圆锥曲线中的中点弦
秒杀题型：玩转压轴题之中点弦问题
秒杀题型一：圆、椭圆、双曲线的中点弦问题：
注：方程：2
2
1mx ny +=，①当0,>n m 且n m ≠时，表示椭圆；
②当0,>n m 且n m =时，表示圆；③当n m ,异号时，表示双曲线。
秒杀策略：点差法：简答题模板：step1：设直线与曲线：设直线:l y kx t =+与曲线：2
2
1mx ny +=交于
两点A 、B ，AB 中点为),(中中y x P ，则有,A B 既在直线上又在曲线上，设),(11y x A ,),(22y x B ，
Step2：代入点坐标：即1122y kx t y kx t =+??=+?;22
1122
22 1 (1)
1 (2)
mx ny mx ny ?+=??+=??,
Step3：作差得出结论：（1）-（2）得：..AB AB OP y m
k k k x n
=-
=中中
。(作为公式记住，在小题中直接用。)题型一：求值：
〖母题1〗已知椭圆22
1164
x y +=,求以点P(2,－1)为中点的弦所在的直线方程.
1.(2013年新课标全国卷I10)已知椭圆22
22:1(0)x y G a b a b
+=>>的右焦点为()0,3F ,过点F 的直线交椭圆
于B A ,两点.若AB 的中点坐标为()11-，,则E 的方程为
(
)
A.
136452
2=+y x B.
127362
2=+y x C.
118272
2=+y x D.
19
182
2=+y x 2.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线E 的中心为原点,()3,0F 是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于
,A B 两点,且AB 的中点为()12,15N --,则E 的方程为()
A.22136
x y -= B.22145
x y -= C.22163
x y -= D.22
154
x y -=3.(高考题)已知倾斜角为?45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ,B 在第一象限,23||=AB .
（1）求点B 的坐标;
（2）若直线l 与双曲线1:222
=-y a
x C )0(>a 相交于E 、F 两点,且线段EF 的中点坐标为)1,4(,求a 的值.
4.(2015年新课标全国卷II20)已知椭圆)0(9:2
22>=+m m y x C ,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点B A ,,线段AB 的中点为M .
（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点??
?
??m m ,3,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否平行四边行？若能,求此时l 的斜率,若不能,说明理由.
5.(高考题)已知椭圆C 的焦点分别为1(F -和2F ,长轴长为6,设直线2y x =+交椭圆C 于
,A B 两点,求线段AB 的中点坐标.
6.(高考题)设椭圆C :()22
2210x y a b a b
+=>>过点()0,4,离心率为35．
（1）求C 的方程；（2）求过点()3,0且斜率为
4
5
的直线被C 所截线段的中点坐标.7.(2013年全国高考试题新课标卷II)平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M:22
221x y a b
+=(0>>b a )右焦点的直
线03=-+y x 交M 于A,B 两点,且P 为AB 的中点,OP 的斜率为12
.（1）求M 的方程；
（2）C,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB,求四边形ACBD 面积的最大值。
题型二：求当AB k 为定值时，平行弦中点轨迹：
1.(高考题)（1）求右焦点坐标是)0,2(,且经过点)2,2(--的椭圆的标准方程;
（2）已知椭圆C 的方程是122
22=+b
y a x )0(>>b a .设斜率为k 的直线l ,交椭圆C 于A B 、两点,AB 的中点
为M .证明:当直线l 平行移动时,动点M 在一条过原点的定直线上；
（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出下面给定椭圆的中心,简要写出作图步骤,并在图中标
出椭圆的中心.
题型三：求当直线l 恒过一定点(),e f 时，得定点弦中点轨迹：利用AB y f k x e
-=
-中中消去AB k 。
1.(高考题)设椭圆方程为:14
2
2
=+y x ,过点()0,1M 的直线l 交椭圆于点,A B ,O 是坐标原点,点P 满足
)(21OB OA OP +=
,点N 的坐标为2
1
,21(,当l 绕点M 旋转时.求:（1）动点P 的轨迹方程;
（2）求PN 的最值.
