因动点产生的面积问题

【类型综述】

面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法. 面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．二是先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．

【方法揭秘】

解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下：

如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．

图1 图2 图3

计算面积长用到的策略还有：

如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．

如图5，同底三角形的面积比等于高的比．

如图6，同高三角形的面积比等于底的比．

图4 图5 图6

【典例分析】

例1 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交于A (－1, 0)，B (4, 0)两点，与y 轴交于点C (0, 2)．点M (m , n )是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上．过点M 作x 轴的平行线交y 轴于点Q ，交抛物线于另一点E ，直线BM 交y 轴于点F ．

（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； （2）当S △MFQ ∶S △MEB ＝1∶3时，求点M 的坐标．

例2如图，已知抛物线2

12

y x bx c =

++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．

（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；

（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ．

①求S 的取值范围；

②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．

例3如图，在平面直角坐标系中，直线

1

1

2

y x

=+与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x

轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．

（1）求a、b及sin∠ACP的值；

（2）设点P的横坐标为m．

①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；

②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

例4如图，已知二次函数的图象过点O(0,0)、A(4，0)、B(2,)，M是OA的中点．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）设P是抛物线上的一点，过P作x轴的平行线与抛物线交于另一点Q，要使四边形PQAM是菱形，求点P的坐标；

（3）将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得曲线OB′A（B′为B关于x轴的对称点），在原抛物线x轴的上方部分取一点C，连结CM，CM与翻折后的曲线OB′A交于点D，若△CDA的面积是△MDA面积的2倍，这样的点C是否存在？若存在求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

例5如图，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线

m

y

x

=(x＞0)交于点B(2，1)．过点(,1)

P p p-(p＞1)作x

轴的平行线分别交曲线

m

y

x

=(x＞0)和

m

y

x

=-(x＜0)于M、N两点．

（1）求m的值及直线l的解析式；

（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；

（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．

例6 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，A C＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．

（1）求线段AD的长；

（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，

①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；

②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．

（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．

图1 备用图

【变式训练】

1.(2017山东滨州第12题)在平面直角坐标系内，直线AB 垂直于x 轴于点C （点C 在原点的右侧），并分别与直线y ＝x 和双曲线y ＝1

x

相交于点A 、B ，且AC ＋BC ＝4，则△OAB 的面积为（ ）

A ．3或 3

B ＋1 1

C ． 3

D 1

2.（2017江苏苏州第10题）如图，在菱形CD AB 中，60∠A =，D 8A =，F 是AB 的中点．过点F 作

F D E ⊥A ，垂足为E ．将F ?A E 沿点A 到点B 的方向平移，得到F '''?A E ．设P 、'P 分别是F E 、F ''E 的

中点，当点'A 与点B 重合时，四边形CD 'PP 的面积为

A ．．．8

3. （2017青海西宁第10题）如图，在正方形ABCD 中，3AB cm =，动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度运动，同时动点N 自D 点出发沿折线DC CB -以每秒2cm 的速度运动，到达B 点时运动同时停止，设AMN ?的面积为()

2y cm ，运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是（ ）

A ．

B ． C. D ．

4.(2017福建第25题)已知直线m x y +=2与抛物线2

y ax ax b =++有一个公共点(1,0)M ，且a b <． （Ⅰ）求抛物线顶点Q 的坐标（用含a 的代数式表示）；

（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点； （Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N ．

（ⅰ）若2

1

1-

≤≤-a ，求线段MN 长度的取值范围； （ⅱ）求QMN ?面积的最小值．

5.（2017山东青岛第24题）（本小题满分12分）

已知：Rt △EFP 和矩形ABCD 如图①摆放（点P 与点B 重合），点F ，B （P ），C 在同一条直线上，AB ＝EF ＝6cm ，BC ＝FP ＝8cm ，∠EFP ＝90°。如图②，△EFP 从图①的位置出发，沿BC 方向匀速运动，速度为1cm/s ；EP 与AB 交于点G ．同时，点Q 从点C 出发，沿CD 方向匀速运动，速度为1cm/s 。过Q 作QM ⊥BD ，垂足为H ，交AD 于M ，连接AF ，PQ ，当点Q 停止运动时，△EFP 也停止运动．设运动时间为t （s ）（0＜t ＜6），解答下列问题：

（1）当 t 为何值时，PQ ∥BD ？

（2）设五边形 AFPQM 的面积为 y （cm 2

），求 y 与 t 之间的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使8:9:=ABCD AFPQM S S 矩形五边形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使点M 在PG 的垂直平分线上？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．

6. (2017四川泸州第25题)如图，已知二次函数)0(2

≠++=a c bx ax y 的图象经过)2,0(),0,4(),0,1(C B A -三点.

