第13章 质点系动能定理xs

第十二章-动能定理

218 思 考 题 12-1 三个质点质量相同，同时自点A 以大小相同的初速度0v 抛出，但0v 的方向不 同，如图所示。问这三个质点落到水平面HH 时，三个速度是否相同？为什么？ 12-2 图中所示两轮的质量相同，轮A 的质量均匀分布，轮B 的质心C 偏离几何中心。设两轮以相同的角速度绕中心O 转动，它们的动能是否相同？ 12-3 重物质量为m ，悬挂在刚性系数为k 的弹簧上，如图所示。弹簧与被缠绕在滑轮上的绳子连接。问重物匀速下降时，重力势能和弹性力势能有无变化？变化了多 少？ 12-4 比较质点的动能与刚体定轴转动的动能的计算公式，指出它们的相似地方。 12-5 一质点沿一封闭的曲线运动一周。若作用于质点的力是有势力，该力作了多少功？若非有势力，该力作功如何计算？ 12-6 为什么在计算势能时，一定要预先取定零势能点？ 习 题 12-1 图示弹簧原长l ＝10cm ，刚性系数k ＝4.9KN /m, 一端固定在点O ，此点在半径为R ＝10cm 的圆周上。如弹簧的另一端由点B 拉至点A 和由点A 拉到点D ，分别计算弹性力所作的功。AC ⊥BC 、OA 和BD 为直径。 12-2 试计算图中各系统的动能。 图（a ）中，设物块A 和B 各重P ，其速度为v ，滑轮 重Q ，其半径为R ，并可视为均质圆盘；滑轮与绳间无相对 滑动。 图（b ）中，设两齿轮为均质圆盘，分别重P 1、P 2，半径分别为1r 、2r ，且轮I 的角速度为1 。 思考题12-3图 H A B 思考题12-2图 思考题12-1图 ' ' 题12-1图

219 图（c ）中，重为Q ，半径为R 的均质圆柱，在水平轨道上无滑动地滚动。重物A 重P ，其速度为v 。小滑轮质量略去不计。 12-3 图示坦克的履带重P ，每个车轮重Q 。车轮被视为均质圆盘，半径为R ，两 车轮轴间的距离为πR 。设坦克前进的速度为v ，试计算此质点系的动能。 12-4 图示一物体A 由静止沿倾角为α的斜面下滑，滑过的距离为1s ，接着在平面上滑动，经距离2s 而停止。如果物体A 与斜面和平面间的摩擦系数都相同，求摩擦系数f '。 12-5 质量为2kg 的物体在弹簧上处于静止，如图所示。弹簧的刚性系数k 为400N /m 。现将质量为4kg 的物块B 放置在物块A 上，刚接触就释放它。求：（1）弹簧对两物块的最大作用力；（2）两物块得到的最大速度。 12-6 图示轴Ⅰ和Ⅱ（连同安装在其上的带轮和齿轮等）的转动惯量分别为1J ＝5kg m 2和2J ＝4kg m 2。已知齿轮的传动比2 3 21=ωω，作用于轴Ⅰ上的力矩m N M ?=501，系 统由静止开始运动。问Ⅱ轴要经过多少转后，转速能达到2n ＝120r /min ？ 12-7 一不变的力矩M 作用在绞车的鼓轮上，使轮转动，如图所示。轮的半径为r ，质量为1m 。缠绕在鼓轮上的绳子系一质量为2m 的重物，使其沿倾角为α斜面上升。重物对斜面的滑动摩擦系数为f ',绳子质量不计，鼓轮可视为均质圆柱。开始时，此系统处于静止。求鼓轮转过?角时的角速度和角加速度。 ( a ) ( b ) ( c ) 题 12-2 图 题 12-3 图 题 12-4 图

第13章 动能定理

第十三章 动能定理 动量和动量矩是描述物体作机械运动时与周围物体进行机械运动交换的物理量，动能是描述物体作机械运动时所具有的能量。这一章我们要学习物体动能的变化与作用在物体上力的功之间的关系——动能定理。 §13.1 力的功 一、常力作直线运动的功 设物体在大小和方向都不变的力F 作用下，沿直线21M M 运动，其位移为s ，力F 对物体所作的功为 Fscos θ==W s ?F 12 式中θ力F 与位移s 间的夹角。 功是代数量，当0≤θ＜2 π 时，力F 作正功W 12＞0；当0＜θ≤π时，力F 作负功W 12＜0；当2 π = θ时，力F 不作功W 12=0。功的单位为焦耳（J ），m N J ?=11。 二、变力在曲线运动中的功 元功 s F W ·c o s θδ=

