专题17 三次函数的图像与性质(解析版)

专题17 三次函数的图像与性质

一、例题选讲

题型一 运用三次函数的图像研究零点问题

遇到函数零点个数问题,通常转化为两个函数图象交点问题,进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题,通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题,故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高,后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的.

例1,(2017某某,某某,某某,某某三调)已知函数3

()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥，

，，若函数()2()g x f x ax =-恰有2个

不同的零点,则实数a 的取值X 围是．

【答案】3(2)

2-，

【解析】：函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点,即方程2()0f x ax -=恰有2个不相等的根,亦即方

程(Ⅰ)20x a

x ax ≥⎧⎨

-=⎩和(Ⅱ)3260x a x x ax <⎧⎨--=⎩

共有2个不相等的根. 首先(Ⅰ)中20x ax -=,即(2)0a x -=,若2a =,则2x ≥都是方程20x ax -=的根,不符合题意,所以

2a ≠,因此(Ⅰ)中由20x ax -=解得0x =,下面分情况讨论

(1)若0x =是方程(Ⅰ)的唯一根,则必须满足0a ≥,即0a ≤,此时方程(Ⅱ)必须再有唯一的一个根,即

3

0260x a x x ax <≤⎧⎨--=⎩有唯一根,因为0x ≠,由3260x x ax --=,得226x a =+必须有满足0x a <≤的唯一

根,首先60a +>,

其次解得的负根需满足

0a <≤,从而解得3

02a -<≤,

(2)若0x =不是方程(Ⅰ)的唯一根,则必须满足0a <,即0a >,此时方程(Ⅱ)必须有两个不相等的根,即

30

260a x a

x x ax ⎧>⎪

<⎨⎪--=⎩有两个不相等的根,由3260x x ax --=,得0x a =<适合,另外226x a =+还有必须一

满足,0x a a <>的非零实根,首先60a +>,

a

≥,从而解得02a <≤,但前面已经

指出2a ≠,故02a <<,

综合(1),(2),得实数a 的取值X 围为3

(,2)

2-.

例2,(2017某某学情调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

12x －x3，

x ≤0，－2x ，

x ＞0.

)当x ∈(－∞,m ]时,f (x )的取值X 围为[－16,

＋∞),则实数m 的取值X 围是________．

【答案】 [－2,8]

【解析】思路分析 由于f (x )的解析式是已知的,因此,可以首先研究出函数f (x )在R 上的单调性及相关的

性质,然后根据f (x )的取值X 围为[－16,＋∞),求出它的值等于－16时的x 的值,借助于函数f (x )的图像来对

m 的取值X 围进行确定．

当x ≤0时,f (x )＝12x －x 3,所以f ′(x )＝12－3x 2.令f ′(x )＝0,则x ＝－2(正值舍去),所以当x ∈(－∞,－2)时,f ′(x )＜0,此时f (x )单调递减；当x ∈(－2,0]时,f ′(x )＞0,此时f (x )单调递增,故函数f (x )在x ≤0时的极小值为f (－2)＝－16.当x ＞0时,f (x )＝－2x 单调递减,f (0)＝0,f (8)＝－16,因此,根据f (x )的图像可得m ∈[－2,8]．

解后反思 根据函数的解析式来得到函数的相关性质,然后由此画出函数的图像,借助于函数的图像可以有效地进行解题,这就是数形结合的魅力．

题型二 三次函数的单调性问题

研究三次函数的单调性,往往通过导数进行研究.要特别注意含参的讨论.

