含参数的分数阶差分方程特征值问题
含参数的分数阶差分方程特征值问题
与经典的整数阶模型相比,分数阶模型可以更好地刻画多种材料的记忆和遗传特性,所以分数阶微积分的研究逐步引起了国内外学者的广泛关注。分数阶差分方程是离散化的分数阶微分方程,不仅在数学领域有应用价值,还出现在流变学、自相似中的动力学过程和多孔结构、电力网、粘弹性、化学物理和其它许多科学分支。
因为分数阶差分方程的理论发展和实际应用价值,它引起了专家学者们极大的研究兴趣。对差分系统加入参数以后,当参数值变化时,系统的稳定性和结构也可能改变。
因此,研究含参数分数阶差分系统、掌握参数变动对系统的性能、状态和动力学性质的影响是非常有科学意义和应用价值的。另外,研究含参数的分数阶差分方程特征值问题也是进一步研究分数阶差分方程谱理论的重要基础。
由分数阶差分方程的研究我们可以推广到带p-Laplace算子的分数阶差分方程研究,由于p-Laplace算子是非线性算子,因此它可以应用到许多领域,例如动力系统、分子结构、互联网络、图像处理等等。除此之外,当p（28）2时,就可以转化成一般分数阶差分方程边值问题。
本文主要研究了几类分数阶差分方程边值问题,其中包括带p-Laplace算子的边值问题,方程含参数的边值问题,奇异边值问题,最小特征值问题和分数阶Nabla边值问题等多种类型,给出解和正解的存在性、唯一性以及正解的不存在性定理,最小特征值比较定理和Lyapunov不等式,并用例子论证主要结果。第一章给出了分数阶差分方程的研究背景与意义,正文中将会用到的一些基本的定义和引理以及本文的工作安排。
第二章研究了两类带p-Laplace算子的分数阶差分方程边值问题。第一节,利用Banach压缩映射原理和Brouwer不动点定理给出边值问题解的唯一性和存在性,并用例子验证所得结果。
第二节,利用Green函数的性质和Guo-krasnosel’skii不动点定理给出边值问题正解存在的几个充分条件,并用例子验证所得结果。第三章研究了两类含参数的奇异分数阶差分方程边值问题。
利用辅助函数和Guo-krasnosel’skii不动点定理给出边值问题正解的存在性定理,并给出具体例子。第四章第一节研究了一类带有非局部边值条件含参数的分数阶差分方程特征值问题。
通过基于单调迭代技巧的上下解方法给出边值问题正解存在性的结果,利用锥上的Guo-krasnosel’skii不动点定理和Green函数的性质讨论该边值问题特征值的取值范围,并给出实例加以说明。第二节,研究了一类带有强迫项的分数阶差分方程边值问题,给出Lyapunov和Hartman型不等式的结果,并给出实例加以说明。
第五章研究了两类分数阶差分方程最小特征值问题。利用0u正算子给出两个边值问题最小特征值存在的结果,并给出最小特征值的比较方法。
第六章研究了两类含参数的分数阶Nabla差分方程特征值问题。利用Green 函数的性质和锥上的Guo-krasnosel’skii不动点定理讨论边值问题特征值的取值范围,并给出例子说明结果。
第七章为全文的结论与展望,总结论文的主要工作和创新之处,并对将来的可做工作进行展望。
差分方程的解法
1、常系数线性差分方程的解 方程（ 8）其中为常数，称方程（8）为常系数线性方程。 又称方程（9） 为方程（8）对应的齐次方程。 如果（9）有形如的解，带入方程中可得： （10） 称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。 显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。 基本结果如下： （1）若（10）有k个不同的实根，则（9）有通解： ， （2）若（10）有m重根，则通解中有构成项： （3）若（10）有一对单复根，令：，，则（9）的通解中有构成项： （4）若有m 重复根：，，则（9）的通项中有成项：
综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程 （9）的通解中必有k个独立的任意常数。通解可记为： 如果能得到方程（8）的一个特解：，则（8）必有通解： + （11） （1）的特解可通过待定系数法来确定。 例如：如果为n 的多项式，则当b不是特征根时，可设成形如形式的特解，其中为m次多项式；如果b是r重根时，可设特解：，将其代入（8）中确定出系数即可。 2、差分方程的z变换解法 对差分方程两边关于取Z变换，利用的Z 变换F（z）来表示出的Z变换，然后通过解代数方程求出F（z），并把F(z)在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的 例1设差分方程，求 解：解法1：特征方程为，有根： 故：为方程的解。 由条件得： 解法2：设F（z）=Z(),方程两边取变换可得：
由条件得 由F（z）在中解析，有 所以， 3、二阶线性差分方程组 设，，形成向量方程组 （12）则 （13）（13）即为（12）的解。 为了具体求出解（13），需要求出，这可以用高等代数的方法计算。常用的方法有： （1）如果A为正规矩阵，则A必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是A的特征值，相似变换矩阵由A的特征向量构成：。 （2）将A 分解成为列向量，则有 从而，