δd cos d W F s θ=?=?F r 力在全路程上作的功等于元功之和，即 2 2 1 1 d cos d M M M M W F s θ=?=?? ? F r 用解析表达式 21 (d d d )M x y z M W F x F y F z =++? 三、下面给出几种常见力所作的功 1、重力的功 设质点沿轨道由M 1 运动到M 2，如图所示。 其重力P =m g 在直角坐标轴上的投影为 F x =0， F y =0， F z =-mg 重力作功为2 11212d ()z z W g z mg z z =-=-? 可见重力作功仅与质点运动开始和末了位置的高度差（z 1?z 2）有关，与运动轨迹的形状无关。 2、弹性力的功 2 21212()2 k W δδ= - 上式是计算弹性力作功的普遍公式。可见，弹性力的功只与弹簧始末位置的变形量δ有关，与力作用点A 的轨迹形状无关。 3、力对轴之矩的功 在力F 作用下，绕定轴转动的刚体。 力F 在作用点A 处的微小位移中所作的元功为 δd d d W F s F R ττ?=?==F r δ()d z W M ?=F 于是力F 在刚体从角1?到2?转动过程中作的功为 2 1 12()d z W M ???=?F 若力对轴的矩不变，则有

第13章 动能定理(邱)

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 第13章动能定理(邱) 理论力学习题集（ A ） 第十三章动能定理36 西华大学力学部第十三章动能定理 13-1 圆盘的半径 r=0.5m， 可绕水平轴 O 转动。 在绕过圆盘的绳上吊有两物块 A、B，质量分别为 m A =3 kg，m B =2 kg。 绳与盘之间没有相对滑动。 在圆盘上作用一力偶，力偶矩按 M=4 的规律变化（M 以 Nm 计， 以 rad 计）。 求由 =0 到 =2 时，力偶 M 与物块 A、B 的重力所作的功总和。 （答： 109.7 J） 13-2 13-2 一纯滚圆轮重 P，半径为 R 和 r， 拉力 F 与水平面成角，轮与支承水平面间的静摩擦因数为 f s ， 滚动摩擦系数为；求轮心 C 移动 s 过程中力 F 的全功。 (答： W=Fs (cos +r/R)- (P-Fsin )s/R ) 13-3 13-3 图示 坦克的履带质量为 m，两个车轮的质量均为 m 1 。 车轮可视为均质圆盘，半径为 R，两车轮轴间的距离为 R。 设坦克前进速度为 v，计算此质点系的动能。 (答： 1 / 8

T=(3m 1 +2m 2 )v 2 /2 ) 13-4 13-4 两个均质圆盘，质量相同，半径不同，静止平放于光滑水平面上。 如在此二盘上同时作用有相同的力偶，在下述情况下比较二圆盘的动量、动量矩和动能的大小。 （1）经过同样的时间；（2）转过相同的角度。 （答： 动量皆为零；（1）动量矩相同，动能不同；（2）动能相同，动量矩不同） 13-5 平面机构由两匀质杆 AB、BO 组成，两杆的质量均为 m，长度均为 L，在铅垂平面内运动。 在杆AB 上作用一不变的力偶矩 M，从图示位置由静止开始运动，不计摩擦。 求当杆端 A 即将碰到支座 O 时杆端 A 的速度。 （答： ）13-6 在图示滑轮组中悬挂两个重物，其中重物 I 的质量为 m 1 ，重物 II 的质量为 m 2 。 定滑轮 O 1 的半径为r 1 ，质量为 m 3 ；动滑轮 O 2 的半径为 r 2 ，质量为 m 4 。 两轮都视为均质圆盘。 如绳重和摩擦略去不计且绳与滑轮间不打滑，并设 m 2 2m 1 －m 4 。 求重物 II 由静止下降距离 h 时的速度。

13第十三章 动能定理

1 作用在质点上合力的功等于各分力的功的代数和。( ) 2 摩擦力总是作负功。( ) 3 力偶的功之正负号，决定于力偶的转向。( ) 4 图所示一质点与弹簧相连，在铅垂平面内的粗糙圆槽内滑动。若质点获得一初速0v 恰好使它在圆槽内滑动一周，则弹簧力的功为零；（ ）重力的功为零；（ ）法向反力的功为零（ ）摩擦力的功为零（ ） 5 作平面运动刚体的动能等于它随基点平动的动能和绕基点转动动能之和。 ( ) 6 内力不能改变质点系的动能。( ) 7 理想约束反力不做功。( ) 1 图示均质圆盘沿水平直线轨道作纯滚动，在盘心移动了距离s 的过程中，水平常力T F 的功 T A =（ ） ；轨道给圆轮的摩擦力f F 的功f A =（ ） A ．s F T ； Ｂ．s F T 2； Ｃ．-s F f ； Ｄ．-2s F f ； E.0。 2 图示坦克履带重P ，两轮合重Q 。车轮看成半径R 的均质圆盘，两轴间的距离为R 2。设坦克的前进速度为v ，此系统动能为（ ）

Ａ．222143Rv g P v g Q T π+=； Ｂ．224v g P v g Q T +=； Ｃ．222143v g P v g Q T += ； Ｄ．2243v g P v g Q T +=。 3 图示两均质轮的质量皆为m ，半径皆为R ，用不计质量的绳绕在一起，两轮角速度分别为1ω和2ω，则系统动能为 Ａ．()22212212121ωωR m mR T +?? ? ??=； Ｂ．22221221212121ωω?? ? ??+??? ??=mR mR T ； Ｃ．()222222122121212121ωωω?? ? ??++??? ??=mR R m mR T ； Ｄ．()2222212122121212121ωωωω??? ??+++??? ??= mR R R m mR T 。 4 半径为R ，质量为m 的匀质圆盘在其自身平面内作平面运动。在图示位置时，若已知图形上B A 、二点的速度方向如图所示。?=45α，且知B 点速度大小为B v ，则圆轮的动能为 Ａ．16/2B mv ； Ｂ．16/32 B mv ；

