《因式分解》常见题型例析

因式分解是中学数学的重要内容之一，是学习分式、根式、和一元二次方程的重要基础，是解决许多数学问题的重要“工具”，也是各级考试的一个热点，现将关于这部分知识的常见题型介绍如下。

题型一：分解因式的意义

例1 下列从左到右的变形是分解因式的是（）

（A ）(x －4)(x+4)=x 2－16 (B)x 2－y 2+2=(x+y)(x －y)+2

练习:下面由左边到右边的变形中,是分解因式的是（）.

(A)a(x －y)=ax －ay (B)x 2－2x+4=(x －1)2+3

41=(y －2

1)2 题型二、直接提公因式分解

例2 分解因式2a(b －c)－3c(b －c).

练习:分解因式: (2x －3y)(a+b)+(a+b)(3x －2y).

题型三、直接利用公式因式分解

例3、分解因式:a 2－1=_______. 练习：分解因式：224x y =________. 题型四、提公因式后再用公式

例4、把a 3－ab 2分解因式的正确结果是（）

A 、(a+ab)(a －ab)

B 、a (a 2－b 2)

C 、a(a+b)(a －b)

D 、a(a －b)2

练习∶分解因式：244x y xy y -+=_________.

题型五、利用因式分解进行数字计算

例5、计算：2－22－23－……－218－219+220,

练习：算式22222222+++可化为（）

A ．42

B ．28

C ．82

D ．162

题型六、利用因式分解求值

例6、若非零实数a 、b 满足4a 2+b 2=4ab ，则b a

=___________.

练习：已知：x 2+4y 2－4x －4y+5=0,求：x －y 的值。

例7、已知：x+y=1,求222

121y xy x ++的值。

练习：已知a+b=13,ab=40,求a 2b+ab 2的值。

例8、已知：多项式22254

1y mxy x ++是一个完全平方式，求m 的值。

练习：已知：x 2+2（m －3）x+16是一个完全平方式，求m 的值。

题型七、利用因式分解求解整除问题

例9、设n 为整数．求证：（2n+1）2－25能被4整除。

练习：证明：817－279－913能被45整除。（提示：原式=（34）7－（33）9－（32）13=326（32－3－1）=45×324）。

题型八、利用因式分解求解矩形、正方形问题

例10、已知矩形的面积为6m2+60m+150（m>0），长与宽的比为3：2，求这个矩形的周长。

练习：已知：一正方形的面积为：9x2+12xy+4y2，且x>0,y>0,求该正方形的周长。

1．3a4b2与－12a3b5的公因式是_________．

2．把下列多项式进行因式分解

（1）9x2－6xy+3x；（2）－10x2y－5xy2+15xy；

（3）a（m－n）－b（n－m）．

3．因式分解：

（1）16－1

25m2；（2）（a+b）2－1；（3）a2－6a+9；（4）1

x2+2xy+2y2．

4．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（）

A．（x+2）（x－2）=x2－4 B．x2－2x+1=x（x－2）+1

C．a2－b2=（a+b）（a－b）D．ma+mb+na+nb=m（a+b）+n（a+b）5．因式分解：

（1）3mx2+6mxy+3my2；（2）x4－18x2y2+81y4；

（3）a4－16；（4）4m2－3n（4m－3n）．

6．因式分解：

（1）（x+y）2－14（x+y）+49；

（2）x（x－y）－y（y－x）；

（3）4m2－3n（4m－3n）．

7．分解因式：

（1）4a2－b2+6a－3b；（2）x2－y2－z2－2yz．

8．已知：a－b=3，b+c=－5，求代数式ac－bc+a2－ab的值．

八年级因式分解常见方法和经典题型(适合基础和提高)

西安乐童教育中心八年级数学因式分解常见方法讲解和经典题型常见方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且2 2 2 a b c ab bc ca ++=++，则ABC ?的形状是（） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局

