三次函数的性质及应用

1. 三次函数的定义

三次函数是指函数的最高次幂为3的代数函数，它的一般形式

为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c、d为常数。

2. 三次函数的性质

- 零点：三次函数的零点是使得f(x) = 0的x值。由于三次函数

是三次方程，理论上有三个实根或复根。零点可以通过求解方程

f(x) = 0得到。

- 极值点：三次函数的极值点是函数达到最大值或最小值的点。三次函数的极值点可能在实数轴上存在，也可能不存在。可以通过

求解f'(x) = 0找到极值点。

- 函数图像：三次函数的图像通常呈现出一条平滑的曲线，称

为三次曲线。根据三次函数的系数的取值范围不同，可以得到不同

形状的曲线，如上升曲线、下降曲线、拐点等。

3. 三次函数的应用

三次函数的性质在数学和实际问题中都有广泛应用，以下是一

些常见的应用领域：

- 物理学：三次函数可以用来描述物体的运动轨迹，如抛体运动、自由落体、弹性碰撞等。

- 经济学：三次函数可以用来描述经济模型中的供需曲线、成

本曲线等。

- 工程学：三次函数可以用来描述工程中的曲线形状，如桥梁

设计、道路设计等。

- 生物学：三次函数可以用来描述生物学中的生长曲线、代谢

曲线等。

三次函数的性质和应用对于理解和解决实际问题具有重要意义。深入研究三次函数的数学特性和实际应用可以帮助我们更好地理解

和应用这一数学工具。

三次函数总结

三次函数三次函数基本概念与性质形如y=ax^3+bx^2+cx+d(a≠0,b,c,d为常数)的函数叫做三次函数(cubics function)。三次函数的图像是一条曲线----回归式抛物线（不同于普通抛物线），具有比较特殊性。目录二.零点求法三.三次函数性态的五个要点四.三次函数对称中心五.其他性质二.零点求法求函数的零点可用盛金公式、盛金判别法、或传统解法盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。 1.盛金公式一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。重根判别式： A=b^2－3ac； B=bc－9ad； C=c^2－3bd，总判别式：Δ=B^2－4AC。当A=B=0时，盛金公式①： X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②： X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)； X2，3=(－2b＋(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(6a)，

其中Y1，2=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③： X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④： X1= (－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)； X2，3= (－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－10时，方程有一个实根和一对共轭虚根； ③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根； ④：当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。 3.盛金定理当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回答：盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。盛金定理5：当A＜0时，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。盛金定理9：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1＜T ＜1。显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ＞0时，不一定有A＜0。盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式 A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC 也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。

三次函数的三大性质1

三次函数的三大性质单调性三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f , (1) 若032 ≤-ac b ，则)(x f 在),(+∞-∞上为增函数； (2) 若032>-ac b ，则)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中a ac b b x a ac b b x 33,332221-+-=---=. 由上易知以下结论: 三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f , (1) 若032≤-ac b ，则)(x f 在R 上无极值； (2) 若032>-ac b ，则)(x f 在R 上有两个极值；且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值. 2 根的性质三次函数)0()(2 3≠+++=a d cx bx ax x f (1) 若032≤-ac b ，则0)(=x f 恰有一个实根； (2) 若032>-ac b ,且0)()(21>?x f x f ，则0)(=x f 恰有一个实根； (3) 若032>-ac b ,且0)()(21=?x f x f ，则0)(=x f 有两个不相等的实根； (4) 若032>-ac b ,且0)()(21-ac b ，且0)()(21>?x f x f . 三次函数)0()(2 3>+++=a d cx bx ax x f 在),[+∞m 上恒正的充要条件是0)(>m f (m ≥x 2),或0)(>m f 且0)(2>x f (m