理论力学(机械工业出版社)第十二章动能定理习题解答

习 题 12–1 一刚度系数为k 的弹簧，放在倾角为θ的斜面上。弹簧的上端固定，下端与质量为m 的物块A 相连，图12-23所示为其平衡位置。如使重物A 从平衡位置向下沿斜面移动了距离s ，不计摩擦力，试求作用于重物A 上所有力的功的总和。 图12-23 ))((2 sin 2st 2 st s k s mg W +-+ ?=δδθ 2st 2 sin s k s k mgs --=δθ 22 s k -= 12–2 如图12-24所示，在半径为r 的卷筒上，作用一力偶矩M=a ?+b ?2 ，其中?为转角，a 和b 为常数。卷筒上的绳索拉动水平面上的重物B 。设重物B 的质量为m ，它与水平面之间的滑动摩擦因数为μ。不计绳索质量。当卷筒转过两圈时，试求作用于系统上所有力的功的总和。 图12-24 3 22π40 π3 64π8d )+ (d b a b a M W M + ===? ????? mgr r mg W F π4π4μμ-=?-= )3π16π6π(3 4 π4π364π8232mgr b a mgr b a W μμ-+=-+=∑ 12–3 均质杆OA 长l ，质量为m ，绕着球形铰链O 的铅垂轴以匀角速度ω转动，如图12-25所示。如杆与铅垂轴的夹角为θ，

试求杆的动能。 图12-25 x x l m x x l m v m E d )sin 2()sin )(d (21)(d 21d 2222k θωθω=== θωθω2220222k sin 6 1 d )sin 2(ml x x l m E l ?== 12–4 质量为m 1的滑块A 沿水平面以速度v 移动，质量为 m 2的物块B 沿滑块A 以相对速度u 滑下，如图12-26所示。试求 系统的动能。 图12-26 ])30sin ()30cos [(2 1 2 122221k ?++?+=u v u m v m E )30cos 2(212 122221?+++=uv v u m v m )3(2 1 2122221uv v u m v m +++= 12–5 如图12-27所示，滑块A 质量为m 1，在滑道内滑动，其上铰接一均质直杆AB ，杆AB 长为l ，质量为m 2。当AB 杆与铅垂线的夹角为?时，滑块A 的速度为A v ，杆AB 的角速度为ω。试求在该瞬时系统的动能。 图12-27 AB A E E E k k k += 22222221)12 1(21])sin 2()cos 2[(2121ω?ω?ωl m l l v m v m A A ++++= )12 1cos 41(212122222 221ω?ωωl lv l v m v m A A A ++++= )cos 3 1(2121222 221?ωωA A A lv l v m v m +++= 12–6 椭圆规尺在水平面内由曲柄带动，设曲柄和椭圆规

第五讲 质点系动能与刚体的动能(教师版)

第五讲 质点系动能与刚体的动能 2018.11.12 一、质点系的动能 由于在不同参考系中物体的速度不相同，所以在不同的参考系中物体的动能也一般不同，在同一问题中进行有关功和能的计算时，应选用同一惯性系。 质点系的动能，等于其中各质点动能之和。设质点系质心的速度为c v ，质点相对于质心速度为i v '， 则 c i i i c i i c i k v v m v v m v v m E ?'+'+='+=∑∑∑)()(2 1)(21222， 因为在质心系中质心总是静止不动的，∑='0i i v m ，所以质点系在某参考系中的动能等于质心的动能与在质心系中的动能之和： k c k E Mv E '+=22 1 其中M 是质点系的总质量，k E '为各质点相对于质心的总动能，这个结论称为柯尼希定理。 质点系的动能定理： 作用在质点系上所有外力和所有内力对质点所做功的代数和，等于质点系总动能的变化，即 ∑∑?=+k E W W 内外 注意：①对于质点系要考虑内力做功。只要质点间有相对位移，内力就会对质点做功； ②在计算功和能时必须选择同一参考系，且为惯性系。在非惯性系中应用动能定理，则应考虑惯性力做功。但在平动质心系中由于各质点所受惯性力可等效作用于质心，质心是静止不动的，因此在平动质心系中不需考虑惯性力做功。 二、刚体的动能 刚体绕定轴转动时，设刚体上任一质量元为i m ，它到转轴的距离为i r ，线速度为i v ，则刚体的动能为 22222 1)2121ωωi i i i i i k r m r m v m E ∑∑∑===（ 即 22 1ωI E k = 应当注意到，刚体在绕定轴转动时只有转动而没有平动，若一个既在平动也在绕过质心的转轴转动的刚体，它的动能可以由柯尼希定理求得 222 121ωI Mv E c k += 上式中，转动惯量I 为刚体绕过质心的转轴旋转的转动惯量，因此上式的适用范围为绕过质心的转轴旋转的刚体。 刚体的动能定理： 刚体是特殊的质点系，当然遵守质点系的动能定理。不过，由于刚体中任意两个质点间的距离不变，所以内力所做的功为零，因此刚体的动能定理可表述为 k E W ?=∑外 力矩做的功： θθτ?=?=??=M r F s F W 当刚体转动时，力所做的功等于该力对转轴的力矩与角位移的乘积，又叫力矩做的功，本质上仍是力做的功。 [例1]一个质量为m 的均匀薄圆环，半径为R ，在水平地面上以角速度ω做 纯滚动，求此时环的动能。 解法一：质点系动能等于各质点动能之和 解析：环上各点速度不等，为此可将环分为很多小份，分别求动能后， 再将其累加起来即可。 设环心速度为0v ，环上各点相对于环心速度为v '，因为环为纯滚