第十五章_整式乘除与因式分解_全章导学案

第十五章整式乘除与因式分解 §15.1 整式的乘法第同底数幂乘法学习目标 ⒈在推理判断中得出同底数冪乘法的运算法则，并掌握“法则”的应用. ⒉经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，感受幂的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能力. ⒊在组合作交流中，培养协作精神,探究精神，增强学习信心. 学习重点：同底数冪乘法运算性质的推导和应用. 学习难点：同底数冪的乘法的法则的应用. 学习过程：一、预习与新知： ⒈⑴ 阅读课本P 141-142 （2）3 2 表示几个2相乘？2 3表示什么？ 5a 表示什么？m a 呢？（3）把22222????表示成n a 的形式. ⒉请同学们通过计算探索规律. （1）()()) (2 2222222224 3 =?????=? (2)35 ?45= )(5= （3） 7)3(-?6 )3(-= ())(3-= （4）) (? ? ? ??=??? ?????? ??1011011013 （5）3 a ?4 a = =() a ⒊计算（1）3 2?4 2和72 ；（2）5233?和73 （3）3a ?4a 和7a (代数式表示)；观察计算结果，你能猜想出m a ?n a 的结果吗？问题：（1）这几道题目有什么共同特点？（2）请同学们看一看自己的计算结果，想一想这个结果有什么规律？

⒋请同学们推算一下m a ?n a 的结果？同底数幂的乘法法则：二、课堂展示：（1）计算 ①310?410 ②3a a ? ③53a a a ?? ④x x x x ?+?2 2 （2）计算 ①1 1010+?m n ②57x x ? ③9 7m m m ?? ④-4 444? ⑤()3 9 22-? ⑥12222 +?n n ⑦ y y y y ???425 ⑧5 32333?? 三、随堂练习：（1）课本P 142页练习题（2）课本P 148页15.1第1①②，2① C 组 1.计算：①10 432b b b b ??? ②()()8 7 6 x x x -?- ③()()()5 6 2 x y y ---- ④()()()3 6 4 5 p p p p ?-+-?- 2.把下列各式化成()n y x +或()n y x -的形式. ① ()()4 3 y x y x ++ ②()()()x y y x y x ---2 3 ③() ()12+++m m y x y x 3.已知9x x x n m n m =?-+求m 的值. 四．小结与反思

因式分解题型分类解析

因式分解一、因式分解的概念：因式分解（分解因式）：把一个多项式化为几个整式（）的形式。二、因式分解的方法： 1、提公因式法：（1）公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数；（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式。（3）注意：①提取完公因式后，看另一个因式的项数与原多项式的项数是否一致，可用来检验是否漏项； ②提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ③如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。 2、公式法：运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ ②完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝ a2－2ab＋b2＝ 3、十字相乘法：x2+(a+b)x+ab= 特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

一、按知识点：题型一: 概念的理解：例1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说出理由。（1）、()ay ax y x a +=+ （2）、()()()1121222-+++=-++y y y x x y xy x (3)、)3)(3(92-+=-x x a a ax （4）、2 22 )1(12x x x x +=++ （5）、a a a a ??=223 例3、下列各式中能用平方差公式分解因式的是（） ①2 2 b a -- ②2 242b a - ③42 2--y x ④192 2+-b a ⑤ 22)()(x y y x -+- ⑥14-x

《因式分解》同步练习题

4.1 因式分解 1．下列从左到右的变形属于因式分解的是（） ( A )（x+3）（x -3）=x 2-9 ( B ) x 2-4x+3=x(x -4)+3 ( C )（x+3）（x -2）= x 2-5x+6 ( D ) a 2+3a=a(a+3) 2．把多项式x 2-4x+4分解因式所得结果正确的是（） ( A )x(x -4)+4 ( B ) (x -2)2 ( C ) (x+2)2 ( D ) (x -2)(x+2) 3．已知多项式ax+2a+bx+2b 的一个因式为a+b ,则它的另一个因式为（） ( A ) b+2 ( B ) x+2 ( C )a+x ( D ) a+2 4.把多项式24a a -因式分解，结果正确的是（） A ．(4)a a - B ．(2)(2)a a +- C ．(2)(2)a a a +- D ．2(2)4a -- 5.下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（） A ．22()x y xy xy x y +=+ B ．244(4)4x x x x -+=-+ C ．11(1)y y y += + D ．2(1)(2)32x x x x --=-+ 6. 计算下列式子：（1）3x(x -1)= ；（2）m(a+b-1)= ；（3）（m+4）(m -4)= ；（4）（y -3）2= ；根据上面的算式填空：（1）3x 2-3x = ；（2）ma+mb-m= ; （3）m 2-16= ；（4）y 2-6y +9= ．

