换元法及其应用
换元法及其应用
高一（2）班（C3）张宇绪论：目的在于总结数学解题方法，灵活运用换元法解题。
（一）选题引入
【例一】
其中(>1),则的值域是_______。
【分析】
一般得求出的值域比较容易，但当的自变量也是一个函数的时候求其值域相对比较困难，这时候换元法就大派用场了。
【解】
求的值域，首先要求出的表达式。
函数一般我们习惯还是用来表示，所以要把换成。
【例二】
解不等式：。
【分析】
这是包含对数函数的不等式，一般地对数函数或指数函数写起来都比较麻烦，当在一个等式或不等式中对数或指数出现次数很多的时候，一般可以考虑用换元法，把对数或指数换掉，这样可以简化计算的中间过程，减少因为写错写漏而引起的错误。
【解】
原不等式可以化为：
即，以2为底的对数函数是增函数。
，以2为底的指数函数是增函数。
变量代换的一个共同的特点是：尽可能让外表结构简单明白，尽可能将新鲜的问题转化到熟悉的老问题中去。换元法关键的一步是变量代换，如何选择，如何代换直接影响计算的复杂度，甚至影响到能否解决问题。
（二） 选题概述
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
（三） 选题分类 1、局部换元
又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先变形为设2 ＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 2、三角换元
应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y ＝√1-X^2值域时，若x ∈[-1,1]，设x ＝sin α ，sinα∈[-1,1 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x 、y 适合条件x ＋y ＝r （r>0）时，则可作三角代换x ＝rco sθ、y ＝rsinθ化为三角问题。 3、均值换元
如遇到x ＋y ＝2S 形式时，设x ＝ S ＋t ，y ＝ S －t 等等。
（四） 换元法典型题归纳 1、整体换元
求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值.
解：设??t x x ?y x x t .21
cos sin ),22(cos sin 2-=?≤≤-+=则 ?
t t t y .1)1(2
1
2122-+=+-=故 当.22
1
,2max
+=
=??y ?t 时 2、三角换元
求函数25x x y -+=的值域. 解：令????x ],2
,2[,sin 5π
πθθ-
∈=
).
4
sin(10cos 5sin 5|cos |5sin 5π
θθθθθ+=+=+?=y 则
因为2
2
π
θπ
≤≤-，
所以.4
34
4
ππ
θπ
≤
+
≤-
所以1)4sin(22≤+≤-
πθ，得10)4
sin(105≤+≤-π
θ 所以函数的值域为[10,5?
-]. 3、比值换元
已知x ，y ，z 满足x -1=3
2
21-=
+z y ，试问实数x ，y ，z 为何值时，x 2+y 2+z 2达到最小值？
解：由比例可以设
t z y x =-=+=-3
22111，则 222z y x ++22)12()1(-++=t t +.61014)23(22++=+t t t 当14
5-=t 时，即
149=x ，712-=y ，222,14
13z y ??x z ++=时达到最小值.