例3,已知函数32

()3f x x x ax =-+()a ∈R ,()|()|g x f x =．

(1)求以(2,(2))P f 为切点的切线方程,并证明此切线恒过一个定点；

(2)若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立,求k 的最小值()h a 的表达式；

(3)设0a >,求()y g x =的单调增区间．

解析 (1)2()36f x x x a '=-+,(2)f a '=,过点P 的切线方程为()224y a x a =-+-,即4y ax =-,它恒

过点(0,- 4)；

(2)()g x kx ≤即

32

|3|x x ax kx -+≤． 当0x =时,上式恒成立；

当(0,2]x ∈时,即2|3|x x a k -+≤对一切(0,2]x ∈恒成立,设

2max ()|3|,[0,2]h a x x a x ∈=-+, ①当

9

4a ≥

时,2

max |3|x x a -+在0x =时取得,∴()h a a =；

②当

94a <

时,2max 9

9(),984

|3|max{,}994()48a a x x a a a a a ⎧<<⎪⎪-+=-=⎨

⎪-⎪⎩≤； 由①②,得

9(),8

()99()48a a g a a a ⎧

>⎪⎪=⎨

⎪-⎪⎩≤； (3)32

()3f x x x ax =-+,22()363(1)3f x x x a x a '=-+=-+-,

令()0f x =,得0x =或2

30x x a -+=,

当

9

4a <

时,由2

30x x a -+=,

解得132x =

232x =

令()0f x '=,得

2

3(1)30x a -+-=,

当3a <时,由2

3(1)30x a -+-=,解得

31x =41x =+

1)当3a ≥时,()y g x =的单调增区间为(0,)+∞；

2)当9

34a <≤时,()y g x =的单调增区间为3(0,)x 和4(,)x +∞；

3)当

9

04a <<

时,()y g x =的单调增区间为3(0,)x 和14(,)x x 和2(,)x +∞．

例4,(2018某某期末) 若函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|在区间[－1,2]上单调递增,则实数a 的取值X 围是________．

【答案】 (－∞,－1]∪⎣⎢⎡⎭

⎪⎫

72，＋∞

思路分析 由于条件中函数的解析式比较复杂,可以先通过代数变形,将其化为熟悉的形式,进而利用导数研究函数的性质及图像,再根据图像变换的知识得到函数f(x)的图像进行求解．

函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|＝|(x ＋1)2(x －a)|＝|x 3＋(2－a)x 2＋(1－2a)x －a|.

令g(x)＝x 3＋(2－a)x 2＋(1－2a)x －a,则

g ′(x)＝3x 2＋(4－2a)x ＋1－2a ＝(x ＋1)(3x ＋1－2a)．

令g ′(x)＝0得x 1＝－1,x 2＝2a －1

3

.

①当2a －13

<－1,即a<－1时,

令g ′(x)>0,即(x ＋1)(3x ＋1－2a)>0,解得x<2a －13或x>－1；令g ′(x)<0,解得2a －1

3

所以g(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫

－∞，

2a －13,(－1,＋∞),单调减区间是⎝ ⎛⎭

⎪⎫2a －13，－1. 又因为g(a)＝g(－1)＝0,所以f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫

a ，2a －13,(－1,＋∞),单调减区间是(－∞,a),⎝ ⎛⎭

⎪⎫

2a －13，－1,满足条件,故a<－1(此种情况函数f(x)图像如图1)． ,图1)

②当2a －13＝－1,即a ＝－1时,f(x)＝|(x ＋1)3|,函数f(x)图像如图2,则f(x)的单调增区间是(－1,＋∞),单调

减区间是(－∞,－1),满足条件,故a ＝－1.

,图2)

③当2a －13

>－1,即a>－1时,

令g ′(x)>0,即(x ＋1)(3x ＋1－2a)>0,解得x<－1或x>2a －13；令g ′(x)<0,解得－1

3

.

所以g(x)的单调增区间是(－∞,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，＋∞,单调减区间是⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－1，2a －13. 又因为g(a)＝g(－1)＝0,所以f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫

－1，2a －13,(a,＋∞),单调减区间是(－∞,－1),⎝ ⎛⎭

⎪⎫2a －13，a ,要使f(x)在[－1,2]上单调递增,必须满足2≤2a －13,即a ≥72,又因为a>－1,故a ≥7

2(此种情况函

数f(x)图像如图3)．

综上,实数a 的取值X 围是(－∞,－1]∪⎣⎢⎡⎭

⎪⎫

72，＋∞.

