多商品配送

多商品配送问题的研究

摘要

多商品配送问题是物流管理领域经常要涉及到的问题。题目要求建模分析确定供货商如何安排各个货栈在各时段的供货方式, 使得其在一个经营周期内的总成本最低。本文从供应链一体化和卖方管理库存(VMI) 的思想出发,建立一个使配送费用与库存费用之和达到最低的整体优化模型然后通过对模型结构的分析,提出了用成熟的算法求解该模型的算法思想.

经过讨论分析，我们针对题目的四个问题分别给出了解决方法：

对于问题一，经分析，本文将其归结为一个分步优化问题：由于运输成本在保证每趟运输尽量满载的前提下即可得到优化，故本文首先对货栈的货物配给方式进行优化，找出了求解怎样安排各个时段每个货栈给各零售商不同商品的供货量（包括当时段供货量、提前供货量、延迟供货量）从而使整个周期内赔偿损失最小的合理算法和数学模型；在此优化的基础上，本文利用启发式算法,结合计算机程序选择的运输成本最小路径，将每个货栈给不同零售商的不同商品供货量中不能够整车运送完的额外商品量进行共同配送（合并运输），降低了运输成本，使得到的方案更趋于最优方案。

在进行货物配给方式优化的过程中，本文由浅入深，首先针对单货栈、单商品的简单情况（本模型的基本构建单元）进行数学模拟和算法设计，然后根据不同商品以及不同货栈之间的相对独立性，对前述模型进行推广，成功得到了适用于多货栈、多商品的题设情况下的货物配给方式优化方案。

问题二，在目标函数中我们假设某种商品的惩罚函数与延误时间成正比，与延误货品的数量成正比，而其运输费用与运输时间成正比，与运输的货量成正比。

问题三，本文的独到之处还在于其严谨周密的解题过程——本文在模型求解的过程中给出了两种不同的方法：采用LINGO 软件求解线形规划的途径，和从算法设计出发的计算机编程途径，并在模型检测中得到了完全相同的解。可以说不仅实现了殊途同归，更通过相互校验体现了算法的合理性和正确性。

问题四，

关键词：多商品配送启发式算法 Lingo 软件传统供货

二、问题重述

考虑供货商的多种商品问题。假设该供货商在某地区多个仓储的货栈，它们位于该地区的不同地点。供货商的目的是按照不同零售商的需求将商品及时发送给零售商，是总成本尽可能小。这里的总成本主要有以下几部分组成。（1）运输成本，它与运输的时间和运输的商品相关。（2）由于货栈可以以不同价格将同一种商品供给不同的零售商，且同一种商品在不同货栈的售价也可以不同，这样零售商会按照价格优先的原则选择发货的货栈。另一方面，每一时段每个商品在货栈中的存储量有一个上限。当一个货栈被指派为一个特定的零售商提供规定数量的商品的时候，可能会出现零售商的需求和货栈储量不平衡的情况。当某时段容量不足的时候，货栈通过提前或推迟供货给零售商的方式来补偿需求。如果提前供应，将会导致零售商的商品持有成本上升，因此零售商会向供货商索要赔偿：若推迟，则会降低货栈的信誉，且零售商也会向供货商索要赔偿。所以，提前和推迟所带来的赔偿都是供应成本的一部分，而赔偿费用与商品的价格和提前、推迟的时间有关。

现假设在一个星期（例如一年）开始时，每个零售商对所有商品在不同时间（时段）的需求已知，以及商品的价格已知，问题是供货商如何安排不同时间(时段)的供货，使得一个周期的总成本尽可能小。

1.针对实际中的多商品配送问题理解，建立数学模型，讨论求解算法的

设计；

2.分析当运输成本和运输的时间是什么关系，提前、推迟惩罚与商品的

价格以及提前、推迟的时间是什么关系时，或在其他你认为合理的假

设下，该问题可以有快速算法求解。这里，你对这些关系的假设应与

实际背景较吻合；

3.举一个和几个实际算法来说明你的算法或模型的合理性及推广意义；

4.基于你的结果，给出网络供货和传统供货的区别。

三、问题分析

题目要求建模分析确定供货商如何安排各个货栈在各时段的供货方式,使得其在一个经营周期内的总成本最低。这一方面的研究出现了多种假设,如不考虑库存因素,再假设每个客户的需求量相对配送车辆的载重能力而言很小的话,就是研究较多的车辆路线问题(VRP , VehicleRouting Problem) [2 ] . 加入库存问题后,虽然也是确定每天的运营策略,但由于库存方面产生的费用对系统的影响使得建立数学模型和设计优良的算法都变得比较困难. 从供应链一体化和卖方管理库存(VMI) 的思想出发,建立一个使配送费用与库存费用达到最低的整体优化模型然后通过对模型结构的分析,提出了用成熟的算法求解该模型的算法思想.