7、看谁连得准 x2-y2. (x+3)2 9-25 x 2 y(x -y) 2 x+6x+9 (3-5 x)(3+5 x) xy-y2 (x+y)(x-y) 8．若一个多项式分解因式的结果为(a+2)(a-3)，则这个多项式为什么？ 9.在m2-mx+18=(x+2)(x+n)中，m和n是整数，求m,n的值。 10.把多项式x2+5x-m分解因式是(x+7)(x-n)，求m,n的值。

华师大版-数学-八年级上册-《因式分解》常见题型例析

《因式分解》常见题型例析因式分解是中学数学的重要内容之一，是学习分式、根式、和一元二次方程的重要基础，是解决许多数学问题的重要“工具”，也是各级考试的一个热点，现将关于这部分知识的常见题型介绍如下。题型一：分解因式的意义此类考题多数以选择题的形式出现。解决此类问题需要对分解因式的概念正确的理解。例1 下列从左到右的变形是分解因式的是（）（A ）(x －4)(x+4)=x 2－16 (B)x 2－y 2+2=(x+y)(x －y)+2 (C)2ab+2ac=2a(b+c) (D)(x －1)(x －2)=(x －2)(x －1). 分析:根据多项式分解因式的概念:把一个多项式化成几个整式积的形式,叫做分解因式.所以要判断从左道右的变形是否是分解因式,关键是看左边是否是多项式,右边是否是整式的积. 解:选(C). 练习:下面由左边到右边的变形中,是分解因式的是（）. (A)a(x －y)=ax －ay (B)x 2－2x+4=(x －1)2+3 (C)8x 2－4x=4x·2x (D)y 2－y+ 41=(y －2 1)2 答案: (D) 题型二、直接提公因式分解此类题大多以选择或填空题的形式出现，其中找出公因式是关键。求解时应按照提公因式法则将公因式提出即可。例2 分解因式2a(b －c)－3c(b －c). 分析:把(b －c)看作一个整体,则(b －c)就是此多项式的公因式. 解: 2a(b －c)－3c(b －c)=(b －c)(2a －3b). 练习:分解因式: (2x －3y)(a+b)+(a+b)(3x －2y). 答案:5(a+b)(x －y). 题型三、直接利用公式因式分解求解此类题掌握所学的几个公式的特点是关键，求解时应根据题目的特点选择合适的公式求解。例3、分解因式:a 2－1=_______.

2017因式分解导学案.doc

【学习重点与难点】：因式分解的方法和运用【导学过程】一、知识再现:（阅读教材，理解记忆） 1、因式分解： 2、用提公因式法分解因式（1）基本方法，（2）找公因式的方法， 3、因式分解中运用的公式（1）=-22b a ，（2）=+±222b ab a ， 4、因式分解的应用．二、典例分析 1、提公因式法分解因式例1 因式分解：b a ab 223+= 变式1、因式分解：x x 52- = 变式2、因式分解： 2263ab b a += 2、公式法分解因式例2、因式分解：3212123a a a ++= 变式3、因式分解：296ab ab a +-= 变式4、因式分解：23ab a -=

3、因式分解的应用例3 解方程的值求代数式224320042200452y x x y y x -?? ???=-=+ 变式5、若622=-n m 且2=-n m 则=+n m 三、巩固提高 1. 下列分解因式正确的是（） A 、﹣a +a 3=﹣a （1+a 2） B 、2a ﹣4b +2=2（a ﹣2b ） C 、a 2﹣4=（a ﹣2）2 D 、a 2﹣2a +1=（a ﹣1）2 2．分解因式：321025=a a a -+ 3、因式分解：a 2 ﹣6a+9= 4、分解因式：3222b ab b a +-= 5、分解因式：8（x 2﹣2y 2）﹣x （7x+y ）+xy ．

【课堂反馈】 1、下列式子变形是因式分解的是【】 A ．x 2－5x ＋6＝x (x －5)＋6 B ．x 2 －5x ＋6＝(x －2)(x －3) C ． (x －2)(x －3)＝x 2－5x ＋6 D ．x 2－5x ＋6＝(x ＋2)(x ＋3) 2、若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=．则下列式子一定成立的是（） (A)0x y z ++= (B) 20x y z +-= (C) 20y z x +-= (D) 2=0x z y +- 3、分解因式：3269x x x -+= 4、分解因式：=+-+)(3)(2y x y x 5、已知1=-b a ，则b b a 222--的值