,图3)

例5,(2018某某期末)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2，x<0，

ex －ax ，x ≥0，

其中常数a ∈R .

(1) 当a ＝2时,求函数f (x )的单调区间；

(2) 若方程f (－x )＋f (x )＝e x －3在区间(0,＋∞)上有实数解,某某数a 的取值X 围；

规X 解答 (1) 当a ＝2时,f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2，x<0，

ex －2x ，

x ≥0.

①当x<0时,f ′(x)＝－3x 2＋2x<0恒成立,所以f(x)在(－∞,0)上递减；(2分)

②当x ≥0时,f ′(x)＝e x －2,可得f(x)在[0,ln 2]上递减,在[ln 2,＋∞)上递增．(4分)

因为f(0)＝1>0,所以f(x)的单调递减区间是(－∞,0)和[0,ln 2],单调递增区间是[ln 2,＋∞)．(5分)

(2) 当x>0时,f(x)＝e x －ax,此时－x<0,f(－x)＝－(－x)3＋(－x)2＝x 3＋x 2.

所以可化为a ＝x 2＋x ＋

3

x

在区间(0,＋∞)上有实数解．(6分) 记g(x)＝x 2＋x ＋

3x ,x ∈(0,＋∞),则g ′(x)＝2x ＋1－3x2＝（x －1）（2x2＋3x ＋3）x2

.(7分) 可得g(x)在(0,1]上递减,在[1,＋∞)上递增,且g(1)＝5,当x →＋∞时,g(x)→＋∞.(9分)

所以g(x)的值域是[5,＋∞),即实数a 的取值X 围是[5,＋∞)．(10分)

题型三 三次函数的极值与最值问题

①利用导数刻画函数的单调性,确定函数的极值；② 通过分类讨论,结合图象,实现函数的极值与零点问题的转化.

函数,方程和不等式的综合题,常以研究函数的零点,方程的根,不等式的解集的形式出现,大多数情况下会用到等价转化,数形结合的数学思想解决问题,而这里的解法是通过严谨的等价转化,运用纯代数的手段来解决问题的,对抽象思维和逻辑推理的能力要求较高,此题也可通过数形结合的思想来解决问题,可以一试.

例6,(2018苏锡常镇调研)已知函数

32

()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． (1)若2

0a b +=,

① 当0a >时,求函数()f x 的极值(用a 表示)；

② 若()f x 有三个相异零点,问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在,试求出a 的值；若不存在,请说明理由；

规X 解答 (1)①由2()32f x x ax b '=++及02=+b a ,

得22

()32f x x ax a '

=+-,

令()0f x '

=,解得

3a

x =

或a x -=.

由0>a 知,(,)()0x a f x '

∈-∞->，,)(x f 单调递增,

(,)()03a x a f x '∈-<，,)(x f 单调递减,(,)()0

3a

x f x '∈+∞>，,)(x f 单调递增,

因此,)(x f 的极大值为3

()1f a a -=+,)(x f 的极小值为3

5()13

27a a f =-. ② 当0a =时,0b =,此时

3

()1f x x =+不存在三个相异零点； 当0a <时,与①同理可得)(x f 的极小值为3

()1f a a -=+,)(x f 的极大值为3

5()13

27a a f =-. 要使)(x f 有三个不同零点,则必须有

33

5(1)(1)027a a +-

<,

即

3327

15a a <->

或.

不妨设)(x f 的三个零点为321,,x x x ,且321x x x <<,

则123()()()0f x f x f x ===,

3

221111()10f x x ax a x =+-+=, ①

32

22222()10f x x ax a x =+-+=, ②

3223333()10f x x ax a x =+-+=, ③

②-①得

222

212121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=, 因为210x x ->,所以

222

212121()0x x x x a x x a ++++-=, ④ 同理222

332232()0x x x x a x x a ++++-=, ⑤

⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=,

因为310x x ->,所以2310x x x a +++=,

又1322x x x +=,所以

23a

x =-

.