○4、不等量换元 求证：
4
7
)1(1131211122322<++++++n n Λ. 证明：对通项公式进行变形
)11
11(21)1)(1(11
112
2+--?=+-=- )2111211(211) 1(113121112 2322<+-+-++<++++++n n n n Λ （五） 分析结论 换元法贯穿于数学学习的始终，用这种方法可以让解题更具条理性；对于学生来说，可以使思路更清晰，提高正确率；还有对于一些难题来说，换元法不失为一种捷径。 （六） 研究体会 数学虽为一门理科，但解题中的反复、归纳、积累是不可或缺的，生活中不经意的好习惯也许会成为你将来成功的筹码与阶梯。 利用换元法解分式方程的四种常见类型 一、直接换元 例1 解方程015)1 (2)1(2=----x x x x . 解：设 y x x =-1 ，则原方程可化为01522=--y y . 解得 5,321=-=y y . 当3-=y 时，31 -=-x x ，解得 43=x ； 当5=y 时，51=-x x ，解得 45 =x . 经检验，4 5 ,4321==x x 是原方程的根. 二、配方换元 例2 解方程 1)1 (3)1(22 2 =+-+ x x x x . 解：原方程配方，得 05)1 (3)1(22=-+-+x x x x . 设,1y x x =+则05322 =--y y . 解得 25 ,121=-=y y . 当1-=y 时，,11-=+x x 即012 =++x x . 因为0311412 <-=??-=?， 所以方程012 =++x x 无实数根. 当25=y 时，,2 51=+x x 即02522 =+-x x . 解得 21 ,221==x x . 经检验，2 1 ,221==x x 是原方程的根. 三、倒数换元 例3 解方程 031 ) 1(21122=-+++++x x x x . 解：设 y x x =++1 12，则原方程可化为032 =-+y y . 去分母，整理，得0232 =+-y y ，解得 2,121==y y . 当1=y 时， 11 1 2=++x x ，即02=-x x . 解得 1,021==x x . 当2=y 时， 21 1 2=++x x ，即0122=--x x . 解得 21,2143-=+=x x . 经检验，,1,021==x x 21,2143-=+=x x 都是原方程的根. 四、变形换元 例4 解方程12 22 242 2 =+-+ -x x x x . 解：原方程可变形为052 22 )22(22 2 =-+-+ +-x x x x . 设y x x =+-222 ，则原方程可化为052 2=-+ y y . 去分母，整理，得02522 =+-y y . 解得 2 1,221= =y y . 当2=y 时，2222 =+-x x ，即022 =-x x . 解得 2 1,021==x x . 当21= y 时，2 1222 =+-x x ，即03242=+-x x . 因为044344)2(2 <-=??--=?， 所以方程03242 =+-x x 无实数根. 经检验，2 1 ,021= =x x 是原方程的根. 例1 解方程 分析 括号里的分式相同，由这个特点，知可用换元法来解。 2 例如：x 2 3x x 2 3x 2 3x 2 2x 3x 2 2x 4x 2 5x 观察发现 2 3x 2 3x 2x 4x 2 5x 1，故可设 x 2 3x 2 3x 2 2x v ，原方程变为u 2 uv v 2 ，方程由繁变简，可得解? 第 6 讲利用换元法解方程 、方法技巧 （一） 换元法 解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的 . （二） 运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程 解分式方程、无理方程、 整式（高次）方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、 无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次 （三） 换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的， 不同的方程就有不同的换元方 法，因此， 这种方法灵活性大，技巧性强?恰当地换元，可将复杂方程化简，以 便寻求解题的途径. 常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等. 82，使方程变得易解，这是均值换元法 例如: 5 — 6 0，可使用局部换元法, x 1 ②x 2 0,变形后也可使用局部换元法，设 2x 2 ~2 x x 2 1 19 —，看着很繁冗，变形整理成 6 x 2 x 2 2 x 2 x 19 一 —时，就可使用局部换兀法 6 82 , 可设 口 x 2，方程变成 ⑤6x 4 5x 3 38x 2 5x 符合与中间项等距离的项的系数相等, 如6x 4 与6 , 5x 3与5x 系数相等，可构造 x 1换元，是倒数换元法. x ⑥x 3 2、.3x 2 3x .3 1 0 ,不易求解，若反过来看，把设 x 看作已知数, 把.3设为设t ，则方程就变成x t 2 2x 2 1 t 数字换元法不常用，但不失为一种巧妙的解题方法 有时根 据方程各部分特点可设双元，达到化繁为简, 求解的目的 初中数学因式分解中的换元法学法指导 徐卫东 刘建英 因式分解是初中数学的重要内容之一，是多项式乘法的逆运算，在代数式的化简、求值、解方程等领域中都有着广泛、直接的应用。但当一个多项式的项数、字母较多，次数较高或还含有代数式乘积的项时，结构复杂，容易造成思路混乱，这时可对多项式中某些相同的部分设辅助元代换，达到减少项数、降低次数，便于分解因式。把复杂、繁难的问题变得简单、容易的目的。举例简解如下。 一、整体换元 例1 因式分解.2)1x x ()1x x (2424--++-+ 解：设A 1x x 24=-+，原式)1x x )(2x x ()2A )(1A (2A A 24242++-+=+-=-+= ). 