二项式定理专题复习

二项式定理知识点、题型与方法归纳

一.知识梳理

1．二项式定理：)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ∈+++++=+-- ．其中)

,,2,1,0(n r C r

n =叫二项式系数．式中的r r

n r n b a

C -叫二项展开式的通项，用1+r T 表示，即通项r

r n r n r b a C T -+=1.

2.二项展开式形式上的特点: (１)项数为n ＋1；

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ,即a 与b 的指数的和为n .

（３）字母a 按降幂排列,从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零;字母ｂ按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到ｎ.

(４）二项式的系数从C 0n

,C 错误!,一直到C 错误!,Ｃ错误!. ３.二项式系数的性质：

(1）对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即r n r

n n C C -=

(2）增减性与最大值:二项式系数C 错误!，当k ＜错误!时,二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的;当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当ｎ是奇数时，中间两项1122n n n

n

C C

-+=取得最大值.

（3)各二项式系数和：C 0ｎ+C 错误!+C 错误!＋…＋C 错误!+…+C 错误!=2ｎ

；

C 错误!＋C 错误!+C 错误!＋…=C 错误!+C 错误!＋C 错误!+…=２n －

1. 一个防范

运用二项式定理一定要牢记通项Ｔr ＋1＝Ｃ错误!a ｎ-ｒb r ,注意(ａ＋b )n 与（b ＋a )n 虽然相同,但具体到它们展开式的某一项时是不同的,一定要注意顺序问题,另外二项展开式的二项式系数与该项的（字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分.前者只与n 和r 有关,恒为正,后者还与a ,b 有关，可正可负． 两种应用

(１)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．

(2)展开式的应用:利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式;②可证明不等式;③可证明整除问题；④可做近似计算等． 三条性质

(1)对称性；（2）增减性；(３)各项二项式系数的和; 二．题型示例

【题型一】求()n

x y +展开特定项

例1：（1＋3x )n (其中n ∈N *且ｎ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n =（ ）B

A.6

B.７ C ．８ D.9

例２：错误!错误!的展开式中ｘ２

ｙ2的系数为_＿＿＿_＿__.(用数字作答)70

【题型二】求()()m

n

a b x y +++展开特定项

例1：在(1-ｘ)5+(1-x )6+(1－x )7＋(1-x ）8的展开式中，含ｘ3的项的系数是（ ) D A.7４ ? ??B ．1２1 ?

?C ．-74 ?? Ｄ.-121

【题型三】求()()m n

a b x y +?+展开特定项

例１:已知（1+ax )（1+x )５

的展开式中x 2的系数为５,则a ＝( ) D

Ａ.－４ B.-3 Ｃ.-2 D ．-1

例2：在(1+x )6(1＋y )4的展开式中,记x m y ｎ

项的系数为f (m ，ｎ），则f (3，0)+f (２，1）＋ｆ(1，2)＋f （0，3)=( ) Ｃ

A.45 ?

B.6０ ?

C.12０ ?Ｄ.210 例3:若数列{}n a 是等差数列,且6710a a +=，则在1212()()()x a x a x a ---的展开式中，11x 的系数为＿＿

＿.60-

【题型四】求()n

x y z ++展开特定项

例１：求错误!错误!(x >0）的展开式经整理后的常数项.

解:错误!错误!在x ＞0时可化为错误!错误!,

因而T r +1＝C 错误!错误!错误!错误!,则r =５时为常数项，即C 错误!·错误!错误!=错误!. 例２:若将10

)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ).Ｄ

A.1１ B ．33 C ．55 D ．6６

解：展开后，每一项都形如a b c

x y z ，其中10a b c ++=，该方程非负整数解的对数为210266C +=。

例3:(ｘ2+x +y )5的展开式中，x 5ｙ2的系数为( ) A.10 B ．２0C ．30 D ．６0

解析 易知Ｔr ＋１=C ＼o ＼al(r ,５)（x 2+ｘ)5－ｒy r ,令ｒ=2，则T 3＝C 错误!(x 2＋x )3y 2，对于二项式(x 2+x ）3，由T t ＋1=C 错误!(x 2)3－t x t ＝C 错误!x 6-t ，令t =1，所以x ５y 2的系数为C 错误!C 错误!=30. 【题型五】二项式展开逆向问题 例1:（)若C ＋3Ｃ+３２

C +…+3

ｎ－2

C ＋3

ｎ－１

=８5，则n 的值为( ）

A.3

B.4

C.５ D ．6

解：由C +３C +…+３ｎ－２C ＋3ｎ-1=[(1＋3）n -1]=8５,解得n ＝4.故选B. 【题型六】赋值法求系数（和)问题

例1：已知（1－2ｘ)7=a 0＋a 1x ＋ａ2x 2＋…＋ａ７x 7.