所以()0

3a

f -=,即22239a a a +=-,即327111a =-<-,

因此,存在这样实数

a =满足条件.

例7,(2017⋅某某)已知函数

32

()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)

(1)求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域；

(2)证明：3

3b a >；

(3)若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于7

2-

,求a 的取值X 围．

解析(1)

2

'()32f x x ax b =++有零点,24120a b ∆=->,即23a b >,又''()620f x x a =+=,解得3a x =-,根据题意,()03a f -=,即3

2

10333a a a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,化简得

2239b a a =+

,又203a a b >⎧⎨>⎩,所以3a >,即223

(3)

9b a a a =+>；

(2)设

2433224591

()3(427)(27)81381g a b a a a a a a a =-=

-+=--,而3a >,故()0g a >,即23b a >；

(3)设12,x x 为()f x 的两个极值点,令'()0f x =得

12122,33b a

x x x x =+=-

, 法一：

3322

12121212()()()()2f x f x x x a x x b x x +=++++++ 22121212121212()[()3][()2]()2x x x x x x a x x x x b x x =++-++-+++

332424223

2()202732739a ab a a a a =

-+=-++=．

记()f x ,()f x '所有极值之和为()S a ,12()()0f x f x +=,2

'()33a a f b -=-, 则

221237

()()()'()3392a a a S a f x f x f b a =++-=-=--

≥, 而

23()()3a S a a =

-在(3,)a ∈+∞上单调递减且7

(6)2S =-,故36a <≤．

法二：下面证明()f x 的图像关于(,())

3

3a a

f --中心对称,

23

3

2

32()1()()()1333327

a a a a

b a f x x ax bx x b x =+++=++-++-+

23()()()()

3333a a a a

x b x f =++-++-,

所以()()2()0

333a a a f x f x f --+-+=-=,所以12()()0f x f x +=,下同法一．

例8,(2018某某学情调研)已知函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,a ∈R .

(1) 曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3,求a 的值；

(2) 若对于任意x ∈(0,＋∞),f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立,求a 的取值X 围；

(3) 若a ＞1,设函数f (x )在区间[1,2]上的最大值,最小值分别为M (a ),m (a ),记h (a )＝M (a )－m (a ),求h (a )的最小值．

思路分析 第(3)问,欲求函数f(x)在区间[1,2]上的最值M(a),m(a),可从函数f(x)在区间[1,2]上的单调性入手,由于f ′(x)＝6(x －1)(x －a),且a ＞1,故只需分为两大类：a ≥2,1＜a ＜2.当1＜a ＜2时,函数f(x)在区间[1,2]上先减后增,进而比较f(1)和f(2)的大小确定函数最大值,由f(1)＝f(2)得到分类的节点a ＝5

3

.

规X 解答 (1) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,所以f ′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a,所以曲线y ＝f(x)在x ＝0处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝6a,所以6a ＝3,所以a ＝1

2

.(2分)

(2) f(x)＋f(－x)＝－6(a ＋1)x 2≥12ln x

对任意x ∈(0,＋∞)恒成立,所以－(a ＋1)≥2lnx

x2

.(4分)

令g(x)＝2lnx x2,x ＞0,则g ′(x)＝2（1－2lnx ）

x3

.

令g ′(x)＝0,解得x ＝ e.

当x ∈(0,e)时,g ′(x)＞0,所以g(x)在(0,e)上单调递增；

当x ∈(e,＋∞)时,g ′(x)＜0,所以g(x)在(

e,＋∞)上单调递减．

所以g(x)max ＝g(

e)＝1

e

,(6分)

所以－(a ＋1)≥1e ,即a ≤－1－1

e

,

所以a 的取值X 围为⎝

⎛⎦⎥⎤

－∞，－1－1e .(8分)

(3) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,所以f ′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a),令f ′(x)＝0,则x ＝1或x ＝a.(10分)

f(1)＝3a －1,f(2)＝4.由f(1)＝f(2)得到分类的节点a ＝5

3.

