带有分数阶边界条件的一类Caputo差分方程边值问题

第五章 边界条件

第五章 边界条件 5-1 FLUENT 程序边界条件种类 FLUENT 的边界条件包括： 1， 流动进、出口边界条件 2， 壁面，轴对称和周期性边界 3， Internal cell zones ：fluid, solid (porous is a type of fluid zone ) 4， Internal face boundaries ：fan, radiator, porous jump, wall, interior 5－2 流动进口、出口边界条件 FLUENT 提供了10种类型的流动进、出口条件，它们分别是： ★一般形式： ★可压缩流动： 压力进口 质量进口 压力出口 压力远场 ★不可压缩流动： ★特殊进出口条件： 速度进口 进口通分，出口通风 自由流出 吸气风扇，排气风扇 进口 出口 壁面 orifice (interior) orifice_plate and orifice_plate-shadow 流体 Example: Face and Cell zones associated with Pipe Flow through orifice plate

1，速度进口（velocity-inlet）：给出进口速度及需要计算的所有标量值。该边界条件适用于不可压缩流动问题，对可压缩问题不适用，否则该入口边界条件会使入口处的总温或总压有一定的波动。 2，压力进口（pressure-inlet）：给出进口的总压和其它需要计算的标量进口值。对计算可压不可压问题都适用。 3，质量流进口（mass-flow-inlet）：主要用于可压缩流动，给出进口的质量流量。对于不可压缩流动，没有必要给出该边界条件，因为密度是常数，我们可以用速度进口条件。4，压力出口（pressure-outlet）：给定流动出口的静压。对于有回流的出口，该边界条件比outflow 边界条件更容易收敛。该边界条件只能用于模拟亚音速流动。 5，压力远场（pressure-far-field）：该边界条件只对可压缩流动适合。 6，自由出流（outflow）：该边界条件用以模拟在求解问题之前，无法知道出口速度或者压力；出口流动符合完全发展条件，出口处，除了压力之外，其它参量梯度为零。但并不是所有问题都适合，有三种情况不能用自由出流边界条件：包含压力进口条件；可压缩流动问题；有密度变化的非稳定流动（即使是不可压缩流动）。 7，进口通风（inlet vent）：进口风扇条件需要给定一个损失系数，流动方向和环境总压和总温。 8，进口风扇（intake fan）：进口风扇条件需要给定压降，流动方向和环境总压和总温。9，出口通风（out let vent）：排出风扇给定损失系数和环境静压和静温。 10, 排气扇（exhaust fan）：排除风扇给定压降，环境静压。 11，对称边界（symmetry）：对称边界条件适用于流动及传热场是对称的情况。 12，周期性边界（periodic）：如果我们关心的流动，其几何边界，流动和换热是周期性重复的，那么可以采取周期性边界条件。 13，固壁边界（wall）：对于粘性流动问题，FLUENT默认设置是壁面无滑移条件。对于壁面有平移运动或者旋转运动时，可以指定壁面切向速度分量，也可以给出壁面切应力从而模拟壁面滑移。 5－3 速度进口边界条件（velocity-inlet） 给出进口速度及需要计算的所有标量值。该边界条件适用于不可压缩流动问题，对可压缩问题不适用，否则该入口边界条件会使入口处的总温或总压有一定的波动。 边界条件设置的主要输入量如图示，包括： ●速度大小，方向或各速度分量；Velocity magnitude and direction or velocity components ●周向速度（轴对称有旋流动）；Swirl velocity (for 2D axisymmetric problems with swirl) ●静温（考虑能量）；Temperature (for energy calculations) ●出流表压（对于耦合求解器）；Outflow gauge pressure (for calculations with the coupled solvers) ●湍流参数（考虑湍流计算）；Turbulence parameters (for turbulent calculations) ●……

三次样条插值的Matlab实现(自然边界和第一边界条件)

（第一边界条件）源代码： function y=yt1(x0,y0,f_0,f_n,x) _____________(1) %第一类边界条件下三次样条插值； %xi 所求点； %yi所求点函数值； %x 已知插值点； %y 已知插值点函数值； %f_0左端点一次导数值； %f_n右端点一次导数值； n = length(x0); z = length(y0); h = zeros(n-1,1); k=zeros(n-2,1); l=zeros(n-2,1); S=2*eye(n); fori=1:n-1 h(i)= x0(i+1)-x0(i); end fori=1:n-2 k(i)= h(i+1)/(h(i+1)+h(i)); l(i)= 1-k(i); end %对于第一种边界条件： k = [1;k]; _______________________(2) l = [l;1]; _______________________(3) %构建系数矩阵S： fori = 1:n-1 S(i,i+1) = k(i); S(i+1,i) = l(i); end %建立均差表： F=zeros(n-1,2); fori = 1:n-1 F(i,1) = (y0(i+1)-y0(i))/(x0(i+1)-x0(i)); end D = zeros(n-2,1);