秒杀题型二：抛物线的中点弦问题：
秒杀策略：抛物线：ⅰ.2
2.y px y k p =?=中;
点差法：简答题模板：step1：设直线与曲线：设直线:l y kx t =+与曲线：px y 22
=交于两点A 、B ，AB
中点为),(中中y x P ，则有,A B 既在直线上又在曲线上，设),(11y x A ,),(22y x B ，
Step2：代入点坐标：即1122y kx t y kx t =+??=+?；????????=???=)
2(2)
1(222
212
1px y px y
Step3：作差得出结论：（1）-（2）得：2
2.y px y k p =?=中。(作为公式记住，在小题中直接用。)同理可推出以下三个重要结论：ⅱ.2
2.y px y k p =-?=-中；ⅲ.22.x py x p k =?=中；ⅳ.k p x py x ?-=?-=中22.方法二步骤规范模板：①设直线AB 的方程；
②直线与曲线联立，整理成关于x (或y )的一元二次方程；③写出根与系数的关系；④利用2
,22
1
21y y y x x x +=+=
中中，把根与系数的关系代入。题型：求值：
〖母题2〗若直线l 过抛物线2
4y x =的焦点,与抛物线交于A,B 两点,且线段AB 中点的横坐标为2,求线段AB 的长.
1.(2009年新课标全国卷13)已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点为F ()0,1,直线l 与抛物线C 相交于
B A ,两点.若AB 的中点为(2,2),则直线l 的方程为__________.
2.(高考题)已知抛物线2
2(0)y px p =>,过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()
A.1
x = B.1
x =- C.2
x = D.2
x =-3.(高考题)已知F 是抛物线x y C 4:2
=的焦点,,A B 是C 上的两个点,线段AB 的中点为(22)M ，,则ABF ?的面积等于
．
4.(高考题)设F 为抛物线C :x y 42
=的焦点,过点()0,1-P 的直线l 交抛物线C 于B
A ,两点,点Q 为线段A
B 的中点,若2=FQ ,则直线l 的斜率等于
．
5.(高考题)
（1（2）求线段BC 中点M 的坐标;（3）求BC 所在直线的方程.
圆锥曲线中的四种经典模型
圆锥曲线中的定点定值问题的四种经典模型 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 模型一：“手电筒”模型 例题、已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222 (34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++， 整理得：2 2 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2 :()7 l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直 线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)((2 222022220b a b a y b a b a x +-+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”） ◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。（参考优酷视频资料尼尔森数学第一季第13节） 此模型解题步骤： Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。 ◆迁移训练 练习1：过抛物线M:px y 22 =上一点P （1,2）作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点，求证：直线AB 过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线） 练习2：过抛物线M:x y 42=的顶点任意作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求证：直线AB 过定点。（经典例题，多种解法）
圆锥曲线经典中点弦问题
.. . … 中点弦问题专题练习 一．选择题（共8小题） 1．已知椭圆，以及椭圆一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（）A．B．C．2D．﹣2 2．已知A（1，2）为椭圆一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（） A．x+2y+4=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+y+4=0 D．2x+y﹣4=0 3．AB是椭圆（a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则K AB?K OM的值为（） A．e﹣1 B．1﹣e C． e2﹣1 D． 1﹣e2 4．椭圆4x2+9y2=144有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（） A．3x+2y﹣12=0 B．2x+3y﹣12=0 C．4x+9y﹣144=0 D．9x+4y﹣144=0 5．若椭圆的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（） A．2B．﹣2 C．D． 6．已知椭圆的一条弦所在直线方程是x﹣y+3=0，弦的中点坐标是（﹣2，1），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D． 7．直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（） A．（）B．（﹣，）C．（，﹣）D．（﹣，） 8．以椭圆一点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（） A．4x﹣3y﹣3=0 B．x﹣4y+3=0 C．4x+y﹣5=0 D．x+4y﹣5=0 二．填空题（共9小题） 9．过椭圆一点M（2，0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是_________ ．
10．已知点（1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：_________ ． 11．椭圆4x2+9y2=144有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为_________ ，直线方程为_________ ． 12．椭圆4x2+9y2=144有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为_________ ． 13．过椭圆=1一定点（1，0）作弦，则弦中点的轨迹方程为_________ ． 14．设AB是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则k AB?k OM= _________ ． 15．以椭圆的点M（1，1）为中点的弦所在直线方程为_________ ． 16．在椭圆+=1以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为_________ ． 17．直线y=x+2被椭圆x2+2y2=4截得的线段的中点坐标是_________ ． 三．解答题（共13小题） 18．求以坐标轴为对称轴，一焦点为且截直线y=3x﹣2所得弦的中点的横坐标为的椭圆方程．19．已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截的弦AB的中点，其直线l的方程． 20．已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的方程．21．已知椭圆，求以点P（2，﹣1）为中点的弦AB所在的直线方程． 22．已知椭圆与双曲线2x2﹣2y2=1共焦点，且过（） （1）求椭圆的标准方程． （2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程． 23．直线l：x﹣2y﹣4=0与椭圆x2+my2=16相交于A、B两点，弦AB的中点为P（2，﹣1）．（1）求m的值；（2）设椭圆的中心为O，求△AOB的面积．