四、模型建立和模型求解

4.1 模型分析和假设

背景:为了使模型更接近于现实,在进行建模之前,我们对各种物资配送商经

营的实际情况进行了大量的信息搜集,分析工作,从而得出了模型的主要模拟对

象——同地区内短线物流配送系统的一些特点:

1、在激烈竞争的环境下,对货物交付的及时性要求较高,大多数情况下都是

在订货的当天交货,鲜有有货故意不发的情况;

2、供货商大多数拥有自己的运输车辆,以利于降低运营成本;

题设条件：

·在一个周期开始时，每个零售商对所有商品在不同时段的需求已知

·一个周期内，对于不同的商品各货栈给各零售商的价格已知，且价格不随

时段变化

增加假设：

·所讨论区域半径在300km 以内，运输时间远小于时段长度

·当货栈容量不足时，供应商提前或推迟供货最多只能跨越一个时段（否则

零售商必然因为供货商失信严重而终止合作）

·供应商在每个时段开始时刻给所有货栈填充货物，并可在较短时间内完成

·某时段内，供货商给某零售商送货需在零售商指定时间区间内完成，只要

不超出该时间范围即无需赔偿

·货栈给零售商送货以及时性为第一准则，不存在为了减少成本而在供求不

发生冲突时为了减少运输次数而故意提前或推迟供货导致零售商发生损失

的情况

·供货商采用同样的货车送货且货车数量足够多

4.2 主要参数说明及名词解释

首先我们引入4 个下标i,j,k,l ，分别表示第i 个货栈，第j 个零售商，第k

种商品和第l 个时段。以下是本文中一些主要参数的说明，对其他一些参数及变

量我们将在使用时说明。

ijk P 对第k 种商品第i 个货栈给第j 个零售商的价格

jkl Q 第j 个零售商在第l 个时段对第k 种商品的需求量

jk R 第k 种商品在第i 个货栈的存储量上限

ij D 第i 个货栈和第j 个零售商之间的距离

ijk C 第i 个货栈与第j 个零售商之间第k 种商品的单位运输价格

12j j D 第j1 个零售商和第j2 个零售商之间的距离

k V 第k 种商品的单位体积

S 货车的容量

ijkl B 第i 个货栈与第j 个零售商在第l 时段是否存在第k 种商品的运输

持有成本—— 持有某种货物一段时间所必须支付的成本，包括管理费、仓

储费、管理费、利息费用等

缺货成本—— 当需要某种货物而又不能从库存得到供应时所导致的零售商

在商誉、名声、及潜在的未来销售上的损失

共同型配送——为了提高车辆装载率而对多个企业、零售商的需求货品共同

进行运输的配送方案[2]

4.3 问题分析及模型准备

本文的目标是要讨论供货商的多商品配送，由题意可知需满足两个基本要

求：即供货及时性和成本尽可能小。在成本构成中，运输成本的优化余地较损失

赔偿成本为小，且由于总的供货需求既定，故只要在赔偿损失最小的前提下保证

每次发货车辆尽可能满载，即可以得到满足题意的近似最优解。为此，我们采用

分步优化策略，即先完成对损失赔偿成本的优化得出每个时段对于不同商品各货

栈给各零售商的供货量，再对既定的供货量考虑采用怎样的运输策略（如共同型

配送）可以使运输成本最优，这样可以减少各步优化的设计变量数，提高优化的

速度且得到较好的优化方案。

因此，我们可以将问题划分为如下三个步骤处理：

1）单商品、单货栈情况下的损失赔偿最优（即该供应商仅有一个货栈且多

个零售商仅需求一种商品）；

2）多商品、多货栈情况下的损失赔偿最优（此即本题所探讨的情况）。由

于各种商品之间、各个货栈之间相互独立，故只要对第一所得模型进行推

广即可解决此问题；

3）多商品、多货栈情况在已得赔偿最优供货分配方案的前提下确定最优运

输方案，此时可引入启发式算法和共同配送策略解决。[3] [4]用框图表

示，如图一所示：

图一——步骤分析图

[损失赔偿函数]