理论力学(12.8)--动能定理-思考题答案

第十二章 动能定理 答 案 12-1 可能。如：传送带上加速运动物体，水平方向上仅受到静摩擦力，静摩擦力做正功。 12-2 三者由A处抛出时，其动能与势能是相同的，落到水平面H - H 时，势能相同，动能必相等，因而其速度值是相等的，重力作功是相等的。然而，三者由抛出到落地的时间间隔各不相同，因而重力的冲量并不相等。 12-3 小球运动过程中没有力作功，小球动能不变，速度大小不变，其方向应与 细绳垂直，但对z轴的动量矩并不守恒。因为绳拉力对圆柱中心轴z有力矩 ，使小球对z轴的动量矩 减小。小球的速度总是与细绳垂直。 12-4 由于两人重量相同，因此整个系统对轮心的动量矩守恒；又由于系统初始静止，因此系统在任何时刻对轮心的动量矩都为零。由此可知，两人在任何时刻的速度大小和方向都相同。如果他们初始在同一高度，则同时到达上端。任何时刻两人的动能都相等。由于甲比乙更努力上爬，甲作的功多。 甲和乙的作用力都在细绳上，由于甲更努力上爬，因此甲手中的细绳将向下运动，同时甲向上运动。设乙仅仅是拉住细绳，与绳一起运动，其上升高度为h，又上爬h，甲肌肉作功为2F T h ，乙作功为零。如果乙也向上爬，相对细绳上爬高度为b，由于甲更努力上爬，有h>b，甲将细绳拉下h - b，又上爬h，甲肌肉作功为F T(2h - b)；乙作功为F T b。

针对某一个人而言，包括重力、绳拉力和内力做功。 12-5 质心的特殊意义体现在：质心运动定理，平面运动刚体动能的计算，平面运动刚体的运动微分方程等。 12-6 （1）动量相同，均为零；动量矩相同；动能不同。 （2）动量相同，均为零；动量矩不同；动能相同。 12-7 （1）重力的冲量相同； （2）应用动量矩定理，转动惯量越大，角加速度及质心的加速度越小，相同的时间，质心的路程越小，重力的功越小； （3）由于动能相同，转动惯量越大，质心的速度越小，动量越小； （4）到达底部时，重力做功相同，动能相同。 （5）随着转动惯量的增加，对各自质心的动量矩增加。 12-8 （1）重力的冲量相同； （2）重力的功由大到小次序为球、圆柱、厚壁筒、薄壁筒； （3）动量由大到小同次序（2）； （4）动能由大到小同次序（2）； （5）对各自质心的动量矩由大到小的次序与（2）相反。 12-9 （1）两盘质心同时到达底部。 （2）A．两盘重力冲量相等。 B．两盘动量相等。 C．两盘动能相等。 D．大盘对质心动量矩较大。

理论力学(12.7)--动能定理-思考题

第十二章 动能定理 12-1 摩擦力可能做正功吗？举例说明。 12-2 三个质量相同的质点，同时由点A 以大小相同的初速度0v 抛出，但其方向 各不相同，如图所示。如不计空气阻力，这三个质点落到水平面 H - H 时，三者的速度大小是否相等? 三者重力的功是否相等?三者重力的冲量是否相等? 12-3 小球连一不可伸缩的细绳，绳绕于半径为R 的圆柱上，如图所示。如小球 在光滑面上运动，初始速度0v 垂直于细绳。问小球在以后的运动中动能不变吗?对圆柱中心轴的动量矩守恒吗? 小球的速度总是与细绳垂直吗?