1. 中点弦问题(点差法)
圆锥曲线常规题型方法归纳与总结 ①中点弦问题;②焦点三角形;③直线与圆锥位置关系问题;④圆锥曲线的相关最值（范围）问题;⑤求曲线的方程问题;⑥存在两点关于直线对称问题;⑦两线段垂直问题 圆锥曲线的中点弦问题------点差法 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 解题策略：具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。 如：（1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 02020=-k b y a x （3）y 2 =2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 一、求以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y 又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x
圆锥曲线弦长公式
圆锥曲线弦长公式 关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。. 椭圆的焦点弦长若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A、B两点，求弦长。解：连结，设，由椭圆定义得，由余弦定理得 ，整理可得，同理可求得，则弦长 同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距） 结论：椭圆过焦点弦长公式： 二
. 双曲线的焦点弦长 设双曲线，其中两焦点坐标为 ，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|。 。 解：（1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点A、B在同一交点上，连，设，由双曲线定义可得，由余弦定理可得 整理可得，同理，则可求得弦长
（2）当或时，如图3，直线l与双曲线交点A、B在两支上，连，设，则，，由余弦定理可得， 整理可得，则 因此焦点在x轴的焦点弦长为 同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式 三
其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为AB的倾斜角。. 抛物线的焦点弦长 若抛物线与过焦点的直线相交于A、B两点，若的倾斜角为，求弦长|AB|（图4） 解：过A、B两点分别向x轴作垂线为垂足，设，，则点A的横坐标为，点B横坐标为，由抛物线定义可得 即 则 同理的焦点弦长为
的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为 由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握。 一
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 一、 以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B Θ )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y Θ又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642 222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴ 2 1244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2 11--=-x y ，即042=-+y x 。 例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。 本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B 则221=+x x ，221=+y y 122121=-y x ，122 222=-y x 两式相减，得 0))((2 1))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121 =--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由?? ???=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=??--=? 这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。 评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。 二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2 1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
圆锥曲线中点弦问题
关于圆锥曲线的中点弦问题 直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型： （1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题； （3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。 一、求中点弦所在直线方程问题 例1 过椭圆14 162 2=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。 解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得： 016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k 又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是 1 4) 2(82 221+-=+k k k x x ， 又M 为AB 的中点，所以21 4) 2(422 221=+-=+k k k x x ， 解得2 1 -=k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。 解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），M （2，1）为AB 的中点， 所以421=+x x ，221=+y y ， 又A 、B 两点在椭圆上，则1642 12 1=+y x ，1642 22 2=+y x ， 两式相减得0)(4)(2 22 12 22 1=-+-y y x x ， 所以 21)(421212121-=++-=--y y x x x x y y ，即21 -=AB k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。 解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(y x ,)，由于中点为M （2，1）， 则另一个交点为B(4-y x -2,)， 因为A 、B 两点在椭圆上，所以有???=-+-=+16 )2(4)4(1642 222y x y x ， 两式相减得042=-+y x ， 由于过A 、B 的直线只有一条， 故所求直线方程为042=-+y x 。 二、求弦中点的轨迹方程问题 例2 过椭圆 136 642 2=+y x 上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。 解法一：设弦PQ 中点M （y x ,），弦端点P （11,y x ），Q （22,y x ），