fori = 1:n-2 F(i,2) = (F(i+1,1)-F(i,1))/(x0(i+2)-x0(i)); D(i,1) = 6 * F(i,2); end %构建函数D： d0 = 6*(F(1,2)-f_0)/h(1); ___________(4) dn = 6*(f_n-F(n-1,2))/h(n-1); ___________(5) D = [d0;D;dn]; ______________(6) m= S\D; %寻找x所在位置，并求出对应插值： fori = 1:length(x) for j = 1:n-1 if (x(i)<=x0(j+1))&(x(i)>=x0(j)) y(i) =( m(j)*(x0(j+1)-x(i))^3)/(6*h(j))+... (m(j+1)*(x(i)-x0(j))^3)/(6*h(j))+... (y0(j)-(m(j)*h(j)^2)/6)*(x0(j+1)-x(i))/h(j)+... (y0(j+1)-(m(j+1)*h(j)^2)/6)*(x(i)-x0(j))/h(j) ; break; else continue; end end end （2）（自然边界条件）源代码： 仅仅需要对上面部分标注的位置做如下修改: __(1):function y=yt2(x0,y0,x) __(2):k=[0;k] __(3):l=[l;0] __(4)+(5):删除 —(6):D=[0:D:0]

分数阶控制理论概述--总成

得分：_______ 南京林业大学 研究生课程论文 2013 ～2014 学年第 1 学期 课程号：PD03088 课程名称：工程应用专题 题目：分数阶控制理论研究及工程领域的应用 学科专业：机械工程 学号：8133013 姓名：钱东星 任课教师：陈英 二○一四年一月

分数阶控制理论研究及工程领域的应用 摘要: 作为控制科学与工程中一个新的研究领域，分数阶控制的研究愈来愈被关注。本文简要介绍分数阶控制的数学背景和基本知识,对分数阶控制理论及应用(分数阶系统模型、系统分析、分数阶控制器、非线性分数阶系统、系统辨识) 的研究作了总结、评述和展望。 关键词:控制理论；分数阶微积分(FOC)；分数阶系统 Fractional Control Theory and Engineering Applications Qian Dongxing （Nanjing Forestry University, Nanjing Jiangsu 210037）Abstract: As a new study field of control theory and applications , the fractional order control is attracted much attention recently. In this paper, an overview in this field is surveyed. The historical development and the basic knowledge of fractional-order control are introduced. The latest works of fractional-order control are summarized and reviewed, including mathematical model, system analysis, fractional-order controller, nonlinear fractional order system and identification, etc. Some future trends in its further studies are prospected. Key words: Theory of control ；Fractional order calculus( FOC) ；Fractional order system

三次样条插值的Matlab实现(自然边界和第一边界条件)

（第一边界条件）源代码：function y=yt1(x0,y0,f_0,f_n,x)_____________(1) %第一类边界条件下三次样条插值； %xi所求点； %yi所求点函数值； %x已知插值点； %y已知插值点函数值； %f_0左端点一次导数值； %f_n右端点一次导数值； n = length(x0); z = length(y0); h = zeros(n-1,1); k=zeros(n-2,1); l=zeros(n-2,1); S=2*eye(n); fori=1:n-1 h(i)= x0(i+1)-x0(i); end fori=1:n-2 k(i)= h(i+1)/(h(i+1)+h(i)); l(i)= 1-k(i);

end %对于第一种边界条件： k = [1;k];_______________________(2) l = [l;1];_______________________(3) %构建系数矩阵S： fori = 1:n-1 S(i,i+1) = k(i); S(i+1,i) = l(i); end %建立均差表： F=zeros(n-1,2); fori = 1:n-1 F(i,1) = (y0(i+1)-y0(i))/(x0(i+1)-x0(i)); end D = zeros(n-2,1); fori = 1:n-2 F(i,2) = (F(i+1,1)-F(i,1))/(x0(i+2)-x0(i)); D(i,1) = 6 * F(i,2); end %构建函数D： d0 = 6*(F(1,2)-f_0)/h(1);___________(4)

差分方程基本概念和方法

差分方程基本概念和方法 考察定义在整数集上的函数，(),,2,1,0,1,2, n x f n n ==-- 函数()n x f n =在n 时刻的一阶差分定义为： 1(1)()n n n x x x f n f n ?+=-=+- 函数()n x f n =在n 时刻的二阶差分定义为一阶差分的差分： 21212n n n n n n x x x x x x ???+++=-=-+ 同理可依次定义k 阶差分 k n x ? 定义1．含有自变量n ,未知函数n x 以及n x 的差分2,, n n x x ??的函数方程, 称为常 差分方程，简称为差分方程。出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方 程的阶。 k 阶差分方程的一般形式为 (,,, ,)0k n n n F n x x x ??= 其中(,,,,)k n n n F n x x x ??为,,, k n n n n x x x ??的已知函数，且至少k n x ?要在式中出 现。 定义2．含有自变量n 和两个或两个以上函数值1,, n n x x +的函数方程，称为（常） 差分方程，出现在差分方程中的未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。 k 阶差分方程的一般形式为 1(,,, ,)0n n n k F n x x x ++= 其中1(,,,,)n n n k F n x x x ++为1,,, n n n k n x x x ++的已知函数，且n x 和n k x +要在式中一定 要出现。 定义3．如果将已知函数()n x n ?=代入上述差分方程，使其对0,1,2, n =成为恒 等式，则称()n x n ?=为差分方程的解。如果差分方程的解中含有k 个独立的任意