分数阶控制理论概述--总成
得分：_______ 南京林业大学 研究生课程论文 2013 ～2014 学年第 1 学期 课程号：PD03088 课程名称：工程应用专题 题目：分数阶控制理论研究及工程领域的应用 学科专业：机械工程 学号：8133013 姓名：钱东星 任课教师：陈英 二○一四年一月
分数阶控制理论研究及工程领域的应用 摘要: 作为控制科学与工程中一个新的研究领域，分数阶控制的研究愈来愈被关注。本文简要介绍分数阶控制的数学背景和基本知识,对分数阶控制理论及应用(分数阶系统模型、系统分析、分数阶控制器、非线性分数阶系统、系统辨识) 的研究作了总结、评述和展望。 关键词:控制理论；分数阶微积分(FOC)；分数阶系统 Fractional Control Theory and Engineering Applications Qian Dongxing （Nanjing Forestry University, Nanjing Jiangsu 210037）Abstract: As a new study field of control theory and applications , the fractional order control is attracted much attention recently. In this paper, an overview in this field is surveyed. The historical development and the basic knowledge of fractional-order control are introduced. The latest works of fractional-order control are summarized and reviewed, including mathematical model, system analysis, fractional-order controller, nonlinear fractional order system and identification, etc. Some future trends in its further studies are prospected. Key words: Theory of control ；Fractional order calculus( FOC) ；Fractional order system
差分方程的解法分析及MATLAB实现(程序)
差分方程的解法分析及MATLAB 实现（程序） 摘自：张登奇,彭仕玉.差分方程的解法分析及其MATLAB 实现[J]. 湖南理工学院学报.2014(03) 引言 线性常系数差分方程是描述线性时不变离散时间系统的数学模型,求解差分方程是分析离散时间系统的重要内容.在《信号与系统》课程中介绍的求解方法主要有迭代法、时域经典法、双零法和变换域 法[1]. 1 迭代法 例1 已知离散系统的差分方程为)1(3 1)()2(81)1(43)(-+=-+--n x n x n y n y n y ,激励信号为)()4 3()(n u n x n =,初始状态为21)2(4)1(=-=-y y ，.求系统响应. 根据激励信号和初始状态,手工依次迭代可算出24 59)1(,25)0(==y y . 利用MATLAB 中的filter 函数实现迭代过程的m 程序如下: clc;clear;format compact; a=[1,-3/4,1/8],b=[1,1/3,0], %输入差分方程系数向量,不足补0对齐 n=0:10;xn=(3/4).^n, %输入激励信号 zx=[0,0],zy=[4,12], %输入初始状态 zi=filtic(b,a,zy,zx),%计算等效初始条件 [yn,zf]=filter(b,a,xn,zi),%迭代计算输出和后段等效初始条件 2 时域经典法 用时域经典法求解差分方程:先求齐次解；再将激励信号代入方程右端化简得自由项,根据自由项形 式求特解；然后根据边界条件求完全解[3].用时域经典法求解例1的基本步骤如下. （1）求齐次解.特征方程为081432=+-αα,可算出4 1 , 2121==αα.高阶特征根可用MATLAB 的roots 函数计算.齐次解为. 0 , )4 1()21()(21≥+=n C C n y n n h （2）求方程的特解.将)()4 3()(n u n x n =代入差分方程右端得自由项为 ?????≥?==-?+-1,)4 3(9130 ,1)1()43(31)()43(1n n n u n u n n n 当1≥n 时,特解可设为n p D n y )4 3()(=,代入差分方程求得213=D . （3）利用边界条件求完全解.当n =0时迭代求出25)0(=y ,当n ≥1时,完全解的形式为 ,)4 3(213 )41()21()(21n n n C C n y ?++=选择求完全解系数的边界条件可参考文[4]选)1(),0(-y y .根据边界条件求得35,31721=-=C C .注意完全解的表达式只适于特解成立的n 取值范围,其他点要用 )(n δ及其延迟表示,如果其值符合表达式则可合并处理.差分方程的完全解为
