最不利原则公式
最不利原则公式为：WCA = Max{f(x)}, x ∈ X。
其中，WCA表示最不利情况下的性能或行为，f(x)表示系统或设计在某个输入x下的性能或行为，X表示所有可能的输入值集合。最不利原则公式的含义是，在所有可能的输入中，选择导致系统或设计性能最差的输入作为最坏情况下的输入，从而确定最不利情况下的性能或行为。
最不利原则公式
最不利原则公式 最不利原则（Principle of Maximum Adverse Deviation）是指在进行统计分析时，假设一种可能的情况，该情况对结果的影响最糟糕，然后根据这种情况对结果进行评估。最不利原则常用于可靠性分析、安全分析、风险管理等领域，它可以在做出决策时提供更为保守的结果，使决策更加可靠和安全。 最不利原则的公式为：max {f(x)}，其中 x 属于 A，f(x) 是 x 的函数值。其中，A 表示所有可能的值，f(x) 表示在 x 处的函 数值。这个公式表示需要在所有可能值中找到最大值。在统计分析中，该公式可以表示为：假设最不利的（即最坏的）情况是真实的，然后对这种情况进行评估，并选择最坏的情况作为结果。 在风险管理中，最不利原则可以应用于识别风险并制定相应的应对策略。通过假设最糟糕的情况，可以更好地评估对风险的影响，并确定应对策略。例如，在设计建筑物时，可以采用最不利原则考虑地震、风等自然灾害的影响，从而设计出更加安全可靠的建筑物。 在可靠性分析中，最不利原则可以用来确定系统的故障率以及估计系统的寿命。通过假设最坏的故障情况，可以对系统进行更加全面的分析，并确定系统的寿命。 在安全分析中，最不利原则可以应用于识别潜在的安全风险，评估潜在的不安全事件的风险，并制定相应的安全措施。例如，在化工生产中，可以采用最不利原则，考虑可能的事故和事故
的后果，确定安全生产措施，并确保人员的生命财产安全。 总之，最不利原则是一种十分有效的分析方法，可以在决策、风险管理、可靠性分析、安全分析等方面起到重要作用，帮助人们做出更加可靠和安全的决策。
风管系统最不利环路水力计算
风管系统最不利环路水力计算 1最不利管路的压力损失 二层商场主要风管 绘制最不利环路的轴测图，标出各段标号、长度、流量、管径。镀锌钢板粗糙度K取0.01。列表计算压力损失，校核空调机组的余静压。 相关计算公式及依据如下： 当量管径＝2 * 管宽 * 管高 / (管宽＋管高)； 流速＝秒流量/管宽/管高*1000000； 单位长度沿程阻力由流速，管径，K查设计手册阻力线图； 沿程阻力＝管段长度 * 单位长度沿程阻力； 局部阻力系数根据局部管件的形状查设计手册； 动压＝流速＾2 * 1.2/2； 局部阻力＝局部阻力系数 * 动压； 总阻力＝沿程阻力＋局部阻力。 备注：各部件局部阻力系数，查《简明空调设计手册》表5-2及相关资料。 送风口：ξ＝0.79（有效面积90%）手动对开多叶调节阀ξ＝0.28 弯头（不变径）：ξ＝0.29 蝶阀（全开）：ξ＝0.3 弯头（变径）：ξ＝0.35 分流四通ξ＝3 分流旁三通：ξ＝0.45 分流直三通（变径）：ξ＝0.1 分叉三通（变径）：ξ＝0.304 法兰：ξ＝0.3 分叉三通（不变径）：ξ＝0.247 导流片：ξ＝0.45 电动调节阀：ξ＝0.83 防火阀：ξ＝0.3 静压箱：ξ＝1.0 软接：ξ＝1.0 裤衩三通：ξ＝0.75 消声器ξ＝2.0
表 5-5 风管水力计算 序号 风量 (m^3/ h) 管 宽 (m m) 管 高 (m m) 管 长 (m ) ν (m/ s) R (Pa/ m) △ Py △ (P a) ξ 动 压 (P a) △ Pj (P a) △ Py+ △Pj △ (Pa) 1 700 25 20 4. 5 4 1 4 0.3 9 3 6 2 1400 32 20 4. 5 6 2 7 0.3 22 7 14 3 2100 50 20 2. 2 6 1 3 0.3 2 20 7 9 4 4200 63 40 4. 2 5 0 2 3 13 39 40 5 8400 10 00 40 4. 2 6 1 2 3 20 61 63 6 12600 10 00 50 4. 2 7 1 3 3 29 88 91 7 17000 12 00 50 4. 2 8 1 3 3 37 11 1 114 8 20000 14 00 50 14 8 1 10 0.3 4 38 13 23 小计66400 42 34 13. 26 32 8 362 机组余压500Pa 所以满足要求
最不利原则解题思路