含参数的分数阶差分方程特征值问题

含参数的分数阶差分方程特征值问题 与经典的整数阶模型相比,分数阶模型可以更好地刻画多种材料的记忆和遗传特性,所以分数阶微积分的研究逐步引起了国内外学者的广泛关注。分数阶差分方程是离散化的分数阶微分方程,不仅在数学领域有应用价值,还出现在流变学、自相似中的动力学过程和多孔结构、电力网、粘弹性、化学物理和其它许多科学分支。 因为分数阶差分方程的理论发展和实际应用价值,它引起了专家学者们极大的研究兴趣。对差分系统加入参数以后,当参数值变化时,系统的稳定性和结构也可能改变。 因此,研究含参数分数阶差分系统、掌握参数变动对系统的性能、状态和动力学性质的影响是非常有科学意义和应用价值的。另外,研究含参数的分数阶差分方程特征值问题也是进一步研究分数阶差分方程谱理论的重要基础。 由分数阶差分方程的研究我们可以推广到带p-Laplace算子的分数阶差分方程研究,由于p-Laplace算子是非线性算子,因此它可以应用到许多领域,例如动力系统、分子结构、互联网络、图像处理等等。除此之外,当p（28）2时,就可以转化成一般分数阶差分方程边值问题。 本文主要研究了几类分数阶差分方程边值问题,其中包括带p-Laplace算子的边值问题,方程含参数的边值问题,奇异边值问题,最小特征值问题和分数阶Nabla边值问题等多种类型,给出解和正解的存在性、唯一性以及正解的不存在性定理,最小特征值比较定理和Lyapunov不等式,并用例子论证主要结果。第一章给出了分数阶差分方程的研究背景与意义,正文中将会用到的一些基本的定义和引理以及本文的工作安排。

第二章研究了两类带p-Laplace算子的分数阶差分方程边值问题。第一节,利用Banach压缩映射原理和Brouwer不动点定理给出边值问题解的唯一性和存在性,并用例子验证所得结果。 第二节,利用Green函数的性质和Guo-krasnosel’skii不动点定理给出边值问题正解存在的几个充分条件,并用例子验证所得结果。第三章研究了两类含参数的奇异分数阶差分方程边值问题。 利用辅助函数和Guo-krasnosel’skii不动点定理给出边值问题正解的存在性定理,并给出具体例子。第四章第一节研究了一类带有非局部边值条件含参数的分数阶差分方程特征值问题。 通过基于单调迭代技巧的上下解方法给出边值问题正解存在性的结果,利用锥上的Guo-krasnosel’skii不动点定理和Green函数的性质讨论该边值问题特征值的取值范围,并给出实例加以说明。第二节,研究了一类带有强迫项的分数阶差分方程边值问题,给出Lyapunov和Hartman型不等式的结果,并给出实例加以说明。 第五章研究了两类分数阶差分方程最小特征值问题。利用₀u正算子给出两个边值问题最小特征值存在的结果,并给出最小特征值的比较方法。 第六章研究了两类含参数的分数阶Nabla差分方程特征值问题。利用Green 函数的性质和锥上的Guo-krasnosel’skii不动点定理讨论边值问题特征值的取值范围,并给出例子说明结果。 第七章为全文的结论与展望,总结论文的主要工作和创新之处,并对将来的可做工作进行展望。

传热学第二章思考题

第二章思考题 1、什么是傅里叶导热定律？它的意义是什么？ 傅里叶定律：在任意时刻，各向同性连续介质内任意位置处的热流密度在数值上与该点的温度梯度的大小成正比，方向相反。 意义：它揭示了导热热流与局部温度梯度之间的内在关系，是试验定律。 2、傅里叶定律中并没有出现时间，能否用来计算非稳态导热过程中的导热量？ 可以用来计算非稳态导热过程中的导热量 3、试举例说明影响导热系数的因素有哪些？ 物性参数，与物质的几何形状，质量体积等因素无关 主要取决于物质的种类、结构、密度、温度、压力和含湿量等 有些材料，如木材、结构体、胶合板等还与方向有关(各向异性材料)有关 4、什么是保温材料？选择和安装保温材料是应注意哪些问题？ 习惯上吧导热系数较小的材料称为保温材料(又称隔热材料或绝热材料)。 保温材料要注意防潮、防水。 5、推导导热微分方程式时依据的原理和定律是什么？ 依据：能量守恒定律和导热定律 6、说明直角坐标系下的导热微分方程的适用条件。 某均质、各向同性物体内发生着导热过程，内部有强度为Φ的均匀内热源。 7.具体导热问题完整的数学描述应包括哪些内容？ 答：（1）导热微分方程 () λ φ ρ τ ? + ? ? + ? ? + ? ? = ? ? 2 2 2 2 2 2 z t y t x t ct 【直角坐标系】 （2）单值性条件 8.何谓导热问题的单值性条件？它包括哪些内容？ 答：（1）单值性条件：对问题予以描述的说明或限定性条件 （2）内容 ①几何条件：规定了导热物体的几何形状和尺寸。 ②物理条件：说明了导热物体的物理特征，如物体的热物性参数的大小及其 随其他参数（如温度）的变化规律，是否有内热源，其大小和分布情况。 ③初始条件：时间条件，给出了过程开始时刻物体内的分布状况。 ④边界条件：规定了物体在边界上与外界环境之间在换热上的联系或相互作 用。 9.试分别用数学语言及传热术语说明导热问题三种类型的边界条件。 答：（1）第一类边界条件。规定了导热物体在边界上的温度，