1x x )(1x x ()2x )(1x )(1x (]x )1x )[(2x )(1x ()x 1x 2x )(2x x (2222222222424+-+++-+=-++-=-++-+= 例2 若βα、是方程0c bx x 2=++的两根。因式分解.c ]c x )1b (x [b ]c x )1b (x [222++++++++ 解：因为βα、是方程0c bx x 2=++的两根，所以.c ),(b αβ=β+α-= 设A c x )1b (x 2=+++，原式).A )(A (A )(A c bA A 22β-α-=αβ+β+α-=++= 但-αβ+β-α-+=α-αβ+β-α-+=α-+++=α-x x x x x )1(x c x )1b (x A 222 ),x )(1()1x ()1x (x )x ()x x x (2α-+β-α=+β-α-+β-=α+αβ-α-+β-=α 同理),x )(1x (A β-+α-=β- 所以原式).1x )(1x )(x )(x (+β-+α-β-α-= 二、局部换元 例3 因式分解.14)8x 5x )(5x 5x (22-++-+ 解：设,A x 5x 2=+ 原式14)8A )(5A (-+-= ). 9x 5x )(6x )(1x () 9x 5x )(6x 5x () 9A )(6A (54 A 3A 2222+++-=++-+=+-=-+= 例4 因式分解.x )6x 5x )(6x 7x (222+++++ 解：设A 6x 5x 2=++，原式.)6x 6x ()x A (x Ax 2A x )x 2A (A 222222++=+=++=++= 三、局部分解后，重组再换元 例5 因式分解.91)9x )(35x 4x 4(22---- 解：原式91)]3x )(5x 2[()]3x )(7x 2[(91)3x )(3x )(5x 2)(7x 2(--+?+-=--++-= ,A 21x x 291)15x x 2)(21x x 2(222=-------=设原式91A 6A 91)6A (A 2-+=-+= )8x x 2)(7x 2)(4x ()8x x 2)(28x x 2()13A )(7A (222--+-=----=+-= 高中数学解题基本方法--换元法 高中数学解题基本方法--换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t 0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝＋ 的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x＋y＝r（r 0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。 均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t 0和α∈[0,]。 Ⅰ、再现性题组： 1.y＝sinx??cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。 2.设 f x＋1 ＝log 4－x （a 1），则 f x 的值域是_______________。 3.已知数列 a 中，a＝－1，a??a＝a－a，则数列通项a＝___________。 4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。 5.方程＝3的解是_______________。 6.不等式log 2－1 ??log 2－2 〈2的解集是_______________。 【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－,]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y＝＋； 2小题：设x＋1＝t t≥1 ，则f t ＝log[- t-1 ＋4]，所以值域为－∞,log4]； 高考中的常用数学方法 配方法、待定系数法、换元法 一、知识整合 配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法. 配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决. 待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数. 换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化. 二、例题解析 例1．已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为( ). (A )32 (B )14 (C )5 (D )6 分析及解：设长方体三条棱长分别为x ,y ,z ,则依条件得： 2(xy +yz +zx )=11,4(x +y +z )=24.而欲求的对角线长为 222z y x ++,因此需将对称式 222z y x ++写成基本对称式x +y +z 及xy +yz +zx 的组合形式,完成这种组合的常用手段 是配方法.故)(2)(2 222xz yz xy z y x z y x ++-++=++=62 -11=25 ∴ 52 22=++z y x ,应选C . 例2．设F 1和F 2为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90°, 则ΔF 1PF 2的面积是( ). (A )1 (B ) 2 5 (C )2 (D )5 分析及解：欲求||||2 1 2121PF PF S F PF ?= ? (1),而由已知能得到什么呢？ 