线段垂直平分线的性质教案
′和CC′也与MN垂直．
除了垂直以外还有什么关系吗？
′、B′、C′分别是点A、
和△A′B′C′沿MN对折
MPA′=90°．所以AA′、
AA′、BB′和CC′的中点．对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经
CP1、CP2…讨论发现什么样点的距离相等．即AP1=BP1
L对折，线段PA与PB
、AP2、BP1、BP2应满足什么条件？
《相似三角形的性质》教案
《相似三角形的性质》教案 课标要求 了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方． 教学目标 知识与技能：1．了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方；2．能够运用相似三角形的性质定理解决相关问题．过程与方法：通过操作、观察、猜想、类比等活动，进一步提高学生的思维能力和推理论证能力． 情感、态度与价值观：通过对性质的发现和论证，提高学习热情，增强探究意识． 教学重点 相似三角形性质定理的理解与运用． 教学难点 探究相似三角形面积的性质，并运用相似三角形的性质定理解决问题． 教学流程 一、情境引入 三角形中有各种各样的几何量，如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等等． 问题：如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？ 引出课题：今天，我们就来研究相似三角形的这些几何量之间的关系． 二、探究归纳 回顾：从相似三角形的定义出发，能够得到相似三角形的什么性质？ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 问题：相似三角形的其他几何量可能具有哪些性质？ 探究：如图1，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少． 图1
图2 问题1：如图2，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，分别作△ABC 和△A ′B ′C ′对应高AD 和A ′D ′．AD 和A ′D ′的比是多少？ 追问：对应高在哪两个三角形中，它们相似吗？如何证明？ 解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∴∠B ＝∠B ′ ∵△ABD 和△A ′B ′D ′都是直角三角形 ∴△ABD ∽△A ′B ′D ′ ∴==''''AD AB k A D A B 问题2：它们的对应中线、角平分线的比是否也等于相似k ？ 结论:相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比． 问题3：如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，对应线段的比呢？ 推广：相似三角形对应线段的比等于相似比． 问题4：如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，它们的周长有什么关系？ 结论：相似三角形的周长比等于相似比． 思考：相似三角形面积比与相似比有什么关系？ 如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，分别作△ABC 和△A ′B ′C ′对应高AD 和A ′D ′． 2122 ABC A B C BC AD S BC AD k k k S B C A D B C A D ?'''??==?=?=''''''''? 结论：相似三角形面积比等于相似比的平方． 三、应用提高 例：如图，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ．若△ABC 的边
《线段的垂直平分线》教案
《线段的垂直平分线》教案 教学目标 知识与技能： 1、能用多种方法作出线段的垂直平分线并说明其正确性. 2、掌握线段垂直平分线的性质定理，能够证明线段垂直平分线的性质定理.并能用定理解决一些实际问题. 过程与方法： 1、通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力. 2、体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神． 情感与价值观要求： 1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． 2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重难点 重点：线段垂直平分线性质定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线． 难点：线段垂直平分线的性质定理的内涵和证明. 教学方法 引导探索 教学过程 一、忆一忆，由旧引新 1、什么叫做轴对称图形？又什么是轴对称？ 2、线段是轴对称图形吗？对称轴有几条？(引出垂直平分线) 3、你能画线段的垂直平分线吗？它又有什么性质？ 二、动手操作，合作交流 1．已知线段AB，画出它的垂直平分线. A B 说出你的作图思路.议一议：能否说出这种画法的依据，小组讨论交流一下. 2．线段垂直平分线的作法 ①折纸法：(学生动手，教师引导) ②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线；(学生动手，教师引导) ③尺规法：(师生一起动手) (1)分别以点A、B为圆心，以大于1 2 AB长为半径画弧(为什么？)交于点E、F； (2)过点E、F作直线. 则直线EF就是线段AB的垂直平分线.