三次样条插值的Matlab实现(自然边界和第一边界条件)(精)

(第一边界条件源代码: function y=yt1(x0,y0,f_0,f_n,x _____________(1 %第一类边界条件下三次样条插值; %xi 所求点; %yi所求点函数值; %x 已知插值点; %y 已知插值点函数值; %f_0左端点一次导数值; %f_n右端点一次导数值; n = length(x0; z = length(y0; h = zeros(n-1,1; k=zeros(n-2,1; l=zeros(n-2,1; S=2*eye(n; fori=1:n-1 h(i= x0(i+1-x0(i; end fori=1:n-2

k(i= h(i+1/(h(i+1+h(i; l(i= 1-k(i; end %对于第一种边界条件: k = [1;k]; _______________________(2 l = [l;1]; _______________________(3 %构建系数矩阵 S : fori = 1:n-1 S(i,i+1 = k(i; S(i+1,i = l(i; end %建立均差表: F=zeros(n-1,2; fori = 1:n-1 F(i,1 = (y0(i+1-y0(i/(x0(i+1-x0(i; end D = zeros(n-2,1; fori = 1:n-2 F(i,2 = (F(i+1,1-F(i,1/(x0(i+2-x0(i; D(i,1 = 6 * F(i,2;

end %构建函数 D : d0 = 6*(F(1,2-f_0/h(1; ___________(4 dn = 6*(f_n-F(n-1,2/h(n-1; ___________(5 D = [d0;D;dn]; ______________(6 m= S\D; %寻找 x 所在位置,并求出对应插值: fori = 1:length(x for j = 1:n-1 if (x(i<=x0(j+1&(x(i>=x0(j y(i =( m(j*(x0(j+1-x(i^3/(6*h(j+... (m(j+1*(x(i-x0(j^3/(6*h(j+... (y0(j-(m(j*h(j^2/6*(x0(j+1-x(i/h(j+... (y0(j+1-(m(j+1*h(j^2/6*(x(i-x0(j/h(j ; break; else continue; end end end (2 (自然边界条件源代码: 仅仅需要对上面部分标注的位置做如下修改 :

高阶差分方程

第六章 高阶差分方程 在离散时间分析中可能出现这种情况：t 期的经济变量，比如y t ，不仅取决于y t-1，而且取决于y t-2。这样便引出了二阶差分方程。 严格地讲，二阶差分方程是一个包含表达式Δ2y t ，但不含高于二阶差分的方程。Δ2y t 读作y t 的二阶差分。而符号Δ2是符号d 2y ／dt 2在离散时间情况下的对应物，表示“取二阶差分”如下： Δ2y t =Δ(Δy t )=Δ(y t+1-y t )=(y t+2-y t+1)-(y t+1-y t )=y t+2-2y t+1+y t 因此，y t 的二阶差分可以转换为包含两期时滞的项的和。因为像Δ2y t 和Δy t 这样的表达式写起来很麻烦，所以我们将二阶差分方程重新定义为包含变量的两期时滞的方程。类似地，三阶差分方程为包含三期时滞的方程；等等。 我们首先集中讨论二阶差分方程的解法，然后再在后面的章节中将其推广至高阶差分方程。为控制讨论的范围，在本章，我们仅讨论常系数线性差分方程。但对常数项和可变项两种形式，均作考察。 具有常系数和常数项的二阶线性差分方程 一类简单的二阶差分方程的形式为： y t+2+a 1y t+1+a 2y=c 6.1 读者应注意到，此方程为线性、非齐次，且具有常系数（a 1，a 2）和常数项c 的差分方程。 二阶差分方程的通解是由余函数和特别积分构成：y t ＝y c +y p 。 特别积分是 1,12121-≠+++=a a a a y c p 6.2 2,1,21211-≠-=++=a a a a y t c p 6.2’ 2,1,21212-=-=+=a a a t y c p 6.2’’ 为求出余函数，我们必须集讨论简化方程 y t+2+a 1y t+1+a 2y ＝0 6.3 解一阶差分方程的经验告诉我们，Ab t 式在这种方程的通解中起非常重要的作用。因此，我们先试探形式为y t ＝Ab t 的解，它自然意味着y t+1＝Ab t+1，等等。我们的任务便是确定A 和b 的值。 将试探解代入简化方程，方程变成 Ab t+2+a 1Ab t+1+a 2Ab t ＝0 或在消去（非零）共同因子Ab t 后，有b 2+a 1b+a 2＝0 6.3’ 此二阶差分方程的特征方程与二阶微分方程的特征方程具有可比性。它具有两个特征根：