差分方程基本概念和方法
差分方程基本概念和方法 考察定义在整数集上的函数，(),,2,1,0,1,2, n x f n n ==-- 函数()n x f n =在n 时刻的一阶差分定义为： 1(1)()n n n x x x f n f n ?+=-=+- 函数()n x f n =在n 时刻的二阶差分定义为一阶差分的差分： 21212n n n n n n x x x x x x ???+++=-=-+ 同理可依次定义k 阶差分 k n x ? 定义1．含有自变量n ,未知函数n x 以及n x 的差分2,, n n x x ??的函数方程, 称为常 差分方程，简称为差分方程。出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方 程的阶。 k 阶差分方程的一般形式为 (,,, ,)0k n n n F n x x x ??= 其中(,,,,)k n n n F n x x x ??为,,, k n n n n x x x ??的已知函数，且至少k n x ?要在式中出 现。 定义2．含有自变量n 和两个或两个以上函数值1,, n n x x +的函数方程，称为（常） 差分方程，出现在差分方程中的未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。 k 阶差分方程的一般形式为 1(,,, ,)0n n n k F n x x x ++= 其中1(,,,,)n n n k F n x x x ++为1,,, n n n k n x x x ++的已知函数，且n x 和n k x +要在式中一定 要出现。 定义3．如果将已知函数()n x n ?=代入上述差分方程，使其对0,1,2, n =成为恒 等式，则称()n x n ?=为差分方程的解。如果差分方程的解中含有k 个独立的任意
时间序列分析讲义 第01章 差分方程
第一章 差分方程 差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是分析时间序列动态属性的基本方法。经济时间序列或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程的求解问题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。 §1.1 一阶差分方程 假设利用变量t y 表示随着时间变量t 变化的某种事件的属性或者结构，则t y 便是在时间t 可以观测到的数据。假设t y 受到前期取值1-t y 和其他外生变量t w 的影响，并满足下述方程： t t t w y y ++=-110φφ (1.1) 在上述方程当中，由于t y 仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值1-t y ，因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程。如果变量t w 是确定性变量，则此方程是确定性差分方程；如果变量t w 是随机变量，则此方程是随机差分方程。在下面的分析中，我们假设t w 是确定性变量。 例1.1 货币需求函数 假设实际货币余额、实际收入、银行储蓄利率和商业票据利率的对数变量分别表示为t m 、t I 、bt r 和ct r ，则可以估计出美国货币需求函数为： ct bt t t t r r I m m 019.0045.019.072.027.01--++=- 上述方程便是关于t m 的一阶线性差分方程。可以通过此方程的求解和结构分析，判断其他外生变量变化对货币需求的动态影响。 1.1.1 差分方程求解：递归替代法 差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。 由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程： 0=t ：01100w y y ++=-φφ 1=t ：10101w y y ++=φφ t t =：t t t w y y ++=-110φφ 依次进行叠代可以得到： 1011211010110101)()1()(w w y w w y y ++++=++++=--φφφφφφφφ 0111122113121102)1(w w w y y φφφφφφφ++++++=- i t i i t t i i t w y y ∑∑=-=++=0 111 1 0φφφφ (1.2) 上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通过代入方程进行验证。上述通过叠代将 t y 表示为前期变量和初始值的形式，从中可以看出t y 对这些变量取值的依赖性和动态变化 过程。 1.1. 2. 差分方程的动态分析：动态乘子(dynamic multiplier) 在差分方程的解当中，可以分析外生变量，例如0w 的变化对t 阶段以后的t y 的影响。假设初始值1-y 和t w w ,,1 不受到影响，则有：
含参数的分数阶差分方程特征值问题