由∠F 1PF 2=90°,得20||||2 22 1=+PF PF (2), 又根据双曲线的定义得|PF 1|-|PF 2|=4 (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即 16||||2||||||||||212221221=?-+=-PF PF PF PF PF PF , 二、换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x ＋2x －2≥0，先变形为设2x ＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现x ∈[0,1]，设x ＝sin 2α ，α∈[0,π2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x 、y 适合条件x 2＋y 2＝r 2（r>0） 时，则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题。 均值换元，如遇到x ＋y ＝S 形式时，设x ＝S 2＋t ，y ＝S 2 －t 等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,π2 ]。 例1. 实数x 、y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5 （ ①式） ，设S ＝x 2＋y 2，求 1S m a x ＋1S min 的值。（93年全国高中数学联赛题） 【分析】 由S ＝x 2＋y 2联想到cos 2α＋sin 2 α＝1,于是进行三角换元，设x S y S ==???? ?cos sin αα代入①式求S max 和S min 的值。 【解】设x S y S ==?????cos sin αα 代入①式得： 4S －5S ·sin αcos α＝5 解得 S ＝10852-sin α ； 换元法及其应用 高一（2）班（C3）张宇绪论：目的在于总结数学解题方法，灵活运用换元法解题。 （一）选题引入 【例一】 其中(>1),则的值域是_______。 【分析】 一般得求出的值域比较容易，但当的自变量也是一个函数的时候求 其值域相对比较困难，这时候换元法就大派用场了。 【解】 求的值域，首先要求出的表达式。 函数一般我们习惯还是用来表示，所以要把换成。 【例二】 解不等式：。 【分析】 这是包含对数函数的不等式，一般地对数函数或指数函数写起来都比较麻烦，当在一个等式或不等式中对数或指数出现次数很多的时候，一般可以考虑用换元法，把对数或指数换掉，这样可以简化计算的中间过程，减少因为写错写漏而引起的错误。 【解】 原不等式可以化为： 即，以2为底的对数函数是增函数。 ，以2为底的指数函数是增函数。 变量代换的一个共同的特点是：尽可能让外表结构简单明白，尽可能将新鲜的问题转化到熟悉的老问题中去。换元法关键的一步是变量代换，如何选择，如何代换直接影响计算的复杂度，甚至影响到能否解决问题。 （二） 选题概述 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 （三） 选题分类 1、局部换元 又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先变形为设2 ＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 2、三角换元 应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y ＝√1-X^2值域时，若x ∈[-1,1]，设x ＝sin α ，sinα∈[-1,1 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x 、y 适合条件x ＋y ＝r （r>0）时，则可作三角代换x ＝rco sθ、y ＝rsinθ化为三角问题。 3、均值换元 如遇到x ＋y ＝2S 形式时，设x ＝ S ＋t ，y ＝ S －t 等等。 （四） 换元法典型题归纳 1、整体换元 求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值. 解：设??t x x ?y x x t .2 1cos sin ),22(cos sin 2-=?≤≤-+=则 ?t t t y .1)1(2 12122-+=+-=故 当.221,2max +==??y ?t 时 2、三角换元 求函数25x x y -+=的值域. 解：令????x ],2 ,2[,sin 5ππθθ-∈= 高中数学解题方法 2013年高考数学二轮复习 换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：代数换元、三角换元、均值换元等。例如解不等式：0224≥-+x x ，先变形为设)0(2>=t t x ，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现[]1,0∈x ，设 α2sin =x ?? ????∈22,0α，问题变成了熟悉的求三角函数值域。如变量y x ,适合条件 )0(222>=+r r y x 时，则可作三角代换θθsin ,cos r y r x ==化为三角问题。 均值换元，如遇到S y x =+形式时，设t S y t S x -=+=2 ,2等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。 题型一：代数换元 例1：（1）方程1313 ++-x x ＝3的解是_______________ （2）x x x f --=2)(的值域是___________. 之一：配方法与换元法 一、配方法与换元法的特点： 把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法． 配方法与换元法是初中数学中的重要方法，近几年的中考题中常常涉及。