12-4 甲乙两人重量相同，沿绕过无重滑轮的细绳，由静止起同时向上爬升，如甲比乙更努力上爬，问：（1）谁先到达上端？（2）谁的动能最大？（3）谁作的功多？（4）如何对甲、乙两人分别应用动能定理？ 12-5 试总结质心在质点系动力学中有什么特殊的意义。 12-6 两个均质圆盘，质量相同，半径不同，静止平放于光滑水平面上。如在此二盘上同时作用有相同的力偶，在下述情况下比较二圆盘的动量、动量矩和动能的大小。（1）经过同样的时间间隔：（2）转过同样的角度。 12-7 质量、半径均相同的均质球、圆柱体、厚圆筒和薄圆筒，同时由静止开始，从同一高度沿完全相同的斜面在重力作用下向下作纯滚动。 （1）由初始至时间t，重力的冲量是否相同？ （2）由初始至时间t，重力的功是否相同？ （3）到达底部瞬时，动量是否相同？

（4）到达底部瞬时，动能是否相同？ （5）到达底部瞬时，对各自质心的动量矩是否相同？ 对上面各问题，若认为不相同，则必须将其由大到小排列。 12-8 在上题中，若从静止开始，各物体沿完全相同的斜面向下作纯滚动，经过完全相同的时间t，试回答上题中提出的五个问题。 12-9 两个均质圆盘质量相同，A盘半径为R，B盘半径为r，且R>r。两盘由同一时刻，从同一高度无初速的沿完全相同的斜面在重力作用下向下作纯滚动。（1）哪个圆盘先到达底部？ （2）比较这两个圆盘： A.由初始至到达底部，哪个圆盘受重力冲量较大？ B.到达底部瞬时，哪个动量较大？ C.到达底部瞬时，哪个动能较大? D. 到达底部瞬时，哪个圆盘对质心的动量矩较大？ 12-10两个质量、半径都完全相同的均质圆盘A，B，盘A上缠绕无重细绳，在绳端作用力F，轮B在质心处作用力F，两力相等，且都与斜面平行，如图所

理论力学沈阳建筑大学n第十三章动能定理

第十三章 动能定理 O 转动。在绕过圆盘的绳上吊有两物块A ，B ，质。绳与盘之间无相对滑动。在圆盘上作用一力偶，力偶矩按 以N ·m 计，?以rad 计） 。求0=?到π?2=时，力偶M 与 ()2109.7M A B 2A B 0 W W W W 4d m m g r J π ??π=++= ?+-=? 13-2 图示坦克的履带质量为m ，两个车轮的质量均为1m ，车轮视为均质盘，半径为Ｒ，两车轮轴间距离为R π．设坦克前进速度为v ，计算此质点系的动能。 解： 1. 先研究车轮，车轮作平面运动，角速度 R v = ω；两车轮的动能为 212212112 3 2121212v m R m v m T =??? ???+?=ω 图13-2

2. 再研究坦克履带，AB 部分动能为零， CD 部分为平动，其速度为2v ；圆弧 AD 与BC 部分和起来可视为一平面 运动圆环，环心速度为v ，角速度为R v =ω ， 则履带的动能为 ()222222222 22 212212421v m R m v m v m T =++= ω 3. 此质点系的动能为 ()22121232 1 v m m T T T += += 13-3题 解：P 为B 运动的瞬心，以B 则：a e r v v v =+ 且：,,r e a B v r v v v v ω=== 故：B e r v v v v r ω=+=+ 则该系统的动能为： 222 2222 111222 111 ()242 B B T mv J Mv m v r mr Mv ωωω=++=+++ 13-4均质连杆AB 质量为4kg ，长l=600mm 。均质圆盘质量为6kg ，半径r=100mm 。弹 簧刚度为k=2 N/mm ，不计套筒A 及弹簧的质量。如连杆在图示位置被无初速释放后，A 端沿光滑杆滑下，圆盘做纯滚动。求：（1）当AB 达水平位置而接触弹簧时，圆盘与连杆的角速度；（2）弹簧的最大压缩量δ。 图13-3 r v e v

第13章 动能定理(邱)

第十三章动能定理 13-1圆盘的半径r=0.5m，可绕水平轴O转动。在绕过圆盘的绳上吊有两物块A、B，质量分别为m A=3 kg，m B=2 kg。绳与盘之间没有相对滑动。在圆盘上作用一力偶，力偶矩按M=4φ的规律变化（M以N·m计，φ以rad计）。求由φ=0到φ=2π时，力偶M与物块A、B的重力所作的功总和。（答：109.7 J） 13-2一纯滚圆轮重P，半径为R和r，拉力F与水平面成θ角，轮与支承水平面间的静摩擦因数为f s，滚动摩擦系数为δ；求轮心C移动s过程中力F的全功。(答：W=Fs (cos θ+r/R)-δ(P-Fsin θ)s/R ) 13-3图示坦克的履带质量为m，两个车轮的质量均为m1。车轮可视为均质圆盘，半径为R，两车轮轴间的距离为πR。设坦克前进速度为v，计算此质点系的动能。(答：T=(3m1+2m2)v2/2 ) 13-4两个均质圆盘，质量相同，半径不同，静止平放于光滑水平面上。如在此二盘上同时作用有相同的力偶，在下述情况下比较二圆盘的动量、动量矩和动能的大小。（1）经过同样的时间；（2）转过相同的角度。（答：动量皆为零；（1）动量矩相同，动能不同；（2）动能相同，动量矩不同）