含参数的分数阶差分方程特征值问题 与经典的整数阶模型相比,分数阶模型可以更好地刻画多种材料的记忆和遗传特性,所以分数阶微积分的研究逐步引起了国内外学者的广泛关注。分数阶差分方程是离散化的分数阶微分方程,不仅在数学领域有应用价值,还出现在流变学、自相似中的动力学过程和多孔结构、电力网、粘弹性、化学物理和其它许多科学分支。 因为分数阶差分方程的理论发展和实际应用价值,它引起了专家学者们极大的研究兴趣。对差分系统加入参数以后,当参数值变化时,系统的稳定性和结构也可能改变。 因此,研究含参数分数阶差分系统、掌握参数变动对系统的性能、状态和动力学性质的影响是非常有科学意义和应用价值的。另外,研究含参数的分数阶差分方程特征值问题也是进一步研究分数阶差分方程谱理论的重要基础。 由分数阶差分方程的研究我们可以推广到带p-Laplace算子的分数阶差分方程研究,由于p-Laplace算子是非线性算子,因此它可以应用到许多领域,例如动力系统、分子结构、互联网络、图像处理等等。除此之外,当p（28）2时,就可以转化成一般分数阶差分方程边值问题。 本文主要研究了几类分数阶差分方程边值问题,其中包括带p-Laplace算子的边值问题,方程含参数的边值问题,奇异边值问题,最小特征值问题和分数阶Nabla边值问题等多种类型,给出解和正解的存在性、唯一性以及正解的不存在性定理,最小特征值比较定理和Lyapunov不等式,并用例子论证主要结果。第一章给出了分数阶差分方程的研究背景与意义,正文中将会用到的一些基本的定义和引理以及本文的工作安排。
第二章研究了两类带p-Laplace算子的分数阶差分方程边值问题。第一节,利用Banach压缩映射原理和Brouwer不动点定理给出边值问题解的唯一性和存在性,并用例子验证所得结果。 第二节,利用Green函数的性质和Guo-krasnosel’skii不动点定理给出边值问题正解存在的几个充分条件,并用例子验证所得结果。第三章研究了两类含参数的奇异分数阶差分方程边值问题。 利用辅助函数和Guo-krasnosel’skii不动点定理给出边值问题正解的存在性定理,并给出具体例子。第四章第一节研究了一类带有非局部边值条件含参数的分数阶差分方程特征值问题。 通过基于单调迭代技巧的上下解方法给出边值问题正解存在性的结果,利用锥上的Guo-krasnosel’skii不动点定理和Green函数的性质讨论该边值问题特征值的取值范围,并给出实例加以说明。第二节,研究了一类带有强迫项的分数阶差分方程边值问题,给出Lyapunov和Hartman型不等式的结果,并给出实例加以说明。 第五章研究了两类分数阶差分方程最小特征值问题。利用0u正算子给出两个边值问题最小特征值存在的结果,并给出最小特征值的比较方法。 第六章研究了两类含参数的分数阶Nabla差分方程特征值问题。利用Green 函数的性质和锥上的Guo-krasnosel’skii不动点定理讨论边值问题特征值的取值范围,并给出例子说明结果。 第七章为全文的结论与展望,总结论文的主要工作和创新之处,并对将来的可做工作进行展望。
高阶差分方程
第六章 高阶差分方程 在离散时间分析中可能出现这种情况：t 期的经济变量，比如y t ，不仅取决于y t-1，而且取决于y t-2。这样便引出了二阶差分方程。 严格地讲，二阶差分方程是一个包含表达式Δ2y t ，但不含高于二阶差分的方程。Δ2y t 读作y t 的二阶差分。而符号Δ2是符号d 2y ／dt 2在离散时间情况下的对应物，表示“取二阶差分”如下： Δ2y t =Δ(Δy t )=Δ(y t+1-y t )=(y t+2-y t+1)-(y t+1-y t )=y t+2-2y t+1+y t 因此，y t 的二阶差分可以转换为包含两期时滞的项的和。因为像Δ2y t 和Δy t 这样的表达式写起来很麻烦，所以我们将二阶差分方程重新定义为包含变量的两期时滞的方程。类似地，三阶差分方程为包含三期时滞的方程；等等。 我们首先集中讨论二阶差分方程的解法，然后再在后面的章节中将其推广至高阶差分方程。为控制讨论的范围，在本章，我们仅讨论常系数线性差分方程。但对常数项和可变项两种形式，均作考察。 具有常系数和常数项的二阶线性差分方程 一类简单的二阶差分方程的形式为： y t+2+a 1y t+1+a 2y=c 6.1 读者应注意到，此方程为线性、非齐次，且具有常系数（a 1，a 2）和常数项c 的差分方程。 二阶差分方程的通解是由余函数和特别积分构成：y t ＝y c +y p 。 特别积分是 1,12121-≠+++=a a a a y c p 6.2 2,1,21211-≠-=++=a a a a y t c p 6.2’ 2,1,21212-=-=+=a a a t y c p 6.2’’ 为求出余函数，我们必须集讨论简化方程 y t+2+a 1y t+1+a 2y ＝0 6.3 解一阶差分方程的经验告诉我们，Ab t 式在这种方程的通解中起非常重要的作用。因此，我们先试探形式为y t ＝Ab t 的解，它自然意味着y t+1＝Ab t+1，等等。我们的任务便是确定A 和b 的值。 将试探解代入简化方程，方程变成 Ab t+2+a 1Ab t+1+a 2Ab t ＝0 或在消去（非零）共同因子Ab t 后，有b 2+a 1b+a 2＝0 6.3’ 此二阶差分方程的特征方程与二阶微分方程的特征方程具有可比性。它具有两个特征根：