最不利原则解题思路 最不利原则是决策分析中一种常用的解决方案评估方法，也被称为 “最坏情况分析”或“最差情况分析”。它起源于军事领域，用于评估战 争行动计划的可行性和风险。如今，最不利原则已经被广泛应用于商业、 工程、环境和其他领域的问题求解中。 最不利原则的基本思想是假设在解决问题或达成决策时，最不利的情 况将会发生，并在此基础上进行决策。通过考虑最不利情况下的各种影响 和后果，决策者可以更好地预测和应对可能的风险。最不利原则主要包括 以下几个步骤： 第一步，确定最不利情况。在问题求解中，决策者应该尽可能想象和 考虑所有可能的最不利情况。这些情况可能包括技术失败、市场需求下降、竞争加剧等，具体取决于问题的性质和背景。 第二步，分析最不利情况下的影响和后果。一旦确定了最不利情况， 决策者需要进行详细的分析，考虑这些情况对解决方案或决策的影响和后果。这包括对成本、收益、风险、时间等方面的评估和分析。 第三步，制定相应的对策和应对方案。根据分析结果，决策者应该制 定相应的对策和应对方案，以应对最不利情况下的风险。这可能包括调整 计划、增加备用资源、缓冲风险等。 第四步，评估各种方案的可行性和风险。在制定对策和应对方案后， 决策者需要对各种方案进行评估，包括其可行性和风险。这可以通过定量 分析、风险评估、决策树等方法来实现。
第五步，做出决策并实施。最后，决策者需要根据评估结果，选择最 合适的方案，并进行实施。在实施过程中，决策者应该密切关注最不利情 况的变化，并及时调整和应对。 最不利原则的优点在于它能够帮助决策者预测和应对可能的风险，保 证决策结果的鲁棒性。然而，最不利原则也存在一些局限性。首先，它假 设最不利情况一定会发生，忽视了其他可能性。其次，最不利原则可能导 致过于保守的决策，限制了创新和进步。因此，在使用最不利原则时，决 策者需要仔细权衡各种因素，并结合其他分析方法和工具来进行综合评估。 在实际应用中，最不利原则可以用于解决各种问题，如项目管理、投 资决策、危机管理等。例如，在项目管理中，最不利原则可以用于评估项 目的可行性和风险，帮助项目团队预测和应对可能的问题和挑战。在投资 决策中，最不利原则可以用于评估不同投资方案的风险和收益，帮助投资 者做出明智的决策。在危机管理中，最不利原则可以用于预测和应对可能 的危机情况，提前做好准备和应对措施。 总之，最不利原则是一种常用的解决方案评估方法，通过考虑最不利 情况下的影响和后果，帮助决策者预测和应对可能的风险。虽然最不利原 则在决策分析中有一定的局限性，但在合适的问题和背景下，它仍然是一 种有用的工具和思维方法。
五年级三大原理抽屉原理教师版
抽屉原理 知识要点
抽屉原理 【例1】 数学兴趣小组共23人，有一个同学在某一天对大家宣布一个猜想：“我们中间必定有两个人生 日处在同一个月份”，你知道他是怎么知道的吗？ 【分析】 因为数学兴趣小组的人数超过了12个人，而一年中只有12个月份，根据抽屉原理一，他就可 以得出以上结论了。 【例2】 某小学有420名学生，证明其中必定有两名学生是同一天的生日。 【分析】 一年至多是366天，把这些不同日期看作是抽屉，将420名同学看作是物体，把420个物体放 在不超过366个抽屉里面，至少有一个抽屉的物品不少于2个，也就是说这两个物体所代表的 同学就是同一天的生日。 【例3】 有个小朋友特别勤奋，在暑假里每天都会做奥数题，已知他一共做了47道，妈妈说假期中他 过生日那天不止做了一道数学题。问他这个假期最多有多少天？ 【分析】 根据抽屉原理，如果假期里面的每天看作是抽屉，把47道题看作是物品，因为知道每个抽屉 都有物品并且某个抽屉中放的物品不少于2件，所以抽屉数一定小于47，所以抽屉数至多是 46，也就是说假期最多有46天。 【例4】 50个小朋友等着老师派发苹果，老师拿着苹果箱对大家说：“你们其中至少有一个小朋友可以 拿到不少于两个的苹果”，请问老师至少需要准备多少个苹果？ 【分析】 根据抽屉原理一，老师准备的苹果数必须比小朋友总人数多，因此至少需要准备50151+=个 苹果。 【例5】 妈妈给小明买了4个苹果，要求小明每天都要吃苹果，已知小明至少有一天吃了不止一个苹果， 问小明最多能吃多少天？ 【分析】 根据抽屉原理知道，只有天数比苹果数少才能保证小明至少有一天可以吃不止一个苹果，那么 小明最多可以吃3天。 【例6】 （第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动五年级初赛动手动脑题第3题）能否在8行8列 的方格表的每个空格中分别填入1,2,3这三个数中的任何一个，使得每行、每列及对角线上的 各个数的和互不相同？为什么？ 【分析】 不可能。因为每行每列每对角线上的和最小为8，和最大为24,8~24共有17个互不相同的数， 而8行、8列和两条对角线上共有18个和，根据抽屉原理，必定有两个和是相等的。 【例7】 用数字1,2,3,4,5,6填满一个66⨯的方格表，如图所示，每个小方格只填其中一个数字，将每一 个22⨯的正方格内的四个数之和称为这个22⨯正方格的“标示数”。问：能否给出一种填法， 使得任意两个“标示数”均不相同？如果能，请举出一例；如果不能，请说明理由。 ())11x n -， 、利用最值原理解题 将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思
四年级抽屉原理初步主要内容及解题思路
四年级抽屉原理初步主要内容及解题思路