圆锥曲线讲义(带答案)
个性化辅导授课教案 学员姓名 ： 辅导类型（1对1、小班）： 年 级： 辅 导 科 目 ： 学 科 教 师 ： 课 题 圆锥曲线专题 课 型 □ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课 授课日期及时段 年 月 日 时间段 教 学 内 容 圆锥曲线知识点总结 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 ()2 2101c b e e a a ==-<< 3、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12 F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。
中点弦问题(基础知识)
圆锥曲线的中点弦问题 一：圆锥曲线的中点弦问题： 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. ①在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率； ②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率； ③在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。 注意：因为Δ＞0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验Δ＞0！ 1、以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。 本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 2、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2 1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。 例4、已知椭圆125 752 2=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 3、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为 2 1，求椭圆的方程。 ∴所求椭圆的方程是125 752 2=+x y 4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题 例6、已知椭圆13 42 2=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。 五、注意的问题 （1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。 利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。
高考数学专题复习之圆锥曲线的中点弦问题
高考数学专题复习之圆锥曲线的中点弦问题 直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型： （1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题； （3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。 一、求中点弦所在直线方程问题 例1 过椭圆14 162 2=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。 解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得： 016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k 又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是 1 4)2(82221+-=+k k k x x ， 又M 为AB 的中点，所以21 4)2(422221=+-=+k k k x x ， 解得2 1-=k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。 解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），M （2，1）为AB 的中点， 所以421=+x x ，221=+y y ， 又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642 222=+y x ， 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ， 所以21)(421212121-=++-=--y y x x x x y y ，即2 1-=AB k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。 解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(y x ,)，由于中点为M （2，1）， 则另一个交点为B(4-y x -2,)， 因为A 、B 两点在椭圆上，所以有???=-+-=+16 )2(4)4(1642222y x y x ， 两式相减得042=-+y x ， 由于过A 、B 的直线只有一条， 故所求直线方程为042=-+y x 。 二、求弦中点的轨迹方程问题 例2 过椭圆136 642 2=+y x 上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。
圆锥曲线相交弦的一个共有性质
圆锥曲线相交弦的一个共有性质 摘要：本文从人教版教材选修4-4第38页上一道例题出发，给出了此类题的多种解法，并对其进行了推广，得到了圆锥曲线相交弦的一个性质. 关键词：圆锥曲线；相交弦；直线参数方程；弦长公式【原题】如图1所示，AB，CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦，交点为P.两弦AB，CD与椭圆长轴的夹角分别为∠1，∠2，且∠1=∠2，求证：PA?PB=PC?PD. 图1 证明：建立如图1所示的坐标系，设椭圆的方程为+=1（a>b>0）. ① 设∠1=θ，P的坐标为（x0，y0），则直线AB的参数方程为x=x0+tcosθ，y=y0+tsinθ（t为参数）. ② 将②代入①并整理，得到 （b2cos2θ+a2sin2θ）t2+2（b2x0cosθ+a2y0sinθ）t+（b2x+a2y-a2b2）=0. ③ 记③式的两根分别为t1，t1，容易得到 PA?PB=t1?t2=t1?t2=. ④ 同理，对于直线CD，将θ换为π-θ，即得到， PC?PD = =. ⑤
由④⑤，得到PA?PB=PC?PD. 笔者发现，该结论可以推广到双曲线和抛物线. 【推广1】AB，CD是双曲线-=1（a>0，b>0）的两条相交弦，交点为P. 两弦AB，CD的斜率互为相反数，求证：PA?PB=PC?PD. 分析：类同于上一题的证明，我们也可以用直线的参数方程解决此题.现设直线的普通方程，用弦长公式推导此命题如下. 证明：设P的坐标为（x0，y0），设直线AB的方程y-y0=k （x-x0），记A（x1，y1），B（x2，y2）. 联立y-y0=k（x-x0），-=1， 得到：（a2k2-b2）x2+2k（y0-kx0）a2x+a2?（y0-kx0） 2+a2b2=0；① 得到：x1+x2=，x1?x2=.② 因为PA=x1-x0，PB=x2-x0， 所以PA?PB=（1+k2）（x1-x0）?（x2-x0）=（1+k2）x1x2-x0（x1+x2）+x. ③ 把②代入③，得到 PA?PB=（1+k2）-x0+x=（1+k2）?. ④ 显然，把④式中的k改为-k，即得到： PC?PD=（1+k2）=（1+k2）. ⑤ 由④⑤，得到PA?PB=PC?PD.