差分方程求解
例题：已知差分方程51 (2)(1)()(+1)+0.5()66 x k x k x k r k r k +-++=，其中r (k )=1，k ≥0，x (0)=1， x (1)=2。 (1) 试由迭代法求其全解的前5项； (2) 分别由古典法求其零输入解、零状态解，以及全解； (3) 用Z 变换法求解差分方程。 解：注：解题过程中出现的下标“zi ”和“zs ”分别表示零输入条件和零状态条件。 1. 迭代法 题目中给出的条件仅仅是零输入初始条件，进行迭代求解时的初始条件应该是全解初始条件。 (1) 零输入初始条件 本题已给出零输入时的两个初始条件x zi (0)=1，x zi (1)=2。 (2) 零状态初始条件 取k =-2时，则51 (0)(1)(2)(1)0.5(2)66x x x r r --+-=-+-，得x zs (0)=0； 取k =-1 时，则51 (1)(0)(1)(0)0.5(1)66 x x x r r -+-=+-，求得x zs (1)=1。 (3) 全解初始条件 x (0)= x zi (0)+ x zs (0)=1； x (1)= x zi (1)+ x zs (1)=3。 (4) 根据求出的全解x (0)和x (1)，利用迭代法求解 取k =0时，则51(2)(1)(0)(1)0.5(0)66x x x r r -+=+，求得23(2)6x =； 取k =1时，则51(3)(2)(1)(2)0.5(1)66x x x r r -+=+，求得151 (3)36x =； 取k =2时，则51(4)(3)(2)(3)0.5(2)66x x x r r -+=+，求得941 (4)216 x =。 2. 古典法 (1) 零输入解 令输入为零，则得齐次方程 51 (2)(1)()066 x k x k x k +-++= (a) 根据差分方程定义的算子()()n d x k x k n =+，可得它的特征方程251 066 d d -+= 求得特征根为： 112d = ，21 3 d =
蒋中一《数理经济学的基本方法》(第4版)课后习题详细分析和解答(第18章 高阶差分方程)【圣才出品】
第18章 高阶差分方程 练习18.1 1．写出下列每个方程的特征方程，并求出特征根： （a ）y t ＋2－y t ＋1＋（1/2）y t ＝2； （b ）y t ＋2－4y t ＋1＋4y t ＝7； （c ）y t ＋2＋（1/2）y t ＋1－（1/2）y t ＝5； （d ）y t ＋2－2y t ＋1＋3y t ＝4。 解：（a ）特征方程为：b 2－b ＋1/2＝0，可解得特征根为： （b ）特征方程为：b 2－4b ＋4＝0，可解得特征根为： （c ）特征方程为：b 2＋b/2－1/2＝0，可解得特征根为： （d ）特征方程为：b 2－2b ＋3＝0，可解得特征根为： 2．对于上题中的每个差分方程，根据特征根判定时间路径是否包含振荡或阶梯波动，以及时间路径是否是放大的。 1211,22b b i == ±12,2,2b b ==12111,,1 222b b ?=-±=- ?12,1b b = =±
解：（a ）特征根为一对共轭复根：b 1，b 2＝1/2±（1/2）i ，时间路径包含阶梯波动。又因为特征根的绝对值为，所以时间路径衰减。 （b ）特征根为：b 1，b 2＝2＞0，时间路径不包含振荡，也不包含阶梯波动。又因为特征根的绝对值|b|＝2＞1，所以时间路径放大。 （c ）特征根为两个不同实根，其中－1是强根。由于其为负，则时间路径包含振荡，且最终为单位振荡。 （d ）特征根为一对共轭复根： ，时间路径包含阶梯波动。又因为特征根的绝对值为 ，所以时间路径放大。 3．求练习18.1-1中的方程的特别解。它们表示稳定均衡或移动均衡吗？ 解：（a ）a 1＝－1，a 2＝1/2，c ＝2，由于a 1＋a 2≠－1，由（18.2），特别解为：y p ＝c/（1＋a 1＋a 2）＝2/（1/2）＝4。 （b ）a 1＝－4，a 2＝4，c ＝7，由于a 1＋a 2≠－1，由（18.2），特别解为：y p ＝c/（1＋a 1＋a 2）＝7/1＝7。 （c ）a 1＝1/2，a 2＝－1/2，c ＝5，由于a 1＋a 2≠－1，由（18.2），特别解为：y p ＝c/（1＋a 1＋a 2）＝5/1＝5。 （d ）a 1＝－2，a 2＝3，c ＝4，由于a 1＋a 2≠－1，由（18.2），特别解为：y p ＝c/（1＋a 1＋a 2）＝4/2＝2。 4．解下列差分方程： （a ）y t ＋2＋3y t ＋1－（7/4）y t ＝9（y 0＝6；y 1＝3） （b ）y t ＋2 －2y t ＋1＋2y t ＝1（y 0＝3；y 1＝4 ） 1R == <12,1b b =±1R ==>
差分方程方法
