关于矩阵迹的一些不等式
《矩阵的秩的等式及不等式的证明》
摘要 矩阵的秩是矩阵的一个重要特征,它具有许多的重要性质.本文总结归纳出了有关矩阵的秩的等式和不等式命题,以及证明这些命题常用的证明方法,即从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.本文主要解决以下几个问题:用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题;用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题;用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题;用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.
目录 第一章绪论 (1) 第二章预备知识 (2) 第三章用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式 (3) 第四章用线性空间的理论证明秩的等式和不等式 (6) 第五章用向量组秩的理论证明秩的等式和不等式 (10) 第六章用矩阵分块法证明秩的等式和不等式 (15) 第七章小结 (23) 参考文献 (24) 致谢 (25)
第一章绪论 矩阵的秩是矩阵的一个重要特征,是矩阵理论中研究的一个重要内容,它具有许多的重要性质.研究矩阵的秩对于解决矩阵的很多问题具有重要意义.矩阵的秩的等式及不等式的证明对于学习矩阵也是重点和难点,初学者在做这方面的题目往往不知如何下手.笔者归纳了矩阵的秩的常见等式和不等式以及与之相关的一些结论,并从向量组、线性方程组、矩阵分块、矩阵初等变换等角度探索了多种证明方法,它有助于学习者加深对秩的理解和知识的运用,也方便教师教学. 目前对矩阵秩的研究已经比较成熟了,但是由于秩是矩阵论里的一个基本而重要的概念,它仍然有着重要的研究价值,有关它的论文时见报端.很多国内外的有关数学书籍杂志对矩阵的秩都有讲述,如苏育才、姜翠波、张跃辉在《矩阵论》(科学出版社、2006年5月出版)中较完整地给出了矩阵秩的理论.北京大学数学系前代数小组编写的《高等代数》(高等教育出版社,2003年7月出版)也介绍了秩的一些性质.但是对秩的等式及不等式的介绍都比较分散,不全面也没有系统化,不方便初学者全面掌握秩的性质.因此有必要对矩阵的秩的等式和不等式进行一个归总,便于学习和掌握. 本文通过查阅文献资料,总结归纳出有关矩阵的秩的等式和不等式命题,以及证明这些命题常用的证明方法,从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.主要内容有:(1)用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题;(2)用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题;(3)用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题;(4)用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.
第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)
第五专题 矩阵的数值特征 (行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数) 一、行列式 已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一:参照课本194页,例4.3. 证明二:利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质; 从而I p +AB ,I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同,大小相同;其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积,因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值(不等于1)的乘积,所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些,然而,它在许多领域,如数值计算,逼近论,以及统计估计等都有相当多的应用,许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义:n n ii i i 1 i 1 tr(A)a ====λ∑∑,etrA=exp(trA)
性质: 1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ,线性性质; 2. T tr(A )tr(A)=; 3. tr(AB)tr(BA)=; 4. 1 tr(P AP)tr(A)-=; 5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量; 6. n n k k i i i 1 i 1 tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理(或Jordan 标准形)和(4)证明; 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0; 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥,且等号成立的充要条件是A=B (i i A B (A)(B)≥?λ≥λ); 9. 对于n 阶方阵A ,若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0(从Schur 定理或Jordan 标准形证明)。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ,tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积,也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积,利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]