有时题中指定用配方法或换元法求解，而更多的则是隐含在题目当中，在分析题意的基础上，由考生自己确定选用配方法或换元法，把代数式配成完全平方式的形式，利用完全平方式的特性去求解，以达到快速解题的目的，这是种快捷也是很有效的方法，在初中代数中，占有很重要的地位和份量。 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 二、配方法与换元法的方法： 配方法与换元法主要依据完全平方公式，由公式a 2±2ab+b 2=(a±b)2可知，如果一个多项式能够表达成“两个数的平方和，加上或减去这两个数的积的2倍，则这个多项式就可以写成这两个数的和或差的平方。”由完全平方式的性质可知，任何一个实数的平方都 是非负数，即(a-b)2≥0，当a=b 时，(a-b)2 =0。利用这条性质，并可以解决很多与之有联系的数学问题。 配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．而配方法一般有两种形式，一是根据第一项和 第二项的系数特点，确定第三项系数或常数项。如二次三项式4 x 2 +6x+k 是完全平方式，试确定k 值。这一类的问题只有一解。而更多的是由第一项和第三项的系数特点，确定第二项的系数。如二次三项式4x 2+kxy+25 y 2是完全平方式，试确定k 值。这一类问题一定要考虑正、负值两种情况，结果应为两解才为正确，这一点为不少考生所忽视，一定要考虑周到方可取得好成绩。 三、例题精讲： 热身： 填空题： 1．将二次三项式x 2 +2x －2进行配方，其结果为 。 2．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是 。 3．已知M=x 2 －8x+22，N=－x 2 +6x －3，则M 、N 的大小关系为 。 4．用配方法把二次函数y=2x 2+3x+1写成y=a(x+m)2+k 的形式 。 5．设方程x 2+2x －1=0的两实根为x 1，x 2，则（x 1－x 2）2= 。 6．已知方程x 2－kx+k=0的两根平方和为3，则k 的值为 。 7．若x 、y 为实数，且1 1),32(332 +-+-=-+x y x y x 则 的值等于 。 【例1】 分解因式：（1）a 2b 2-a 2+4ab-b 2+1 ；（2）（x 2+2x ＋4）（x 2+2x+6）-8 分析：多于三项式的多项式的分解因式，常需要进行适当的分组，分组的原则是：首先看有没有能够构成完全平方的项，然后看看有没有能够构成平方差的项，最后看有没有公因式． 解答：（1）a 2b 2-a 2+4ab-b 2+1 = （a 2b 2+2ab+1）-（a 2-2ab+b 2）=（ab+1）2-(a-b)2 =(ab+a-b+1)(ab-a+b+1)。 第 7 讲 换元法（高中版） （第课时） 换元法? ??? ??? ???? ??? ???? ?? ??????? ????三角代换均值代换 整体代换策略化超越式为代数式化无理式为有理式化分式为整式降次复杂问题简单化非标准问题标准化 用途 重点：1．；2．；3．。 难点：1．；2．；3．；。 我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子。换元的关键是构造元和设元。 换元的实质是转化，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式。换元后要注意新变量的取值范围，它既不能缩小也不能扩大。 换元法在因式分解、化简求值、恒等式证明、条件等式证明、方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何等问题中有广泛的应用。 换元的常用策略有：整体代换（有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换、复变量代换）、三角代换、均值代换等。 整体代换：在条件或者结论中，某个代数式反复出现，那么我们可以用一个字母来代替它， 当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x ＋2x －2≥0，先变形为设2x ＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角代换：如果把代数式换成三角式更容易求解时，可以利用代数式中与三角知识的联系进 行换元。例如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现x ∈[0,1]，设x ＝sin 2 α ，α∈[0, π 2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。又如变量x 、y 适合条件x 2 ＋y 2 ＝r 2 （r>0）时，则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题。 均值代换：对两个类似的式子，可令其算术平均值为t 进行换元；如果遇到形如 S y x =+ 或 S y x =+2 2 这样的对称结构，可设 x ＝S 2＋t ，y ＝S 2－t 或 t S x +=22 ，t S y +=2 2等等。 1．换元法在方程中的应用 我们知道，解分式方程时一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程来解；解无理方程一般用“两边乘方”的方法，将无理方程化成有理方程来解。然而利用这些常规的变形方法解题，有时会产生高次方程，解起来相当繁琐，甚至有时难于解得结果。对于某些方程，我们可以用新的变量来替换原有的变量，把原方程化成一个易解的方程。 例.（高二）如果关于x 的方程 0sin cos 22 2 4 =++θθx x 有相异的四实根，求θ的范围。 分析：此题已知条件的形式比较陌生，我们先看看能不能把它转化为我们所熟悉的形式。 令 t x =2 ，则原方程化为： 0sin cos 22 2=++θθt t ⑴ 使原方程有相异的四实根等价于使方程⑴有两不等正根。 由此得 ?? ? ? ?