第四章 差分方程方法 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等等，但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型，因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。 下面就不同类型的差分方程进行讨论。所谓的差分方程是指：对于一个数列{}n x ，把数列中的前1+n 项()n i x i ,2,1,0=关联起来所得到的方程。 4．1常系数线性差分方程 4.1.1 常系数线性齐次差分方程 常系数线性齐次差分方程的一般形式为 02211=+?+++---k n k n n n x a x a x a x (4.1) 其中k 为差分方程的阶数，()k i a i ,,2,1 =为差分方程的系数，且()n k a k ≤≠0。对应的代数方程 02 211=++++--k k k k a a a λ λλ （4.2） 称为差分方程的（4.1）的特征方程，其特征方程的根称为特征根。 常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出差分方程解的形式。 1. 特征根为单根 设差分方程（4.1）有k 个单特征根 k λλλλ,,,,321 ，则差分方程（4.1）的通解为 n k k n n n c c c x λλλ+++= 2211， 其中k c c c ,,,21 为任意常数，且当给定初始条件 () 0 i i x λ= ()k i ,,2,1 = (4.3) 时，可以唯一确定一个特解。 2. 特征根为重根 设差分方程（4.1）有l 个相异的特征根()k l l ≤≤1,,,,321λλλλ 重数分别为 l m m m ,,,21 且k m l i i =∑=1 则差分方程（4.1）的通解为
差分方程的解法
第三节 差分方程常用解法与性质分析 1、常系数线性差分方程的解 方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （ 8） 其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（8）为常系数线性方程。 又称方程0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a （9） 为方程（8）对应的齐次方程。 如果（9）有形如 n n x λ=的解，带入方程中可得： 0 ...1110=++++--k k k k a a a a λλλ （10） 称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。 显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。 基本结果如下： （1） 若（10）有k 个不同的实根，则（9）有通解： n k k n n n c c c x λλλ+++=...2211， （2） 若（10）有m 重根λ，则通解中有构成项： n m m n c n c c λ )...(121----+++
（3）若（10）有一对单复根 βαλi ±=，令：?ρλi e ±=， αβ?βαρarctan ,22=+=，则（9）的通解中有构成项： n c n c n n ?ρ?ρsin cos 21--+ （4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e ±=，则（9）的通项中有成 项： n n c n c c n n c n c c n m m m m n m m ?ρ?ρsin )...(cos )...(1221121---++---+++++++ 综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程 （9）的通解中必有k 个独立的任意常数。通解可记为：-n x 如果能得到方程（8）的一个特解：*n x ，则（8）必有通解： =n x -n x +* n x （11） （1） 的特解可通过待定系数法来确定。 例如：如果)(),()(n p n p b n b m m n =为n 的多项式，则当b 不是特征 根时，可设成形如)(n q b m n 形式的特解，其中)(n q m 为m 次多项式；如 果b 是r 重根时，可设特解：r n n b )(n q m ，将其代入（8）中确定出系 数即可。
2.差分方程及其求解---数字信号处理实验报告
计算机与信息工程学院验证性实验报告 一、实验目的 1．学习并掌握系统的差分方程表示方法以及差分方程的相关概念。 2．熟练使用filter 函数对差分方程进行数值求解。 3．掌握差分方程的求解及MATLAB 实现方法。 二、实验原理及方法 1．一LTI 系统可以用一个线性常系数差分方程表示： ()()N M k m k m a y n k b x n m ==-=-∑∑，任意n 如果N a ≠0，那么这个差分方程就是N 阶的，已知系统的输入序列，用这个方程可以根据当前输入x(n)和以前M 点的输入x(n-m ),…,x(n-1),以及以前N 点的输出y(n-N),…,y(n -1)来计算当前输出y(n)。在实际中这个方程在时间上是从n =-∞到n =+∞朝前计算的，因此该方程的另一种形式是： ()()()M N m k m k y n b x n m a y n k ===---∑∑ 方程的解能以下面形式求得：()()()H p y n y n y n =+分别为方程的齐次解跟特解部分。已知输入和差分方程的稀疏，可用filter 对差分方程进行数值求解。最简单形式为：y=filter(b,a,x) 其中b=[b0,b1,…,bM];a=[a0,a1,…,aN]; 2．上面差分方程解的形式为齐次解和特解，另外还可以求零输入解和零状态解理论计算中要用到z 变换，请好好掌握z 变换的内容。用MATLAB 实现时，若已知初始条件，则应用y=filter(b,a, x, xic)来求完全响应。这里xic 是初始状态输入数组。MATLAB 还提供一种filtic 函数来得到xic 。
