三次函数常见的性质及应用

在数学中，三次函数是把实数当做自变量的函数，其形式为： f(x)=ax+bx+cx+d

其中，a≠0，b、c、d为常数。

三次函数是最常用的幂函数之一，也是处理数学实际问题的重要函数。它可以通过它的性质及应用，来提高我们的数学认知水平。

二、三次函数的性质

1、三次函数的一阶导数

根据定义，一阶导数是指函数的斜率。设f(x)=ax+bx+cx+d，其一阶导数为：

f(x)=3ax+2bx+c

综上所述，可以看出，三次函数的导数为二次函数。

2、三次函数的局部极值

三次函数的局部极值问题可以使用一阶导数法来解决。即求出f(x)=3ax+2bx+c的极值，再根据其值判断f(x)的极值情况。也就是求出f(x)=0的解，即可找出f(x)的极大值和极小值。

3、三次函数的对称轴

若令f(x)=0，即可得出f(x)的对称轴，它是函数图像的对称轴。当b=0时，它可以是x轴，当b≠0时，它可以是一条直线。

三、三次函数的应用

1、三次函数在求解复杂函数中的应用

复杂函数是指有交叉部分的函数，如正弦函数、余弦函数等。在

求解这类复杂函数中，三次函数可以帮助我们把函数分解成几个子函数，并将其组合起来。这样可以更方便地求解，也更容易理解。

2、三次函数在物理中的应用

在物理学中，三次函数可以用来描述力学系统中物体的运动轨迹。比如在动量定理中，物体在受外力作用时，其运动可以用三次函数来进行描述。此外，三次函数还可以用于喷气发动机的设计中，是一种非常有效的工具。

四、总结

以上就是三次函数的常见性质及应用。它不仅可以把复杂的函数分解成若干个子函数，同时还可以在物理学中得到重要的应用。只要我们熟悉三次函数的性质和应用，就可以更好地利用它来进行数学实际问题的解决，提高我们的数学认知水平。

三次函数的性质研究

三次函数的性质研究导数是中学数学的重要内容，它和向量和复数一样都是解决其它问题的工具，唯一不同的是它主要解决的是数学中抽象而又尤为重要的函数问题，特别是三次以上函数以及非常规的函数问题。利用导数将三次函数问题转化为二次函数进行研究的思想实际上就是化归思想的具体体现，也就是说，熟练把握导数的相关性质和二次函数的性质是研究三次函数图像与性质的重要保证。系列探究1：从最简单的三次函数3x y =开始反思1：三次函数31y x =+的相关性质呢？反思2：三次函数31y x =-+的相关性质呢？反思3：三次函数()311y x =-+的相关性质呢？系列探究2：探究一般三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 的性质：先求导 2()32(0)f x ax bx c a '=++>，令2()320f x ax bx c '=++=的判别式222124(4)b ac b ac =-=-△()。1．函数的定义域与值域均为R 。 2．单调性：（1）若22120b ac =-≤△()，此时函数()f x 在R 上是增函数；（2）若2 2120b ac =->△()，令2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <，则()f x 在12(,),()x x -∞+∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减。 3．极值：（1）若0≤△，此时函数无极值；（2）若0△>，且2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <，此时函数()f x 在 1x x =处取极大值)(1x f ，在2x x =处取极小值)(2x f 。 4．奇偶性：函数当且仅当0==d b 时是奇函数。 5．对称性：函数图象关于点))3(,3(a b f a b --中心对称（了解）

三次函数的三大性质1

三次函数的三大性质单调性三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f , (1) 若032 ≤-ac b ，则)(x f 在),(+∞-∞上为增函数； (2) 若032>-ac b ，则)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中a ac b b x a ac b b x 33,332221-+-=---=. 由上易知以下结论: 三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f , (1) 若032≤-ac b ，则)(x f 在R 上无极值； (2) 若032>-ac b ，则)(x f 在R 上有两个极值；且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值. 2 根的性质三次函数)0()(2 3≠+++=a d cx bx ax x f (1) 若032≤-ac b ，则0)(=x f 恰有一个实根； (2) 若032>-ac b ,且0)()(21>?x f x f ，则0)(=x f 恰有一个实根； (3) 若032>-ac b ,且0)()(21=?x f x f ，则0)(=x f 有两个不相等的实根； (4) 若032>-ac b ,且0)()(21-ac b ，且0)()(21>?x f x f . 三次函数)0()(2 3>+++=a d cx bx ax x f 在),[+∞m 上恒正的充要条件是0)(>m f (m ≥x 2),或0)(>m f 且0)(2>x f (m