四年级抽屉原理初步主要内容及解题思路一、抽屉原理 研究对象：放苹果最多的抽屉 研究方法：平均分 核心思想：使最多的至少 计算公式：苹果数÷抽屉数=？ 1）有余数苹果数÷抽屉数=商...余数 ➢有一个抽屉至少有商+1个苹果 2）无余数苹果数÷抽屉数=商 ➢有一个抽屉至少有商个苹果 问法： 1）放苹果最多的抽屉至少有（）个苹果； 2）总有一个抽屉至少有（）个苹果； 3）至少有一个抽屉至少有（）个苹果； 题型： 1）求商； 2）求苹果数，至少几个苹果才能保障有一个抽屉至少有a个苹果苹果数=抽屉数×（a-1）+1 3）构造抽屉 区分苹果和抽屉，通常情况下，苹果数＞抽屉数 二、最不利原则 关键字：“保证...至少...”;“至少...才能保证...”
从最不利的情况考虑，考虑最倒霉的情况。 生活中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，常常需要从最糟糕的情况出发解决问题，这就是最不利原则。做题时，当题目遇到“保证”等文字时，我们就一定要从最坏的角度出发，直到最终满足要求为止。 【举例】比如，小明买了7个肉包，8个素包，那么他吃几个包子，才能保证他一定能吃到肉包？这个时候我们想，他可能吃第一个包子就吃到了肉包，这个很幸运，但是我们能说他一定这么幸运吗？当然不能。他那一天就是十分倒霉，吃一个是素包，再吃一个还是素包，再吃一个仍然是素包，直到吃完所有的8素包，还是没吃到肉包，生活中是有可能会出现这个情况的，但是这个时候，如果小明再吃1个包子，一定吃到的
是肉包。所以我们要保证小明一定吃到肉包，需要他吃8+1=9(个)。所以，对于这种“保证”类的问题，我们就从最倒霉，最坏的角度出发，直到最终达到要求为止。 【典型例题】 类型一：抽屉原理 例：有10个苹果，放进9个抽屉里，一定有个抽屉至少有两个苹果，对吗？【分析】对的。10个苹果要放进9个抽屉里，每个放一个这样还剩下一个，随便放进那个抽屉里，这样就可以找到一个抽屉至少有2个苹果。同样，可以直接用抽屉原理，当苹果数比抽屉数多1个时，一定可以找到一个抽屉至少有2个苹果。 例：任意100个人中，至少有几个属于同一个星座？ 【分析】一共有12个星座，我们可以把100个人当做100个苹果，12个星座当做12个抽屉，100个苹果放进12个抽屉里，100÷12=8（个）……4（个），8+1=9（个），根据抽屉原理，我一定可以找到一个抽屉至少有9个苹果，也就是至少有9个人能属于同一个星座。 类型二：最不利原则 例：在10张卡片上不重复的编写“1”到“10”，请问至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽卡片上的数相乘后能被2整除？ 【分析】题目要求相乘后能被2整除，那么乘积一定是偶数，根据奇偶性，有
总结一些华图宝典数量关系公式
数学运算 第一章基本知识储备 常用余数性质： 1.加法封闭性：和的余数就是余数的和的余数 2.减法封闭性：差的余数就是余数的差的余数 3.乘法封闭性：积的余数就是余数的积得余数 4.幂次封闭性：幂的余数就是余数的幂的余数 第二章基本解题思路 直接代入法 “直接代入”的时候，如果问的是“最少、/最小。。。”，那么应该从最小的数开始代入，如果问的是“最大/最多。。。”那么应该从最大的数开始代入。同样，如果问的是“第一次/下一次。。。”应从最早的时刻开始代入，这样可减少一些运算量。 一、数字特性法 1、大小特性 2、奇偶特性 3、尾数特性 4、倍数特性
5、因子特性 6、余数特性 7、幂次特性 二、特值分析法 思想：很多题目的结论，与一些量的具体取值无关，此时可以将其取为某个特殊值，以便于计算 三、极端分析思想 分析：题目若出现了“至多”、“至少”、“最多”、最少、最大、最小、最快、最慢、最高、最低等字样，通常可以可虑极端分析法，其基本思想是构造“极端”的情形。 四、构造思想 构造思想：解题时直接构造出满足条件的情况，从而得到答案的思想 五、枚举归纳思想 有些和N有关的数学问题，需要先计算当N较小的时比较容易计算的情况，再总结归纳出一些规律，从而得到较大的数的规律。 六、逆向分析思想
有些数学问题，从正面不容易入手，这时可以从他的反面进行思考。即首先算出不满足题目要求的情形，从而计算出满足题目要求的情形。 第三章计算问题模块 一、尾数法 基本原理： 1、加法封闭法：和的尾数就是尾数的和的尾数 2、减法封闭法：差的尾数就是尾数的差的尾数 3、乘法封闭法：积的尾数就是尾数的积的尾数 基本解题技巧： 1.各选项间的尾数不同，可考虑用尾数法 2.使用多位尾数法时需注意以下两点： (1).过程和结果当中的数字如果只有一位，则需要补零，以补足两位 (2).过程和结果当中的数字如果是负数，可以反复加100补成0到100之间的数
小学数学思维方法： 最不利原则