>>->-=?)4(0sin )3(0cos ) 2(0sin 4cos 4222θθθθ 即 ?? ? ??≠<>0sin 0cos 02cos θθθ 解之得 4 52432ππθππ+<<+ k k 且 )()12(J k k ∈+≠πθ 2．换元法在不等式中的应用 例.（高二）设对所于有实数x ，不等式x 2 log 241()a a +＋2x log 221a a +＋log 2()a a +142 2 >0 恒成立，求a 的取值范围。 分析：不等式中，log 241()a a +、 log 221a a +、log 2()a a +142 2 三项有何联系？对它们进 行变形后再实施换元法。 解： 设 log 2 21 a a +＝t ，则 log 241()a a +＝log 2812()a a +＝3＋log 2a a +12＝3－log 221 a a +＝3－t ， log 2()a a +142 2 ＝2log 2 a a +12＝－2t ， 代入后原不等式简化为 （3－t ）x 2 ＋2tx －2t>0 ，它对一切实数x 恒成立， 初中数学竞赛：换元法 【内容提要】 1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法. 2.换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系. 例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换. 3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验. 4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换. 5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等. 例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2 +bx+a=0. 两边都除以x 2,得a(x 2+2 1x )+b(x+x 1)+c=0. 设x+x 1=y, 那么x 2+21x = y 2－2, 原方程可化为ay 2+by+c －2=0. 对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0， 必有一个根是－1. 原方程可化为 (x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0. ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程. 形如 ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是： 与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数. 两边都除以x 2, 可化为a(x 2+21x )－b(x －x 1)+c=0. 设x －x 1=y, 则x 2+21x =y 2+2, 原方程可化为 ay 2－by+c+2=0. 【例题】 例1. 解方程1112---++x x x =x. 换元法在椭圆问题中使用 我们在解决椭圆问题时往往因为运算量大，而感觉问题变得很难。其实，在椭圆方程中，令a=b=r，则椭圆方程变为圆方程；在椭圆面积公式S=πab中，令a=b=r，则椭圆面积公式变为圆的面积公式.以上说明圆能够看作是特殊的椭圆，它们有很多相似的性质，从而椭圆的有些 问题就能够用圆的知识来处理.下面分类举例，予以说明.求椭圆的中 点弦方程例１：已知椭圆+=1，定点P（m，n）（mn≠0）在椭圆内，求以Ｐ（m，n）为中点的弦所在的直线方程.解：令x′=，y′=，则已知椭圆和定点P（m，n）变为相对应的圆x′2+y′2=1和定点P′（，），从而所求问题变为：求圆x′2+y′2=1内以P′（，）为中点的弦所在的直线方程.∵直线OP′的斜率kOP′==，∴以P′为中点的弦所在直 线的斜率为-，弦所在直线的方程为y′-=－（x′-），化简得 b2mx+a2ny-b2m2-a2n2=0.评析：本题也可用韦达定理或“点差法”解决，但运算较繁琐，而以上解法通过换元法将椭圆转化为圆，再使用 圆的性质轻松求解，可谓方法独特.求椭圆上的动点到定直线（或定点）的距离的最值例2：在椭圆+=1上求一点，使它到直线l：3x-2y-16=0 的距离最短，并求此距离.解：令x′=，y′=，则已知椭圆和直线l变为相对应的圆x′2+y′2=1和直线l′：6x′-2y′-16=0.从而所求问 题变为：求圆x′2+y′2=1上一点到直线l′：6x′-2y′-16=0的距 离最短问题.由平面几何知识可知，过圆x′2+y′2=1的圆心O′（0，0）作直线l′的垂线段，交圆于点P′（x′，y′），点P′到垂足的距离最短.所以由直线l′的垂线O′P′：y′=-x′和圆x′2+y′2=1 相交，可求得点P′为（，-）.则相对应椭圆上所求的点Ｐ为（，-），所求最短距离为=.评析：此类问题还可用函数法、判别式法、导数法 和参数法求解，而通过换元法将椭圆和直线（或定点）转化为相对应 的圆和直线（或定点），使用圆的性质和平面几何知识使问题易于理解，又可避免较为繁琐的计算过程.求椭圆方程例３：已知椭圆的中心 在原点，焦点在x轴上，离心率为，过点M（0，2）作直线l与椭圆交于A、B两点，设N为AB的中点，且KＯＮ=，=，求椭圆的方程.解： 因式分解方法归纳总结 第一部分：方法介绍 初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，进一步着重换元法，待定系数法的介绍. 、提公因式法.