是该方向(k=0)关于S、S1、S2的共轭直径分别为(参见定理1)： L：a11x+a12y+a13=0 L1：b11x+b12y+b13=0 L2：(a11x+a12y+a13)+λ(b11x+b12y+b13)=0 设直线L0方程为y=y0，PQ、EF、GH的中点为O(x0，y0)，O1(x1，y0)，O2(x2，y0)，于是由直径方程知： a11x0+a12y0+a13=0，b11x1+b12y0+b13=0 (a11x2+a12y0+a13)+λ(b11x2+b12y0+b13)=0 故a11(x2－x0)=λb11(x2－x1) (4) 即OO2/O2O1=α (a11≠0时) (5) 其中α=－λb11/a11是与y0无关的常数(由S、S1、S2三曲线确定．当a11=0时，L ∥L0可知L0与S无两个交点，故不在本命题讨论之列)． (5)式意即：在指定顺序O、O2、O1之下，两有向线段之比不因L0平行移动而变化． 推论在定理3条件下，对任意直线L0所截的三弦中点中，任意两点总在第三点同侧或异侧．当O、O1、O2中有两点重合时，第三点也重合．“蝴蝶定理”虽然如自然界的蝴蝶种类一样千变万化，然而万变不离其宗，核心在于中点弦性质。
高中数学中点弦问题的解题方法
高中数学中点弦问题的解题方法 会泽县茚旺高级中学 顺武 解析几何中与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。“中点弦”问题是一类很典型、很重要的问题. 一、方法介绍（解圆锥曲线的中点弦问题的方法有）： 第一种方法：联立消元法即联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 第二种方法:点差法即设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子， 可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方 法为“点差法”。 第三种方法：导数法即如果以圆、椭圆等图形的中心为中心，按比例缩小图形，则一定存在同类的圆、椭圆等与弦AB 中点M 相切（如下图）。此时缩小的曲线方程如()()()2 2 2 tR b x a x =-+-， () () 12 2 2 2 =± tb y ta x ， 两边对x 求导，可发现并不改变原方程求导的结果。因此，利用导数法求中点弦的斜率，就是x y '在中点处的值。 二、题型示例 题型一 以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆 14 162 2=+y x 一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
解法一：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B Θ )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y Θ又A 、B 两点在椭圆上，则1642 12 1=+y x ，1642 22 2=+y x 两式相减得0)(4)(222 12 22 1=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴ 2 1 244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21- =AB k ，故所求直线的方程为)2(2 1 1--=-x y ，即042=-+y x 。 法二：由题意知所求中点弦斜率一定存在，设为k ，则该弦方程为()21-=-x k y ()?????=+ -=-14 16212 2 y x x k y 消去y 得 例2.已知双曲线方程，求以A （2，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程； （2）过点B （1，1），能否作直线，使与所给双曲线交于P 、Q 两点，且点B 是弦PQ 的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。 解：对两边求导，得 （1）以A （2，1）为中点的弦的斜率，所以所求中点弦所在直线方程为 （2）以B （1，1）为中点的弦的斜率，所以所求中点弦所在直线方程为 即。 但与双曲线方程联立消去y 得，无实根。因此直线与双曲线无交点，所以满足条件的直线不存在。 注意：（1）求出的方程只是满足了必要性，还必须验证其充分性，即所求直线与双曲线确实有两个交点。
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线中与中点有关问题的一般解法
圆锥曲线中与中点有关问题的一般解法 湖南省冷水江市第六中学 章勇 圆锥曲线中与中点有关的问题一般可用“点差法”来解决，它可减少计算，达到简化运算的目的。本文旨在“点差法”的基础上，推导出此类问题更一般的结论和方法。 由“点差法”我们可得如下结论： 1．椭圆22 221x y a b +=内一点00(,)P x y ，则以00(,)P x y 为中点的弦所在的直线方程为： 22 00002222x x y y x y a b a b +=+； 2．双曲线22 221x y a b -=内一点00(,)P x y ，则以00(,)P x y 为中点的弦所在的直线方程为： 22 00002222x x y y x y a b a b -=-； 3．抛物线2 2y px =内一点00(,)P x y ，则以00(,)P x y 为中点的弦所在的直线方程为： 200002=22 x x y y p y px +-? -. 下面以椭圆为例进行证明, 其它两个结论请自行证明. 证明: 设过点00(,)P x y (00y ≠)且被P 平分的弦两端点为 100200(,),(,)P x x y y P x x y y +?+?-?-? 12PP 在椭圆上, 从而有 220022()()1x x y y a b +?+?+=，22 0022 ()()1x x y y a b -?-?+= 两式相减得2222 00002222 ()()()()[][]0x x x x y y y y a a b b +?-?+?-?-+-= 整理得202 0x y b x a y ?=-? 即1220 20 P P x b k a y =- 所以, 以P 为中点的弦的直线方程为: 20 0020 ()x b y y x x a y -=-- 整理即得22 00002222x x y y x y a b a b +=+(00y ≠)
圆锥曲线的中点弦公式