①当1＜a ≤5

3

时,

当x ∈(1,a)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,a)上单调递减；

当x ∈(a,2)时,f ′(x)＞0,所以f(x)在(a,2)上单调递增．

又因为f(1)≤f(2),所以M(a)＝f(2)＝4,m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝4－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋4.

因为h ′(a)＝3a 2－6a ＝3a(a －2)＜0,所以

h(a)在⎝ ⎛⎦

⎥⎤

1，53上单调递减,

所以当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53时,h(a)的最小值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝8

27

.(12分)

②当5

3

＜a ＜2时,

当x ∈(1,a)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,a)上单调递减；

当x ∈(a,2)时,f ′(x)＞0,所以f(x)在(a,2)上单调递增．

又因为f(1)＞f(2),所以M(a)＝f(1)＝3a －1,m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋3a －1.

因为h ′(a)＝3a 2－6a ＋3＝3(a －1)2>0.所以

h(a)在⎝ ⎛⎭

⎪⎫

53，2上单调递增,

所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2时,h(a)＞h ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝8

27

.(14分)

③当a ≥2时,

当x ∈(1,2)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,2)上单调递减,所以M(a)＝f(1)＝3a －1,m(a)＝f(2)＝4,

所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－4＝3a －5,

所以h(a)在[2,＋∞)上的最小值为h(2)＝1.

综上,h(a)的最小值为8

27

.(16分)

二、达标训练

1,(2017某某暑假测试) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

1x

，x ＞1，

x3，

－1≤x ≤1，

)若关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同

的实数根,则实数k 的取值X 围是________．

【答案】 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

0，12

【解析】思路分析 方程f (x )＝k (x ＋1)的实数根的个数可以理解为函数y ＝f (x )与函数y ＝k (x ＋1)交点的个数,因此,在同一个坐标系中作出它们的图像,由图像来观察它们的交点的个数．

在同一个直角坐标系中,分别作出函数y ＝f (x )及y ＝k (x ＋1)的图像,则函数f (x )max ＝f (1)＝1,设

A (1,1),

B (－1,0),函数y ＝k (x ＋1)过点B ,则由图可知要使关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根,则

0＜k ＜k AB ＝1

2

.

2,(2017苏北四市期末) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

sinx ，

x ＜1，

x3－9x2＋25x ＋a ，

x ≥1，

)若函数f (x )的图像与直线y ＝x 有

三个不同的公共点,则实数a 的取值集合为________．

【答案】 {－20,－16}

【解析】当x ＜1时,f(x)＝sin x,联立⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝sinx ，

y ＝x ，得x －sin x ＝0,令u(x)＝x －sin x(x ＜1),则u ′(x)＝1－

cos x ≥0,所以函数u(x)＝x －sin x(x ＜1)为单调增函数,且u(0)＝0,所以u(x)＝x －sin x(x ＜1)只有唯一的解x

＝0,这表明当x ＜1时,函数f(x)的图像与直线y ＝x 只有1个公共点．因为函数f(x)的图像与直线y ＝x 有3个不同的公共点,从而当x ≥1时,函数f(x)的图像与直线y ＝x 只有2个公共点．当x ≥1时,f(x)＝x 3－9x 2＋

