2019-2020学年宁夏银川二中高一下学期期末考试数学试题(解析版)(1)

宁夏银川二中2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题

一.选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，每题有且只有一个正确选项，请将正确选项涂在答题卡上）

1. 分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系不可能是（ ） A. 平行 B. 相交

C. 异面

D. 垂直

答案B

【解析】因为两个平面平行，所以两个平面没有公共点，

所以分别在两个平行平面内的两条直线没有公共点，不可能相交，故B 正确， 又分别在两个平行平面内的两条直线可能平行、异面和垂直. 故选：B.

2. 如图，四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为AC ，PC 上的点，且//MN 平面PAD ，则( )

A. //MN PD

B. //MN PA

C. //MN AD

D. 以上均

有可能 答案B

【解析】四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为AC ，PC 上的点，且//MN 平面PAD ，

MN ?平面PAC ，平面PAC 平面PAD PA =，

由直线与平面平行性质定理可得：//MN PA ．

故选B ．

3. 经过两点()3,1C 、()2,0D -的直线1l 与经过点()1,4M -且斜率为1

5

的直线2l 的位置关系为（ ） A. 平行 B. 垂直

C. 重合

D. 无法确定

答案A

【解析】直线1l 的斜率为()1101

325k -=

=--，直线CM 的斜率为()145312

MC k --==-，

所以，点M 不在直线1l 上，因此，12//l l . 故选：A.

4. 若直线经过点()11，M 且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有（ ）

A. 1条

B. 2条

C. 3条

D. 4条

答案B

【解析】若直线过原点，设直线方程为y kx =，因为该直线过点()11，，

所以1k =，因此y x =满足题意；

若直线不过原点，因为直线在两坐标轴上的截距相等，设该直线方程为()0x y m m +=≠，

又该直线过点()11，，所以2m =，因此2x y +=满足题意；

故满足条件的直线共2条. 故选：B.

5. 圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ） A. 4

3

-

B. 34

-

C.

D. 2

答案A

【解析】由2

2

28130x y x y +--+=配方得2

2

(1)(4)4x y -+-=，所以圆心为(1,4)，因为圆2

228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，

1=，

解得4

3

a =-

，故选A. 6. 若,,a b c 为实数，则下列命题错误的是( ) A. 若22ac bc >，则a b > B. 若0a b <<，则22a b < C. 若0a b >>，则

11a b

< D. 若0a b <<,0c d >>，则ac bd <

答案B

【解析】对于A ，若2

2

ac bc >，则0c ≠，22

22ac bc c c

>，即a b >，故正确；

对于B ，根据不等式的性质，若0a b <<，不妨取2,1a b =-=-， 则22a b >，故题中结论错误； 对于C ，若0a b >>，则

a b ab ab >，即11

a b

<，故正确； 对于D ，若0a b <<,0c d >>，则0a b ->->，故ac bd ->-，ac bd <，故正确. 故选B.

7. 如果关于x 的不等式2x ax b <+的解集是{|13}x x <<，那么a b 等于（ ） A. -81 B. 81

C. -64

D. 64

答案B

【解析】不等式2x ax b <+可化为20x ax b --<，其解集是{}3|1x x <<，

那么，由根与系数的关系得1313a

b +=???=-?

，解得4,3a b ==-，

()4

381a b ∴=-=，故选B.

8. 如图中,,,,G N M H 分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线,GH MN 是异面直线的图形有（ ）

A. ①③

B. ②③

C. ②④

D. ②③④

答案C

【解析】由题意，可知题图①中，GH MN ∥，因此直线GH 与MN 共面； 题图②中，,,G H N 三点共面，但M ?平面GHN ，因此直线GH 与MN 异面； 题图③中，连接MG ，则GH MN ∥，因此直线GH 与MN 共面；

题图④中，连接GN ，,,G H N 三点共面，但N ?平面GMN ， 所以直线GH 与MN 异面. 故选C.

9. 如图，一个关于x y ，的二元一次不等式组表示的平面区域是ABC 及其内部的点组成的集合，则目标函数23z x y =+的最大值为（ ）

A. 2

B. 6

C. 7

D. 8

答案C

【解析】因为目标函数23z x y =+可化为233

z y x =-+， 所以z 表示直线233

z

y x =-

+在y 轴截距的三倍， 由图象可得，当直线233

z

y x =-+过点A 时，在y 轴的截距最大，

所以max 22317z =?+?=. 故选：C.

10. 已知圆()2

2

:22440C x y x my m m ++---=∈R ，则当圆C 的面积最小时，圆上的

点到坐标原点的距离的最大值为（ ）

A.