此处我们根据田口玄一质量-服务损失函数L = k (y ?m )2 [5]

L----以钱数表示的单位损失（惩罚成本）

y----质量变量的值

m----质量变量y 的目标值

k----常数，取决于质量变量在财务上的重要性

在本题中，我们认为k 与商品的价格及其他因素（如季节性等因素）有关，

故用1k k , 2k k 表示其他因素，ijk p 表示价格因素，两者乘积表示上述k 值

我们令赔偿Cf 与提前的发送时间1 t 与推退的发送时间2 t 存在如下关系：

211010222020

()()()()k ijk f k ijk k p t t t t C k p t t t t ?-

数，由于持有成本一般小于缺货成本，故12k k k k <

[运输成本函数]

根据常用的运价递减原则[6] ，可绘出运输成本图线大致如图二所示，故我

们将运输成本函数定为下面形式：

(01)t ijk ijk C gX gq ngb αβα=+<<

图二——运输成本图

注：其中ijk β 为运输成本系数，X 为运输距离，α 为幂指数，q 为运量，b 为单车发

车成本，n 为发车辆数。

4.4 模型建立与求解

4.4.1 单商品、单货栈情况（模型基本构成单元）

首先，我们将零售商对货物k 的需求做离散化处理。下图三所示曲线q(t)

为第j 个零售商在一个周期时间内对某特定商品k 的需求密度曲线。为了研究方

便，我们取t1 到t2 时间为一个时段，则将曲线在该时段内积分即可得到对应第

L 时段内的零售商需求量Qjkl, 如下方柱状图四所示，其需求量函数可表示为：

2

1()t jkl jk t Q q t dt =?

图三——需求密度曲线

图四——零售商需求量Qjkl

我们将单商品情况下，某个货栈在一个周期时间内对不同零售商的供货情况如图五所示。中间时段为当前所研究的时段L，t1 -- t2 为零售商a 的要求到货时间（供货商在这段时间内供货即不用赔偿），ta,tb 分别为提前供货和推迟供货的时间。

图五——一个周期时间内对不同零售商的供货情况

定理1°当时段L 货栈容量不足而必须对某零售商提前或推迟供货时，提前

供货时间ta 必为前一时段L-1 的最后一天，推迟供货时间tb 必为后一时段L+1

的第一天

对于单商品单货栈的情况，我们可以建立下面的规划模型求解。此时的目标

函数是使供货商的损失赔偿最小，而约束条件主要由两方面构成：1)保证一个时

段内货栈给各个零售商的发货量不超过货栈容量上限R ；2)对于每个零售商而

言，当前时段发货量N ，提前发货量A 与推迟发货量B 之和恰好等于该零售商在

该时段的商品需求量Q ，通过规划求解软件Lingo 可以较为方便的处理该问题。

Objective ：min (**)jl fa jl fb l j

A C

B

C +∑∑ 1(1)(1)21(1)2

2(1)2()().. ()0

00jl j l jl j l j jl

jl jl jl fa

j a l fa j b l jl jl jl jl A N B R A N B Q C k P t t s t C k P t t A N B +--+?++≤??++=??=-??=-??≥??≥?≥???