：ma+mb=m(a+b) 、运用公式法. (1) (a+b)(a -b) = a 2-b2 ---------- a 2-b2=(a+b)(a -b); , 2 2, 2 2 , 2,2 (2) (a ± b) = a ± 2ab+b ----------------- a ± 2ab+b =(a ± b); (3) (a+b)(a 2-ab+b2) =a 3+b3------ a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2); 2 2、3 3 3 3 2 2、 (4) (a -b)(a +ab+b ) = a -b -------------- a -b =(a -b)(a +ab+b ). F面再补充两个常用的公式： (5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2; 3,3 3 2,2 2 (6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca); 例.已知a, b, c是ABC的三边，且a2 b2 c2则ABC的形状是() (二)分组后能直接运用公式ab bc ca, A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解: a2 b2 c2 ab bc ca 2 2 2 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca (a b)2 2 2 (b c) (c a) 三、，分组分解法 例 2、分解因式：2ax 10ay 5by 解法一：第、二项为一组； 第三、四项为一组。 解:原式=(2ax 10ay) (5by bx) = 2a(x 5y) b(x 5y) =(x 5y)(2a b) bx 解法二：第一、四项为一组；第 二、三项为一组。 原式=(2ax bx) ( 10ay 5by) =x(2a b) 5y(2a b) =(2a b)(x 5y) 练习：分解因式1、a2 ab ac bc 2、xy x y 1 第8讲 高考中常用数学的方法 ------配方法、待定系数法、换元法 一、知识整合 配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法. 配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决. 待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数. 换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化. 二、例题解析 例1．已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为( ). (A )32 (B )14 (C )5 (D )6 分析及解：设长方体三条棱长分别为x ,y ,z ,则依条件得： 2(xy +yz +zx )=11,4(x +y +z )=24.而欲求的对角线长为222z y x ++,因此需将对称式 222z y x ++写成基本对称式x +y +z 及xy +yz +zx 的组合形式,完成这种组合的常用手段是 配方法.故)(2)(2222xz yz xy z y x z y x ++-++=++=62-11=25 ∴ 5222=++z y x ,应选C . 例2．设F 1和F 2为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足∠ F 1PF 2=90°,则ΔF 1PF 2的面积是( ). (A )1 (B ) 2 5 (C )2 (D )5 分析及解：欲求||||2 1 2121PF PF S F PF ?= ? (1),而由已知能得到什么呢？ 由∠F 1PF 2=90°,得20||||2221=+PF PF (2), 又根据双曲线的定义得|PF 1|-|PF 2|=4 (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即 毕业论文开题报告 信息与计算科学 换元法在数学解题中的应用 一选题的背景、意义 1.1 选题的背景[1] 从一种形态转化到另一种形态，这是数学发展的一个杠杆，也是集体常用的手段。数学史上这样的例子很多，无论是对一些具体问题的解决，还是在经典的数学方法中，都无不渗透着这一思想。解题中常用到的换元法，其实也是这一思想的具体体现。由于条件与结论中的变量关系在形式上的隐蔽，它们之间实质性的逻辑联系不易从表面形式上发现，即使看出它们之间的联系，也由于表面形式的复杂而不易直接求解。但当我们进行适当的变量代换，把问题的条件和结论作形式上的转换，这样就容易揭示出它们之间的内在联系，把问题化难为易，化繁为简。掌握了换元思想，不但可以比较顺利地解决一些较难的题目，还可以用多种方法解答同一个个问题，提高我们的思维。 当然，为了使问题得到解决，这种转换应该是有效的。什么是有效的转化？总的来说，有利于问题解决的转化就是有效转化。在具体问题中，针对转化的有效性，人们做了很多的探讨。以换元法为例，就有很多文章探讨了解方程中的换元技巧，积分中的换元技巧等等。每一类问题又由于其具体形式的不同，换元的形式也多种多样。分析各种还原形式的共同规律，可以捡起归纳为以下几类：定积分换元法、不定积分换元法、三角换元、二重积分换元法、含无理递推式的换元法和换元法在其他方面的应用。 1.2 选题的意义[2] 换元法在解决定积分、不定积分、三角函数、二重积分、含无理递推式等数学问题中有着广泛的应用，换元法是解决复杂繁琐数学问题的重要工具。 解数学问题时，当遇到代数中式子较烦或解法比较复杂时，如果能从式子的特殊性中挖掘并发挥换元的因素，这样往往能够产生更为简洁的解法，把繁难的计算和推理简化。从而达到化难为易、化深为浅、化繁为简的目的。这就是简化解题方案，寻求最佳解题法的有效方法。 当遇到题中含有几个变量或次数较高问题时，我们可以考虑用换元法，能否消去某些变量或降低变量次数，起到减元降次的作用。 学生做题前请先回答以下问题 问题1：目前我们学习的因式分解的方法有哪些？ 问题2：换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为____________． 