（1）求该二次函数的解析式；

（2）点D 是该二次函数图象上的一点，且满足CAO DBA ∠=∠(O 是坐标原点)，求点D 的坐标； （3）点P 是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA 分别交y BC ,轴与点,,F E 若

CEF PEB ??,的面积分别为,,21S S 求21S S -的最大值.

7. （2017江苏苏州第28题）（本题满分10分）如图，二次函数2

y x bx c =++的图像与x 轴交于A 、B 两

点，与y 轴交于点C ，C OB =O ．点D 在函数图像上，CD//x 轴，且CD 2=，直线l 是抛物线的对称轴，

E 是抛物线的顶点．

（1）求b 、c 的值；

（2）如图①，连接BE ，线段C O 上的点F 关于直线l 的对称点F '恰好在线段BE 上，求点F 的坐标； （3）如图②，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与C B 交于点M ，与抛物线交于点N ．试问：抛物线上是否存在点Q ，使得Q ?P N 与?APM 的面积相等，且线段Q N 的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．

8. (2017浙江金华第24题)如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 各顶点的坐标分别为

)0,14(),35,9(),33,3(),0,0(C B A O ，动点P 与Q 同时从O 点出发，运动时间为t 秒，点P 沿OC 方向以

1单位长度/秒的速度向点C 运动，点Q 沿折线BC -AB -OA 运动，在BC AB OA ，，上运动的速度分别为

2

5

33，，（单位长度/秒）.当Q P ，中的一点到达C 点时，两点同时停止运动.

（1）求AB 所在直线的函数表达式；

（2）如图2，当点Q 在AB 上运动时，求CPQ ?的面积S 关于t 的函数表达式及S 的最大值； （3）在P ，Q 的运动过程中，若线段PQ 的垂直平分线经过四边形OABC 的顶点，求相应的t 值.

9. （2017湖北孝感第24题）在平面直角坐标系xoy 中，规定：抛物线()2

y a x h k =-+的伴随直线为

()y a x h k =-+.例如：抛物线()2

213y x =+-的伴随直线为()213y x =+-，即2 1.y x =-

（1）在上面规定下，抛物线()2

14y x =+-的顶点为 .伴随直线为 ；抛物线

()2

14y x =+-与其伴随直线的交点坐标为 和 ；

（2）如图，顶点在第一象限的抛物线()2

14y m x m =--与其伴随直线相交于点,A B (点A 在点B 的右侧)与x 轴交于点,.C D ①若90,CAB ?

∠= 求m 的值；

②如果点(),P x y 是直线BC 上方抛物线的一个动点，PBC ?的面积记为S ，当S 取得最大值

27

4

时，求m 的值.

10. （2017内蒙古呼和浩特第25题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

y ax bx c =++与y 轴交于点C ，其顶点记为M ，自变量1x =-和5x =对应的函数值相等．若点M 在直线l ：1216y x =-+上，点(3,4)-在抛物线上．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设2

y ax bx c =++对称轴右侧x 轴上方的图象上任一点为P ，在x 轴上有一点7

(,0)2

A -，试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出相应的P 点横坐标x 的取值范围；

（3）直线l 与抛物线另一点记为B ，Q 为线段BM 上一动点（点Q 不与M 重合）．设Q 点坐标为(,)t n ，过Q 作QH ⊥x 轴于点H ，将以点Q ，H ，O ，C 为顶点的四边形的面积S 表示为t 的函数，标出自变量t 的取值范围，并求出S 可能取得的最大值．