25x ＋a,联立⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝x3－9x2＋25x ＋a ，

y ＝x ，得a ＝－x 3＋9x 2－24x,令h(x)＝－x 3＋9x 2－24x(x ≥1),则h ′(x)＝

－3x 2＋18x －24＝－3(x －2)(x －4)．

令h ′(x)＝0得x ＝2或x ＝4,列表如下：

32数a ＝－20或a ＝－16.综上所述,实数a 的取值集合为{－20,－16}．

3,(2019某某,某某二模)已知函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+0

,3120,33

x x x x x 设g(x)＝kx ＋1,且函数y ＝f(x)－g(x)的图像

经过四个象限,则实数k 的取值X 围为________．

【答案】 ⎝

⎛⎭⎪⎫－9，13

【解析】解法1 y ＝⎩

⎪⎨⎪⎧|x ＋3|－（kx ＋1），x ≤0，x 3－（k ＋12）x ＋2，

x>0，若其图像经过四个象限．

①当x>0时,y ＝x 3－(k ＋12)x ＋2,当x ＝0时,y ＝2>0,故它要经过第一象限和第四象限,则存在x>0,使y

＝x 3－(k ＋12)x ＋2<0,则k ＋12>x 2＋

2

x ,即k ＋12>⎝ ⎛⎭

⎪⎫x2＋2x min .令h(x)＝x 2＋2x (x>0),h ′(x)＝2x －2

x2＝

2（x3－1）

x2,当x>1时,h ′(x)>0,h(x)在(1,＋∞)上递增；当0

取得极小值,也是最小值,h(x)min ＝h(1)＝3,所以k ＋12>3,即k>－9.

②当x ≤0时,y ＝|x ＋3|－(kx ＋1),当x ＝0时,y ＝2>0,故它要经过第二象限和第三象限,则存在x<0,使y ＝

|x ＋3|－(kx ＋1)<0,则k<

|x ＋3|－1

x

,即k<⎝

⎛⎭

⎪⎫

|x ＋3|－1x max .令φ(x)＝

|x ＋3|－1

x

＝

⎩⎪⎨⎪⎧－1－4

x ，x ≤－3，1＋2

x ，

－3

易知φ(x)在(－∞,－3]上单调递增,在(－3,0)上单调递减,当x ＝－3时取得

极大值,也是最大值,φ(x)max ＝φ(－3)＝13,故k<1

3

.

综上,由①②得实数k 的取值X 围为⎝

⎛⎭⎪⎫

－9，13.

解法2 可根据函数解析式画出函数图像,当x>0时,f(x)＝x 3－12x ＋3,f ′(x)＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2),可知f(x)在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,＋∞)上单调递增,且 f(2)＝－13<0,当x ≤0时,f(x)＝|x ＋3|.

g(x)＝kx ＋1恒过(0,1),若要使y ＝f(x)－g(x)经过四个象限,由图可知只需f(x)与g(x)在(－∞,0)和(0,＋∞)上分别有交点即可(交点不可为(－3,0)和切点)．

①当k>0时,在(0,＋∞)必有交点,在(－∞,0)区间内,需满足0

3

.

②当k<0时,在(－∞,0)必有交点,在(0,＋∞)内,只需求过定点(0,1)与函数f(x)＝x 3－12x ＋3(x>0)图像的切线即可,设切点为(x 0,x30－12x 0＋3),由k ＝3x20－12＝x30－12x 0＋3－1

x 0,解得x 0＝1,切线斜率k ＝－9,所以k

∈(－9,0)．

③当k ＝0也符合题意．

综上可知实数k 的取值X 围为⎝

⎛⎭⎪⎫

－9，13.

4,(2018苏中三市,苏北四市三调)已知函数3

10() 2 0ax x f x x ax x x -≤⎧⎪=⎨-+->⎪⎩， ，

，的图象恰好经过三个象限,

则实数a 的取值X 围是 ▲ ．

【答案】a ＜0或a ＞2

【解析】当a ＜0时,10y ax x =-，≤

的图象经过两个象限,3|2|0y x ax x =-+->在 (0,+∞)恒成立,所以图象仅在第一象限,所以a ＜0时显然满足题意； 当a ≥0时,10y ax x =-，≤

的图象仅经过第三象限,