抛物线中点弦公式 抛物线C：x^2=2py上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：py-αx=pβ-α^2。 中点弦存在的条件：2pβ＞α^2（点P在抛物线开口内）。 椭圆中点弦公式 椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为： αx/a^2+βy/b^2=α^2/a^2+β^2/b^2。 中点弦存在的条件：α^2/a^2+β^2/b^2<1（点P在椭圆内）。 双曲线中点弦公式 双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为： αx/a^2-βy/b^2=α^2/a^2-β^2/b^2。 中点弦存在的条件：(α^2/a^2-β^2/b^2)(α^2/a^2-β^2/b^2-1)>0（点P不在双曲线、渐近线上以及它们所围成的区域内）。 二次曲线中点弦性质与蝴蝶定理 蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理，它充分体现了蝴蝶生态美与“数学美”的一致性．不少中数专著或杂志至今还频繁讨论．本文揭示了它与中点弦性质的紧密联系，并给出统一而简明的证明，指出了一种有用的特殊情形和一种推广形式． 引理：设两条不同的二次曲线 S：F(x，y)=a11x2＋2a12xy＋a22y2＋2a13x＋2a23y＋a33=0 有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线，则过A、B、C、D四点的任意一条二次曲线S2必可唯一地表示成： (证明略) 定理1 设三条不同的二次曲线(S、S1、S2)有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线；又直线L0被S、S1、S2各截得一弦．若其中两弦中点重合，则第三弦中点亦重合． 证设S、S1的方程为(1)、(2)，则S2方程可表为(3)．因直线L0(设斜率为k)关于二次曲线S、S1、S2的共轭直径分别为： L：(a11x＋a12y＋a13)＋k(a12x＋a22y＋a23)=f(x，y)=0 因L、L1都通过L0被S与S1所截得的弦PQ与EF的共同中点O，显然L2也必通过点O，故O也是L0被S2所截得的弦GH的中点．
(完整版)圆锥曲线经典中点弦问题.docx
中点弦问题专题练习 一．选择题（共 8 小题） 1．已知椭圆 ，以及椭圆内一点 P （ 4，2），则以 P 为中点的弦所在直线的斜率为（ ） A ． B ． C ． 2 D ．﹣ 2 2．已知 A （ 1， 2）为椭圆 内一点，则以 A 为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（ ） A ．x+2y+4=0 B ． x+2y ﹣ 4=0 C ． 2x+y+4=0 D ．2x+y ﹣4=0 3． AB 是椭圆 （ a ＞ b ＞ 0）的任意一条与 x 轴不垂直的弦， O 是椭圆的中心， e 为椭圆的离心率， M 为 AB 的中点，则 K AB ?K OM 的值为（ ） C ． e 2﹣1 D ．1﹣ e 2 A ．e ﹣ 1 B ． 1﹣ e 4．椭圆 4x 2+9y 2 =144 内有一点 P （ 3， 2）过点 P 的弦恰好以 P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ） A ．3x+2y ﹣ 12=0 B ． 2x+3y ﹣ 12=0 C ． 4x+9y ﹣ 144=0 D ．9x+4y ﹣144=0 5．若椭圆 的弦中点（ 4， 2），则此弦所在直线的斜率是（ ） A ．2 B ．﹣ 2 C ． D ． 6．已知椭圆 的一条弦所在直线方程是 x ﹣y+3=0 ，弦的中点坐标是（﹣ 2，1），则椭圆的离心率是（ ） A ． B ． C ． D ． 7．直线 y=x+1 被椭圆 x 2+2y 2 =4 所截得的弦的中点坐标是（ ） A ．（ ） B ． （﹣ ， ） C ． （ ，﹣ ） D ． （﹣ ， ） 8．以椭圆 内一点 M （ 1， 1）为中点的弦所在的直线方程为（ ） A ．4x ﹣ 3y ﹣ 3=0 B ． x ﹣ 4y+3=0 C ． 4x+y ﹣ 5=0 D ．x+4y ﹣5=0 二．填空题（共 9 小题） 9．过椭圆 内一点 M （ 2， 0）引椭圆的动弦 AB ，则弦 AB 的中点 N 的轨迹方程是 _________ ． 10．已知点（ 1， 1）是椭圆 某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为： _________ ． 11．椭圆 4x 2+9y 2=144 内有一点 直线方程为 _________ ． P （3，2）过点 P 的弦恰好以 P 为中点， 那么这弦所在直线的斜率为 _________ ，
圆锥曲线中的中点弦
秒杀题型：玩转压轴题之中点弦问题 秒杀题型一：圆、椭圆、双曲线的中点弦问题： 注：方程：2 2 1mx ny +=，①当0,>n m 且n m ≠时，表示椭圆； ②当0,>n m 且n m =时，表示圆；③当n m ,异号时，表示双曲线。 秒杀策略：点差法：简答题模板：step1：设直线与曲线：设直线:l y kx t =+与曲线：2 2 1mx ny +=交于 两点A 、B ，AB 中点为),(中中y x P ，则有,A B 既在直线上又在曲线上，设),(11y x A ,),(22y x B ， Step2：代入点坐标：即1122y kx t y kx t =+??=+?;22 1122 22 1 (1) 1 (2) mx ny mx ny ?+=??+=??, Step3：作差得出结论：（1）-（2）得：..AB AB OP y m k k k x n =- =中中 。(作为公式记住，在小题中直接用。)题型一：求值： 〖母题1〗已知椭圆22 1164 x y +=,求以点P(2,－1)为中点的弦所在的直线方程. 1.(2013年新课标全国卷I10)已知椭圆22 22:1(0)x y G a b a b +=>>的右焦点为()0,3F ,过点F 的直线交椭圆 于B A ,两点.若AB 的中点坐标为()11-，,则E 的方程为 ( ) A. 136452 2=+y x B. 127362 2=+y x C. 118272 2=+y x D. 19 182 2=+y x 2.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线E 的中心为原点,()3,0F 是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于 ,A B 两点,且AB 的中点为()12,15N --,则E 的方程为() A.22136 x y -= B.22145 x y -= C.22163 x y -= D.22 154 x y -=3.(高考题)已知倾斜角为?45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ,B 在第一象限,23||=AB .