(为什么直线EF是线段AB的垂直平分线呢？这就要证明OA=OB且∠AOE=900或∠BOE= 900，请同学们思考、讨论、交流，最后老师给出证明) 证明：分别连接AE、AF、BE、BF，则AE=AF=BE=BF Array在△AEF和△BEF中 AE=BE AF=BF EF=EF ∴△AEF≌△BEF (SSS) ∴∠AEF=∠BEF 在△AOE和△BOE中 AE=BE ∠AEF=∠BEF ∴△AOE≌△BOE(SAS) ∴ OA=OB∠AOE=∠BOE OE=OE ∵∠AOE+∠BOE=180° ∴∠AOE=∠BOE =90° 即直线EF垂直平分线段AB 三、合作探究 1.探索线段垂直平分线性质定理 问题1：已知：如图，直线EF是线段AB的垂直平分线，垂足为O，在EF上任取一点P，连结P A、PB；测量P A、PB的长，你能发现什么？ 测量时要求学生变换P点的位置，看看P点到线段两个端点的距离的大小？面向全班提问：不难得到：P A=PB，在引到学生用语言表达猜想：线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等. 猜想：线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等. 此时让学生说说该猜想的题设(线段垂直平分线上的点)与结论点(这一点与线段两端的距离相等)，并用数学式子来表达： 已知：如图，直线EF是线段AB的垂直平分线，垂足是O，P是EF上任意一点，连结P A、PB. 求证：P A=PB 此时要做好分析，证明线段相等，通常是证明这两条线段所在的三角形全等，如果不能，再用别的方法，引导学生思考后再证明，可以让学生上黑板板演，教师点评) 证明：∵EF⊥AB (已知)
线段的垂直平分线的性质和判定公开课教案
线段的垂直平分线的性质和判定 教学目标 知识与技能：掌握线段垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题。 方法与过程：通过折叠，观察让学生动手操作探索规律，并用所学理论证明规律，并在实际解题过程中运用它。 情感态度与价值观：经历探究线段垂直平分线的性质和判定的过程，发展学生的空间观察的能力进而培养学生的探究意识和学习数学的兴趣。 重点： 线段垂直平分线的性质和判定 难点： 线段垂直平分线的性质和判定的推理及应用 教学过程 一、问题导入 1.什么是线段的垂直平分线？ 2.线段是轴对称图形吗？如果是它的对称轴是什么？ 二、探究新知 （一）线段垂直平分线的性质和判定 将线段AB折叠，并在折痕上任取一点P，连接PA，PB并再次折叠，你会发现什么？ 由于P点的任意性，你又会得出什么结论？
结论： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 性质的证明： 求证：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．” 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点 P 在l 上．求证：PA =PB． 思路分析：图中只有两个直角三角形而证明的又是线段相等，所以联想证明这两个三角形全等。 证明过程： 证明：∵l⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90° 又∵AC=CB，PC=PC, 又∵AC=CB，PC=PC, ∴PA=PB 证后反思：线段垂直平分线的性质在做题过程中可以直接使用，省去其中证全等的过程，使解题过程更加简洁明了。 例1：如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的垂直平分线交BC 于D，AC 的垂直平分线交BC 与E，则△ADE 的周 长等于______． 例2：如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上 点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？
线段的垂直平分线的性质教学设计(公开课)
《线段的垂直平分线的性质》教学设计 教学目标： 1.经历探索线段垂直平分线性质的过程，理解并掌握线段的垂直平分线的性质定理。 2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。 3. 体验解决问题策略，发展实践能力和创新精神。 教学重点、难点： 重点：理解线段的垂直平分线的性质，并能运用性质解决相关问题。难点：线段垂直平分线的实际应用。 教学过程： 一、创设问题情境 如图，两个小区分别为中建芙蓉嘉苑小区和丽发新城小区，为了便于两个小区的居民看病，政府计划在环保西路上修建湘雅五医院，使它到两个小区的距离相等，那么医院应建在什么位置？ 二、温故 我们上节课学习了线段的垂直平分线，那么线段的垂直平分线是怎样定义的呢？
线段的垂直平分线：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫做线段的中垂线）。 注意：1.线段的垂直平分线是直线。 2.这条直线经过线段的中点。 3.这条直线垂直于这条线段。 三、知新 我们知道了线段的垂直平分线的定义，现在请同学们根据定义，利用直尺和铅笔作图，画一条已知线段的垂直平分线。动动手，画一画。 下面我们来看一看这条线段的垂直平分线上的点有什么特点？ 右图中，直线L 垂直平分线段AB,在L 上任取点P 1、P 2、P 3，连接P 1A 、P 1B,P 2A 、P 2B,P 3A 、P 3B 的长，你发现了什么？你有什么猜想吗？ 猜想：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 那我们猜想出来以后，就可以直接运用了吗？嗯，我听到有同学说需要证明，很好，那我们看看应该怎样证明呢？如果证明的话，应该先怎样呢？（把文字语言转化成符号语言） A B l P P P
直线、射线、线段教案