13-5 平面机构由两匀质杆AB 、BO 组成，两杆的质量均为m ，长度均为L ，在铅垂平面内运动。在杆AB 上作用一不变的力偶矩M ，从图示位置由静止开始运动，不计摩擦。求当杆端A 即将碰到支座O 时杆端A 的速度。（答：()[]m mgL M v A θθcos 13--= ） 13-6 在图示滑轮组中悬挂两个重物，其中重物I 的质量为m 1，重物II 的质量为m 2。定滑轮O 1的半径为r 1，质量为m 3；动滑轮O 2的半径为r 2，质量为m 4。两轮都视为均质圆盘。如绳重和摩擦略去不计且绳与滑轮间不打滑，并设m 2>2m 1－m 4。求重物II 由静止下降距离h 时的速度。 （答：()4 3214122342824m m m m m m m gh v ++++-=）

第十三章第一节课后达标检测编辑版

说练促学拣补短板 一、选择题 1 ?从同样高度落下的玻璃杯，掉在水泥地上容易打碎，而掉在草地上不容易打碎，其 原因是（ ） A ?掉在水泥地上的玻璃杯动量小，而掉在草地上的玻璃杯动量大 B .掉在水泥地上的玻璃杯动量改变小，掉在草地上的玻璃杯动量改变大 C. 掉在水泥地上的玻璃杯动量改变大，掉在草地上的玻璃杯动量改变小 D. 掉在水泥地上的玻璃杯与地面接触时作用力大，而掉在草地上的玻璃杯与地面接触 时作用力小 解析：选D.玻璃杯从同样高度落下，到达地面时具有相同的速度，即具有相同的动量， 与地面相互作用后都静止?所以两种地面的情况中玻璃杯动量的改变量相同，故 A 、B 、C 错误；落在水泥地上时，作用时间短，故作用力大，落在草地上时，作用时间长，故作用力 小，故D 正确. 2?—颗子弹水平射入置于光滑水平面上的木块 A 并留在其中，A 、B 用一根弹性良好的 轻质弹簧连在一起，如图所示?则在子弹打击木块 A 及弹簧被压缩的过程中，对子弹、两 木块和弹簧组成的系统（ ） A B 口 厂 A .动量守恒，机械能守恒 B .动量不守恒，机械能守恒 C .动量守恒，机械能不守恒 D .无法判定动量、机械能是否守恒 解析：选C.动量守恒的条件是系统不受外力或所受外力之和为零，本题中子弹、木块、 弹簧组成的系统，水平方向上不受外力， 竖直方向上受合外力之和为零，所以动量守恒.机 械能守恒的条件是系统除重力、 弹力做功外，其他力对系统不做功，本题中子弹穿入木块瞬 间有部分机械能转化为内能 （发热），所以系统的机械能不守恒.故 C 选项正确.A 、B 、D 错误. 3. （2015泉州检测）有一个质量 为3m 的爆竹斜向上抛出，到达最高点时速度大小为 V o 、 方向水平向东，在最高点爆炸成质量不等的两块，其中一块质量为 2m ,速度大小为 v ,方 向水平向东，则另一块的速度是 （ ） A . 3v o — v B . 2v o — 3v C . 3v o — 2v D . 2v °+ v 解析：选C.在最高点水平方向动量守恒，由动量守恒定律可知， 3mv o = 2mv + mv ', 可得另一块的速度为 v ' = 3v o — 2v ，对比各选项可知，答案选 C. 4. （2oi4高考福建卷）一枚火箭搭载着卫星以速率 v o 进入太空预定位置，由控制系统使 箭体与卫星分离.已知前部分的卫星质量为 m !，后部分的箭体质量为 m 2,分离后箭体以速 率v 2沿火箭原方向飞行，若忽略空气阻力及分离前后系统质量的变化，则分离后卫星的速 率v !为（ ） 巧 ■ 裁卫 .V|］ ____ ■ 空匸口 兰匚口 .一 m 2 . m 2z 、 C . v o — v 2 D . v o + (v o — v 2) m i m i 解析：选D.对火箭和卫星由动量守恒定律得 (m i + m 2)v o = m 2v 2+ m i v i 解得 v i = mi + m2 vo — m2v2 =v o + 业(v o — v 2). m i m i 故选D. 5. （2oi5北京西城区模拟）i966 年,在地球的上空完成了用动力学方法测质量的实验. 课后达标检测 A . v o — v 2 B . v o + v 2

第13章动能定理习题答案

第13章 动能定理 13-1 圆盘的半径r = 0.5 m ，可绕水平轴O 转动。在绕过圆盘的绳上吊有两物块A 、B ，质量分别为m A = 3 kg ，m B = 2 kg 。绳与盘之间无相对滑动。在圆盘上作用一力偶，力偶矩按?4=M 的规律变化（M 以m N ?计，?以rad 计）。试求由π20==??到时，力偶M 与物块A 、B 重力所作的功之总和。 解：作功力M ，m A g ，m B g J 1105.0π28.91π8π2)(π8π2)(d 40 π 222=???+=?-+=?-+=? r g m m r g m m W B A B A ?? 13-3 图示坦克的履带质量为m ，两个车轮的质量均为m 1。车轮被看成均质圆盘，半径为R ，两车轮间的距离为R π。设坦克前进速度为v ，试计算此质点系的动能。 解：系统的动能为履带动能和车轮动能之和。将履带分为四部分，如图所示。 履带动能： IV III II I 2 2 1T T T T v m T i i +++=∑=履 由于v v v 2,0IV 1==，且由于每部分履带长度均为R π，因此 2 22 IV IV IV 2 I I I IV III II I 2 )2(421210214 v m v m v m T v m T m m m m m =?==== ==== II 、III 段可合并看作一滚环，其质量为2m ，转动惯量为2 2 R m J =，质心速度为v ，角 速度为R v =ω 则 2 22222222 2III II 2 202221421221mv v m v m T v m R v R m mv J v m T T =++==??+=+?=+履ω 轮动能 21222121123 2212 22v m R v R m v m T T =????????+==轮轮 则系统动能 212 2 3 v m mv T T T + =+=轮履 13-5 自动弹射器如图放置，弹簧在未受力时的长度为200 mm ，恰好等于筒长。欲使弹簧改变10 mm ，需力2 N 。如弹簧被压缩到100 mm ，然后让质量为30 g 的小球自弹射器中射