秒杀题型09 圆锥曲线中的中点弦(解析版)
秒杀题型：玩转压轴题之中点弦问题： 秒杀题型一：圆、椭圆、双曲线的中点弦问题： 注：方程：2 2 1mx ny +=，①当0,>n m 且n m ≠时，表示椭圆； ②当0,>n m 且n m =时，表示圆； ③当n m ,异号时，表示双曲线。 秒杀策略：点差法：简答题模板：step1：设直线与曲线 ：设直线:l y kx t =+与曲线：2 2 1mx ny +=交于 两点A 、B ，AB 中点为),(中中y x P ，则有,A B 既在直线上又在曲线上，设),(11y x A ,),(22y x B ， Step2：代入点坐标：即1122y kx t y kx t =+??=+?;22 1122 22 1 (1) 1 (2) mx ny mx ny ?+=??+=??, Step3：作差得出结论：（1）-（2）得：..AB AB OP y m k k k x n =-=中中。(作为公式记住，在小题中直接用。) 题型一：求值 ： 〖母题1〗已知椭圆 22 1164 x y +=,求以点P(2,－1)为中点的弦所在的直线方程. 【解析】:由结论可得： 16421-=?-k ，得2 1 -=k ，直线方程为：240x y --=。 1.(2013年新课标全国卷I10)已知椭圆22 22:1(0)x y G a b a b +=>>的右焦点为()0,3F ,过点F 的直线交椭圆 于B A ,两点.若AB 的中点坐标为()11-， ,则E 的方程为 ( ) A. 1364522=+y x B.1273622=+y x C.1182722=+y x D.19182 2=+y x 【解析】:由结论可得： 22 2111a b -=?-，得222b a =，3= c ，选D 。 2.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线E 的中心为原点,()3,0F 是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于 ,A B 两点,且AB 的中点为()12,15N --,则E 的方程为 ( )
圆锥曲线经典中点弦问题
中点弦问题专题练习 一．选择题（共8小题） ．已知椭圆，以及椭圆内一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（1） 2 C．D．B．A．﹣2 2．已知A（1，2）为椭圆内一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（） 2x+y+4=0 x+2y+4=0 C．D．2x+y﹣4=0 B．x+2yA．﹣4=0 （a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O3．AB是椭圆是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则K?K的值为（）OMAB22D．﹣1e C．A．e﹣1 B．﹣ee﹣1 122）P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（+9y=144内有一点P（3，2）过点4．椭圆4x 144=0 ﹣．9x+4yD12=0 C．4x+9y﹣144=0 12=0 A．3x+2y ﹣B．2x+3y﹣）），则此弦所在直线的斜率是（5．若椭圆的弦中点（4，2 2．．A．D．B ﹣2 C 6．已知椭圆的一条弦所在直线方程是x﹣y+3=0，弦的中点坐标是（﹣2，1），则椭圆的离心率 是（） B．CA．．D．
227．直线y=x+1被椭圆x+2y=4所截得的弦的中点坐标是（） A．B．C．D．（﹣，））（）（﹣，）（，﹣8．以椭圆内一点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（） A．4x﹣3y﹣3=0 x C．4x+y﹣5=0 D．+4y﹣5=0 4y+3=0 B．x﹣ 二．填空题（共9小题） 9．过椭圆内一点M（2，0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是 _________． 10．已知点（1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为： _________． 22，_________那么这弦所在直线的斜率为PP），（内有一点+9y椭圆11．4x=144P32过点的弦恰好以为中点，．_________直线方程为 22 _________．的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（4x+9y=144内有一点P3，2）过点P12．椭圆________．1，0）作弦，则弦中点的轨迹方程为 1．过椭圆=1内一定点（是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则ABk?k=_________．14．设OMAB ．以椭圆内的点M（1，1）为中点的弦所在直线方程为 15_________． +=1内以点P（﹣2，161．在椭圆）为中点的弦所在的直线方程为_________． 2217．直线y=x+2被椭圆x+2y=4截得的线段的中点坐标是_________． 三．解答题（共13小题） 所得弦的中点的横坐标为的椭圆方程．2 且截直线y=3x18﹣．求以坐标轴为对称轴，一焦点为22的方程．的中点，其直线ll19．已知M（4，2）是直线被椭圆x+4y=36所截的弦AB