4.2 直线、射线、线段(2课时) 教学任务分析 教学流程安排
教学过程设计 一、创设情境，激发学生兴趣，引出本节主要内容 直线、射线、线段的定义 活动1：让学生举出实际生活中所见到的直线的实例． 学生活动：(可请5～6位学生发言)．学生可能回答：铅笔、尺子、桌子边沿等． 教师总结：铅笔、尺子、桌子边沿等都有长度，是可以度量的，它们都是直线的一部分，此时给出直线的概念“直线是向两个方向无限延伸着的．” 活动2：提问“无限延伸”怎样解释， 教师活动：可形象的归纳出“直线是无头无尾、要多长有多长．”让学生闭起眼睛想象一下． 活动3：在我们以前学过的知识中有没有真正是直线的例子？ 教师活动：通过前面学生所举的例子，给出线段定义“直线上两个点和它们之间的部分叫做线段．” 活动4：请学生画出直线、线段，你能自己给射线的下一个定义吗？ 归纳：“直线上的一点和它一旁的部分叫做射线． 设计意图：通过以上思维活动，让学生理解直线、射线、线段的概念． 二、组织讨论，探讨三种图形的表示方法 l A B a A B 直线l ；直线AB ． 线段AB ；线段a A B 射线AB 归纳：直线的表示有两种：一个小写字母或两个大写字母．但前面必须加“直线”两字，如：直线l ；直线m ，直线AB ；直线CD ． 射线的表示同样有两种：一个小写字母或端点的大写字母和射线上的一个大写字母，前面必须加“射线”两字．如：射线a ；射线OA ． 线段的表示也有两种表示方法：用表示端点的大写字母表示，如线段AB ；用一个小写字母表示，如线段a ． 巩固练习：按下列语句画出图形． （1）直线EF 过点C ； （2）点A 在直线l 外； （3）经过点O 的三条线段a 、b 、c ； （4）线段AB 、CD 相交于点B ． 设计意图：培养学生的动手操作能力，加深对直线射线线段的认识． 三、问题探究，拓展创新，培养学生的思维的深刻性 探究1：如何比较两条线段的大小？ 学生活动设计：学生思考比较方法，可能有两种方法，一是分别用刻度尺量出线段的长
作线段的垂直平分线教案
第2课时作线段的垂直平分线 ◇教学目标◇ 【知识与技能】 能够作出轴对称图形以及轴对称的对称轴,明确对称轴是直线. 【过程与方法】 1.经历探索、猜测、动手操作的过程,进一步发展学生的动手操作能力; 2.体验解决问题策略的多样性,发展实践能力和创新精神. 【情感、态度与价值观】 通过积极参与数学学习活动,在数学活动中获得成功的体验,建立学习的自信心. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 画轴对称图形的对称轴. 【教学难点】 作轴对称图形. ◇教学过程◇ 一、情境导入 我们知道某些图形是轴对称图形,你能想出除折叠外其他画出对称轴的方法吗? 二、合作探究 探究点1垂直平分线的尺规作图 典例1如图,在△ABC中,分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧分别交于点D,E,则直线DE是() A.∠A的平分线 B.AC边的中线 C.BC边的高线 D.AB边的垂直平分线
[解析]分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧分别交于点D,E,则DA=DB,EA=EB,所以点D,E在线段AB的垂直平分线上. [答案]D () A.过已知点作一条直线与已知直线相交 B.过已知点作一条直线与已知直线垂直 C.过已知点作一条直线与已知直线平行 D.不确定 [答案]B 探究点2画对称轴 典例2用刻度尺分别画下列图形的对称轴,可以不用刻度尺上的刻度画的是() A.①②③④ B.②③ C.③④ D.①②所有 [解析]①②③④均可以不用刻度尺上的刻度画对称轴. [答案]A ,对称轴条数是四条的图形是() [答案]A 三、板书设计 作线段的垂直平分线 轴对称图形 ◇教学反思◇ 本节的内容是画轴对称图形的对称轴,在设计上可以通过给出轴对称图形让学生画对称轴的方式,让学生通过小组合作交流,探究、讨论,归纳出画对称轴的方法,体现学生自主学习和合作交流的学习方式,空间想象能力得到加强,创新意识得到培养,并且体验到成功的快乐.
线段的垂直平分线教案.doc
线段的垂直平分线教案 线段的垂直平分线教学内容: 线段的垂直 平分线教学目的: 1、使学生理解线段的垂直平分线的性质定 理及逆定理,掌握这两个定理的关系并会用这两个定理解决有关几何 问题。 2、了解线段垂直平分线的轨迹问题。 3、结合教学内 容培养学生的动作思维、形象思维和抽象思维能力。教学重点: 线段的垂直平分线性质定理及逆定理的引入证明及运用。教学难 点: 线段的垂直平分线性质定理及逆定理的关系。教学关键: 1、垂直平分线上所有的点和线段两端点的距离相等。 2、到线段 两端点的距离相等的所有点都在这条线段的垂直平分线上。教 具:投影仪及投影胶片。教学过程: 一、提问 1、角平分 线的性质定理及逆定理是什么? 2、怎样做一条线段的垂直平分线? 二、新课 1、请同学们在课堂练习本上做线段ab的垂直平分线 ef(请一名同学在黑板上做)。 2、在ef上任取一点p,连结pa、 pb量出pa=?,pb=?引导学生观察这两个值有什么关系? 通过学生 的观察、分析得出结果 pa=pb,再取一点p'试一试仍然有p'a=p'b, 引导学生猜想ef上的所有点和点a、点b的距离都相等,再请同学把 这一结论叙述成命题(用幻灯展示)。定理:线段的垂直平分线上 的点和这条线段的两个端点的距离相等。这个命题,是我们通过 作图、观察、猜想得到的,还得在理论上加以证明是真命题才能做为 定理。已知:如图,直线ef⊥ab,垂足为c,且ac=cb,点p在ef上
