状态方程的研究进展
状态方程的研究进展
在化工，机械，医药，油田等行业中，要经常使用状态方程进行计算，但是状态方程大都是半理论、半经验的关系式，都有一定的使用范围，因此对于状态方程的学习和研究是很有必要的。
1、状态方程的分类
通过状态方程中参数的个数可以分为：二参数状态方程，三参数状态方程，四参数状态方程，多参数状态方程。
2、状态方程的发展
4状态方程的变形及其编程应用
5余函数状态方程
5.1实际流体的余焓方程
5.2实际气体的余熵函数
5.3实际气体的其他余函数
6混合气体逸度函数
心得体会：
通过完成本次作业，明显感到自己在学习方面存在着很多不足，需要在今后的学习中不断地改进。首先是对一些基本的物理概念，认识比较肤浅，只停留在一些很局限的范围内，缺乏全面的实质的了解。其次在不了解新的知识领域的情况下，不自觉的将一些困难放大，造成心理上的负担。这些不足之处需要在今后的学习中不断地克服，改进。
同时，也通过本次作业得到了很多的收获。首先是学会了如何灵活的应用学校图书馆的资源，来解决一些问题。例如快速的从文献中得到需要的知识。其次，把计算机软件方面的知识，由书本阶段提升到了实际的编程应用阶段，得到了质的飞越，从而对计算机的应用越来越感兴趣。
参考文献
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控制系统状态方程求解
第2章 控制系统的状态方程求解 要点： ① 线性定常状态方程的解 ② 状态转移矩阵的求法 ③ 离散系统状态方程的解 难点： ① 状态转移矩阵的求法 ② 非齐次状态方程的解 一 线性定常系统状态方程的解 1 齐次状态方程的解 考虑n 阶线性定常齐次方程 ? ? ?==0)0()()(x x t Ax t x & （2-1） 的解。 先复习标量微分方程的解。设标量微分方程为 ? ??==0)0(x x ax x & （2-2） 对式（2-2）取拉氏变换得 )()(0s aX X s sX =- 移项 0)()(x s X a s =- 则 a s x s X -= )(
取拉氏反变换，得 00 0!)()(x k at x e t x k k at ∑∞ === 标量微分方程可以认为是矩阵微分方程当n=1时的特征，因此矩阵微分方程的解与标量微分方程应具有形式的不变性，由此得如下定理： 定理2-1 n 阶线性定常齐次状态方程（2-1）的解为 00 0!)()(x k At x e t x k k At ∑∞ === （2-3） 式中，∑∞ ==0 !)(k k At k At e 推论2-1 n 阶线性定常齐次状态方程 ???==00 )()()(x t x t Ax t x & （2-4） 的解为 0)(0 )(x e t x t t A -= （2-5） 齐次状态方程解的物理意义是)(0 t t A e -将系统从初始时刻0t 的初始 状态0x 转移到t 时刻的状态)(t x 。故)(0 t t A e -又称为定常系统的状态转移 矩阵。 (状态转移矩阵有四种求法：即定义（矩阵指数定义）法、拉氏反变换法、特征向量法和凯来-哈密顿（Cayly-Hamilton ）法) 从上面得到两个等式 ∑∞ ==0 !)(k k At k At e ])[(11---=A sI L e At 其中，第一式为矩阵指数定义式，第二式可为At e 的频域求法或拉氏反变换法
第三章线性系统状态方程的解
第三章 系统的分析——状态方程的解 §3-1线性连续定常齐次方程求解 一、齐次方程和状态转移矩阵的定义 １、齐次方程 状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统的状态方程的齐次部分为： )()(t Ax t x =& 线性定常连续系统： Ax x =& 初始条件：00x x t == ２、状态转移矩阵的定义 齐次状态方程Ax x =&有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。其解为 )0()(x e t x At ?=。其中At e 称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为： At e t =)(φ。 若初始条件为)(0t x ，则状态转移矩阵记为：) (0 0)(t t A e t t -=-Φ 对于线性时变系统，状态转移矩阵写为),(0t t φ，它是时刻t ，t 0的函数。但它一般不能写成指数形式。 （１）幂级数法——直接求解 设Ax x =&的解是t 的向量幂级数 Λ ΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b t x 2210)( 式中ΛΛ，，， ，，k b b b b 210都是n 维向量，是待定系数。则当0=t 时， 000b x x t === 为了求其余各系数，将)(t x 求导，并代入)()(t Ax t x =&，得： Λ ΛΛΛ&+++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x )(2210ΛΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b A