高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题
与焦点弦相关的问题 8. 椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为 常数 1 1 2 ---- 1 ---- = --- I Af ； I IBf ； I ep 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和 为常数 AB 在同支 Ill _ 2 IA 存 I IBFJ 一亦 AB 在异支I ________ I=Z IAFil IB 斤 I 一印 备用课件 拋物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和 为常数 1 1 _ 2 IAF I + IBF ?~7p 备用课件 已知椭圆｝ +十=1,耳为椭圆之左焦点，过点片的直线交椭圆于力，B 两点、,是否存在 = λFA ? FB 恒成立?并由此求I AB \的最小值.（借用柯西不等式） FiB = 2.09 . AFI = 1.56 ?ie ?? FB = 3.54 JlJK AfiiF = 2.44 穌 FO ≡ 1.44 P = 2.89 米 一 + ”.—=— BF AF ep ?+?=0? 69l ^i ?, - = 0,69.Ψ??1 问题探究8
9.椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦 性质（定值2） 实验成果动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 1 1 2-e1 ----- + ------- = -------- IABl ICDl 2ep 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 1 1 2-e2 + = IABl ICDl 2ep 备用课件 问题探究9 2 2 已知椭圆丄- + 2- = 1, Fl为椭圆之左焦点，过点片的直线人 仏分别交椭圆于儿3两点和 C, Q两点，且厶丄心，是否存在实常数几，^IASI+ ∣CD∣ = 2∣ΛB∣?∣CD∣恒成立.并由此求四边形 =15.03凰米 B = 6.91 O 同支线段 a = C = 398 A?+?= 0?21,,,?^ 异支线段 A拖 B CD z°08,r^ 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 1 1 _\2-e 2 I ? AB ?+? CD ?~ Iep 备用课件 - IBBiI的IE交焦点孩性J? J 0X
圆锥曲线相交弦长、中点弦问题练习
1 一、圆锥曲线基础 1. 求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 2. 已知双曲线的方程为16x 2－9y 2＝144,求双曲线的焦点坐标、顶点坐标、实轴与虚轴的长及离心率. 二、相交弦长 3.已知斜率为1的直线过椭圆x 24＋y 2 ＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长.
2 4.已知双曲线以原点为中心，焦点在x 轴上.若虚半轴长为1，双曲线的离心率e ＝233. （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线的右焦点，作一倾斜角为45°的直线，交双曲线于A ，B 两点，求弦长｜AB ｜. 5.已知抛物线的顶点在原点，以椭圆x 24＋y 2 3＝1的右焦点为焦点，求： （1）此抛物线的标准方程； （2）直线y ＝2x －4被抛物线截得的弦AB 的长. 6.已知抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋m 所得线段｜AB ｜＝35，求m 的值.
7.已知椭圆的离心率为1 2 ，左焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，直线l的倾斜角为 45°． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l与椭圆相交于A，B两点，且｜AB｜＝24 7 ，求直线l的一般式方程． 8.已知直线l的倾斜角α满足sin（90°－α ，椭圆满足：焦点在x轴上，长半轴 长为2，离心率与双曲线x2－ 2 3 y ＝1的离心率的乘积为1.直线l过椭圆右焦点F2.求： （1）椭圆的标准方程； （2）直线l的方程； （3）求直线l与椭圆的相交弦长. 3
三、弦中点问题 9.直线y＝kx与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若线段AB的中点横坐标为2，求k的值. 10.已知直线y＝kx－1交抛物线y2＝4x于P,Q两点,若线段PQ中点的横坐标是1,求线段PQ的长. 11.过点P(－1,1),作直线l与椭圆 22 1 42 x y +=交于A,B两点,若线段AB的中点恰为P点, 求AB所在直线l的方程. 4
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习突破圆锥曲线中的相交弦问题