B. 6

C.

1

D.

1

答案D

【解析】由2

2

22440x y x my m ++---=得()()22

2145x y m m m ++-=++，

因此圆心为()1,C m -，半径为1r =

=

，

当且仅当2m =-时，半径最小，则面积也最小；此时圆心为()1,2C --，半径为1r =，

因此圆心到坐标原点的距离为d r ==>，

即原点在圆C 外，

根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为1d r +=+.

故选：D.

11. 已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点

(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（ ）

A. 2

B.

C. 6

D.

答案C 【解析】

试题分析：直线l 过圆心

，所以1a =-，所以切线长2(4)14(4)216AB =-+-?-++=，选C.

12. 已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22

a b a b

+-的最小值等于（ ）．

A.

B. C. 2 D. 答案D

【解析】因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b = 所以lg lg a b =- 所以1

a b

=

，即1ab =，0a b >>

22a b

a b

+-22()2()2

2()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+

---≥=

当且仅当2

a b a b

-=

-，即a b -=时等号成立

所以22

a b a b

+-的最下值为故答案选D

二，填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填在答题纸的相应位置上） 13. 若圆22440x y x y ++-=与直线240x y -+=相交于M N ，两点，则线段MN 的长为____________.

【解析】由2

2

440x y x y ++-=得()()22

228x y ++-=，

即圆心坐标为()2,2-，半径为r =

则圆心到直线240x y -+=的距离为d =

=

，

所以弦长MN ===.

14. 已知直线l 的倾斜角为

34

π

，直线1l 经过点(3,2)A ，(,1)B a -，且1l l ⊥，直线21:20l x by ++=与直线1l 平行，则+a b 等于________.

答案2- 【解析】

13π21(tan

)1043l l a a

+⊥∴?=-∴=- 因为直线21:20l x by ++=与直线1l 平行，所以221

230

b b +-=∴=-- 因此2a b +=- 故答案为：2-

15. 若直线PA 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，C 为圆周上异于A B ，的一点，有下列关系：

①PA BC ⊥ ②BC ⊥平面PAC ③AC PB ⊥ ④PC BC ⊥， 其中正确的是___________. 答案①②④

【解析】因为C 为以AB 为直径的圆上异于A B ，的一点， 所以CA CB ⊥，

因为直线PA 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，所以PA ⊥平面ABC ， 因此PA BC ⊥；即①正确；

又PA CA A =，且,PA CA ?平面PAC ， 所以BC ⊥平面PAC ；即②正确；

又PC ?平面PAC ，所以PC BC ⊥；即④正确；

因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AC ⊥，即PAC 是以A ∠为直角的直角三角形，所以AC 与PC 不垂直；

若AC PB ⊥，根据CA CB ⊥，PB CB B ?=，,PB CB ?平面PBC ，可得AC ⊥平面

PBC ，则AC PC ⊥，这与“AC ，PC 不垂直”矛盾，故AC ，PB 不垂直；即③错.

故答案为：①②④.

16. 已知圆()2

2:22C x y -+=，直线:2l y kx =-，若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线1l ，2l ，使得12l l ⊥，则直线l 斜率的取值范围是__________. 答案0k ≥

【解析】如图所示，过点P 引圆的两条切线1l ，2l ，切点分别为A ，B ，且12l l ⊥，

则45CPA CPB ∠=∠=，

因为圆()2

2:22C x y -+=圆心为()2,0C ，半径为r =

所以2sin 45

r

CP =

=，

设(),P x y ，则点P

2=，即()2

2

24x y -+=，

为使直线l 上存在点P ，只需直线l 与圆()2

224x y -+=有交点即可， 因此只需圆心()2,0到直线:2l y kx =-的距离小于等于半径2，

2≤，即()()

2

22241k k -≤+，整理得80k -≤，解得0k ≥.

故答案为：0k ≥.

三．解答题（本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置）. 17. 若不等式2520ax x +->的解集是122x x ??

<

，求不等式22510ax x a -+->的解集．

解：由已知条件可知0a <，且方程520ax x +-=的两根为

1

2

，2； 由根与系数的关系得552

21a a

?-=????-=??解得2a =-．

所以原不等式化为2530x x +-<解得1

32

x -<< 所以不等式解集为132x x ??-<<

????