∑ 式中，jl N ，jl A ，jl B 分别表示在第L 时段，该货站给第j 个零售商的当

时段发货量、提前时段发货量和推迟时段发货量（注：若在实际算例中三者中某

一项或两项并不存在，则等价于其值为0）；(1)j l A + 为货栈将第ｊ个零售商下一

时段的需求量中提前到本时段发送的部分，(1)j l B - 为货栈将第ｊ个零售商上一

时段的需求量推迟到本时段发送的部分；R 为货栈对该种商品的存储上限；jl Q 为

该时段第j 个零售商对该商品的需求量；fa C 为单位商品的提前赔偿量，1k 为提

前赔偿系数，fa C 为单位商品的延迟赔偿量，2k 为延迟赔偿系数；1jl t ，2jl t 分

别为第j 个零售商在第L 时段的期望到货时间范围的起始时间和终止时间；

(1)a l t -, (1)b l t +分别为第L-1 个时段的终止时间和第L+1 个时段的起始时间。

4.4.2 多商品、多货栈情况（题设情况）

由于不同商品、不同货栈之间在优化过程中相互独立，故只需对单商品、单

货栈情况下的优化目标和约束条件做如下所示的简单推广即可：

Objective :min ()ijlk fa ijlk fb k l j j A C B C ?+?∑∑∑∑

1(1)(1)21(1)22(1)2()().. ()0

00jl ij l k ijlk ij l k ik j ijlk ijlk ijlk ijlk fa k ijk a l fa j b l jl ijlk ijlk

ijlk A N B R A N B Q C k P t t s t C k P t t A N B +--+?++≤??++=??=-??=-??≥??≥?≥???∑