最不利原则 【知识要点】 在日常生活和生产中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。 最不利原则就是从“极端糟糕”的情况考虑问题。如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。 【典型例题】 例1.一个袋子里，有5个白球和6个黄球，从中最少摸出多少个球，才能保证拿到白球？ 解：如果碰巧一次摸出1个白球，就回答是“1”，那么显然不对，因为摸出的1个小球的颜色也可能黄球。回答是“1”是从最“有利”的情况考虑的，但为了“保证拿到白球”，就要从最“不利”的情况考虑。如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。 “最不利”的情况是什么呢？那就是我们摸出6个黄球，这时再摸出一个球，就能保证拿到白球。所以回答应是最少摸出7个球。 例2口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共15个。其中红球2个、黄球5个、蓝球8个。现在一次从中任意取出n个，为保证这n个小球至少有5个同色，n的最小值是多少？ 解：从“最不利”的情况考虑。最不利的情况是取了2个红球、4个黄球和4个蓝球，共10个。此时袋中只剩下黄球和蓝球，所以再取一个球，无论是黄球还是蓝球，都可以保证有5个球颜色相同。因此所求的最小值是11。 例3一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？ 解：将15个座位顺次编为1～15号。如果2号位、5号位已有人就座，那么就座1号位、3号位、4 号位、6号位的人就必然与2号位或5号位的人相邻。根据这一想法，让2号位、5号位、8号位、11号位、14号位都有人就座，也就是说，预先让这5个座位有人就座，那么乐乐无论坐在哪个座位，必将与已就座的人相邻。因此所求的答案为5人。（如果从1号开始考虑，所求比5人多即为6人） 例4一把钥匙只能开一把锁，现有8把钥匙和8把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？ 解：从最不利的情形考虑。用8把钥匙依次去试第一把锁，最不利的情况是试验了7次，前6次都没打开，第7次无论打开或没打开，都能确定与这把锁相匹配的钥匙（若没打开，则第8把钥匙与这把锁相匹配）。同理，第二把锁试验6次……第7把锁只需试验1次，第8把锁不用再试（为什么？）。共要试验 7＋6…＋2＋1＝28（次）。
抽屉原理与最不利的区别
抽屉原理与最不利的区别 抽屉原理和最不利原理是数学中的两个重要概念，虽然它们有一些共同点，但在某些方面又存在明显的区别。 首先，我们来讨论抽屉原理。抽屉原理（也被称为鸽巢原理）是一种常识性的数学原理，它指出：如果将n+1个物体放入n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中包含了两个或更多的物体。简单来说，如果我们将更多的物体放入较少的容器中，那么必然会造成至少一个容器中装满。这个原理非常直观，也很容易理解。 关于抽屉原理，我们可以通过一个具体的例子来进行说明。假设我们有10件衣服要放入9个抽屉中，那么根据抽屉原理，至少有一个抽屉中必然会有两件或更多的衣服。这是因为我们只有9个抽屉，而衣服有10件，所以至少有一个抽屉中必然会放多余的衣服。 接下来，我们来看看最不利原理。最不利原理是一种解决最优化问题的方法，它可以帮助我们找到某种情况下最不利的情况，从而得到一个最坏的结果。最不利原理在数学和工程领域中很常见，特别是在优化和决策问题中。 最不利原理是通过寻找使得目标函数达到最小或最大值的最坏情况来进行分析和决策的。简而言之，最不利原理告诉我们，当我们做出决策时，我们应该考虑所有可能的情况，并选择能够使我们的结果最不利的情况，以便我们能够得到一个在最坏情况下也能够满足我们要求的解决方案。
最不利原理的应用非常广泛，比如在工程设计中，我们需要考虑材料的最坏状况，以保证设计的安全性；在博弈论中，我们需要考虑对手的最佳策略，从而能够采取最佳的反应；在决策问题中，我们也需要考虑可能的最坏结果，以便选择最合适的方案。 最不利原理与抽屉原理的区别在于它们的应用领域和目的不同。抽屉原理是一种数学原理，它可以用来证明某种情况的存在性，而最不利原理是一种解决最优化问题的方法，它可以帮助我们找到最坏的情况，并做出相应的决策。 此外，抽屉原理是一种直观的概念，它的应用范围相对较窄，更多地用于解决分布问题；而最不利原理则更加抽象和广泛，适用于各种最优化问题的求解。 综上所述，抽屉原理和最不利原理在某些方面存在着共同点，比如都与数量和组合有关，但在应用领域和目的上有明显的区别。
五年级上册数学奥数专题系列-容斥原理 抽屉原理 沪教版(2015秋)(含答案)
=+- (其中符号 B A B A B ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当 ，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。 B，即阴影 B计算了 、再排除——A B A B +- 次的重叠部分A B减去。 B的元素的个数，可分以下两 的元素个数，然后加起来，即先求A+ B（意思是“排除”了重复计