求证:pa=pb 如何证明pa=pb学生分析得出只要证 rtδpca≌rtδpcb 证明:∵pc⊥ab(已知) ∴∠pca=∠pcb(垂直的定义) 在δpca和δpcb中∴δpca≌δpcb(sas) 即:pa=pb(全等三角形的对应边相等)。反过来,如果 pa=pb,p1a=p1b,点p,p1在什么线上? 过p,p1做直线ef交ab于c,可证明δpa p1≌pb p1(sss) ∴ef是等腰三角型δpab的顶角平分线∴ef是ab的垂直平分线(等腰三角形三线合一性质) ∴p,p1在ab的垂直平分线上,于是得出上述定理的逆定理(启发学生叙述)(用幻灯展示)。逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。根据上述定理和逆定理可以知道:直线mn可以看作和两点a、b的距离相等的所有点的集合。线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合。 三、举例(用幻灯展示) 例:已知,如图δabc中,边ab,bc的垂直平分线相交于点p,求证:pa=pb=pc。证明:∵点p在线段ab的垂直平分线上∴pa=pb 同理pb=pc ∴pa=pb=pc 由例题pa=pc知点p在ac的垂直平分线上,所以三角形三边的垂直平分线交于一点p,这点到三个顶点的距离相等。四、小结正确的运用这两个定理的关键是区别它们的条件与结论,加强证明前的分析, 找出证明的途径。定理的作用是可证明两条线段相等或点在线段的垂直平分线上。五、练习与作业练习:第87页 1、2 作业:第95页 2、3、4 《教案设计说明》线段的垂直平分线的性质定理及逆定理,都是几何中的重要定理,也是一条重要轨迹。在几何
《线段的垂直平分线的性质》教学设计
《线段的垂直平分线的性质》教学设计 一、教学目标 1.要求学生理解线段的垂直平分线性质定理和判定定理，进而解决实际问题． 2.通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力. 二、教学重点及难点 重点：线段的垂直平分线性质定理和判定定理. 难点：运用线段的垂直平分线性质定理和判定定理解决问题. 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、直尺、刻度尺、圆规 四、相关资源 木条 ，钉子 五、教学过程 （一） 动手操作 （木条l 与AB 钉在一起，l 垂直平分AB ，点P 是l 上的点，点P 在l 上移动） 再作出线段AB ，过AB 中点作AB 的垂直平分线l ，在l 上取1P ，2P ，3P …，连结1AP ， 1BP ，2AP ，2BP ，3AP ，3BP … （2）作好图后，用直尺量出1AP ，1BP ，2AP ，2BP ，3AP ，3BP …讨论发现什么样的规律． 设计意图：通过动手操作，激发学生学习及探究的兴趣，变“要我学”为“我要学”，充分调动了学生的积极性．
（二）猜测求证 1．让学生大胆猜测观察的结果是什么．但是，我们仅仅凭观察就能说明这个结论的正确性吗？ 给学生留有时间和空间，交流讨论，如何证明结论的正确性．选取两组代表，把他们的证明过程写在黑板上，教师巡视学生书写过程，有针对性地引导讲解，规范学生证明过程． 猜测：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即1AP ＝1BP ，2AP ＝ 2BP … 证法1：利用两个三角形全等． 如图，直线l ⊥AB ，垂足为C ，AC ＝CB ，点P 在l 上，求证：P A ＝PB ． 证明：∵l ⊥AB ， ∴∠PCA ＝∠PCB ． ∵在△APC 和△BPC 中， PC PC PCA PCB AC BC =?? ∠=∠??=? ，， ， ∴△APC ≌△BPC （SAS ）． ∴P A ＝PB ． 证法2：利用轴对称性质． 由于点C 是线段AB 的中点，将线段AB 沿直线l 对折，线段P A 与PB 是重合的，因此它们也是相等的． 2．让学生先用自己的语言总结线段垂直平分线的性质定理，教师再引导规范． 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 3．你能把线段的垂直平分线的性质定理用“如果……那么……”的形式叙述吗，其条件是什么，结论是什么？ 条件是：有一个点是线段垂直平分线上的点； 结论是：这个点与这条线段两个端点的距离相等． 如果有一个点是线段垂直平分线上的点，那么这个点与这条线段两个端点的距离相等．
北师大版八年级数学下册1.3 线段的垂直平分线教案
1．3线段的垂直平分线第1课时线段的垂直平分线 1．掌握线段垂直平分线的性质；(重点) 2．探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的问题．(难点) 一、情境导入 如图所示，有一块三角形田地，AB＝AC＝10m，作AB的垂直平分线ED交AC 于D，交AB于E，量得△BDC的周长为17m，你能帮测量人员计算BC的长吗？ 二、合作探究 探究点一：线段的垂直平分线的性质定理 【类型一】应用线段垂直平分线的性质定理求线段的长 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC 于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为() A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm 解析：∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD ＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20，∴BC＝35－20＝15cm.故选C. 方法总结：利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】线段垂直平分线的性质定理与全等三角形的综合运用 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD. 解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可． 证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD. (2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD ＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD. 方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．