问题3：换元是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，当多项式中的某一部分_______时，我们会________将其替换，从而简化式子的形式． 以下是问题及答案，请对比参考: 问题1：目前我们学习的因式分解的方法有哪些？ 答：提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法． 问题2：换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化 为． 答：四种基本方法． 问题3：换元是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，当多项式中的某一部分时，我们会将其替换，从而简化式子的形式． 答：重复出现；设元． 因式分解综合应用（换元法与添项拆项）（人教 版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.把因式分解，正确结果是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法 2.把因式分解，正确结果是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法 3.把因式分解，正确结果是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法 4.把因式分解，正确结果是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法 5.把因式分解，正确结果是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 高中数学解题基本方法——换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通 过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉 的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x ＝sin2α，α∈[0,π 2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中 主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。 均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S 2 ＋t，y＝ S 2 －t等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例 中的t>0和α∈[0,π 2 ]。 Ⅰ、再现性题组： 1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。 2.设f(x2＋1)＝log a (4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{a n }中，a 1 ＝－1，a n+1 ·a n ＝a n+1 －a n ，则数列通项a n ＝___________。 4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。 5.方程13 13 + + -x x ＝3的解是_______________。 6.不等式log 2(2x－1) ·log 2 (2x+1－2)〈2的解集是_______________。 数学方法之换元法篇 通过换元法可以把未知问题化为已知问题，把抽象问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过换元可以清楚的认识问题的实质，迅速寻找和选择解决问题的途径的方法. 根据数式的特点常见的换元法有：（1）整体换元；（2）平均数换元法；（3）比值换元法；（4）三角代换法；（5）不等量换元法；（6）根式换元法；（7）倒数换元法；（8）相反数换元法；（9）坐标换元法等等. 一、整体换元 例1：求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值. 解析：设 ?? t x x ?y x x t .21 cos sin ),22(cos sin 2-=?≤≤-+=则 ? t t t y .1)1(2 12122-+=+-=故 当.22 1 ,2max +== ??y ?t 时 二、三角换元 例2：求函数2 5x x y -+=的值域. 解析：令????x ],2 ,2[,sin 5π πθθ- ∈= ). 4 sin(10cos 5sin 5|cos |5sin 5π θθθθθ+=+=+?=y 则 因为 2 2 π θπ ≤ ≤- ，所以 .4 34 4 π π θπ ≤ + ≤- 所以1)4 sin(22≤+≤- πθ，得 10 )4 sin(105≤+ ≤-π θ 所以函数的值域为[10 ,5?- ]. 三、平均数换元法 例3： 已知 正 数 .4 25 )1)(1(:,1,≥++=+y y x x ???y x y x?求证满足 证明：由题意可知x ，y 的平均数为2 1，令x =21+θ，y =21-θ（-21<θ<2 1）, 则 .4 11625 23) 1)(1()1)(1(22422θθθ-+ += ++=++xy y x y y x x 显然分子 的值大于等于1625 ， 分母的值大于0小于等于4 1，从而得证. 四、比值换元 例4：已知x ，y ，z 满足x -1=3 2 21-= +z y ，试问实数x ，y ，z 为何值时，x 2+y 2+z 2达到最初三数学换元法专练
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