差分方程的解法
1、常系数线性差分方程的解 方程 a 0x n k a 1x n k 1 ... a k x n b(n) 其中 a 0 , a 1,..., a k 为常数，称方程（ 8）为常系数线性方程。 又称方程 a 0x n k a 1x n k 1 ... a k x n 为方程（ 8）对应的齐次方程。 第三节 差分方程常用解法与性质分析 9） n 如果（ 9）有形如 x n 的解， 带入方程中可得： k k 1 a 0 a 1 ... a k 1 a k 0 10) 称方程（ 10）为方程（ 8）、 9）的特征方程。
n n n c 1 1 c 2 2 ... c k k ， 若（10） 有 m 重根 ，则通解中有构成项： (c 1 m 1 n c 2 n ... c m n ) 显然， 如果能求出（ 10）的根，则可以得到（ 9）的解。 基本结果如下： 1） 若（10） 有 k 个不同的实根，则（ 9）有通解：
（3）若（10）有一对单复根 综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程 （9）的通解中必有k 个独立的任意常数。通解可记为：X n 如果能得到方程（8）的一个特解：X n ，则（8）必有通解: * X n X n + 焉 （11） （1）的特解可通过待定系数法来确定。 例如：如果b （n ）bk m （n ）, pMn ）为门的多项式，则当b 不是特征 根 时，可设成形如 bq m （n ） 形式的特解，其中 q m （n ） 为m 次多项式；如 果b 是 r 重根时，可设特解：b n n r q m （n ） ，将其代入（8）中确定出系 数即可。 arcta n — ，则(9) 的通解中有构成项: C l n . cos n C 2 sin （4）若有 m 重复根: i e ，则 （9）的通项中有成 项: cos n (C m 1 C m 2 n m 1 、 n ? c 2m n ) sin n
差分方程的解法
差分方程常用解法 1、 常系数线性差分方程的解 方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （1） 其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（1）为常系数线性方程。 又称方程0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a （2） 为方程（1）对应的齐次方程。 如果（2）有形如n n x λ=的解，代入方程中可得： 0...1110=++++--k k k k a a a a λλλ （3） 称方程（3）为方程（1）、（2）的特征方程。 显然，如果能求出方程（3）的根，则可以得到方程（2）的解。 基本结果如下： （1） 若（3）有k 个不同的实根，则（2）有通解： n k k n n n c c c x λλλ+++=...2211， （2） 若（3）有m 重根λ(即m 个根均为λ)，则通解中有构成项： n m m n c n c c λ)...(121----+++
（3）若（3）有一对单复根 βαλi ±=，令：?ρλi e ±=， αβ ?βαρarctan ,22=+=，则（2）的通解中有构成项： n c n c n n ?ρ?ρsin cos 21- -+ （4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e ±=，则（2）的通项中有构 成项: n n c n c c n n c n c c n m m m m n m m ?ρ?ρsin )...(cos )...(1221121---++---+++++++ 综上所述，由于方程（3）恰有k 个根，从而构成方程（2）的通解中必有k 个独立的任意常数。通解可记为：-n x 如果能得到方程（1）的一个特解：*n x ，则（1）必有通解： =n x -n x +* n x （4） 方程（4） 的特解可通过待定系数法来确定。 例如：如果)(),()(n p n p b n b m m n =为n 的m 次多项式，则当b 不是特征根时，可设成形如)(n q b m n 形式的特解，其中)(n q m 为n 的m 次多 项式；如果b 是r 重特征根时，可设特解：r n n b )(n q m ，将其代入（1） 中确定出系数即可。
差分方程的解法1