动能定理

1定理内容 概念 动能具有瞬时性，是指力在一个过程中对物体所做的功等于在这个过程中动能的变化。动能是状态量，无负值。 合外力(物体所受的外力的总和，根据方向以及受力大小通过正交法[1]能计算出物体最终的合力方向及大小) 对物体所做的功等于物体动能的变化。即末动能减初动能。 表达式 其中，Ek2表示物体的末动能，Ek1表示物体的初动能。△W是动能的变化，又称动能的增量，也表示合外力对物体做的总功。 1.动能定理研究的对象是单一的物体，或者是可以堪称单一物体的物体系。 2.动能定理的计算式是等式，一般以地面为参考系。 3.动能定理适用于物体的直线运动，也适应于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功；力可以是分段作用，也可以是同时作用，只要可以求出各个力的正负代数和即可，这就是动能定理的优越性。 2定理1 内容 质点系所有外力做功之和加上所有内力做功之和等于质点系总动能的改变量。 和质点动能定理一样，质点系动能定理只适用于惯性系，因为外力对质点系做功与参照系选择有关，而内力做功却与选择的参照系无关，因为力总是成对出现的，一对作用力和反作用力（内力）所做功代数和取决于相对位移，而相对位移与选择的参照系无关。 动能定理的内容：所有外力对物体总功，（也叫做合外力的功）等于物体的动能的变化。

动能定理的数学表达式： 动能定理只适用于宏观低速的情况，因为在相对论中F=ma是不成立的[1]，质量随速度改变。而动量定理可适用于世界上任何情况。（前提是系统中外力之和为0） 物体由于运动而具有的能量. 用Ek表示。 表达式： ，动能是标量也是状态量。 单位：焦耳(J) 1kg*m^2/s^2 = 1J (2) 动能定理内容:合外力做的功等于物体动能的变化。 表达式： 适用范围 恒力做功、变力做功、分段做功、全程做功等均可适用。 动量定理与动能定理的区别 动量定理Ft=mv2-mv1反映了力对时间的累积效应，是力在时间上的积分。 动能定理Fs=1/2mv^2-1/2mv0^2反映了力对空间的累积效应，是力在空间上的积分。 3质点 内容：合外力做功等于物体动能的增量. 表达式：△W=△Ep 1.定理的使用对象是质点. 2.合外力的求法符合平行四边形法则.

工程力学-结构力学课件-13动能定理p

13-1、圆盘的半径r =0.5m ，可绕水平轴O 转动。在绕过圆盘的绳子上吊有两物块A ，B ，质量分别为m A =3kg ，m B =2kg 。绳子与盘之间无相对滑动。在圆盘上作用一力偶，力偶矩按M =4?的规律变化（M 以N ·m 计，?以rad 计）。求由?=0到?=2π时，力偶M 与物块A,B 的重力所作的功之和。 题13-1图 13-2、用跨过滑轮的绳子牵引质量为2kg 的滑块A 沿倾角为300的光滑斜槽运动。设绳子拉力F =20N 。计算滑块由位置A 到位置B 时重力与拉力F 所作的总功。 题13-2图

13-3、图示坦克的履带质量为m ，两个车轮的质量均为m 1。车轮可视为均质圆盘，半径为R ，两车轮轴间的距离为πR 。设坦克前进速度为v 0，计算此质点系的动能。 题13-3图 13-4、长为l ，质量为m 的均质杆OA 以球铰链O 固定，并以等角速度ω 绕铅直线转动，如图所示。如杆与前直线的交角为θ，求杆的动能。 题13-4图 A

题13-5图13-6、图示冲床冲压工件时冲头受的平均工 转动惯量J=40k g·m2，转速n=415r/min。假 定冲压工件所需的全部能量都由飞轮供给， 计算冲压结束后飞轮的转速。 题13-6图

题13-7图 13-8、链条全长l =1(m )，单位长度的质量为 ρ＝2（kg /m ），悬挂在半径R=0.1m ，质量m =1kg 的滑轮上，在图示位置受扰动由静止开始下落。设链条与滑轮无相对滑动，滑轮为均质圆盘，求链子离开滑轮时的速度。 题13-8图