线段的垂直平分线 优质课教案
A 小区 B 小区 C 小区 线段的垂直平分线 【教学目标】 1．经历线段垂直平分线性质的发现过程，初步掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，体会辨证思想； 2．能运用线段垂直平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题； 3．通过从操作实验到演绎推理的数学活动，认识实验归纳和演绎推理的作用。 【教学重难点】 重点：线段垂直平分线性质定理及其逆定理；难点：线段垂直平分线性质定理及其逆定理的应用。 【教学准备】 课件，三角尺，学案 【教学过程】一、情景引入1．引例： 区政府为了方便居民日常生活，计划开一家大超市，为了使该超市到A ，B ，C 三个居民小区的距离相等，请同学们设计一下，这个超市应该建在哪里呢？ 2．回顾，导入 提问1：线段是不是轴对称图形？ 如果是，那么请说明它的对称轴在哪里？ 提问2：如图，线段AB 关于直线MN 对称，在直线MN 上任取一点P ，分别联结PA 、PB ，那么线段PA 与PB 一定相等吗？ 揭示课题：线段的垂直平分线 二、学习新知 （一）探究新知 1．线段的垂直平分线的性质定理 操作：以直线MN 为折痕将这个图形翻折，观察点P 的位置动不动？ P M N C B A
点A与点B是否重合？你得到哪些线段相等？ 归纳：如果一个点在一条直线的垂直平分线上，那么分别联结这点与线段两个端点所得的两条线段相等。 验证：证明这个命题，写出已知和求证。 已知：如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为点C，点P在直线MN上。 求证：PA＝PB． 分析：如图，当点P不在线段AB上时，要证明PA＝PB，只需要 证△PCA≌△PCB．由直线MN是线段AB的垂直平分线，可知CA=CB， ∠PCA=∠PCB，再加上PC为公共边，三角形全等即可得到。 特别地，当点P在线段AB上时，P点与C点重合，此时PA=PB 当然也成立。 证明： ∵MN是线段AB的垂直平分线（已知） ∴MN⊥AB，AC=BC（线段垂直平分线的定义） 设点P在线段AB外时， ∵MN⊥AB（已证） ∴∠PCA=∠PCB=90o（垂直的定义） 在△PCA和△PCB中， AC=BC（已证） ∠PCA=∠PCB（已证） PC=PC（公共边） ∴△PCA≌△PCB（S.A.S） ∴PA=PB（全等三角形对应边相等） 当点P在线段AB上时， 点P与点C重合，即PA=PB 归纳线段垂直平分线的性质定理： 文字语言：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。 符号语言：∵点P在线段AB的垂直平分线上 ∴ PA=PB 辨析练习： 1．如图（1）：若AC垂直平分BD，则AB=____________ 2．如图（2）：若BD垂直平分AC，则AB=____________ 3．如图（3）：若AC、BD互相垂直平分，则AB=__________ 4．如图（4）：PD、PE分别垂直平分线段AB、BC，则PA_______PC P M N C B A
人教版 线段的垂直平分线的性质教学设计(公开课)
人教版 《线段的垂直平分线的性质》教学设计 教学目标： 1.经历探索线段垂直平分线性质的过程，理解并掌握线段的垂直平分线的性质定理。 2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。 3. 体验解决问题策略，发展实践能力和创新精神。 教学重点、难点： 重点：理解线段的垂直平分线的性质，并能运用性质解决相关问题。难点：线段垂直平分线的实际应用。 教学过程： 一、创设问题情境 如图，两个小区分别为中建芙蓉嘉苑小区和丽发新城小区，为了便于两个小区的居民看病，政府计划在环保西路上修建湘雅五医院，使它到两个小区的距离相等，那么医院应建在什么位置？ 二、温故
我们上节课学习了线段的垂直平分线，那么线段的垂直平分线是怎样定义的呢？ 线段的垂直平分线：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫做线段的中垂线）。 注意：1.线段的垂直平分线是直线。 2.这条直线经过线段的中点。 3.这条直线垂直于这条线段。 三、知新 我们知道了线段的垂直平分线的定义，现在请同学们根据定义，利用直尺和铅笔作图，画一条已知线段的垂直平分线。动动手，画一画。 下面我们来看一看这条线段的垂直平分线上的点有什么特点？ 右图中，直线L 垂直平分线段AB,在L 上任取点P 1、P 2、P 3，连接P 1A 、P 1B,P 2A 、P 2B,P 3A 、P 3B 的长，你发现了什么？你有什么猜想吗？ 猜想：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 那我们猜想出来以后，就可以直接运用了吗？嗯，我听到有同学 A B l P P P
说需要证明，很好，那我们看看应该怎样证明呢？如果证明的话，应该先怎样呢？（把文字语言转化成符号语言） 验证：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 （文字命题证明步骤：1.画图2.写已知3.写求证4.证明） 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点 P 在l 上． 求证：PA =PB． 证明：∵l⊥AB， ∴∠PCA =∠PCB=90o． 在ΔPAC和ΔPBC中， AC=CB ∠PCA= ∠PCB PC=PC ∴△PCA ≌△PCB（SAS）． ∴PA =PB 好，证明完了以后，我们发现，确实如我们所猜想的那样，线段的垂直平分线的点与线段两端点的距离相等，那这就是我们今天所学的线段垂直平分线的性质。 我们知道了线段的垂直平分线具有这样的性质之后，下面我们来看这样一道题目。 四、筑基 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线