A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数。 用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+ 图示如下： 图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数。 1.先包含——A B C ++ A B、 B C、 C A重叠了2次，多加了1次。 2.再排除——A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C重叠了3次，但是在进行A B C A B B C A C ++---计算时都被减掉了。 3。再包含——A B C A B B C A C A B C ++---+ 最不利原则 所谓“最不利原则”是指完成某一项工作先从最不利的情况下考虑，然后研究任意情况下可能的结果。由此得到充分可靠的结论。 抽屉原理又称鸽巢原理或Dirichlet原理 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则。抽屉原理是组合数学中一个重要而又
两者容斥： 【例 1】 两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图形状。把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘 米？ 【分析】被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分。 被覆盖面积4222212=⨯⨯-⨯=（平方厘米）。 【例 2】 一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一 个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积。 【分析】组合图形的面积=长方形面积之和-重叠部分。 组合图形的面积12810644140=⨯+⨯-⨯=（平方厘米）。 【例 3】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都 参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？ 【分析】根据包含排除法直接得：32281842+-=（人）。 【例 4】 （第二届小学迎春杯数学竞赛）有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75 人懂英 语，83人懂俄语。问既懂英语又懂俄语的有多少人？ 【分析】（法1）在100人中懂英语或俄语的有：1001090-=（人）。 又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的有：907515-=（人）。 从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的831568-=人就是既懂英语又懂俄 C B A
组合数学第19讲_最不利原则(教师版)A4
组合数学第19讲_最不利原则 一．最不利原则 考虑最坏的情况．这一原则不仅体现在抽屉原理中，还在解决很多与“至多”、“至少”相关的问题时非常重要． 二．利用最值原理解题 1．将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变的非常简单，任意取值，特殊化法； 2．在黑袋摸球问题中：要求取同色则尽量取一异色，要求取异色则尽量取一同色． 重难点：取袜子、筷子中一双、一只要认清，同色、异色要做到心中有数． 题模一：基础 例1.1.1袋子里有红色的球3个，黄色的球5个，蓝色的球6个，绿色的球8个，那么一次至少拿__________个球，才能保证一定有绿色的球． 【答案】15 【解析】保证一定有绿色的球，那么最不利的情况下，先拿完红色、黄色、蓝色的球，再 +++=个球． 拿1个就是绿色的了．所以至少拿356115 例1.1.2一个布袋里有大小相同颜色不同的一些木球，其中红色的有10个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个．请问： （1）一次至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有三种颜色？ （2）一次至少要取出多少个球，才能保证其中必有红球和黄球？ 【答案】（1）19个（2）15个 【解析】（1）要使取出的球至少有3种颜色，最不利的情况是尽量多地取出其中的某2种，且这2种的数量最多．红球和黄球显然最多，全都取出共有10818 +=个球．此时只要再多取1个球，就保证至少有3种颜色了，因此取19个球即可． （2）要保证取出的球中必有红球和黄球，最不利的情况首先是蓝色和绿色的球都取出，并且红色和黄色的其中一种颜色的球都取出．因为要尽可能多取出球，就要选择多的那种球．因此在红色和黄色中，应选择将红色球全部取出．因此最不利的情况是取出所有的蓝色，绿色以及红色球，此时共取出311014 ++=个球．从而至少要取出15个球，才能保证其中必有红色和黄色球． 例1.1.3将1只白袜子，2只黑袜子，3只红袜子，8只黄袜子和9只绿袜子放入一个布袋里．请问 （1）一次至少要摸出多少只袜子才能保证有颜色相同的两双袜子？ （2）一次至少要摸出多少只袜子才能保证有颜色不同的两双袜子？（两只袜子颜色相同即为一双） 【答案】（1）13只（2）14只 【解析】（1）题目不仅要求有两双袜子，并且这两双的颜色要一样，也就是至少有4只同