因式分解的常用方法例题解析大全

因式分解的基本方法概述 A.因式分解的一般步骤（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法； B. 因式分解的基本方法一．提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二．运用公式法：（1）a 2-b 2=(a+b)(a -b)； (2) a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； (3) a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4) a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)． (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；三．分组分解法. 能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：（1）分组后能提取公因式（2）分组后能直接运用公式【例题1】分解因式：ay ax y x ++-22 解：原式=)()(22ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+ =))((a y x y x +-+ 【例题2】分解因式：2222c b ab a -+- 解：原式=222)2(c b ab a -+- =22)(c b a -- =))((c b a c b a +--- 【例题3】分解因式：bx by ay ax -+-5102 解法一：原式=)5()102(bx by ay ax -+- =)5()5(2y x b y x a --- =)5)(2(y x b a -- 解法二：原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)2(5)2(b a y b a x --- =)5)(2(y x b a -- 四．十字相乘法. 一般二次三项式2 ax bx c ++型的因式分解由2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成11 22a c a c ?，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分

因式分解全章导学案

沧港中心学校导学案课题多项式的因式分解学生姓名评卷情况主备人杨玲审核人科目七年级数学备课时间20XX年3月27日方程、简化计算等方面都常用因式分解。3、理解因式分解是多项式乘法的逆变形。学习重点: 因式分解的概念。学习难点: 理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。一、复习回顾: 问题一整式乘法有几种形式? 问题二乘法公式有哪些? (1)单项式乘以单项式(1)平方差公式:： (2)单项式乘以多项式：a(m+n)= (2)完全平方公式： (3)多项式乘以多项式：(a+b)(m+n)= 二、自主学习: 1、计算：（1）23= ?（2）（m+4）（m－4）=__________；（3）（y－3）2=__________；（4）3x（x－1）=__________；（5）m（a+b+c）=__________；（6）a（a+1）（a－1）=__________。 2、若a=101,b=99,则22 a b -=___________；若a=99,b=-1,则22 2 a a b b -+=_______；若x=-3,则2 2060 x x += 小结：一般地，把一个含字母的表示成若干个多项式的的形式，称把这个多项式因式分解。思考：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形有什么不同? 因式分解与整式的乘法有什么区别和联系？三、合作探究:

四、课堂检测 1、下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1) 2x-3x+1=x(x-3)+1 ；(2) (m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b＋x＋y)； (3) 2m(m-n)=22m-2mn；(4) 42x-4x+1= ()2 21 x-； (5) 32a+6a=3a（a+2）；（6） ()() 243223 x x x x x -+=-++ (7) 2 2 2 11 2 k k k k ?? ++=+ ? ??；(8) 3 18a bc=32a b·6ac。 3、下列说法不正确的是( ) A. a b -是22 a b -的一个因式 B. xy是2 23 x y xy -的一个因式C.22 2 x xy y -+的因式是x y +和x y - D. 22 2 a a b b ++的一个因式是a b + 4、计算：(1) 2 87+87×13 (2) 22 10199 - 5、若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则m= ,n= 家长签字：

几种常见的因式分解方法

几种常见的因式分解方法 1．提取公因式法 2．分组分解法 3．应用公式法，常用的公式有：（1）222)(2b a b ab a ±=+± （2）))((22b a b a b a -+=- （3）))((2233b ab a b a b a +±=± （4）33223)(33b a b ab b a a ±=±+± （5）2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++ （6）))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++ 公式（5）证明如下： ac bc ab c b a 222222+++++ 222)22()2(c bc ac b ab a +++++= 22)(2)(c c b a b a ++++= 2)(c b a ++= 公式（6）证明如下： abc c b a 3333-++ abc ab b a c b ab b a a 333332233223---++++= )333(])[(2233abc ab b a c b a ++-++= )(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++= ]3)())[((22ab c c b a b a c b a -++-+++= ))((222ca bc ab c b a c b a ---++++= 在特殊情况下，当c b a ++＝0时，就有abc c b a 3333-++＝0，