矩阵秩重要知识点总结_考研必看
一. 矩阵等价 行等价:矩阵A 经若干次初等行变换变为矩阵B 列等价:矩阵A 经若干次初等列变换变为矩阵B 矩阵等价:矩阵A 经若干次初等行变换可以变为矩阵B ,矩阵B 经若干次初等行变换可以变成矩阵A ,则成矩阵A 和B 等价 矩阵等价的充要条件 1. 存在可逆矩阵P 和Q,PAQ=B 2. R(A)=R(B) 二. 向量的线性表示 Case1:向量b r 能由向量组A 线 性表示: 充要条件: 1.线性方程组A x r =b 有解 (A)=R(A,b) Case2:向量组B 能由向量组A 线性表示 充要条件: R(A)=R(A,B) 推论 ∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A) Case3:向量组A 能由向量组B 线性表示 充要条件: R(B)=R(B,A) 推论 ∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B) Case4:向量组A 和B 能相互表示,即向量组A 和向量组B 等价 充要条件: R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A) Case5:n 维单位坐标向量组能由矩阵A 的列向量组线性表示 充要条件是: R(A)=R(A,E)
n=R(E)<=R(A),又R(A)>=n ,所以R(A)=n=R(A,E) 三. 线性方程组的解 1. 非齐次线性方程组 (1) R(A)=R(A,B),方程有解. (2) R(A)=R(A,B)=n ,解唯一. (3) R(A)=R(A,B) 1 矩阵秩的基本不等式 定理1:设,m n A R ∈,,n s B R ∈,则{}()()()min (),()r A r B n r AB r A r B +-≤≤。 证明:由于0Bx =的解一定是0ABx =的解,因此0Bx =的基础解系为0ABx =的基础解系的一部分。于是,()()s r B s r AB -≤-,即()()r AB r B ≤。 ()()()()()()T T T T r AB r AB r B A r A r A ==≤=。 这样,我们就证明了()()r AB r A ≤,()()r AB r B ≤,故{}()min (),()r AB r A r B ≤。 我们假设1x ,2x ,……,()s r B x -,()1s r B x -+,……,()s r AB x -为0ABx =的基础解系。其中,0i Bx =,1()i s r B ≤≤-;0j Bx ≠,()1()s r B j s r AB -+≤≤-。 下面,我们来证明向量组{} ()()1 s r AB j j s r B Bx -=-+是线性无关的。事实上,假设数j k , ()1()s r B j s r AB -+≤≤-,使得 ()()1 ()s r AB j j j s r B k Bx -=-+∑ ,于是() ()1 0s r AB j j s r B B x -=-+=∑ 。 这样, () ()1 0s r AB j j s r B x -=-+=∑ 为0Bx =的解。于是,存在数j k ,1()j s r B ≤≤-,使得 ()() ()1 1 ()s r AB s r B j j j j s r B j x k x --=-+== -∑ ∑,即()1 0s r AB j j j k x -==∑ 。由于向量组{} ()1 s r AB j j x -=线性无关,因 此,0j k =,()1()s r B j s r AB -+≤≤-。于是,向量组{}() ()1 s r AB j j s r B Bx -=-+线性无关。 又由于()0j j A Bx ABx ==,()1()s r B j s r AB -+≤≤-,因此{}() ()1 s r AB j j s r B Bx -=-+为 0Ax =的基础解系的一部分。于是, []()()11()()()s r AB s r B r B r AB n r A ---++=-≤- 即()()()r AB r A r B n ≥+-。 推论1:若,m n A R ∈,,n s B R ∈满足0AB =,则()()r A r B n +≤。 证明:0()()()r AB r A r B n =≥+-,于是()()r A r B n +≤。 LMI:Linear Matrix Inequality,就是线性矩阵不等式。 在Matlab当中,我们可以采用图形界面的lmiedit命令,来调用GUI接口,但是我认为采用程序的方式更方便(也因为我不懂这个lmiedit的GUI)。 对于LMI Lab,其中有三种求解器(solver):feasp,mincx和gevp。 每个求解器针对不同的问题: feasp:解决可行性问题(feasibility problem),例如:A(x) 针对这个式子,如果存在满足如下LMI的正矩阵(positive-define)的Q,S1,S2和矩阵M,那么我们就称作 该系统为H-inf渐进稳定的,并且gammar是上限。 500)this.width=500;" border=0> 第五专题 矩阵的数值特征 (行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数) 一、行列式 已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一:参照课本194页,例4.3. 