FLUENT UDF应用实例：传热热问题第二第三类热边界条件转换成第一类边界条件

FLUENT UDF 应用实例:传热问题第二第三类热边界条件转 换成第一类边界条件 1 引言 传热问题的常见边界条件可归纳为三类，以稳态传热为例，三类边界条件的表达式如下。 恒温边界（第一类边界条件）：const w T = （1-1） 恒热流密度边界（第二类边界条件）：const w T n λ???-= ???? （1-2） 对流换热边界（第三类边界条件）：()w f w T h T T n λ???-=- ???? （1-3） 2 问题分析 2.1 纯导热问题 以二维稳态无源纯导热问题为例，如图1所示，一个10×10m 2的方形平面空间，上下面以及左边为恒温壁面（21℃），右边第二类、第三类边界条件如图所示。为方便问题分析，内部介质的导热系数取1W/m ℃。模型水平垂直方向各划分40个网格单元，不计边界条件处壁厚。 图1 问题描述 采用FLUENT 软件自带边界条件直接进行计算，结果如图2所示。

（a ）第二类边界条件 （b ）第三类边界条件 图2 软件自带边界计算结果 参考数值传热学[3]，对于第二类（式1-2）、第三类（式1-3）边界条件可通过补充边界点代数方程的方法进行处理，结果如下。 第二类边界条件：11M M q T T δ λ-=+ （2-1） 第三类边界条件：11/1M M f h h T T T δδλλ-????=++ ? ?? ??? （2-2） 其中，T M 为边界节点处的温度（所求值），T M-1为靠近边界第一层网格节点处的温度，δ为靠近边界第一层网格节点至边界的法向距离，q 为热流密度，h 为对流换热系数。 将以上两式通过UDF 编写成边界条件（DEFINE_PROFILE ），全部转换为第一类边界条件，计算结果如图3所示。

第五章,边界条件

第五章，边界条件 5-1, FLUENT程序边界条件种类 orifice (interior) orifice_plate and orifice_plate-shadow 出口 壁面 进口 流体 Example: Face and Cell zones associated with Pipe Flow through orifice plate FLUENT的边界条件包括： 1，流动进、出口边界条件 2，壁面，轴对称和周期性边界 3，Internal cell zones: fluid, solid (porous is a type of fluid zone ) 4，Internal face boundaryies: fan, radiator, porous jump, wall, interior 5－2，流动进口、出口边界条件 FLUENT提供了10种类型的流动进、出口条件，它们分别是：

★一般形式： ★可压缩流动： 压力进口 质量进口 压力出口 压力远场 ★不可压缩流动： ★特殊进出口条件： 速度进口 进口通分，出口通风 自由流出 吸气风扇，排气风扇 1， 速度进口：给出进口速度及需要计算的所有标量值 2， 压力进口：给出进口的总压和其它需要计算的标量进口值 3， 质量流进口：主要用于可压缩流动，给出进口的质量流量。对于不可压缩流动，没有必要 给出该边界条件，因为密度是常数，我们可以用速度进口条件。 4， 压力出口：给定流动出口的静压。对于有回流的出口，该边界条件比outflow 边界条件更 容易收敛。 5， 压力远场：该边界条件只对可压缩流动适合。 6， outflow ： 该边界条件用以模拟在求解问题之前，无法知道出口速度或者压力；出口流动 符合完全发展条件，出口处，除了压力之外，其它参量梯度为零。该边界条件不适合可压缩流动。 7， inlet vent ：进口风扇条件需要给定一个损失系数，流动方向和环境总压和总温。 8， intake fan ：进口风扇条件需要给定压降，流动方向和环境总压和总温。 9， out let vent ：排出风扇给定损失系数和环境静压和静温。 10, exhaust fan.：排除风扇给定压降，环境静压。 5－3 压力进口边界条件 压力进口边界条件通常用于给出流体进口的压力和流动的其它标量参数，对计算可压和不可压问题都适合。压力进口边界条件通常用于不知道进口流率或流动速度时候的流动，这类流动在工程中常见，如浮力驱动的流动问题。压力进口条件还可以用于处理外部或者非受限流动的自由边界。 压力边界条件需要表压输入。 5－1 Operating pressure 输入： Define-operating conditions operating gauge absolute p p p +=