借助于Lingo 软件，我们可以较方便的求得多商品配送问题中使赔偿损失最

小的各时段货物配给方案，即ijlk A 、ijlk N 和ijlk B 的所有取值情况。

五、模型的简化

以上我们已经基本解决了供货商的多商品配送问题，通过所建立的模型可以

得到满足要求的近似最优解，而在实际生活中分步优化所造成的近似最优解与最

优解之间的误差常常是微乎其微的，且考虑到为了得到理论最优解所付出的代价

（复杂的算法设计，庞大的计算量），我们的模型更具有实用意义。

然而即便如此，当模型中四个基本变量（货栈i,零售商j,时段l ，商品种类k ）

中的任何一个或几个的取值范围增大时，算法的复杂度——无论是赔偿损失的优

化还是运输成本的优化，无论是采用整数规划方案还是采用计算机编程的方法—

— 都将以我们不愿接受的速度增长。

因此，结合实际生活中的多商品配送问题以及我们为本文所设定的适用范围

——供货半径在300km 以内的城市配送系统，我们可以从以下几个方面来简化模

型，提高算法的速度：

1）损失赔偿函数的简化

我们原来的损失赔偿函数为

211010222020

()()()()k ijk f k ijk k p t t t t C k p t t t t ?-

Management 》一书中指出的缺货成本通常高于持有成本的事实，此处的12

提前和延迟赔偿系数应满足k1

·对于商品价格项P ijk , 我们原先在赔偿函数中引入该项是基于这样一种考

虑：不同价格的商品其提前/推迟给零售商所带来的损失也不相同，故零售

商对供货商的失信会要求不同的赔偿。然而，在本题中，由于城市零售商

的经营范围有限，且通常不会经营具有高危险性或时间敏感性极大的商品，

又在一个周期时间内各种商品被提前或推迟的机会不会相差太多，我们可以将该项固定为所有价格的平均值max max max ijk k i j p

P

i j k =??∑∑∑这样后续算法

中我们只要使用一个常量 ·对于时间二次项2

12()t t -, 根据服务-损失函数的提出者田口玄一的说法

“随着服务质量偏离目标值，损失会递增”，而我们将田口的函数、传统

的损失函数和我们决定简化采用的一次函数作图比较如下

由上面的图线可见，简化后的线形函数不仅克服了传统损失函数离散化处理

而过于简单的缺陷，又在误差允许的范围内使田口损失赔偿函数得到一定程度的

简化。

综上，简化后的损失赔偿函数为：

2101102220

20()()()()f k p t t t t C k p t t t t ?-

2)运输成本函数的简化

我们原先所采用的运输成本函数为：(01)t ijk ijk C gX gQ nb αβα=+<<，该

公式的选用基于物流运输中的递减运价理论，幂指数α 在0 到1 之间,13决定了

每单位里程的运输成本递减；ijk β 是仅跟所运商品种类相关的运输系数；ijk Q

是所运输的商品数量，ｂ是每趟发车的固定成本，ｎ是所派用的货车数量。

对于运输系数ijk β 在现实生活中，零售商所经营的商品往往具有一定的相

似性，且多数商品并不要求有极为特殊的运输环境，故以此为出发点，我们不妨

令各个货栈发给各个零售商的各种商品具有相同的运输系数β 。

对于幂指数α 考虑到我们所设定的商品配送发生在300km 半径以内的地区

范围，所采用的是公路货车运输，而货车运输线路成本所占比重较大可采用比例

运价模型（即运输成本和运输距离近似成线形关系），因此这里可以令α =1，

对于ｎ和ｂ，由于短途运输中搬运、发车成本不可忽略，故不可优化。综上，现

在的运输成本可表达为***(01)t ijk C g X gQ n b αβα=+<< <经上述

简化处理之后，使求解赔偿损失最优的目标函数和约束条件如下：

Objective ： min (**)ijlk fa ijlk fb k l i j A C B C +∑∑∑∑

1(1)(1)21(1)22(1)2()().. ()0

00jl ij l k ijlk ij l k ik j ijlk ijlk ijlk ijlk fa k ijk a l fb j b l jl ijlk ijlk ijlk A N B R A N B Q C k P t t s t C k P t t A N B +--+?++≤??++=??=-??=-??≥??≥?≥???∑

六、传统供货和网络供货的区别

近年来，连锁经营已成为我国商业领域中最成功的新型营销方式。较传统商

业企业而言，连锁经营方式之所以能取得竞争优势和很大发展，在于其具有执行

统一采购、集中配送功能的配送中心，从而降低了物流成本和销售价格，获得了

规模、利润、商誉等优势。然而，随着经济全球一体化及我国加入WTO ，国外零

售业进入中国市场，零售业的生存环境面临着越来越严峻的挑战和考验。我国连

锁零售业要想在激烈的市场竞争中继续保持竞争优势，就必须在更高的顾客服务

水平基础上进一步优化其物流成本。由于库存成本在连锁零售业的物流总成本中

占据着相当大的比重，通过对库存量的有效控制，对于降低连锁零售业的物流总

成本具有非常重要的意义。但是在控制库存成本的同时，也要考虑配送成本，因

为两者之间存在着一种此消彼涨的关系。在综合考虑下，得出最优组合。

近几十年来，传统库存控制理论的扩展研究取得了较大的进展，这对于传统

商业企业优化其物流成本是非常有意义的。但对于连锁零售业来说，配送是连锁

零售业实现规模效益的关键因素。配送中心既要进行库存补充决策，还需进行配

送决策将订购的商品配送给各连锁分店。目前，连锁零售业的配送中心对库存控制策略和配送策略的决策是各自独立进行的，即先进行库存补充决策，在求得经济订购批量以后，再根据各连锁分店的订单进行配送决策，也就是将连锁零售业的物流系统分割为两个子系统来分别进行优化决策。然而，这样做的后果是，即使在子系统中都做到最优，其整个系统并不见得是最优的。因此，我们要运用现代库存控制理论—供应链环境下的库存控制理论，使得我们整个系统最优。

我们在查阅文献之后，发现传统的库存管理方法对于传统零售业来说非常有意义，但对连锁零售业来说采用传统的库存管理方法却不能达到系统成本的最优，因为配送是连锁零售业实现规模效益的关键因素，配送中心在决定了经济订购批量以后，还需根据各连锁分店的需求将订购的商品配送给各连锁分店，而配送成本的大小不仅和配送路线的规划密切相关，而且和连锁零售业的库存控制策略密切相关。因此，连锁零售业要想实现系统物流成本的最优化，就需要在进行库存决策的时候，不仅考虑到订购成本和库存持有成本，还应考虑进配送成本。因此，必须考虑到运用供应链库存管理方法来代替传统的库存管理方法。传统的供应链信息流和供应链管理下的信息流如图六和图七所示:

图六——传统的供应链信息流

图七——供应链管理环境下的信息流

本问题“多商品配送问题”实际上就是生产中库存管理的一部分，本问题研究的对象由一个供货商，多个位于不同地点的仓储货栈和多个零售商构成。供货商的目标是按照不同零售商的需求将商品进行配送，并使一个周期内的总成本最小。由VMI思想出发，我们根据实际中的多商品配送问题，建立一个供应商在一个周期内成本最小的“整体优化模型”。