最不利原则
最不利原则 在日常生活和生产中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。下面通过具体例子说明最不利原则以及它的应用。 例1口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？ 分析与解：如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同，就回答是“4”，那么显然不对，因为摸出的4个小球的颜色也可能不相同。回答是“4”是从最“有利”的情况考虑的，但为了“保证至少有4个小球颜色相同”，就要从最“不利”的情况考虑。如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。 “最不利”的情况是什么呢？那就是我们摸出3个红球、3个黄球和3个蓝球，此时三种颜色的球都是3个，却无4个球同色。这样摸出的9个球是“最不利”的情形。这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。所以回答应是最少摸出10个球。
由例1看出，最不利原则就是从“极端糟糕”的情况考虑问题。如果例1的问题是“最少摸出几个球就可能有4个球颜色相同”，那么我们就可以根据最有利的情况回答“4个”。现在的问题是“要保证有4个小球的颜色相同”，这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况分析问题。 例2口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。现在一次从中任意取出n个，为保证这n个小球至少有5个同色，n的最小值是多少？ 分析与解：与例1类似，也要从“最不利”的情况考虑。最不利的情况是取了3个红球、4个黄球和4个蓝球，共11个。此时袋中只剩下黄球和蓝球，所以再取一个球，无论是黄球还是蓝球，都可以保证有5个球颜色相同。因此所求的最小值是12。 例3一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？ 分析与解：将15个座位顺次编为1～15号。如果2号位、5号位已有人就座，那么就座1号位、3
小学数学定律、原理
第一章：植树问题 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数＝段数＋1＝全长÷株距+1 全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 ⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数＋1) 株距＝全长÷(株数＋1) 2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 第二章：数学方正问题 学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
核心公式： 1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心） 2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋1 3．方阵外一层总人数比内一层总人数多2 4．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1 例1学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人? A．256人B．250人C．225人D．196人（2002年A类真题） 解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。 根据四周人数和每边人数的关系可以知： 每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。 方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人） 整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。 所以，正确答案为A。 例2参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人？ 分析如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9人，因而我们可以得到如下公式：
最不利原则
最不利原则 1、肉包子7 个，素包子 6 个，至少吃几个，才能吃到两种馅？ 2、白球7 个，黑球8 个，至少摸几个，才能保证： A、有2个相同颜色的球？ B、有2个不同颜色的球？ C、有2个黑球？ D、有2个白球？ E、有1个黑，1个白？ F、每种颜色都有5个球？ G、保证有5球同色？ 3、黄球10 个，白球7个，黑球8 个，至少摸多少个，才能保证： A、有3 种颜色的球？ B 、一定会有黑球？