第三节差分方程常用解法与性质分析 高中数学新课标选修内容“一阶线性差分方程”的解法分析 江西省高中数学课程标准研究组舒昌勇（341200）在高中数学新课标选修系列4的“数列与差分”专题中，一阶常系数线性差分方程x n+1=kx n+b (1) 是讨论的重点，其一般形式为 x n+1=kx n+f(n) (2) 其中k为已知的非零常数，f(n)为n的已知函数．当f(n)≠0时，方程（2）称为非齐次的，f(n)=0时，方程 x n+1=kx n(3) 称为齐次的，并称（3）为（2）相应的齐次方程．方程（1）是方程（2）当f(n)为常数的情况，是方程（2）能用待定系数法求特解时所具有的几种特殊形式里最简单的一种．我们来讨论方程（1）和（3）通解的求法． 1 求一阶齐次差分方程x n+1=kx n的通解 用迭代法，给定初始值为x0，则一阶齐次差分方程x n+1=kx n的通解为 x1 = kx0，x2=kx1=k2x0，x3=kx2=k3x0，…， 一般地，有 x n= kx0-1= k(k n-1x0)= k n x0，n = 1，2，…， 由于x0表示初始值，可任意给定，所以可视其为任意常数，不妨用c来表示．又根据差分方程通解的定义：如果差分方程的解中含有与方程的阶数相同个数的相互独立的任意常数，则为其通解，故一阶线性齐次方程x n+1=kx n的通解可表为 x n=k n c（c为任意常数）. 对于每一个任意给定的初始值x0，都能得到方程相应于该初始值的一个特解.而求特解只要将给定的初始值x0代入通解求出待定常数c即可. 2 求一阶非齐次差分方程x n+1=kx n+b的通解 2．1探索一阶非齐次差分方程x n+1=kx n+b通解的结构 设数列﹛y n﹜，﹛z n﹜为方程（3）的任意两个解，则 y n+1=k y n +b (4) z n+1= k z n +b (5) (4)－(5) 得y n +1－z n +1=k(y n－ z n ) 这意味着一阶非齐次线性差分方程任意两个解的差为相应齐次差分方程的解．从而，若a n为非齐次方程（3）的任意一个解，b n为非齐次方程（3）的一个特解，则a n-b n就为相应齐次方程的一个解．为了探索一阶非齐次差分方程通解的结构，我们对它的任意一个解a n 作适当变形： a n=a n+ b n- b n= b n +( a n - b n) 这表明，一阶非齐次差分方程的任意一个解可表示为它的一个特解与相应齐次方程一个解的和的形式．从而非齐次方程的通解等于其一个特解加上相应齐次方程的通解． 2．2 求一阶非齐次差分方程（3）的通解 ①用迭代法，设给定的初始值为x0，依次将n=0，1，2，…代入（3），有 x1=kx0+b x2=kx1+b=k(kx0+b)+b =k2x0+b(1+k)
差分方程模型(讲义)
差分方程模型 一. 引言 数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。 1. 确定性连续模型 1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。 2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。 3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。 4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。 2. 确定性离散模型 1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。 2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。 3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。 4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。 随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。 在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。
二. 差分方程简介 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。 1. 差分方程的定义 给定一个数列{}n x , 把数列中的前1+n 项i x ),,2,1,0(n i =关联起来得到的方程，则称这个方程为差分方程。 2. 常系数线性齐次差分方程 常系数线性齐次差分方程的一般形式为 02211=++++---k n k n n n x a x a x a x ， (1) 或者表示为 0),,,,(1=++k n n n x x x n F (1’) 其中k 为差分方程的阶数，其中k a a a ,,,21 为差分方程的系数，且0≠k a )(n k ≤。 对应的代数方程 02211=++++--k k k k a a a λλλ (2) 称为差分方程(1)的对应的特征方程。(2)式中的k 个根k λλλ,,,21 称为(1)式的特征根。 2.1 差分方程的解 常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出方程解的形式。 2.1.1 特征根为单根(互不相同的根) 设差分方程(1)有k 个单特征根(互不相同的根)k λλλ,,,21 ，则