蒋中一《数理经济学的基本方法》(第4版)课后习题详细分析和解答(第18章 高阶差分方程)【圣才出品】

第18章 高阶差分方程 练习18.1 1．写出下列每个方程的特征方程，并求出特征根： （a ）y t ＋2－y t ＋1＋（1/2）y t ＝2； （b ）y t ＋2－4y t ＋1＋4y t ＝7； （c ）y t ＋2＋（1/2）y t ＋1－（1/2）y t ＝5； （d ）y t ＋2－2y t ＋1＋3y t ＝4。 解：（a ）特征方程为：b 2－b ＋1/2＝0，可解得特征根为： （b ）特征方程为：b 2－4b ＋4＝0，可解得特征根为： （c ）特征方程为：b 2＋b/2－1/2＝0，可解得特征根为： （d ）特征方程为：b 2－2b ＋3＝0，可解得特征根为： 2．对于上题中的每个差分方程，根据特征根判定时间路径是否包含振荡或阶梯波动，以及时间路径是否是放大的。 1211,22b b i == ±12,2,2b b ==12111,,1 222b b ?=-±=- ?12,1b b = =±

解：（a ）特征根为一对共轭复根：b 1，b 2＝1/2±（1/2）i ，时间路径包含阶梯波动。又因为特征根的绝对值为，所以时间路径衰减。 （b ）特征根为：b 1，b 2＝2＞0，时间路径不包含振荡，也不包含阶梯波动。又因为特征根的绝对值|b|＝2＞1，所以时间路径放大。 （c ）特征根为两个不同实根，其中－1是强根。由于其为负，则时间路径包含振荡，且最终为单位振荡。 （d ）特征根为一对共轭复根： ，时间路径包含阶梯波动。又因为特征根的绝对值为 ，所以时间路径放大。 3．求练习18.1-1中的方程的特别解。它们表示稳定均衡或移动均衡吗？ 解：（a ）a 1＝－1，a 2＝1/2，c ＝2，由于a 1＋a 2≠－1，由（18.2），特别解为：y p ＝c/（1＋a 1＋a 2）＝2/（1/2）＝4。 （b ）a 1＝－4，a 2＝4，c ＝7，由于a 1＋a 2≠－1，由（18.2），特别解为：y p ＝c/（1＋a 1＋a 2）＝7/1＝7。 （c ）a 1＝1/2，a 2＝－1/2，c ＝5，由于a 1＋a 2≠－1，由（18.2），特别解为：y p ＝c/（1＋a 1＋a 2）＝5/1＝5。 （d ）a 1＝－2，a 2＝3，c ＝4，由于a 1＋a 2≠－1，由（18.2），特别解为：y p ＝c/（1＋a 1＋a 2）＝4/2＝2。 4．解下列差分方程： （a ）y t ＋2＋3y t ＋1－（7/4）y t ＝9（y 0＝6；y 1＝3） （b ）y t ＋2 －2y t ＋1＋2y t ＝1（y 0＝3；y 1＝4 ） 1R == <12,1b b =±1R ==>

第五章,边界条件

第五章，边界条件 5-1, FLUENT 程序边界条件种类 进口 出口 壁面 orifice (interior) orifice_plate and orifice_plate-shadow 流体 Example: Face and Cell zones associated with Pipe Flow through orifice plate FLUENT 的边界条件包括： 1， 流动进、出口边界条件 2， 壁面，轴对称和周期性边界 3， Internal cell zones: fluid, solid (porous is a type of fluid zone ) 4， Internal face boundaryies: fan, radiator, porous jump, wall, interior 5－2，流动进口、出口边界条件 FLUENT 提供了10种类型的流动进、出口条件，它们分别是：

一般形式： 可压缩流动： 压力进口 质量进口 压力出口 压力远场 不可压缩流动： 特殊进出口条件： 速度进口 进口通分，出口通风 自由流出 吸气风扇，排气风扇 1， 速度进口：给出进口速度及需要计算的所有标量值 2， 压力进口：给出进口的总压和其它需要计算的标量进口值 3， 质量流进口：主要用于可压缩流动，给出进口的质量流量。对于不可压缩流动，没有必要 给出该边界条件，因为密度是常数，我们可以用速度进口条件。 4， 压力出口：给定流动出口的静压。对于有回流的出口，该边界条件比outflow 边界条件更 容易收敛。 5， 压力远场：该边界条件只对可压缩流动适合。 6， outflow ： 该边界条件用以模拟在求解问题之前，无法知道出口速度或者压力；出口流动 符合完全发展条件，出口处，除了压力之外，其它参量梯度为零。该边界条件不适合可压缩流动。 7， inlet vent ：进口风扇条件需要给定一个损失系数，流动方向和环境总压和总温。 8， intake fan ：进口风扇条件需要给定压降，流动方向和环境总压和总温。 9， out let vent ：排出风扇给定损失系数和环境静压和静温。 10, exhaust fan.：排除风扇给定压降，环境静压。 5－3 压力进口边界条件 压力进口边界条件通常用于给出流体进口的压力和流动的其它标量参数，对计算可压和不可压问题都适合。压力进口边界条件通常用于不知道进口流率或流动速度时候的流动，这类流动在工程中常见，如浮力驱动的流动问题。压力进口条件还可以用于处理外部或者非受限流动的自由边界。 压力边界条件需要表压输入。 5－1 operating gauge absolute p p p +=Operating pressure 输入： Define-operating conditions