5 个球 C 、一定会有黄球? D 、有3球同色？ 4、 黄球 3 个，白球 7 个，黑球 8 个，至少摸几个，才能保证 同色？ 5、 在一副扑克牌种，最少取出多少张，才能保证： A 、 四种花色都有？ B 、 取出 2 张红桃？ C 、 有 1 张 10？ D 、 有 1 张红桃 10？ E 、 有 2 张花色相同？ 6、 5 把钥匙 5 把锁，一把钥匙开一把锁， A 、 最少试多少次才能保证打开所有的锁？ B 、 最少试多少次才能将钥匙和锁配套？
7、在一个口袋中有10 个黑球，6个白球，4 个红球，至少从中取出多少个球才能保证其中有白球？ 8、口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20 个，问一次至少摸出几个球才能保证有 4 个颜色相同的小球？ 9、一只鱼缸里有很多条鱼，共有五个品种，至少捞出多少条鱼才能保证有5 条相同品种的鱼？ 10、一个布袋里有红色、黄色、黑色袜子各20 只，至少取出多少只袜子才能保证其中有2 双颜色不相同？至少取出多少只袜子才能保证其中有2 双颜色相同？ 11、口袋里有同样大小和同样质地的红，黄，蓝三种颜色的小球共 20 个，其中红球4 个，黄球6 个，蓝球10 个，一次至少取出多少个小球才能保证有 6 个小球颜色相同？ 12、口袋里有足够多的红，白，蓝，黑四种颜色的单色球，从口袋中任意取出若干个球，至少要取出多少个球才能保证有9 个球是同一颜色的？ 13、一排椅子只有27 个座位，部分座位已有人就座，东东来后一看，他
专题十二 最不利原则
专题十二最不利原则 在国内外数学竞赛中，常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题，我们称之为离散最值问题。解决这类非常规问题，尚无统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法，就具体的题目而言，大致可从以下几个方面着手： 1.着眼于极端情形； 2.分析推理——确定最值； 3.枚举比较——确定最值； 4.估计并构造。 常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。 例1口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？ 分析与解答： 如果碰巧，可能你一次取出的4个小球的颜色都相同。但显然，仅仅摸出4个小球，并不能保证它们的颜色相同，因为它们的颜色也可能不相同。因此，为了“保证至少有4个小球颜色相同”，我们就要从最“不利”的情况出发来考虑。如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。 “最不利”的情况是什么呢？它就是我们俗话说的运气最差的情况，实际总是与所希望的相反。那么，在这里，什么样的情况最“惨”呢？那就是我们摸出了3个红球、3个黄球和3个蓝球，此时三种颜色的球都是3个，却无4个球同色。为什么说这就是最不利的了呢？因为这时我们接着再摸出一个球的话，无论是红色还是黄色或者蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。所以，一次最少摸出10个球，才能保证至少有4个小球颜色相同。 由此我们看到了，最不利原则就是从“极端糟糕”、从“运气最差”的角度来考虑问题。什么样的情况我们要用最不利原则来考虑呢？那就是题目中出现要“保证……”时，这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况去分析问题。例2 口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。现在一次从中任意取出几个，为保证这几个小球至少有5个同色，那么最少要取多少个？ 分析与解答： 与上例类似，这也要从“最不利”的情况考虑。最不利的情况是什么呢？是取了3个红球、4个黄球和4个蓝球，共11个。此时袋中只剩下黄球和蓝球，所以再取一个球，无论是黄球还是蓝球，都可以保证有5个球颜色相同。因此，所求的最小值是12。
公务员考试数学基本知识