《线段的垂直平分线》教学设计
线段的垂直平分线教学设计 教学内容分析: 这节课是把电子白板与几何画板结合的一节新授课。线段的垂直平分线是对前一课时关于轴对称图形性质的再认识，又是今后几何作图、证明、计算的基础。学习过程中渗透的转化、探索、归纳等数学思想方法对学生今后的数学学习也有重要的意义。学习线段垂直平分线相关知识是为学生创造了一次探究的机会，是学习几何学的一次磨练。
二、 探究新知 爱心大道 A B （2）以弓箭图形为例，弓的形状和我们学习的那种 几何图形比较相似它是轴对称图形码如果是，请你 大概描述出对称轴的位置，并且在弓身找出几组对 称的点 开弓时图形仍然是轴对称的吗 此时图形和我们学习过什么几何图形比较相似呢 此时的箭和弓是什么位置关系呢 利用轴对称相关知识你发现那些线段相等呢 活动1： 木条l与AB钉在一起，l垂直平分AB，点P是l 上的点，当点P在l上移动时，分别量出点P到A、B 的距离，你有什么发现你能证明你的结论吗 这仍然是学生感 兴趣的话题，可 以让学生白板上 找出对称点，并 利用直线工具作 出对应点连线， 和弓的对称轴。 仍以弓为例，通 过一系列的问 题，引起学生注 意。 这是本节课的重 点之一，要让学 生体会到当P在 AB的垂直平分线 上时，无论点P 怎样移动， PA=PB，先让学生 大胆猜想，再用 几何画板演示。
学生用文字语言说明发现的结论 出示性质1： 线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 ∵直线l垂直平分线段AB,点P在l上 ∴PA=PB 怎样证明 活动2： 用一跟木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出箭的方向与木棒垂直垂直呢为什么 总结： 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 几何语言 ∵AP=BP ∴点P在AB的垂直平分线上 证明过程略 巩固练习：大胆让学生说，锻炼学生的语言表达能力和归纳概括能力。 注意几何语言的规范 证明过程可在白板上完成，提醒学生可转化为证三角形全等，渗透转化思想。。 学生可用准备好的材料操作，发现当AC=BC时，就能保证箭的方向与木棒。引发学生继续探究的欲望。 证明过程仍可借助三角形全等。让学生口述完成 有了前面的基础学生很容易完成学生口述 A B C O
线段垂直平分线的性质教学反思
13.1.2 线段的垂直平分线的性质 第1课时线段的垂直平分线的性质和判定（教学反思） 随县炎帝学校初中部周莎 线段垂直平分线在几何作图、证明、计算中有着十分重要的作用.线段的垂直平分线的性质定理是推证线段相等的重要途经，它的逆定理常常用来推证一条直线是一条线段的的垂线或一点是一条线段的中点. 在设计教案时，我结合教材内容，对如何导入新课，引出定理以及证明进行了探索.在导入新课这一环节上我先让学生直接测量课本上探究图中的线段长度。引导学生观察、讨论每个人量得的这两个长度之间有什么关系：得到什么结论？学生回答：P1A=P1B，P2A = P2B ，P3A = P3B.然后再让学生取一点试一试，这两个长度也相等，由此引导学生猜想到线段垂直平分线的性质定理.在这一过程中让学生主动积极的参与到教学中来，使学生通过作图、观察、量一量再得出结论.从而把知识的形成过程转化为学生亲自参与、发现、探索的过程.在教学时，引导学生分析性质定理的题设与结论，画图写出已知、求证，通过分析由学生得出证明性质定理的方法，这个过程既是探索过程也是调动学生动脑思考的过程，只有学生动脑思考了，才能真正理解线段垂直平分线的性质定理，以及证明方法。 在此基础上再提出如果有两点到线段的两端点的距离相等，这样的点应在什么样的直线上？由条件得出这样的点在线段的垂直平分线上，从而引出性质定理的逆定理，由上述两个定理使学生再进一步
知道线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离的所有点的集合.这样可以帮助学生认识理论来源于实践又服务于实践的道理，也能提高他们学习的积极性，加深对所学知识的理解.在讲解例题时引导学生用所学的线段垂直平分线的性质定理以及逆定理来证，避免用三角形全等来证。为了使学生当堂掌握两个定理的灵活运用，让学生完成两个例题，以达到巩固知识的目的。 本堂课中存在的不足有： 1.课堂容量过大，内容没有处理完。并且在处理“过直线外一点作已知直线的垂线”的作图过程中，有点仓促。 2.在让探究线段垂直平分线分判定时的三个证法耗时较多。应该让学生边做边讲。 3.为了完成课堂内容，没有充分的将课堂还给学生。
13.1.2《线段的垂直平分线的性质》教案(1)
13.1.2《线段的垂直 平分线的性质》教案 (1) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
学科：数学授课教师：李建辉八年级 课题13.1.2《线段的垂直平分线的性质》课时1课时 教学目标知识与技能 1.了解轴对称图形的性质．探究线段垂直平分线的 性质． 2.会用尺规作图经过直线外一点作这条直线的垂 线，了解作图的道理。 过程与方法 在探索性质和判定定理过程中，体会知识间的关 系，感受数学与生活的联系． 情感价值观 经历探索线段的垂直平分线性质的过程，进一步体验其特点，发展空间观察和图形观念． 教学重点 与难点 线段垂直平分线的性质定理及逆定理． 教学方法创设情境－主体探究－合作交流－应用提高媒体资源多媒体投影 教学过程 教学流程教学活动 学生 活动 设计意 图 创设情境 1.上节课我们共同探讨了轴对称图形，什么是轴对 称图形线段是轴对称图形吗 2.你能找出线段的对称轴吗？ 3.线段的对称轴与这条线段有什么关系 4.什么是线段的垂直平分线？ 回顾 思考 引入新 课 展示学习目标1．理解线段垂直平分线的性质和判定． 2．能运用线段垂直平分线的性质和判定解决 实际问题． 3．会用尺规经过已知直线外一点作这条直线 的垂线，了解作图的道理． 观察 浏览 明确学 习任务 线段垂直平分线的性 1.如下图．直线L垂直平分 线段AB，点P1，P2，P3，…是L 上的点，?分别量一量点P1， P 2 ，P 3 ，…到点A与B的距离，你 有什么发现？ 发现：AP1=BP1，AP2=BP2，… 观察 探究 归纳 探究得 出线段 垂直平 分线的 性质