突破圆锥曲线中的相交弦问题 山东省利津县第一实验学校 刘素梅 257400 关于圆锥曲线中的相交弦有三种常见的表现形式，即两弦相交成直角、两相交弦倾斜角互补、三弦组成特殊的三角形。下面分类举例，阐述常用的求解策略. 一、两弦相交成直角 例1.已知直线1:+=kx y l 与双曲线12:2 2 =-y x C 的右支交于不同的两点A 、B 。（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由。 解析：（1）将直线l 的方程1+=kx y 代入双曲线C 的方程122 2 =-y x 后，整理得 ① 依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点A 、B ，设 ； 则022 ≠-k ,有:()() ?? ? ? ?? ??? >-=>--=+>--=?022******** 2122122k x x k k x x k k 解不等式组得k 的取值范围为（－2，2-）。 （2）假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c ，0），则FA ⊥FB ，所以122 11-=--=c x y c x y k k FB FA ，即 又 ， 代入前式整理得 将2 2,222 21221-=-- =+k x x k k x x 及26=c 代入，化简得062252 =-+k k 解得56 6±=k 。 又() 2,2566--∈-=k k 与不合,舍去.所以5 6 6+=k 符合题意. 注：用斜率的关系是解决两直线垂直的有力武器，不可忽视。 例2.设点A 和B 为抛物线px y 42 =()0>p 上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥ AB 于M ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。 解析：依题意，设 ，则p y x p y x 4,42 2 2211== 又OA ⊥OB ，得02121=+y y x x 即 044212 2 21=+y y p p y y ,化简得22116p y y -=。 而2121214y y p x x y y k PA +=--=，所以直线AB 的方程为??? ? ??-+=-p y x y y p y y 44212 11.
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
圆锥曲线的弦长公式及 其推导过程 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程 关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线b kx y +=代入曲线方程，化为关于x 的一元二次方程，设出交点坐标()(),,,,2211y x B y x A 利用韦达定理及弦长公式]4))[(1(212212x x x x k -++求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷. 一、椭圆的焦点弦长 若椭圆方程为)0(122 22>>=+b a b y a x ，半焦距为c>0，焦点)0,(),0,(21c F c F -，设 过1F 的直线l 的倾斜角为l ,α交椭圆于两点()(),,,,2211y x B y x A 求弦长AB . 解：连结B F A F 22,，设y B F x A F ==11,，由椭圆定义得 y a B F x a A F -=-=2,222，由余弦定理得222)2(cos 22)2(x a c x c x -=??-+α，整 理可得αcos 2?-=c a b x ，同理可求得αcos 2 ?+=c a b y ，则 α αα2222 22cos 2cos cos c a ab c a b c a b y x AB -=?++?-=+=； 同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为α 2222 sin 2c a ab AB -=（a 为长半轴， b 为短半轴， c 为半焦距）.
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程 关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线 y kx b 代入曲线方程，化 为关于x 的一元二次方程，设出交点坐标 A x i , y i ,B X 2, y ，利用韦达定理及弦长公式 ^/(1 k 2)[(x 1 x 2)2 4x 1x 2]求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与 曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较 而言有点繁琐，若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为 简捷. 一、椭圆的焦点弦长 2 2 若椭圆方程为 X 2 y 2 1(a b 0)，半焦距为 c>0,焦点F i ( c,0), F 2(C ,0)，设过F i a b 的直线I 的倾斜角为,l 交椭圆于两点A x i , y i ,B X 2，y 2 ,求弦长AB . 解：连结F 2A F 2B ，设|F i A| x,|F i B| y ，由椭圆定义得 旧円2a x’RB 2a y ， 半轴，c 为半焦距) 由余弦定理得x 2 (2C )2 2X 2C cos (2a x)2，整理可得x b 2 a c cos ，同理可求 b 2 b 2 a c cos ，则 AB x y a c cos b 2 a c cos 2ab 2 ~2 2 2~ ； a c cos 同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为AB 2ab 2 2 2.2 a c sin (a 为长半轴，b 为短 结论：椭圆过焦点弦长公式: AB 2ab 2 2 2 2 a c cos 2ab 2 2 2.2 a c sin (焦点在x 轴上), (焦点在y 轴上). * V