求：(１)a 1+a 2+…＋a ７; (2）a 1+a ３＋a 5+ａ7;

(3)a 0+ａ2+ａ4+ａ6;(4)错误!+错误!＋错误!＋…＋错误!．

解：令x =1,则a 0+a 1＋a ２+a 3+a 4+a 5+a ６＋ａ7=－1．①

令x =－1，则a 0－a 1＋a ２-a 3+a ４-ａ5＋a 6－a ７＝3７.② (1)∵a 0=C ＝1,∴a 1＋a 2+a 3+…＋a 7=－2．

(2)(①-②)÷2,得a 1＋a 3+a ５＋a 7＝错误!=－109４.③ (3)(①＋②)÷2，得a ０＋a ２+a 4＋a 6=错误!＝1093.④

(4)∵(１-2x )7的展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，ａ3，a 5，a 7小于零，

∴错误!＋错误!+错误!＋…+错误!＝(a ０＋a 2+a 4+a 6)-(a 1+a 3+a 5+a ７),

∴所求即为④－③（亦即②)，其值为218７.

点拨:①“赋值法”普遍运用于恒等式,是一种处理二项式相关问题比较常用的方法．对形如(ax ＋ｂ)n ，(ax 2+bx +c ）m （a ，b ，ｃ∈Ｒ)的式子求其展开式各项系数之和,只需令ｘ=1即可;对形如(ａx ＋b ｙ)n （a ,b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和,只需令x =y ＝１即可

.②若f （x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x ２+…＋a n ｘｎ

,则f （x ）展开式中各项系数之和为f （1)，奇数项系数之和为a 0＋ａ2

＋a 4+…=错误!，偶数项系数之和为a 1+a 3＋ａ５+…=错误!．

例２：设错误!错误!＝a 0+a 1x ＋a 2x 2＋…+ａ２n ｘ2n ，则(ａ0＋a 2+a ４+…＋a 2n ）2－（a 1＋a 3＋a 5+…+a ２n －1)２

=_＿_＿__＿_.

解：设f (ｘ)=错误!错误!，则(a 0+a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1+a ３+a 5＋…+a 2n －1)2=(a 0+a 2+a 4＋…＋ａ2n －a 1-a 3-a 5-…－a 2n -1)(a 0+ａ2+a 4＋…＋a 2ｎ＋a 1+a 3+ａ5＋…＋a 2n －1）＝ｆ(－1)·f （1)＝错误!错误!·错误!错误!=错误!错误!=错误!错误!.

例３：已知(x +1）２(x +２)2014=a 0+ａ1（ｘ+2）＋ａ2（x ＋2）２

＋…＋a ２01６(x +2)2016，则＋+＋…＋的值为＿_＿___. 解：依题意令x =－，得=a 0＋a 1+ａ２＋…+a ２０１6，令x ＝－2得a 0＝0,则＋＋+…+=. 【题型七】平移后系数问题

例1:若将函数f (x )＝ｘ5表示为ｆ(x ）＝a ０+a 1(1＋x )＋a 2（１＋x )２

+…+ａ５（1＋ｘ)5，

其中a ０,a 1,ａ2，…,ａ5为实数,则a 3＝＿＿＿___＿_____．

解法一:令x +1＝y ,（y -１)５=a 0＋a 1y +a ２ｙ2+…+ａ5y 5,故ａ３＝Ｃ(－1)2＝10. 解法二：由等式两边对应项系数相等．即：错误!解得a 3=10.

解法三:对等式：f (x )=x 5=a 0＋a １(１+x )＋a 2（1+x )2＋…+ａ5（1＋x )5两边连续对x 求导三次得:６0x 2＝6ａ3+２４a ４（1+x ）＋60a 5(1＋x ）２,再运用赋值法，令ｘ=-１得:6０=6a 3,即a 3=10．故填１0． 【题型八】二项式系数、系数最大值问题

例1：错误!错误!的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大,则第四项为__＿_____.

解析 由已知条件第五项和第六项二项式系数最大，得n =９，错误!错误!展开式的第四项为T 4＝C 错误!·（错误!）6·错误!错误!=错误!.