证明二:利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质; 从而I p +AB ,I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同,大小相同;其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积,因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值(不等于1)的乘积,所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些,然而,它在许多领域,如数值计算,逼近论,以及统计估计等都有相当多的应用,许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义:n n ii i i 1i 1tr(A)a ====λ∑∑,etrA=exp(trA) 性质: 1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ,线性性质; 2. T tr(A )tr(A)=; 3. tr(AB)tr(BA)=; 4. 1tr(P AP)tr(A)-=; 5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量; 6. n n k k i i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理(或Jordan 标准形)和(4)证明; 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0; 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥,且等号成立的充要条件是A=B (i i A B (A)(B)≥?λ≥λ); 9. 对于n 阶方阵A ,若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0(从Schur 定理或Jordan 标准形证明)。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ,tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积,也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积,利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y] 得 定理:对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B) 这里等号成立的充要条件是A=cB,c 为一常数。特别当A 和B 为实对称阵或Hermit 矩阵时 0≤|t r(AB)|≤ 定理:设A 和B 为两个n 阶Hermite 阵,且A≥0, 矩阵的秩的相关不等式的归 纳小结 -标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 矩阵的秩的相关不等式的归纳小结 林松 (莆田学院数学系,福建,莆田) 摘要:利用分块矩阵,证明一些矩阵的秩的相关不等式,观察矩阵在运算后秩的变化,归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式,由此引出等式成立的条件。 关键词:矩阵的秩,矩阵的初等变换 引言:矩阵的秩是指矩阵中行(或列)向量组的秩,与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数,是矩阵最重要的数字特征之一。利用分块矩阵,把子式看成元素,可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算,也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式,并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。 一基本的定理 1 设A是数域P上n m ?矩阵,于是 ?矩阵,B是数域上m s 秩(AB)≤min [秩(A),秩(B)],即乘积的秩不超过个因子的秩 2设A与B是m n ?矩阵,秩(A±B)≤秩(A)+秩(B) 二常见的秩的不等式 1 设A与B为n阶方阵,证明若AB = 0,则 r(A) + r(B) ≤ n 证:设r(A) = r,r(B )= s,则由AB = 0,知,B的每一列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。 当r = n时,由于该齐次方程组只要零解,故此时 B = 0,即此时r(A) = n,r(B) = 0,结论成立。 当r〈 n 时,该齐次线性方程组的基础解系中含n-r个向量, 从而B 的列向量组的秩≤n-r,即r (B )≤ n-r 所以 r(A) + r(B) ≤ n 2设A 为m n ?矩阵,B 为n s ?矩阵,证明不等式r(AB)≤r(A)+r(B)-n 证:设E 为n 阶单位矩阵, S E 为S 阶单位方阵,则由于 000S E B A AB A E E E B ??????= ? ? ?-?????? 而 0S E B E ?? ?-?? 可逆,故 r(A)+r(B) ≥ 秩 0A E B ?? ? ?? =秩 0A AB E ?? ???=秩 0 0AB E ?? ??? =r(AB)+r(E) =r(AB)+n 从而r(AB) ≥ r(A) + r(B) - n 3设A ,B 都是n 阶方阵,E 是n 阶单位方阵,证明 秩(AB-E )≤秩(A-E )+秩(B-E ) 证:因为0A E B E B E --?? ? -??00B E ?? ???00AB E B E -?? = ?-?? 故秩(AB-E )≤秩00AB E B E -?? ?-??≤秩0A E B E B E --?? ?-?? =秩(A-E )+秩(B-E ) 因此 秩(AB-E )≤秩(A-E )+秩(B-E ) 4 设A ,B ,C 依次为,,m n n s s t ???