圆锥曲线中点弦公式
圆锥曲线中点弦公式 中点弦抛物线中点弦公式 抛物线C：x^2（这里x^2表示x的平方，下同）=2py上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：py-αx=pβ-α^2。 中点弦存在的条件：2pβ>α^2（点P在抛物线开口内）。 中点弦椭圆中点弦公式 椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为： αx/a^2+βy/b^2=α^2/a^2+β^2/b^2。 中点弦存在的条件：α^2/a^2+β^2/b^2<1（点P在椭圆内）。 中点弦双曲线中点弦公式 双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为： αx/a^2-βy/b^2=α^2/a^2-β^2/b^2。 中点弦存在的条件：(α^2/a^2-β^2/b^2)(α^2/a^2-β^2/b^2-1)>0（点P不在双曲线、渐近线上以及它们所围成的区域内）。 中点弦二次曲线中点弦性质与蝴蝶定理 蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理，它充分体现了蝴蝶生态美与“数学美”的一致性．不少中数专著或杂志至今还频繁讨论．本文揭示了它与中点弦性质的紧密联系，并给出统一而简明的证明，指出了一种有用的特殊情形和一种推广形式． 引理：设两条不同的二次曲线 S：F(x，y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线，则过A、B、C、D四点的任意一条二次曲线S2必可唯一地表示成： (证明略)
定理1 设三条不同的二次曲线(S、S1、S2)有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线；又直线L0被S、S1、S2各截得一弦．若其中两弦中点重合，则第三弦中点亦重合．证设S、S1的方程为(1)、(2)，则S2方程可表为(3)．因直线L0(设斜率为k)关于二次曲线S、S1、S2的共轭直径分别为： L：(a11x+a12y+a13)+k(a12x+a22y+a23)=f(x，y)=0 因L、L1都通过L0被S与S1所截得的弦PQ与EF的共同中点O，显然L2也必通过点O，故O也是L0被S2所截得的弦GH的中点． 注两直线AB和CD或AD和CB或AC和BD都可看做二次曲线S1的特殊情形，甚至E和F重合于O．故本定理包括了蝴蝶定理众多情形． 定理2 设AB∥CD，S和S1是过A、B、C、D四点的任意两条二次曲线．若平行于AB的任意直线与S、S1各有两个交点，则夹在两曲线之间的两线段相等．证设AB、CD的中点分别为M、N，又AB∥CD，故直线MN就是AB关于S和S1的共轭直径，故若平行于AB的任意直线被S、S1所截的弦PQ、EF有共同中点O，故有PE=QF，命题得证． 注由于PQ可为AB与CD之间任意平行弦，皆有PE=QF，故夹在S和S1之间的两曲边区域△1和△2面积相等．[1]它酷似蝴蝶两翼，不过并非轴对称，而是沿AB方向共轭．如果世上真有这样的蝴蝶，飞行亦能平衡自如． 定理1还可推广得到更一般的结论． 定理3 若三条不同的二次曲线S、S1、S2有无三点共线的四个公共点，沿某一确定方向的任意直线L0被S、S1、S2各截得一弦PQ、EF、GH，则三弦中点O、O1、O2之间有向线段之比为常数． 证不妨取坐标系使确定方向为x轴．于是该方向(k=0)关于S、S1、S2的共轭直径分别为(参见定理1)： L：a11x+a12y+a13=0 L1：b11x+b12y+b13=0 L2：(a11x+a12y+a13)+λ(b11x+b12y+b13)=0 设直线L0方程为y=y0，PQ、EF、GH的中点为O(x0，y0)，O1(x1，y0)，O2(x2，y0)，于是由直径方程知： a11x0+a12y0+a13=0，b11x1+b12y0+b13=0 (a11x2+a12y0+a13)+λ(b11x2+b12y0+b13)=0 故a11(x2－x0)=λb11(x2－x1) (4) 即OO2/O2O1=α (a11≠0时) (5) 其中α=－λb11/a11是与y0无关的常数(由S、S1、S2三曲线确定．当a11=0时，L ∥L0可知L0与S无两个交点，故不在本命题讨论之列)． (5)式意即：在指定顺序O、O2、O1之下，两有向线段之比不因L0平行移动而变化． 推论在定理3条件下，对任意直线L0所截的三弦中点中，任意两点总在第三点同侧或异侧．当O、O1、O2中有两点重合时，第三点也重合．“蝴蝶定理”虽然如自然界的蝴蝶种类一样千变万化，然而万变不离其宗，核心在于中点弦性质。