18. 在ABC 中，已知()5,2A -，()7,3B ，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：

()1顶点C 的坐标； ()2直线MN 的方程．

解：（1）设点C （x ，y ）， ∵边AC 的中点M 在y 轴上得=0，

∵边BC 的中点N 在x 轴上得

=0，解得x =﹣5，y =﹣3．

故所求点C 的坐标是（﹣5，﹣3）．

（2）点M 的坐标是（0，﹣）， 点N 的坐标是（1，0）， 直线MN 的方程是=

，

即5x ﹣2y ﹣5=0．

19. 如图，在四棱锥S ABCD -中，侧棱SA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，

//AD BC ，AB AD ⊥，且2SA AB BC ===，1AD =，M 是棱SB 的中点.

（1）求证：//AM 平面 SCD ； （2）求三棱锥B AMC -的体积.

解：（1）如下图所示，取SC 的中点N ，连接MN 、DN ，

M 、N 分别为SB 、SC 的中点，//MN BC ∴且1

2

MN BC =

， 由已知条件可知//AD BC 且1

2

AD BC =

，//AD MN ∴且AD MN =， ∴四边形ADNM 为平行四边形，//AM DN ∴，

AM ?平面SCD ，DN ?平面SCD ，//AM ∴平面SCD ；

（2）如下图所示，取AB 的中点O ，连接OM 、AC 、MC ，

M 、O 分别为SB 、AB 的中点，//MO SA ∴且1

12

MO SA =

=， SA ⊥平面ABCD ，MO ∴⊥平面ABCD ，

AB AD ⊥，//BC AD ，AB BC ∴⊥，ABC ∴的面积为1

22

ABC S AB BC =

?=△， 因此，三棱锥B AMC -的体积为11221333

B AM

C M ABC

ABC V V S MO --==?=??=△. 20. 如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB

的中点，AB =2，AD =BAD =90°． （Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；

（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．

解：（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．

（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．

在Rt △DAM 中，AM =1，故DM

．因为AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ． 在Rt △DAN 中，AN =1，故DN

在等腰三角形DMN 中，MN =1

，可得12cos MN

DMN DM ∠==

． 所以，异面直线BC 与MD

． （Ⅲ）连接CM ．因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CM

．又因为平面ABC ⊥平面ABD ，而CM ?平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角． 在Rt △CAD 中，CD

．

在Rt △CMD

中，sin CM CDM CD ∠=

=

所以，直线CD 与平面ABD

21. 近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且

210100,040()10000

7019450,40x x x R x x x x ?+<

?

，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.

（I ）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；

()II 2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

解：（Ⅰ）当040x <<时，()()

2

2

7001010025010600250W x x x x x x =-+-=-+-；

当40x ≥时，()100001000070070194502509200W x x x x x x ???

?=-+

--=-++ ? ????

?， ∴ ()210600250,040

100009200,40

x x x W x x x x ?-+-<

=???

-++≥ ???

??. （Ⅱ）若040x <<，()()2

10308750W x x =--+， 当30x =时，()max 8750W x =万元 . 若40x ≥，(

)10000920092009000W x x x ??

=-++≤-= ???

， 当且仅当10000

x x

=

时，即100x =时，()max 9000W x =万元 . ∴2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.

22. 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数261y x x =-+的图象与坐标轴的交点都在圆C 上.

（1）求圆C 的方程；

（2）若圆C 与直线0x y a -+=交于A 、B 两点，且以线段AB 为直径的圆经过原点O ，求实数a 的值.

解：（1）曲线2

61y x x =-+与y 轴的交点坐标为()0,1，

解方程2610x x -+=

，解得3x =±

则曲线2

61y x x =-+与x

轴的交点为(

)3+

、()

3-，

设圆心C 为()3,t ，则(

)(2

2

2

231t t +-=+，解得1t =，

所以，圆C 的半径为

3r =

=，

因此，圆C 的方程为()()2

2

319x y -+-=； （2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，

联立()()22

0319

x y a x y -+=???-+-=??，消去y 可得()()2

222410x a x a +-+-=， ()()22

24481416560a a a a ?=---=--+>，

由韦达定理可得124x x a +=-，()2

12

12

a x x

-=

，

由于圆C 不经过原点，当0a =时，O 、A 、B 三点共线，此时，以AB 为直径的圆不经过原点.

所以，0a ≠，由于以AB 为直径的圆经过原点，则OA OB ⊥， 则12

12

1OA OB y y k k x x ?=

=-，整理得12120x x y y +=， 即()()()()()()2

2

221212*********x x x a x a x x x x a a a a a a +++=+++=-+-+=+=， 解得1a =-，此时360?=>， 综上所述，1a =-.