传热大作业两种边界条件汇总

XI'AN JIAOTONG UNIVERSITY Report of 'Heat Transfer'Computer Practice 二维导热物体温度场的数值模拟 作者：隋毅学号：2111802024 学院(系)：能源与动力工程学院 专业：能源动力系统及自动化 班级：能动A16 指导教师：李增耀

二维导热物体温度场的数值模拟 一：物理描述 有一个用砖砌成的长方形截面的冷空气通道，其截面尺寸和示意图如图1-1所示，假设在垂直纸面方向上冷空气及砖墙的温度变化很小，可以近似地予以忽略。在下列两种情况下试计算：（1）砖墙横截面上的温度分布；（2）垂直于纸面方向的每米长度上通过砖墙的导热量。 第一种情况：内外壁分布均匀地维持在0C ?及30C ?； 第二种情况：内外表面均为第三类边界条件，且已知： 10,3011=?=∞h C t C m W ??2/ 4,1022 =?=∞h C t C m W ??2/ 砖墙的导热系数C m W ??=/3.50λ 11h t ，∞ 1w t 2 2h t ∞ 2w t

图1-1 二：数学描述 该结构的导热问题可以作为二维问题处理，并且其截面如图1-1所示，由于对称性，仅研究其1/4部分即可。 其网络节点划分如图2-1； 上述问题为二维矩形域内的稳态、无内热源、常物性的导热问题，对于这样的物理问题，我们知道，描写其的微分方程即控制方程，就是导热微分方程： 0222 2=??+??y t x t 第一类边界条件：内外壁分布均匀地维持在0C ?及30C ?； 1w t =30C ? 2w t =0C ? 第三类边界条件：内外表面均为第三类边界条件，且已知： 32.10,3011=?=∞h C t C m W ??2 / 04.4,1022=?=∞h C t C m W ??2 / 砖墙的导热系数C m W ??=/3.50λ

数学物理方法 名词解释

第一章 1.定解条件：边界条件和初始条件统称为定解条件。边界条件又有Dirichlet边界条件（也称第一类边界条件）、Neumann条件,也称第二类边界条件、Robin边界条件，第三类边界条件。P3-4 2.定解问题：一个微分方程（组）和相对应的定解条件合在一起就构成了一个定界问题。又分有初始问题（Cauchy问题），只有初始条件没有边界条件的定界问题；边值问题，只有边界条件没有初始条件的定解问题；混合问题，两者都有。对于边值问题，根据边界条件不同，又可以分为第一、第二和第三边值问题。P11 3.定解问题的适定性 从数学上看，判断一个定解问题是否合理，即是否能够完全描述给定的物理状态，一般来说有一下三个标准： ⑴解的存在性：所给定的定解问题至少存在一个解。 ⑵解的惟一性：所给定的定解问题至多存在一个解。 ⑶解的稳定性：当给定条件以及方程中的系数有微小变动时，相应的解也只有微小变动。定解问题解的存在性、惟一性和稳定性统称为定解问题的适定性。P12 4.Dirichlet、Neumann定解问题 定解条件只有Dirichlet条件没有初始条件的定解问题叫做Dirichlet定解问题。 定解条件只有Neumann条件没有初始条件的定解问题叫做Neumann定解问题。 5.热传导Fourier定律：热量以传导形式传递时，单位时间内通过单位面积所传递的热量与当地温度梯度成正比。对于一维问题，可表示为:Φ＝-λA(dt/dx) 其中Φ为导热量，单位为W,λ为导热系数,A为传热面积，单位为m2, t为温度，单位为K, x 为在导热面上的坐标。 6.Hooke弹性定律：在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比。 7.发展方程：所描述的物理过程随时间而演变,如:波动方程、热传导方程等 8.在热传导方程中，如果温度分布稳定，即，则三维热传导方程变为 ，此方程为Poisson方程。特别地，若f(x,y,z)=0，即，则为Laplace方程。 Poisson方程或Laplace方程统称为位势方程。 9.二阶线性偏微分方程分类方法 的二阶主部为。 若二阶主部作成的判别式在区域中的某点，则称方程在这点是双曲型的；若某点，称方程在这点是抛物型的；若某点，则称方程在这点是椭圆型的。 第二章 1.特征值：使常微分方程边值问题具有非零解的数称为这个边值问题的特征值，相对应的非零解称为这个特征值的特征函数。P26 2.Sturm-Liouville问题：常微分边值问题，以及求它的所有特征值和特征函数的问题。 3.驻波：有节点的振动波。 4.腹点：使振幅达到最大值的点。 5.节点：点，在任何时刻t都使的点。 6.基频：在所有的驻波频率最小，称为基频。 7.固有基频：为弦的固有频率。 8. 三角函数系的正交性: 1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…cosnx，sinnx，构成了一个三角