例2:把(１-x ）９

的展开式按x 的升幂排列,系数最大的项是第＿_＿_＿__＿项 Ａ．4 ?

?Ｂ.5 ?

?

C.6 ?? ?D ．7

解析（1－ｘ)9展开式中第r +１项的系数为C 错误!(－１)r ，易知当r =4时,系数最大,即第5项系数最大,选Ｂ. 例3：(1+2x )n 的展开式中第6项与第７项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.

解：T 6＝C (2x )5,T 7=C (2x )6,依题意有Ｃ·25＝C ·2６,解得n ＝８.所以(1＋２x )８的展开式中，二项式系数最大的项为Ｔ５=C ·(2x )4=1 12０ｘ4．

设第r +1项系数最大,则有错误!

解得5≤r ≤6．所以r ＝5或r ＝6，所以系数最大的项为T 6=1 ７92ｘ5或Ｔ7=1 792x ６.

点拨：

(1)求二项式系数最大项：①如果n 是偶数，则中间一项错误!的二项式系数最大；②如果n 是奇数，则中

间两项（第n +1

2

项与第错误!＋1项)的二项式系数相等并最大．(2)求展开式系数最大项：如求(ａ+ｂx )n (ａ，ｂ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，列出不等式组错误!从而解出r ,即得展开式系数最大的项．

【题型九】两边求导法求特定数列和

例１:若（２x-3）5＝a0+ａ1x＋a2x2＋ａ3ｘ3＋a４x４+a5x５，则a1＋2a2+３a3＋4a4+5ａ5＝＿＿__＿__＿．解析原等式两边求导得５(2x-3)4·(2ｘ－3)′＝ａ1＋2ａ2x+3a３x2+4ａ4x3+5a５x4,令上式中ｘ＝１，得a１+2a2+３a3+4a4＋５a5＝１0.

【题型十】整除问题

例1:设a∈Ｚ，且0≤a＜１3,若51２012＋a能被1３整除，则a＝()

A.０B．1 C.11 D．１２

解析512 012+ａ＝(５２－1)2 012＋a

=C错误!·522 01２－C错误!·5２2 011＋…+C错误!×52·(－1）2０11+Ｃ错误!·（－１)2 01２＋a,

∵C错误!·522 012-C错误!·５2２011＋…+Ｃ错误!×52·(－1)2 01１能被13整除．

且５12 012+a能被１3整除，∴Ｃ错误!·(-１)2 ０12＋ａ＝１＋a也能被13整除.

因此a可取值１2.

例2：已知ｍ是一个给定的正整数，如果两个整数ａ,b除以m所得的余数相同,则称ａ与b对模m同余，记作ａ≡b（ｍoｄm）,例如:5≡１3(ｍod 4).若2２015≡r(moｄ7），则r可能等于(）

A.2０13

B.2０14 C．2015 D.2016

解:22015＝22×2３×671＝4×86７1＝４(７+1)６7１＝4（7６71+C7６７0+…+Ｃ7+1).因此22０15除以７的余数为4.经验证，只有2013除以７所得的余数为4.故选A.

三.自我检测

1、()“n＝５”是“(n∈N*)的展开式中含有常数项”的（)

Ａ.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

２、已知Ｃ错误!+2C错误!＋22C错误!＋23Ｃ错误!+…+2n C错误!＝72９,则C错误!＋C错误!＋C错误!+…+C ｎ

ｎ等于()

A．６3 B．６4 Ｃ.31 D．32

3、组合式C错误!－2Ｃ错误!＋４C错误!－8Ｃ错误!+…＋(-２)ｎC错误!的值等于( )

A．(-1)ｎ??Ｂ．1 Ｃ．３n? D．3ｎ－1

4、若（1+x＋x2）６=a0＋ａ1ｘ＋a2x２+…＋ａ１2ｘ１２,则a２＋a４＋…+a12＝__＿＿____．

５、已知(1＋x）10＝a０+ａ１（１－x)+a2(1-x)2＋…＋ａ10（1-x)10，则ａ8＝（)

Ａ．-180? B.１８０?Ｃ.4５??Ｄ．－45

6、(１+2x）3(1-ｘ)4展开式中x项的系数为( )

A．1０???B．－10?Ｃ.2 ??D.-2

7、(1+ｘ)8（1+y)4的展开式中ｘ2y2的系数是___＿____.