双曲线专题及答案

例1 根据下列条件，求双曲线方程：

（1）与双曲线22

1916

x y -=有共同的渐近线，且过点（－3，23）； （2）与双曲线162

x －4

2y =1有公共焦点，且过点（32，2） 分析：设双曲线方程为22

a x －22b

y =1，求双曲线方程，即求a 、b ，为此需要关于a 、b 的两个方程，由题意易得关于a 、b 的两个方程

解法一：（1）设双曲线的方程为22

a x －22b

y =1， 由题意，得

2243(3)19

16b a ?=???-?-=?? 解得a 2=4

9，b 2=4 所以双曲线的方程为4

92

x －4

2y =1 （2）设双曲线方程为22

a x －22b

y =1 由题意易求c

又双曲线过点（32，2），

∴22)23(a －24b

=1 又∵a 2+b 2=（25）2，

∴a 2=12，b 2=8 故所求双曲线的方程为122

x －8

2y =1 解法二：（1）设所求双曲线方程为92

x －16

2y ＝λ（λ≠0）， 将点（－3，23）代入得λ＝4

1， 所以双曲线方程为92x －162y 1

（2）设双曲线方程为k x -162－k

y +42＝1， 将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122

x －8

2y ＝1 点评：求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用若已知双曲线的渐近线方程ax ±by =0，可设双曲线方程为a 2x 2－b 2y 2=λ（λ≠0）

例2 设点P 到点M （－1，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围

分析：由|PM |－|PN |=2m ，得||PM |－|PN ||=2|m |知点P 的轨迹是双曲线，由点P 到x 轴、y 轴距离之比为2，知点P 的轨迹是直线，由交轨法求得点P 的坐标，进而可求得m 的取值范围

解：设点P 的坐标为（x ，y ），依题意得|

|||x y =2， 即y =±2x （x ≠0） ①

因此，点P （x ，y ）、M （－1，0）、N （1，0）三点不共线，

从而得 ||PM |－|PN ||<|MN |=2

∵||PM |－|PN ||=2|m |>0，

∴0<|m |<1

因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2|m |的双曲线上 故22

m x －221m y -=1 ②

将①代入②，并解得x 2=22251)1(m

m m --， ∵1－m 2>0，∴1－5m 2>0

解得0<|m |<5

5， 即m 的取值范围为（－55，0）∪（0，5

5） 评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力解决此题的关键是用好双曲线的定义

例3 已知α∈[0,π], 设讨论随α值的变化，方程x 2sin α+y 2cos α=1表示的曲线形状 解：(1)α=0时，两直线y=1和y= ─1;

(2)α=π/2时，两直线x=1和x=─1;

(3)0<α<π/2时，焦点在x 轴上的椭圆; (4)α=π/4时，半径为42的圆;

(5)π/4<α<π/2时，焦点在y 轴上的椭圆;

(6)π/2<α<π时，焦点在x 轴上的椭圆 点评：本题主要考查椭圆双曲线方程的形式和分类讨论思想

例5 已知双曲线的方程为14

22

=-y x , 直线l 通过其右焦点F 2，且与双曲线的右支交

于A 、B 两点，将A 、B 与双曲线的左焦点F 1连结起来，求|F 1A|·|F 1B|的最小值

解：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),

A 到双曲线的左准线x= ─c a 2= ─54的距离d=|x 1+54|=x 1+5

4， 由双曲线的定义，d

AF ||1=e=25, ∴|AF 1|=25(x 1+5

4)=25x 1+2, 同理，|BF 1|=2

5x 2+2, ∴|F 1A|·|F 1B|=(

25x 1+2)(25x 2+2)=45x 1x 2+5(x 1+x 2)+4 (1) 双曲线的右焦点为F 2(5,0),

(1)当直线的斜率存在时设直线AB 的方程为：y=k(x─5)， 由?????=--=14

)5(22y x x k y 消去y 得 (1─4k 2)x 2+85k 2x─20k 2─4=0, ∴x 1+x 2=145822

-k k , x 1x 2= ─1

442022-+k k , 代入(1)整理得

|F 1A|·|F 1B|=1452514402222-++-k k k k +4=1

456522-+k k +4 =1

4485)41(6522-+-k k +4=481+)14(4852-k ∴|F 1A|·|F 1B|>4

81; (2)当直线AB 垂直于x 轴时，容易算出|AF 2|=|BF 2|=

21, ∴|AF 1|=|BF 1|=2a+21=29(双曲线的第一定义), ∴|F 1A|·|F 1B|=4

81 由(1), (2)得：当直线AB 垂直于x 轴时|F 1A|·|F 1B| 4

81

例6 24已知双曲线的方程是16x 2－9y 2=144

（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；

（2）设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|=32，求∠F 1PF 2的大小

解：（1）由16x 2－9y 2

=144得92

x －162y =1， ∴a =3，b =4，c =5焦点坐标F 1（－5，0），F 2（5，0），离心率e =35，渐近线方程为y =±3

4x （2）||PF 1|－|PF 2||=6，cos ∠F 1PF 2=|

|||2||||||212

212221PF PF F F PF PF -+ =||||2||||||2|)||(|2122121221PF PF F F PF PF PF PF -+-=64

1006436-+ =0 ∴∠F 1PF 2=90°