于是，（7）abc c b a 3333=++ 这就是说，如果三个整式的和为零，那么这三个整式的立方和等于这三个整式乘积的三倍． 4．十字相乘法（1）有二次三项式q px x ++2，如果常数q 能分解成两个因数a 、b 的积，并使a ＋b ＝p ，则有 ))(()(22b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++ （2）有二次三项式c bx ax ++2，如果二次项系数a 分解成两个因数a 1和a 2，常数项c 分解成两个因数b 1和b 2，并且使b b a b a =+2211，则有 c bx ax ++2211221221)(b b x b a b a x a a +++= ))((2211b x a b x a ++= （3）二元二次多项式f ey dx cy bxy ax +++++22的因式分解．设f ey dx cy bxy ax F +++++=22 ))((222111c y b x a c y b x a ++++= 则])][()[(222111c y b x a c y b x a F ++++= 211122212211)()())([(c c y b x a c y b x a c y b x a y b x a +++++++= 可以看出，a 1、a 2、b 1、b 2是由22cy bxy ax ++确定的，这样可对22cy bxy ax ++先进行因式分解，再把f 分解成因数c 1和c 2．如果 ey dx y b x a c y b x a c +=+++)()(112221 则F 就可分解成两个一次因式111c y b x a ++和222c y b x a ++的积．这种分解方法可视为双十字相乘法．对一个较复杂的多项式进行因式分解时，经常要综合运用以上方法，有时需要拆项和增减项，但在拆项和增减项时，要注意和原来的多项式保持相等．

2018年中考数学《因式分解》同步提分训练含答案解析

2018年中考数学提分训练: 因式分解一、选择题 1.下列多项式中,能分解因式的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 2.下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（） A.a（x+y）=ax+ay B.x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4 C.2x2﹣x=x（2x﹣1） D.x2﹣16+3x=（x+4）（x﹣4）+3x 【答案】C 3.有下列式子:①-x2-xy-y2;② a2-ab+ b2;③-4ab2-a2+4b4;④4x2+9y2-12xy;⑤3x2+6xy+3y2.其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有( )个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 4.下列因式分解正确的是（） A. x2﹣y2=（x﹣y）2 B. a2+a+1=（a+1）2 C. xy﹣x=x（y﹣1） D. 2x+y=2（x+y）【答案】C 5.如果x2-(m+1)x+1是完全平方式,则m的值为( ) A. -1 B. 1 C. 1或-1 D. 1或-3 【答案】D 6.因式分解结果为(x-1)2的多项式是( ) A. x2-2x+1 B. x2+2x+1 C. x2-1 D. x2+1 【答案】A 7.257﹣512能被下列四个数①12；②15；③24；④60整除的个数是（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】D 8.把多项式﹣8a2b3c+16a2b2c2﹣24a3bc3分解因式，应提的公因式是（）

A. ﹣8a2bc B. 2a2b2c3 C. ﹣4abc D. 24a3b3c3 【答案】A 9.观察下列各式从左到右的变形 ①（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2②a2﹣b2﹣1=（a+b）（a﹣b）﹣1③4a+6x=2（2a+3x）④a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2 ⑤a2+1=a（a+ ）其中是分解因式的有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】B 10.下列各组代数式没有公因式的是（） A. 5a﹣5b和5a+5b B. ax+y和x+ay C. a2+2ab+b2和2a+2b D. a2﹣ab和a2﹣b2 【答案】B 11.一次课堂练习,小颖同学做了以下几道因式分解题,你认为她做得不够完整的是( ) A. x3-x=x(x2-1) B. x2y-y3=y(x+y)(x-y) C. -m2+4n2=(2n+m)(2n-m) D. 3p2-27q2=3(p+3q)(p-3q) 【答案】A 12.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( ) A. x2+x+1 B. x2+2x-1 C. x2-1 D. x2-6x+9 【答案】D 二、填空题 13.因式分解：x2-4=________ 【答案】(x+2)(x-2) 14.把多项式x3 -25x分解因式的结果是________. 【答案】 15.因式分解：＝________. 【答案】 16.若a2﹣2a﹣4=0，则5+4a﹣2a2=________．【答案】-3 17.已知，则代数式的值是________ 【答案】15 18.如果实数x、y满足方程组，那么x2﹣y2的值为________