一、整除及余数判定基本法则 （1）2、4、8整除及余数判定基本法则 一个数能被2（或5）整除，当且仅当其末一位数能被2（或5）整除。 一个数能被4（或25）整除，当且仅当其末两位数能被4（或25）整除。 一个数能被8（或125）整除，当且仅当其末三位数能被8（或125）整除。 一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数被2（或5）除得的余数。 一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数被4（或25）除得的余数。 一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数被8（或125）除得的余数。 (2) 3、9整除及余数判定基本法则 一个数能被3整除，当且仅当其各位数字之和能被3整除。 一个数能被9整除，当且仅当其各位数字之和能被9整除。 一个数被3除得的余数，就是其各位数字之和被3除得的余数。 一个数被9除得的余数，就是其各位数字之和被9除得的余数。 (3) 7整除判定基本原则 一个数是7的倍数，当且仅当其末一位的两倍，与剩下的数之差为7的倍数。如362,483。 一个数是7的倍数，当且仅当其末三位与剩下的数之差为7的倍数。如12047,23015。 (4) 11整除判定基本原则 一个数是11的倍数，当且仅当其奇数位之和与偶数位之和做的差为11的倍数。 一个数是11的倍数，当且仅当其末三位与剩下的数之差为11的倍数。 (5) 13整除判定基本法则 一个数是13的倍数，当且仅当其末三位与剩下的数之差为13的倍数。 二、比例倍数 若a ︰b=m ︰n ，则说明a 占m 份，是m 的倍数；b 占n 份，是n 的倍数；a+b 占m+n 份，是m+n 的倍数；a-b 占m-n 份，是m-n 的倍数。 三、十字交叉法 Aa+Bb=（A+B ）r → A/B=(r-b)/(a-r) A ：a r-b r B ：b a-r 四、极值求解法 1、均值不等式法： ),(2+∈≥+R b a ab b a 2)2 (b a ab +≤ 当且仅当a=b 时等号成立。 ),,(33+∈≥++R c b a abc c b a 3)3 (c b a abc ++≤ 当且仅当a=b=c 时等号成立 推广：),,,(2121321+∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++R x x x x x x n n x x x x n n n n 2、一阶导为零法：连续可导函数，在其内部取到最大或最小值时，其导数为零。 五、代数工具 一元二次方程ax²＋bx ＋c=0（a ≠0），当b²－4a c ≧0时有x 24b b ac -±-
六年级下册数学试题-小升初数学思维拓展第22讲 抽屉原理(含答案解析)
小升初数学思维拓展第22讲 抽屉原理 “必有2个”原理类型“必有m+1个”原理抽屉原理最不利原则要点保证与至少⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩ 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。它是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用，因为许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原理后，能很快使问题得到解决。那么，这一讲我们就来学习抽屉原理以及它的典型应用。 抽屉原理推广到一般情形有以下两种表现形式。 抽屉原理1：将多于n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么必有一个抽屉中至少有2件物品。 例：有5只鸽子飞进4个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。 抽屉原理2：将多于m×n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么必有一个抽屉中至少有m+1 件物品。 注意，要“保证”至少有m+1件物品放在n 个抽屉里，物品数最少是m ×n+1。 例：如果将13只鸽子放进6只鸽笼里，那么至少有一只笼子要放3只或更多的鸽 子。道理很简单。如果每只鸽笼里只放2只鸽子，6只鸽笼共放12只鸽子。 剩下的一只鸽子无论放入哪只鸽笼里，总有一只鸽笼放了3只鸽子。 Ⅰ、抽屉原理的典型应用 解题思路：做抽屉问题关键是确定 “抽屉”和“苹果”，当题目中出现多个对象时，通常数 量较多者为“苹果”，数量较少者为“抽屉”。确定“苹果”和“抽屉”之后，我 们可以得出如下这个公式： 苹果÷抽屉＝商……余数，得到的结论为：有一个 抽屉里至少有（商＋1）个苹果。注意，如果没有余数，那么求至少有多少个苹 果时，商就不用+1了。这个公式对于求“至少”和“苹果”都有用。 【例1】 证明：（1）任意28个人中，至少有3个人的属相相同。（2）要想保证至少4 个人的属相相同，至少有几个人？（3）要想保证至少5个人的属相相同，但不能保证有6个人的属相相同，那么总人数应该在什么范围内？ 分析：（1）首先我们来确定苹果和抽屉，苹果比较容易确定，28个人就是28个苹果，抽 屉呢？题中提到了属相，由生活常识我们可知一共有12种属相，也就是有12个抽屉。两 者确定之后，我们套用公式就能解答了。 把12种属相看作12个抽屉，28＝2×12+4，根据抽屉原理，至少有2+1=3个人的属相 相同。 （2）这道题我们知道了“至少”是4，因此每个抽屉先放3个苹果，要想总人数最少，也就是苹果最少，商和除数已经定下来了，只能让余数最少，也就是余数为1。要保证有至少