2021年大连市数学竞赛试题A

?

22

x y

+

二、

（本题8分）已知0

2x →=，求0lim ()x f x →.

三、（本题9分）设()f x 在区间(,)-∞+∞内可导。求证：在(,)-∞+∞内,()f x 以

T 为周期的充要条件为'()f x 的周期为T 且(0)()f f T =。

考生注意： 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 三 页 第 1页

四、（本题8分）设1

()||(1)x

f x t t dt x -=

≥-?

，求()f x 与x 轴所围

成的封闭图形D 的面积S 及D 绕x 轴旋转一周所成的旋转体

的体积V 。

五、（本题9分）求函数2222

(,

)2f x y x y x y =+-在区域{}22(,)|4,0D x y x y y =+≤≥ 上的最大值和最小值。

六、（本题8分）通过u

v

x e

y e

?=??=??,变换方程 222

2

222

20z z z x xy y x x y y ???++=????

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七、（本题10分）设

12

1,2,3

u u n

==≥时，

12

n n n

u u u

--

=+。求证：

（1）

11

3

2

2n n n

u u u

--

<<；

（2）

1

1

n n

u

∞

=

∑收敛。

八、（本题8分）求下列曲面积分

333

∑

其中∑为曲线

z

y

??=

?

=

??

z轴旋转一周所成的曲面的上侧。

九、（本题10分）设函数)(x f 在[,]a b 上连续,且单调增加,求证:

()()2

b

b

a

a a

b xf x dx f x dx +≥?

?。

十、（本题10分）设函数)(x f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导,且()()f a f b =，''()()0f a f b +->，

试证：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使"()f ξ=0。

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