高中数学：三次函数图像与性质

三次函数的图像和性质设三次函数为()32f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠），其基本性质有：性质一：定义域为R ；性质二：值域为R ，函数在整个定义域上没有最大值、最小值；性质三：单调性和图象。（1）当a>0时，先看二次函数f ′（x ）=3ax 2 +2bx+c ，Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ） ① 当Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ）>0，即b 2-3ac >0时，f ′（x ）与x 轴有两个交点1 x ， 2 x ， f （x ）形成三个单点区间和两个极值点1x ，2 x ，图像如图1,2： ② 当Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ）=0，即b 2 -3ac=0时，f ′（x ）与x 轴有两个等根 1x 2 x ， f （x ）没有极值点，图像如图3,4：图1 图2 图3 图4 图5 图6 ③ 当Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ）＜0，即b 2 -3ac ＜0时，f ′（x ）与x 轴没有交点， f （x ）没有极值点，图像如图5,6：（2）当a ＜0时，先看二次函数f ′（x ）=3ax 2 +2bx+c ，Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ） ① 当Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ）>0，即b 2-3ac >0时，f ′（x ）与x 轴有两个交点1 x ， 2 x ， f （x ）形成三个单点区间和两个极值点1x ，2x ，图像如图7,8：图7 图8 图9 图10 图11 图12 ② 当Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ）=0，即b 2 -3ac=0时，f ′（x ）与x 轴有两个等根1x 2 x ，f （x ）没有极值点，图像如图9,10： ③ 当Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ）＜0，即b 2 -3ac ＜0时，f ′（x ）与x 轴没有交点，f （x ）没有极值点，图像如图11，12：性质四：三次方程f （x ）=0的实根个数对于三次函数()3 2 f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠），其导数为f ′（x ）=3ax 2 +2bx+c ， (1) 当b 2 -3ac >0，其导数f ′（x ）=0有两个解，，原方程有两个极值。 ① 当，原方程有且只有一个实根，图像如图13，14；图13 图14 图15 图16 图17 ② 当12()()0f x f x ⋅=，则方程有2个实根，图像如图15，16； ③ 当0)()(21<⋅x f x f ，则方程有三个实根，图像如图17；性质五：奇偶性对于三次函数()3 2 f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠） (1) f （x ）不可能为偶函数； (2) 当且仅当0==d b 时是奇函数；性质六：对称性 (1) 结论一：三次函数是中心对称曲线，且对称中心是(,())33b b f a a - -； (2) 结论二：其导函数为2 ()320f x ax bx c '=++= 对称轴为a b x 3- =，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点； 2 x 1x 0 )()(2 1>⋅x f x f x 1 x 2 x x 1 x 2

三次函数及高次函数的性质

三次函数及高次函数的性质三次函数是指具有三次方程式的函数表达式，形式通常为 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中 a、b、c、d 是常数。三次函数常见的性质包括零点的个数、导数的凸凹性、拐点的存在等。除此之外，高次函数还包括四次函数、五次函数等更高次数的函数，它们也具有类似的性质。 1. 零点的个数：三次函数的特点之一是它至少有一个零点。由于三次方程式的根为实数、复数或重数根，所以三次函数的图像通常会与 x 轴交于一个或多个点。根据三次函数的系数，我们可以通过解方程或借助综合定理来确定零点个数和位置。 2. 导数的凸凹性：导数反映了函数在不同点处的斜率变化情况。对于三次函数，它的导数是一个二次函数。根据导数的正负性，我们可以判断三次函数在不同区间的凸凹性。具体来说，当导数大于零时，函数在该区间上是上凸的；当导数小于零时，函数在该区间上是下凸的。通过凸凹性判断，我们可以进一步分析函数的极值点、最值等。 3. 拐点的存在：拐点是函数图像在某一点处由凹转凸（或由凸转凹）的点。对于三次函数，它的二阶导数是一个一次函数。通过二阶导数的正负性，我们可以确定三次函数的拐点存在和位置。

对于高次函数，它们的性质与三次函数类似，但随着函数次数的增加，性质会变得更加复杂。高次函数可能有多个拐点、多个零点，导数的次数也会增加，进而影响到函数的凸凹性。因此，研究高次函数的性质时，我们需要更深入地分析导数和二阶导数的特征，判断函数的局部变化情况。总结而言，三次函数及高次函数具有独特的性质，包括零点的个数、导数的凸凹性、拐点的存在等。掌握这些性质有助于我们更深入地理解函数的变化规律，并在实际问题中应用函数来描述和解决。因此，在学习数学和应用数学领域时，我们需要充分掌握和理解三次函数及高次函数的性质。

三次函数与四次函数的认知及其应用解读

三次函数与四次函数的认知及其应用俗话说：时势造英雄. 同样，知识的背景与考纲的制约，造就出三次函数以及四次函数的显赫地位. “何须浅碧深红色，自是花中第一流”：当今高考的导数试题，特别是文科高考导数试题，三次函数自然是无可争议的“当家花旦”，四次函数也逐渐走上前台，并且呈现出与三次函数一争天下的态势. 注意到现行教材中三次函数与四次函数理论的空缺，本文试对上述两函数的图象与性质作以探究与梳理，希望对教与学有所帮助. 一、三次函数的图象与极值设 )0()(23≠+++=a d cx bx ax x f . 则 c bx ax x f ++='23)(2 令方程 a b x f 1240)(21-=?='的判别式，则三次函数的图象与性质当分为三种情形：.00,0111?与此时，注意到“一般存在于特殊之中”，故而考虑循着从特殊到一般的辩证途径去认知三次函数的图象与性质. 特殊：考察下列函数的图象的特征与函数的极值. (1) 443 1)(3 +-= x x x f （方程0)(='x f 的判别式01>?情形）； (2) 2)(3+=x x f （方程0)(='x f 的判别式01=?情形）； (3) x x x f 2)(3+= （方程0)(='x f 的判别式01?时的常态情形更为形象）； (II)一次方程0)(=''x f 有实根,o x 并且在点o x 两侧)(x f '' 的符号相反. 由此猜想“一般”，从而认知 1、三次函数的图象 (1)当三次项系数0>a 时，三次函数的图象呈“N ”字形；当三次项系数0