上式对于所有的t 都成立，故而有： ????? ??????======00 3 230 21201!1!31312121b A k b b A Ab b b A Ab b Ab b K K M 且有：00x b = 故以上系数完全确定，所以有： Λ ΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b t x 2210)( ΛΛ++++ +=k k t b A k t b A t Ab b 020200! 1 !21 )0()! 1!21(22x t A k t A At I k k ΛΛ+++++= 定义（矩阵指数或矩阵函数）： ∑∞==+++++=022! 1!1!21K k k k k At t A k t A k t A At I e ΛΛ 则 )0()(x e t x At ?=。 （２）拉氏变换解法 将Ax x =&两端取拉氏变换，有 )()0()(s AX X s sX =- )0()()(X s X A sI =- )0()()(1X A sI s X ?-=- 拉氏反变换，有 )0(])[()(1 1x A sI L t x ?-=--
系统的状态方程
第2章 系统的状态空间描述 输入输出：可测量，欠全面 §2.1 基本概念 例2.1 密封水箱 1 ()(),y t x t μ = 1 d [()()]d [()()]d c x u t y t t u t x t t μ ?=-?=-? 即 μ 2 (m ) c 3 ()(m /s)u t 3 ()(m /s)y t ()(m) x t
11 ()()()x t x t u t c c μ'=-+. 解 t t c c x t x u c 001()e ()e d τμμττ- ??=+ ? ??? ?. 若()u t r ≡, 则 0()e 1e ,()t t c c x t x r r t μμμμ--??=+-?→∞ ? ? ??, 若想()x h ∞=, 只要()h u t μ =.
例2.2 LRC 123()()();i t i t i t =+ ()()()()()L R L C u t v t v t v t v t =+=+ 选1()()C i t v t 和； 则： 1 1()()()1()()()C C C Li t v t u t Cv t i t v t R '=-+???'?=-? 其余 2()()/, C i t v t R = ()()(),()(). L C R C v t u t v t v t v t =-=)(t v C ) (t v L L R C )(1t i )(t u )(2t i )(3t i 2.2 图
1. 系统的状态变量 状态变量: 完全表征系统,个数最少的一组变量 未来()x t ：由0()x t 和0t t ≥的()u t 完全确定. 对定常, 常取00t =. 2. 状态向量和状态空间 状态向量：12()(),(),()T n x t x t x t x t =???? 状态空间：()x t 取值范围 状态轨线：()x t 的轨迹(无时间轴) 3．几点说明
第二节流体流动的基本方程式
第二节 流体流动的基本方程式 化工厂中流体大多是沿密闭的管道流动，液体从低位流到高位或从低压流到高压，需要输送设备对液体提供能量；从高位槽向设备输送一定量的料液时，高位槽所需的安装高度等问题，都是在流体输送过程中经常遇到的。要解决这些问题，必须找出流体在管内的流动规律。反映流体流动规律的有连续性方程式与柏努利方程式。 1-2-1 流量与流速 一、流量 单位时间内流过管道任一截面的流体量称为流量。若流体量用体积来计量，称为体积流量，以V s 表示，其单位为m 3/s ；若流体量用质量来计量，则称为质量流量，以w s 表示，其单位为kg/s 。 体积流量与质量流量的关系为： w s =V s ·ρ (1-16) 式中 ρ——流体的密度，kg/m 3。 二、流速 单位时间内流体在流动方向上所流经的距离称为流速。以u 表示，其单位为m/s 。 实验表明，流体流经管道任一截面上各点的流速沿管径而变化，即在管截面中心处为最大，越靠近管壁流速将越小，在管壁处的流速为零。流体在管截面上的速度分布规律较为复杂，在工程计算中为简便起见，流体的流速通常指整个管截面上的平均流速，其表达式为： A V u s = （1-17） 式中 A ——与流动方向相垂直的管道截面积，m 2。 