三次函数的像和性质

三次函数的像和性质三次函数是指次数为3的一元多项式函数，可以表示为 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$。在这篇文章中，我们将探讨三次函数的像和性质。一、三次函数的图像首先，让我们来了解一下三次函数的图像。一般来说，三次函数的图像呈现出一种典型的"S"形曲线，也称为“小波浪线”。具体来说，三次函数的图像可能表现为以下几种情形： 1. 当$a>0$时，函数具有下凸性，曲线从$(-\infty,+\infty)$上升，再下降。 2. 当$a<0$时，函数具有上凸性，曲线从$(-\infty,+\infty)$下降，再上升。 3. 当$a=0$时，函数退化为二次函数。二、三次函数的像一元函数$f(x)$的像指的是其所有可能输出的实数值的集合。对于三次函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，其像的计算方法为： 1. 首先，我们需要求出$f'(x)=3ax^2+2bx+c$，并找出其实根$x_1$和虚根$x_2$、$x_3$。

2. 如果$a>0$，则$f(x)$在$xx_3$时，导数为正；当$x_1

高中数学：三次函数图像与性质

三次函数的图像和性质设三次函数为()32f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠），其基本性质有：性质一：定义域为R ；性质二：值域为R ，函数在整个定义域上没有最大值、最小值；性质三：单调性和图象。（1）当a>0时，先看二次函数f ′（x ）=3ax 2 +2bx+c ，Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ） ① 当Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ）>0，即b 2-3ac >0时，f ′（x ）与x 轴有两个交点1 x ， 2 x ， f （x ）形成三个单点区间和两个极值点1x ，2 x ，图像如图1,2： ② 当Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ）=0，即b 2 -3ac=0时，f ′（x ）与x 轴有两个等根 1x 2 x ， f （x ）没有极值点，图像如图3,4：图1 图2 图3 图4 图5 图6 ③ 当Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ）＜0，即b 2 -3ac ＜0时，f ′（x ）与x 轴没有交点， f （x ）没有极值点，图像如图5,6：（2）当a ＜0时，先看二次函数f ′（x ）=3ax 2 +2bx+c ，Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ） ① 当Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ）>0，即b 2-3ac >0时，f ′（x ）与x 轴有两个交点1 x ， 2 x ， f （x ）形成三个单点区间和两个极值点1x ，2x ，图像如图7,8：图7 图8 图9 图10 图11 图12 ② 当Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ）=0，即b 2 -3ac=0时，f ′（x ）与x 轴有两个等根1x 2 x ，f （x ）没有极值点，图像如图9,10： ③ 当Δ=4b 2 -12ac=4（b 2 -3ac ）＜0，即b 2 -3ac ＜0时，f ′（x ）与x 轴没有交点，f （x ）没有极值点，图像如图11，12：性质四：三次方程f （x ）=0的实根个数对于三次函数()3 2 f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠），其导数为f ′（x ）=3ax 2 +2bx+c ， (1) 当b 2 -3ac >0，其导数f ′（x ）=0有两个解，，原方程有两个极值。 ① 当，原方程有且只有一个实根，图像如图13，14；图13 图14 图15 图16 图17 ② 当12()()0f x f x ⋅=，则方程有2个实根，图像如图15，16； ③ 当0)()(21<⋅x f x f ，则方程有三个实根，图像如图17；性质五：奇偶性对于三次函数()3 2 f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠） (1) f （x ）不可能为偶函数； (2) 当且仅当0==d b 时是奇函数；性质六：对称性 (1) 结论一：三次函数是中心对称曲线，且对称中心是(,())33b b f a a - -； (2) 结论二：其导函数为2 ()320f x ax bx c '=++= 对称轴为a b x 3- =，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点； 2 x 1x 0 )()(2 1>⋅x f x f x 1 x 2 x x 1 x 2

三次函数与四次函数的认知及其应用解读

三次函数与四次函数的认知及其应用俗话说：时势造英雄. 同样，知识的背景与考纲的制约，造就出三次函数以及四次函数的显赫地位. “何须浅碧深红色，自是花中第一流”：当今高考的导数试题，特别是文科高考导数试题，三次函数自然是无可争议的“当家花旦”，四次函数也逐渐走上前台，并且呈现出与三次函数一争天下的态势. 注意到现行教材中三次函数与四次函数理论的空缺，本文试对上述两函数的图象与性质作以探究与梳理，希望对教与学有所帮助. 一、三次函数的图象与极值设 )0()(23≠+++=a d cx bx ax x f . 则 c bx ax x f ++='23)(2 令方程 a b x f 1240)(21-=∆='的判别式，则三次函数的图象与性质当分为三种情形：.00,0111<∆=∆>∆与此时，注意到“一般存在于特殊之中”，故而考虑循着从特殊到一般的辩证途径去认知三次函数的图象与性质. 特殊：考察下列函数的图象的特征与函数的极值. (1) 443 1)(3 +-= x x x f （方程0)(='x f 的判别式01>∆情形）； (2) 2)(3+=x x f （方程0)(='x f 的判别式01=∆情形）； (3) x x x f 2)(3+= （方程0)(='x f 的判别式01<∆情形）. 品悟上述函数的共性：(I)它们的图象呈“N ”字形（01>∆时的常态情形更为形象）； (II)一次方程0)(=''x f 有实根,o x 并且在点o x 两侧)(x f '' 的符号相反. 由此猜想“一般”，从而认知 1、三次函数的图象 (1)当三次项系数0>a 时，三次函数的图象呈“N ”字形；当三次项系数0