的矩阵,证明 r(ABC) ≥ r(AB) + r(BC) - r(B) 1.2.10矩阵的迹 函数trace 格式b=trace (A) %返回矩阵A的迹,即A的对角线元素之和。 1.2.11矩阵和向量的范数 命令向量的范数 函数norm 格式n = norm(X) %X为向量,求欧几里德范数,即。 n = norm(X,inf) %求-范数,即。 n = norm(X,1) %求1-范数,即。 n = norm(X,-inf) %求向量X的元素的绝对值的最小值,即。 n = norm(X, p) %求p-范数,即,所以norm(X,2) = norm(X)。 命令矩阵的范数 函数norm 格式n = norm(A) %A为矩阵,求欧几里德范数,等于A的最大奇异值。 n = norm(A,1) %求A的列范数,等于A的列向量的1-范数的最大值。 n = norm(A,2) %求A的欧几里德范数,和norm(A)相同。 n = norm(A,inf) %求行范数,等于A的行向量的1-范数的最大值 即:max(sum(abs(A')))。 n = norm(A, 'fro' ) %求矩阵A的Frobenius范数, 即sqrt(sum(diag(A'*A))),不能用矩阵p-范数的定义来求。 命令范数的估计值 函数normest 格式nrm = normest(A) %矩阵A的2-范数(欧几里德范数)的估计值,相对误差小于 106。 nrm = normest(A,tol) %tol为指定相对误差 [nrm,count] = normest(…) %count给出计算估计值的迭代次数 1.2.12条件数 命令矩阵的条件数 函数cond 格式c = cond(X) %求X的2-范数的条件数,即X的最大奇异值和最小奇异值的商。 c = cond(X,p) %求p-范数的条件数,p的值可以是1、2、inf或者’fro’。 说明线性方程组AX=b的条件数是一个大于或者等于1的实数,用来衡量关于数据中的扰动,也就是A/或b对解X的灵敏度。一个差条件的方程组的条件数很大。条件数的定义为: 命令1-范数的条件数估计 函数condest 格式c = condest (A) %方阵A的1-范数的条件数的下界估值。 [c,v] = condest (A) %v为向量,满足,即norm(A*v,1) =norm(A,1)*norm(v,1)/c。 [c,v] = condest (A,t) %求上面的c和v,同时显示出关于计算的步骤信息。如果t=1,则计算的 每步都显示出来;如果t=-1,则给出商c/rcond(A)。 命令矩阵可逆的条件数估值 函数rcond 格式c = rcond(A) %对于差条件矩阵A来说,给出一个接近于0的数;对于好条件矩阵A, 则给出一个接近于1的数。 命令特征值的条件数 函数condeig 第五节:矩阵的秩及其求法 一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式 定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的 阶行列式,称为A 的一个k 阶子式。 例如 共有 个二阶子式,有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行,第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。显然, 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。 2. 矩阵的秩 定义2 设 有r 阶子式不为0,任何r +1阶子式(如果存在的话)全 为0 , 称r 为矩阵A 的秩,记作R (A )或秩(A )。 规定: 零矩阵的秩为 0 . 注意:(1) 如 R ( A ) = r ,则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0,且更高阶子式均为 0,r 是 A 中不为零的子式的最高阶数,是唯一的 . (2) 有行列式的性质, (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } . (4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之,如 R ( A ) = n ,则 因此,方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n . 二、矩阵秩的求法 1、子式判别法(定义)。 例1 设 为阶梯形矩阵,求R (B )。 解 由于 存在一个二阶子式不为0,而任何三阶子式全为0,则 R (B ) = 2. 结论:阶梯形矩阵的秩=台阶数。 例如 一般地,行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。 () n m ij a A ?={}),min 1(n m k k ≤≤? ? ??? ??----=1 10145641321A 182423=C C 43334=C C 101 22--= D 1 0156 43213-=D n m ?k n k m c c () n m ij a A ?=0, r D ≠()(). T R A R A =0,A ≠0.A ≠??? ? ? ??=000007204321B 0 2 021≠????? ??=010*********A ????? ??=001021B ???? ? ??=100010011C 125034000D ?? ? = ? ? ??2 123508153000720 000 0E ?? ? ?= ? ??? ()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3 R E =矩阵秩的基本不等式
线性矩阵不等式的使用
第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)
矩阵的秩的相关不等式的归纳小结
矩阵相关运算
矩阵的秩及其求法
矩阵不等式的扩充与某些性质