2021年大连市数学竞赛试题A卷

22

+

L x y

n=

))

sin y；当

二、（本题8分）设函数

2

1

()d

y

x

f x e y

=?，求10()d

f x x

?．

三、（本题8分）计算极限

1

1

(1)

lim()

x

x

x

x

e

→

+

．

考生注意：考试时间150 分钟试卷总分100 分共三大页第1页

四、（本题10分）已知函数()

f x二阶可导，且()0

f x>，

(0)1

f=，(0)1

f'=，2

()()(())0

f x f x f x

'''

->．

证明：()x

f x e

≥．

五、（本题10分）计算322

5d d d d3d d

S

x y z y z x z x y

++

??，其中S为球面222

(1)1

x y z

++-=的外表面．

六、（本题10分）

证明：48

3

3

V

V π<<，其中V 为

球体2221x y z ++≤ ．

七、（本题8分） 计算极限 222

sin lim

1x x

n e x x e π

π

→+∞

-

+?．

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八、（本题8分）设函数()f x 在[0,1]上有连续的导数，且

0()lim 1x f x x +→=．证明：级数11()n f n ∞=∑发散，而1

1

1(1)()n n f n ∞

-=-∑ 收敛．

九、（本题8分）设函数()f x 在[0,)+∞上可导，且2

0()1x

f x x

≤≤

+． 证明：存在(0,)ξ∈+∞，使得2

22

1()(1)

f ξξξ-'=+．

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