常用的因式分解公式

常用的因式分解公式：待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．

例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．

因式分解(竞赛题)含问题详解

因式分解运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．

(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 的正确性，现将此公式变形为 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc =［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为 a3+b3+c3-3abc 显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论． ※※变式练习 1分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为 x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以

北师大版数学八年级下册第二章-因式分解-全章精品导学案

第二章《因式分解》 §2.1 分解因式学习重点： 1．理解因式分解的意义. 2．识别分解因式与整式乘法的关系. 学习难点：通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系. 一、自主复习：【填空】公式类：()()a b a b +-=2 ()a b += 2()a b -= （1）单?单：3a×4ab= （2）单?多：(35)a a b -= （3）多?多：(3)(2)x y x y -+= （4）混合乘：x （x-1）（x+1）= 二、独立探究问题：分解因式的概念 1．自主学习教材p43-p44，其中p44做一做的前（1）—（5）是什么运算？做一做的后（1）—（5）与前（1）—（5）的关系是什么？ 2．分解因式的概念：把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式 3．掌握分解因式概念应注意：（1）被分解对象是（2）分解因式的结果必须是几个的形式. （3）分解因式要一直分解到每个因式不能再为止. 4．及时反馈：完成书p45随堂练习三、小组合作探究：分解因式与整式乘法的关系 1．议一议（1）由(1)(1)a a a +-=3 a a -的变形是运算. （2）由3a a -=(1)(1)a a a +-的变形与（1）有什么不同？ 2．想一想分解因式与整式乘法有什么关系？ ()ma mb mc m a b c ++++因式分解整式乘法 .因式分解与整式乘法是的变形. 四、知识的运用例：下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？（1）x +1=x （1+ x 1）（2）()222424ab ac a b c +=+ （3）2 4814(2)1x x x x --=--（4）222()ax ay a x y -=- （5）2 2 2 4(2)a ab b a b -+=-（6）2 (3)(3)9x x x +-=- 五、课堂小结 1．分解因式的概念： 2．分解因式应注意： 3．分解因式与整式乘法的关系六、课堂过关 1．下列从左到右的变形，是分解因式的为（） A ．x 2－x =x （x －1） B ．a （a －b ）=a 2－ab C ．（a +3）（a －3）=a 2－9 D ．x 2－2x +1=x （x －2）+1 2．下列各式分解因式正确的是（） A. 2 2 3633(2)a x bx x x a b -+=- B. ()2 2 xy x y xy x y +=+ C. 2 ()a ab ac a a b c -+-=-+- D. 2 2 963(32)abc a b abc ab -=- 3.（1）2 2 ()()a b a b a b +-=-的运算是（2）3 2 2 2(2)x x x x -=-的运算是 4．计算下列各式：（1）（a +b ）（a －b ）=________. （2）（a +b ）2=________. （3）8y （y +1）=________. （4）a （x +y +1）=________. 根据上面的算式填空：（5）ax +ay +a =（）（）（6）a 2－b 2=（）（）（7）a 2+2ab +b 2=（）（）（8）8y 2+8y =（）（）

因式分解

中国最负责的教育品牌私塾国际学府学科教师辅导教案组长审核：学员编号：ssxc00191年级：八年级课时数：3 学员姓名：杨欣悦辅导科目：数学学科教师：俎露授课主题因式分解 1.掌握因式分解的解题方法教学目的 2.灵活运用解题方法解决因式分解问题教学重点遇到因式分解问题能够具体分析、展开思路授课日期及时段2016.04.09.13:00-15:00 教学内容上节回顾：直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，CD=3，AD=4，CH/BH=CQ/MQ=2，过点C作CH⊥AB，垂足为H．点P为线段AD上一动点，直线PM∥AB，交BC、CH于点M、Q．以PM为斜边向右作等腰Rt△PMN，直线MN交直线AB于点E，直线PN交直线AB于点F．设PD的长为x，EF的长为y． ⑴求PM的长(用x表示)； ⑵求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围(图13为备用图)；⑶当点E在线段AH 上时，求x的取值范围(图14为备用图)．