北师大版八年级数学下册 线段的垂直平分线教学设计教案
《3 线段的垂直平分线》教案 第1课时 教学目标 教学知识点： 经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理． 思维训练要求： 1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． 2．体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神． 3．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 情感与价值观要求： 1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． 2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重难点 教学重点：能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论． 教学难点：写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题并证明它． 教学过程 Ⅰ．创设现实情境，引入新课 教师用多媒体演示： 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？ [生]码头应建在线段AB的垂直平分线与在A，B一侧的河岸边的交点上． [师]同学们认同他的看法吗？ [生]是的． [师]认为对的说说你的理由是什么呢？ [生]（回忆定理）我们以前曾学过线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成． [师]（边说边用折纸的方法再现定理）这位同学分析得很好，我们在七年级时研究过线段的
性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们曾经像这样利用折纸的方法得到“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”这一简单事实，但是用这种观察的方式是很难说服别人的，你能用公理或学过的定理来证明这一结论吗？ 教师演示线段垂直平分线的性质： 定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． Ⅱ．讲述新课 [第一部分]线段垂直平分线的性质定理． [师]我们从折纸的过程中得到了线段垂直平分线的性质定理，大家知道这是不够的，还必须利用公理及已学过的定理推理、证明它．那么如何证明呢？ [师]（引导） 问题一：①要证“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗？ （强调）我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质．（开始让学生有这样的数学思想） ②你能根据定理画图并写出已知和求证吗？ ③谁能帮老师分析一下证明思路？ [生]（思考回答） [师生共析] 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的点． 求证：PA＝PB． 分析：要想证明PA＝PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等． 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA＝∠PCB＝90°． ∵AC＝BC，PC＝PC， ∴△PCA≌△PCB(SAS)． ∴PA＝PB（全等三角形的对应边相等）． [第二部分]线段垂直平分线的判定定理． 教师用多媒体完整演示证明过程．同时，用多媒体呈现： 想一想： 你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
七年级数学上册第四章几何图形初步4.2直线射线线段第3课时线段的性质教案
第3课时线段的性质 1．掌握两点之间线段最短的性质，并能初步应用． 2．知道两点间的距离的含义． 重点 线段的性质． 难点 两点间的距离． 一、创设情境，导入新课 教师利用多媒体展示一组生活场景，行为为穿越马路而跨越栏杆的景象，提出问题，他们为什么这样做？ 出示教材128页思考题． 从A地到B地有四条路，除它们之外，能否再修一条从A到B的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短路线． 学生思考讨论，交流． 二、探究新知 学生对以上两个问题思考以后，得出结论： 两点的所有连线中，线段最短． 简单说成：两点之间，线段最短． 说明：在这一过程中，教师不必急于得出结论，可让学生多试一试，找一找，是否还有其他的可能，在此基础上，再让学生举出一些实际生活中的例子，进一步让学生感受数学与生活的紧密联系． 然后教师指出： 连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离． 师：你知道运动会上，掷铅球的运动员的成绩是怎样测量的吗？它用到了哪些数学知识？你还能举出一些例子吗？ 教师让学生多举出几个例子，这样的例子生活中是很多的，让学生多感受一下关于线段的基本事实和两点间的距离的定义． 三、应用举例 教材习题4.2第11题． 如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A爬行到顶点B，怎样爬距离最短？ 如果要爬行到C点呢？说明：这是一个综合题目，运用展开图的性质可以找到答案． 四、小结与作业 小结：谈谈你对线段的性质的认识．