因此我们结合相关的文献资料和整体优化模型给出网络供货和传统供货的一些区别：

1.传统供货信息流依次从供应商到制造商到分销商到零售商到用户，他们

之间对应的一一的对应关系，而网络供货不同，他们之间都有着相互的

联系，有需求、供应、共享等。

2.传统库存管理是根据外界对库存的要求，企业订购的特点，预测、计划

和执行一种补充库存的行为，并对这种行为进行控制，重点在于确定如

何订货，订购多少，何时送货。传统的库存管理方法是以单个企业为对

象，主要的目的是对企业的库存进行分类及重点管理，同时确定订货时

点以及订货数量，使企业的库存总成本最少。传统的库存管理方法主要

有ABC分类管理法、定量订货管理法及定期订货管理法。

3.传统库存的成本包括采购成本、库存成本，很少考虑到配送成本，而配

送是连锁零售业实现规模效益的关键因素，配送中心在决定了经济订购

批量以后，还需根据各连锁分店的需求将订购的商品配送给各连锁分

店，而配送成本的大小不仅和配送路线的规划密切相关，而且和连锁零

售业的库存控制策略密切相关。所以现在的网络供货必须得考虑配送成

本。

参考文献

附件1

model:

!定义时段L，零售商j,以及在第L 时段，货站给第j 个零售商的当时段发货量、

提前时段发货量和推迟时段发货量

sets:

Period/1..n/:ta,tb;

Retailers/1..m/:p;

link(Retailers,Period):N,A,B,t1,t2;

endsets

!目标函数是使供货商的损失赔偿最小

min=@sum(link(j,l):A(j,l)*Cfa+B(j,l)*Cfb);

!约束条件

!保证一个时段内货栈给各个零售商的发货量不超过货栈容量上限R;

@sum(A(j,l+1)+N(j,l)+B(j,l-1)<=R)

!对于每个零售商而言,当前时段发货量N,提前发货量A与推迟发货量B之和恰好

等于该零售商在该时段的商品需求量Q;

@for(Retailers(j):@for(Period(l):A(j,l)+N(j,l)+B(j,l)=Q(j,l)));

!Cfa 为单位商品的提前赔偿量，k1 为提前赔偿系数,tjl1第j 个零售商在第L

时段的期望到货时间范围的起始时间ta(l-1)为第L-1 个时段的终止时间;

@for(Retailers(j):@for(Period(l):Cfa=k1*P(j)*(ta(l-1)-t1(j,l))^2));

!Cfb 为单商品的延迟赔偿量，k2 为延迟赔偿系数, tjl2 分别为第j个零售商在

第L 时段的期望到货时间范围的终止时间,tb(l+1)为第L+1 个时段的起始时间; @for(Retailers(j):@for(Period(l):Cfb=k2*P(j)*(tb(l+1)-t2(j,l))^2));

@for(link: @gin(A);@gin(B);@gin(N));

end

附件二

model:

!定义4个下标i,j,k,l,分别表示第i个货栈,第j个零售商,第k种商品和第l个时

段;

sets:

Warehouse//:;

Retailers//:;

Merchandise//:;

Period//:;

link(Warehouse,Retailers,Period,Merchandise):A,B,N,Q;

Storagelimit(Warehouse,Merchandise):R;

RP(Retailers,Period):t1,t2;

endsets

!目标函数为使求解赔偿损失最优;

min=@sum(link(i,j,l,k):A(i,j,l,k)*Cfa+B(i,j,l,k)*Cfb);

!约束条件;

!Rik第k种商品在第i个货栈的存储量上限

@for(Warehouse(i):@for(Period(l):@for(Merchandise(k):@sum(Retailers(j

):A(i,j,l+1,k)+N(i,j,l,k)+B(i,j,l-1,k))<=R(i,k)));

@for(Warehouse(i):@for(Period(l):@for(Merchandise(k):@for(Retailers(j

):@sum(A(i,j,l,k)+N(i,j,l,k)+B(i,j,l,k))=Q(i,j,l,k))));

@for(Retailers(j):@for(Period(l):Cfa=k1*P'*(ta(l-1)-t1(j,l)))); @for(Retailers(j):@for(Period(l):Cfb=k2*P'*(tb(l+1)-t2(j,l))));

@for(link: @gin(A);@gin(B);@gin(N));

end