中国最负责的教育品牌因式分解常用方法： 1.公式法：常用公式：（1）a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2；（3）a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；（5）x2+（p+q)x+pq=（x+p)（x+q) 不常用公式：（6）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；（7）a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；（8）a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；（9）a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；（1）a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数。注意：运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例一：分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4 (2)x3-8y3-z3-6xyz (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab (4)a7-a5b2+a2b5-b7 例二：分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1

新北师大版八年级数学下册因式分解导学案】

第四章因式分解第一节因式分解 (1)计算下列各式： ①(m+4)(m-4)=__________;②(y-3)2=__________; ③3x(x-1)=__________;④m(a+b+c)=__________; ⑤a(a+1)(a-1)=__________. (2)根据上面的算式填空： ①3x2-3x=( )( );②m2-16=( )( ); ③ma+mb+mc=( )( );④y2-6y+9=( )2 ⑤a3-a=( )( ) 在(1)中我们知道从左边推右边是整式乘法;那么在(2)中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解。因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系。一、因式分解的定义：把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式。也可以叫做分解因式。定义解析：（1）等式左边必须是（2）分解因式的结果必须是以的形式表示；（3）分解因式必须分解到每个因式都有不能分解为止。二、合作探究探究一：下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不

是分解因式？为什么？（1）22 111x x x x x x ????- =+- ???? ??? （2）()22 2424ab ac a b c +=+ （3）24814(2)1x x x x --=-- （4）222()ax ay a x y -=- （5）2224(2)a ab b a b -+=- （6）2(3)(3)9x x x +-=- 解: （7）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是 A 、29)3)(3(x x x -=+- B 、))((2233n mn m n m n m ++-=- C 、)1)(3()3)(1(+--=-+y y y y D 、z yz z y z z y yz +-=+-)2(2242 探究二：连一连： 9x 2 －4y 2 a （a ＋1）2 4a 2－8ab ＋4 b 2 －3a （a ＋2）－3a 2 －6a 4（a －b ）2 a 3 ＋2a 2＋a （3x ＋2y ）（3x －2y ）三、提升训练 1．下列各式从左到右的变形是分解因式的是（）. A ．a （a －b ）＝a 2 －ab ； B ．a 2 －2a ＋1＝a （a －2）＋1 C ．x 2 －x ＝x （x －1）； D ．x 2 －y y ?1 ＝（x ＋y 1）（x －y 1） 2.连一连： a 2－1 (a +1)(a －1) a 2+6a +9 (3a +1)(3a －1) a 2－4a +4 a (a － b )

因式分解》【学案+参考教案+同步课件】

因式分解》【学案+参考教案+同步课件】-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

4.1 因式分解 ●教学目标（一）教学知识点使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系. （二）能力训练要求通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力. （三）情感与价值观要求通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系. ●教学重点 1.理解因式分解的意义. 2.识别分解因式与整式乘法的关系. ●教学难点通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系. ●教学方法观察讨论法 ●教具准备投影片一张记作（§4.1 A） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课［师］大家会计算（a+b）（a－b）吗？［生］会.（a+b）（a－b）=a2－b2. ［师］对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的.从式子（a+b）（a－b）=a2－b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2－b2=（a+b）（a－b）是否成立呢？［生］能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2－b2与（a+b）（a－b）

既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立. ［师］很好，a2－b2=（a+b）（a－b）是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题. Ⅱ.讲授新课 1.讨论993－99能被100整除吗你是怎样想的与同伴交流. ［生］993－99能被100整除. 因为993－99 =99×992－99 =99×（992－1） =99×9800 =99×98×100 其中有一个因数为100，所以993－99能被100整除. ［师］993－99还能被哪些正整数整除？［生］还能被99，98,980,990,9702等整除. ［师］从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式. 2.议一议你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流. ［师］大家可以观察a3－a与993－99这两个代数式. ［生］a3－a=a（a2－1）=a（a－1）（a+1） 3.做一做（1）计算下列各式： ①（m+4）（m－4）=__________; ②（y－3）2=__________; ③3x（x－1）=__________; ④m（a+b+c）=__________; ⑤a（a+1）（a－1）=__________. ［生］解：①（m+4）（m－4）=m2－16; ②（y－3）2=y2－6y+9;

因式分解公式大全

公式及方法大全待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．常用的因式分解公式：

比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．