作业：习题4.2第8题． 利用丰富的活动情境，让学生体验到两点之间线段最短的性质，体会它们在解决实际问题中的作用，并能用它们解释生活中的一些现象．培养学生合作交流的意识和探索精神，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
《线段的垂直平分线》教学设计复习过程
《线段的垂直平分线》教学设计
线段的垂直平分线教学设计 教学内容分析: 这节课是把电子白板与几何画板结合的一节新授课。线段的垂直平分线是对前一课时关于轴对称图形性质的再认识，又是今后几何作图、证明、计算的基础。学习过程中渗透的转化、探索、归纳等数学思想方法对学生今后的数学学习也有重要的意义。学习线段垂直平分线相关知识是为学生创造了一次探究的机会，是学习几何学的一次磨练。
教学程序师生活动设计意图 创设情境，引入课题 二、 探究新知 实际问题导入： （1）某地由于居民增多，要在公路边增加一个卫 生所， A,B是公路边两个村庄，这个卫生所建在什 么位置，能使两个村庄到卫生所的路程一样长？ 爱心大道 A B （2）以弓箭图形为例，弓的形状和我们学习的那 种几何图形比较相似？它是轴对称图形码？如果 是，请你大概描述出对称轴的位置，并且在弓身找 出几组对称的点？ 开弓时图形仍然是轴对称的吗？ 此时图形和我们学习过什么几何图形比较相似呢？ 此时的箭和弓是什么位置关系呢？ 利用轴对称相关知识你发现那些线段相等呢 活动1： 木条l与AB钉在一起，l垂直平分AB，点P是 l上的点，当点P在l上移动时，分别量出点P到 通过这个实际问 题，引发学生思 考 这仍然是学生感 兴趣的话题，可 以让学生白板上 找出对称点，并 利用直线工具作 出对应点连线， 和弓的对称轴。 仍以弓为例，通 过一系列的问 题，引起学生注 意。 这是本节课的重A B C O
A、B的距离，你有什么发现？你能证明你的结论吗？ 学生用文字语言说明发现的结论 出示性质1： 线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 ∵直线l垂直平分线段AB,点P在l上 ∴PA=PB 怎样证明？ 活动2： 用一跟木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出箭的方向与木棒垂直垂直呢？为什么？点之一，要让学生体会到当P在AB的垂直平分线上时，无论点P 怎样移动， PA=PB，先让学生大胆猜想，再用几何画板演示。 大胆让学生说，锻炼学生的语言表达能力和归纳概括能力。 注意几何语言的规范 证明过程可在白板上完成，提醒学生可转化为证三角形全等，渗透转化思想。。 学生可用准备好的材料操作，发现当AC=BC时，就能保证箭的方向与木棒。引发
八年级数学上册第13章《线段的垂直平分线的性质》教学设计(人教版)
13.1.2 线段垂直平分线的性质 【教学目标】 1.知识与技能 （1）掌握线段垂直平分线的性质和判定． （2）能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题． 2.过程与方法 探究线段垂直平分线的性质，培养学生认真探究、积极思考的能力． 3.情感态度和价值观 在探究的过程中，更大程度的激发学生学习的主动性和积极性，并使学生具有一些初步研究问题的能力． 【教学重点】 线段垂直平分线的性质 【教学难点】 线段垂直平分的性质的运用 【教学方法】 自学与小组合作学习相结合的方法 【课前准备】 教学课件． 【课时安排】 1课时 【教学过程】 一、复习导入 展示垂直平分线的图片． 【过渡】上节课我们学习了轴对称，在最后了解了垂直平分线的概念，那么垂直平分线到底有什么性质呢？今天我们就来探究一下． 二、新课教学 1．线段的垂直平分线的性质 【过渡】现在，请同学们自己在纸上按照课本图13.1-6画一条横线和其垂直平分线，然后选取不同的点，判断到AB两点的距离是否相等．如果将纸对折，点会重合吗？ 学生进行探究，并请同学回答． 猜想结论：距离相等且重合． 通过动手去验证结论是否正确．
最终得到结论． 【结论】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 【过渡】有同学可以用理论证明一下这个结论呢？ 利用判定两个三角形全等． 如图，在△APC和△BPC中， ?△APC≌△BPC?PA=PB 【过渡】如果把我们刚刚得到的结论反过来，即PA=PB时，P是否位于线段垂直平分线上呢？ 学生动手，验证结论． 用数学法证明结论． 【结论】与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上． 上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质，即：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合． 2．线段垂直平分线的尺规作图 按照课本例题，进行讲解． 【过渡】对于尺规作图，我们需要掌握的是所用的原理即为垂直平分线的性质，现在，大家来试一下解决实际问题吧． 【练习】如图，A、B、C是新建的三个居民小区，政府已在与三个居民小区距离相等的地方修建了一所学校，要求学校到三个小区的距离相等，请在图中作出学校的位置M． 【过渡】我们将实际问题转化为数学问题，就会发现，我们将三个小区看作A、B、C三个点，而连接AB，BC，分别作出AB，BC的垂直平分线交点即为所求． 【知识巩固】 1、如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，DE为BC的中垂线，BD为∠ADE的角平分线．若∠A=58°，则∠ABD的度数为何？（D）