13-9、在图示滑轮组中悬挂两个重物，其中重物Ⅰ的质量为m 1，重物Ⅱ的质量为m 2。定滑轮O 1的半径为r 1，质量为m 3；动滑轮O 2的半径为r 2，质量为m 4。两轮都视为均质圆盘。如绳子重量和摩擦略去不计。并设m 2>2m 1-m 4。求重物Ⅱ由静止下降距离h 时的速度。 13-10、两个质量均为m 2的物体用绳子连接，此绳跨过滑轮O ，如图所示。在左方物体上放有一带孔的薄圆板，而在右方物体上放有两个相同的圆板，圆板的质量均为m 1。此质点系统由静止开始运动，当右方物体和圆板落下距离x 1时，重物通过一固定圆环板，而其上质量为2m 1的薄板则被搁住。摩擦和滑轮质量不计。如该重物继续下降了距离x 2时速度为零，求x 2与x 1的比。 题13-10图 m 12

13动能定理

第13章 动能定理 13-1 圆盘的半径r = 0.5 m ，可绕水平轴O 转动。在绕过圆盘的绳上吊有两物块A 、B ，质量分别为m A = 3 kg ，m B = 2 kg 。绳与盘之间无相对滑动。在圆盘上作用一力偶，力偶矩按 ?4=M 的规律变化（M 以m N ?计，?以rad 计） 。试求由π20==??到时，力偶M 与物块A 、B 重力所作的功之总和。 解：作功力M ，m A g ，m B g J 1105.0π28.91π8π2)(π8π2)(d 40 π222=???+=?-+=?-+=?r g m m r g m m W B A B A ?? 13-3 图示坦克的履带质量为m ，两个车轮的质量均为m 1。车轮被看成均质圆盘，半径为R ，两车轮间的距离为R π。设坦克前进速度为v ，试计算此质点系的动能。 解：系统的动能为履带动能和车轮动能之和。将履带分为四部分，如图所示。 履带动能： IV III II I 2 21T T T T v m T i i +++=∑=履 由于v v v 2,0IV 1==，且由于每部分履带长度均为R π，因此 2 22IV IV IV 2I I I IV III II I 2 )2(4212102 14v m v m v m T v m T m m m m m =?===== === II 、III 段可合并看作一滚环，其质量为2m ，转动惯量为22 R m J =，质心速度为v ，角速度为R v =ω 则 2222222222III II 2 202221421221mv v m v m T v m R v R m mv J v m T T =++==??+=+?=+履ω 轮动能 212221211232212 22v m R v R m v m T T =????????+==轮轮 则系统动能 2122 3v m mv T T T +=+=轮履 13-5 自动弹射器如图放置，弹簧在未受力时的长度为200 mm ，恰好等于筒长。欲使弹簧改变10 mm ，需力2 N 。如弹簧被压缩到100 mm ，然后让质量为30 g 的小球自弹射器中射出。求小球离开弹射器筒口时的速度。 解：由题意得弹簧的刚度系数为

动参考系中质点系的动量矩定理和动能定理的讨论

动参考系中质点系的动量矩定理和动能定理的讨论 在理论力学学中，由牛顿定律22d d m t =r F ，通过积分导出了质点对固定点O 的动量矩定 理 d ()d O m t ?=?=r v r F M 将该式用于质点系中的每一个质点i m ，求和并去掉成对出现的内力系对点O 的主矩，得 d ()d e i i i i i m t ?=?∑∑r v r F 或 d d e O O t =L M 即质点系相对于固定点O 的动量矩对时间的一阶导数等于作用在该质点系上外力系对同一点的主矩。这就是质点系对固定点动量矩定理的微分形式。 类比d d t =r v ，有d d O t =L u 。其中，u 为定位矢量O L 的矢端 速度。代入式(44)，得 e O =u M 式为质点系动量矩定理的几何解释式，称为赖柴定理，即质点系对任一固定点的动量矩矢端速度，等于外力对同一点的主矩。 问题 如图所示，长为l ，质量为m 的均质细长杆的质心O 处与定轴AB 固结，AB l =，倾斜角为θ，定轴以匀角速度ω转 动时，求支座A ，B 处动约束力。 答 因AB 非细长杆主轴，先将ω沿杆的主轴正交分解，因杆细长，可忽略2ω方向的动量矩。则细杆对O 点动量矩大小为 2 1sin 12O L ml ωθ= ，方向如图所示，且垂直于杆。 由于d d e O O t = =L u M ，而cos O u L ωθ=，故 2 21sin cos sin 21224e O A B ml M ml F F l l ωθωθωθ ==== 按右手法则确定,A B F F 方向，如图所示(此时,,A B O F F L 共面)。 思考 ①若考虑问题中沿杆轴方向的动量矩，结果有何变化？ ②若杆与轴的固结点偏离质心O ，结果又怎样？ ③若将均质细杆换为均质圆盘或矩形板，如何求解？ 2 积分形式 将(44)式两边对时间t 求定积分得 2 1 21 d t e O O O t t -=?L L M 式表明：质点系对任一固定点的动量矩在某一时间间隔内的改变量， 等于在同一时间内各外 问题图