辽宁省大连市五校2013-2014学年高二下尖子生竞赛考试数学(文)试题及答案

高二下学期尖子生竞赛考试数学（文）试题

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1. 已知集合{|13}A x x =<<，集合2{|1log 2}B x x =<<，则A B =( )

A.{|03}x x <<

B.{|23}x x <<

C.{|13}x x <<

D.{|14}x x <<

2. 若12i z i

+=，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A .i B.-i C.1 D.-1

3.已知向量a 和b 的夹角为1200，1,3a b ==，则a b -=（

）

A.

C. 4

4.双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，则双曲线离心率为（ ）

A.32

B.2

C.52

D.3 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =，则95

S S =( ) A. 9 B.259 C.2 D.925

6.已知函数2cos()(0,0)y x ωφωφπ=+><<满足()()f x f x -=-，其图像与直线y=0的某两个交点的横坐标分别为1x 、2x ,12x x -的最小值为π，则（ ）

A . 2,4πωφ== B.2,2πωφ== C.1,4πωφ== D.1,

2π

ωφ==

8.已知O 为坐标原点，点A （1,0），若点M （x,y ）为平面区域212x y x y +≥??≤??≤?

内的一个动点，则

22(1)x y ++的最小值为( )

A.9

B.5

C.92

D.2 9.

）

A ．18π B.36π C.9π D.

92π 10.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时()3x f x m =+（m 为常数）,则3(log 5)f -的

值为（ ）

A.6-

B.6

C.4

D.4-

11、斜率为2的直线L 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且交抛物线与A 、B 两点，若AB 的中点到抛物线准线的距离1，则P 的值为（ ）

A.1

B.45

C.35

D.25

12.若定义在R 上的函数f(x)满足：f(4)= 3-，且对任意x R ∈满足()3f x '<，

则不等式()315f x x <-的解集为（ ）

A ．(,4)-∞- B.(,4)-∞ C.(4,)+∞ D.(,4)

(4,)-∞-+∞

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上）

13.已知α为第二象限角，1sin 2

cos αα+=,则cos 2α

=_____________

15.已知圆C 的圆心与点M （1，1-）关于直线10x y -+=对称，并且圆C 与10x y -+=相切，则圆C 的方程为_______________

16.已知△ABC 中，∠ABC=600，AB=2，BC=6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为_______________

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分） 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1cos 2

a C c

b +

= （1）求角A 的大小 （2）若1a =，求△ABC 的周长L 的取值范围。

18.（本小题满分12分）某县为增强市民的环境保护意识，面向全县征召义务宣传志愿者，先从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25),第2组[25,30),第3组[30,35),第4组[35,40),第5组[40,45),得到的频率分布直方图如图所示,

(Ⅰ)分别求第3，4，5组的频率。

（Ⅱ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者。

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率。

19. （本小题满分12分）已知侧棱垂直于底面的四棱柱

ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且AD=A A 1，

点F 为棱BB 1的中点，点M 为线段AC 1的中点。