浅谈边界条件

浅谈边界条件 对有限元计算，无论是ansys，abaqus，msc还是comsol等，归结为一句话就是解微分方程。而解方程要有定解，就一定要引入条件，这些附加条件称为定解条件。定解条件的形式很多，只讨论最常见的两种——初始条件和边界条件。 在说边界条件之前，先谈谈初值问题和边值问题。 初值和边值问题： 对一般的微分方程，求其定解，必须引入条件，这个条件大概分两类---初始条件和边界条件，如果方程要求未知量y(x)及其导数y′(x)在自变量的同一点x=x0取给定的值，即y(x0 )=y0，y′(x0)= y0′，则这种条件就称为初始条件，由方程和初始条件构成的问题就称为初值问题； 而在许多实际问题中，往往要求微分方程的解在在某个给定的区间a ≤ x ≤b的端点满足一定的条件，如y(a) = A , y(b) = B 则给出的在端点(边界点)的值的条件，称为边界条件，微分方程和边界条件构成数学模型就称为边值问题。 三类边界条件: 边值问题中的边界条件的形式多种多样，在端点处大体上可以写成这样的形式，Ay+By'=C，若B=0，A≠0,则称为第一类边界条件或狄里克莱(Dirichlet)条件；B≠0,A=0，称为第二类边界条件或诺依曼(Neumann)条件；A≠0,B≠0，则称为第三类边界条件或洛平(Robin)条件。 总体来说， 第一类边界条件：给出未知函数在边界上的数值； 第二类边界条件：给出未知函数在边界外法线的方向导数； 第三类边界条件：给出未知函数在边界上的函数值和外法向导数的线性组合。 对应于comsol，只有两种边界条件： Dirichlet boundary（第一类边界条件）—在端点，待求变量的值被指定。 Neumann boundary（第二类边界条件）—待求变量边界外法线的方向导数被指定。 再补充点初始条件： 初始条件，是指过程发生的初始状态，也就是未知函数及其对时间的各阶偏导数在初始时刻t＝0的值．在有限元中，好多初始条件要预先给定的。不同的场方程对应不同的初始条件。 总之，为了确定泛定方程的解，就必须提供足够的初始条件和边界条件！

第五章,边界条件

5-1, FLUENT 程序边界条件种类 Exam ple: with Pipe Flow through orifice pl ate 流动进、出口边界条件 壁面，轴对称和周期性边界 Internal cell zon es: fluid, solid (po rous is a type of fluid zone ) Internal face boun daryies: fan, radiator, po rous jump, wall, in terior 5-2，流动进口、出口边界条件 FLUENT 提供了 10种类型的流动进、出口条件，它们分别是: 第五章，边界条件 orifice (in terior) orifice —plate and orifice_ plate-shadow .<1 III 进口 ' = 流体 壁面 Face and Cell zones associated FLUENT 的边界条件包括: 1， 2， 3， 4，

符合完全发展条件，出口处，除了压力之外，其它参量梯度为零。该边界条件不适合可压 缩流动。 iniet vent :进口风扇条件需要给定一个损失系数，流动方 向和环境总压和总温。 in take fan :进口风扇条件需要给定压降，流动方向和环境总压和总温。 out let vent :排出风扇给定损失系数和环境静压和静温。 5-3压力进口边界条件 压力进口边界条件通常用于给出流体进口的压力和流动的其它标量参数， 可压问题都适合。压力进口边界条件通常用于不知道进口流率或流动速度时候的流动， 这类流 动在工程中常见，如浮力驱动的流动问题。压力进口条件还可以用于处理外部或者非受限流动 的自由边界。 压力边界条件需要表压输入。 P absolute — P gauge 十 P operating 1, 2, 3, 4, 5, 6, 一般形式: 压力进口 压力出口 可压缩流动: 质量进口 压力远场 不可压缩流动： 特殊进出口条件： 速度进口 自由流出 进口通分，出口通风 吸气风扇，排气风扇 速度进口：给出进口速度及需要计算的所有标量值 压力进口：给出进口的总压和其它需要计算的标量进口值 质量流进口：主要用于可压缩流动，给出进口的质量流量。对于不可压缩流动，没有必要 给出该 边界条件，因为密度是常数，我们可以用速度进口条件。 压力出口： 容易收敛。 压力远场： outflow : 给定流动出口的静压。对于有回流的出口，该边界条件比 outflow 边界条件更 该边界条件只对可压缩流动适合。 该边界条件用以模拟在求解问题之前，无法知道出口速度或者压力；出口流动 7, 8, 9, 10, exhaust fan.：排除风扇给定压降，环境静压。 对计算可压和不