流量与流速的关系为： w s =V s ρ=uA ρ （1-18） 由于气体的体积流量随温度和压强而变化，因而气体的流速亦随之而变。因此采用质量流速就较为方便。 质量流速，单位时间内流体流过管路截面积的质量，以G 表示，其表达式为： ρρu A V A w G s s === （1-19） 式中 G ——质量流速，亦称质量通量；kg/（m 2·s ）。 必须指出，任何一个平均值都不能全面代表一个物理量的分布。式1-17所表示的平均流速在流量方面与实际的速度分布是等效的，但在其它方面则并不等效。 一般管道的截面均为圆形，若以d 表示管道内径，则 2 4d V u s π= 于是 u V d s π4= （1-20） 流体输送管路的直径可根据流量及流速进行计算。流量一般为生产任务所决定，而合理
求解系统的状态方程
求解系统的状态方程 一、实验设备 PC计算机，MATLAB软件，控制理论实验台 二、实验目的 (1)掌握状态转移矩阵的概念。学会用MATLAB求解状态转移矩阵 (2)学习系统齐次、非齐次状态方程求解的方法，计算矩阵指数，求状态响应； (3)通过编程、上机调试，掌握求解系统状态方程的方法，学会绘制输出响应和状态响应曲线； (4)掌握利用MATLAB导出连续状态空间模型的离散化模型的方法。 三、实验原理及相关基础 (1)参考教材P99~101“3.8利用MATLAB求解系统的状态方程” (2)MATLAB现代控制理论仿真实验基础 （3）控制理论实验台使用指导 四、实验内容 (1)求下列系统矩阵A对应的状态转移矩阵 （a）
（b） 代码： syms lambda A=[lambda 0 0;0 lambda 0;0 0 lambda];syms t;f=expm(A*t) （c） 代码： syms t;syms lambda;A=[lambda 0 0 0;0 lambda 1 0;0 0 lambda 1;0 0 0 lambda];f=expm(A*t) (2) 已知系统
a) 用MATLAB求状态方程的解析解。选择时间向量t，绘制系统的状态响应曲线。观察并记录这些曲线。 （1） 代码： A=[0 1; -2 -3]; B=[3;0]; C=[1 1]; D=[0]; u=1; syms t; f=expm(A*t);%状态转移矩阵 x0=0; s1=f*B*u; s2=int(s1,t,0,t)%状态方程解析解 状态曲线： （2）A=[0 1;-2 -3]; syms t; f=expm(A*t); X0=[1;0]; t=[0:0.5:10]; for i=1:length(t); g(i)=double(subs(f(1),t(i))); end plot(t,g)
利用 MATLAB 求解系统的状态方程
实验报告 实验名称利用 MATLAB 求解系统的状态方程 系统的能控性、能观测性分析 系专业班 姓名学号授课老师 预定时间2014-5-28实验时间实验台号14 一、目的要求 掌握状态转移矩阵的概念。学会用 MATLAB求解状态转移矩阵。 掌握求解系统状态方程的方法，学会绘制状态响应曲线； 掌握线性系统状态方程解的结构。学会用 MATLAB 求解线性定常系统的状态响应和输出响应，并绘制相应曲线。 掌握能控性和能观测性的概念。学会用 MATLAB 判断能控性和能观测性。 掌握系统的结构分解。学会用 MATLAB 进行结构分解。 掌握最小实现的概念。学会用 MATLAB 求最小实现。 二、原理简述 线性定常连续系统的状态转移矩阵为。 函数 step( ) 可直接求取线性连续系统的单位阶跃响应。 函数 impulse( ) 可直接求取线性系统的单位脉冲响应。 函数 lsim( ) 可直接求取线性系统在任意输入信号作用下的响应。 函数 initial( ) 可求解系统的零输入响应。 n 阶线性定常连续或离散系统状态完全能控的充分必要条件是：能控性
的秩为 n。 线性定常连续或离散系统输出能控的充分必要条件是：矩阵 的秩为m。 n 阶线性定常连续或离散系统状态完全能观测的充分必要条件是：能观测性矩阵 的秩为 n。 三、仪器设备 PC 计算机，MATLAB 软件 四、内容步骤 题2.1 A=[0 1;-2 -3];B=[3;0];C=[1 1];D=0; G=ss(A,B,C,D); t=0.5; p=expm(A*t) u1=0;x10=[1;-1]; [y1o,t,x1o]=initial(G,x10,t) t2=0:0.5:10;x20=[0;0];u2=ones(size(t2)); [y2,t2,x2]=lsim(G,u2,t2); plot(t2,x2,':',t2,y2,'-')
流体的PVT关系和状态方程
流体的P-V-T关系和状态方程 教学目的要求 能熟练掌握流体（特别是气体）的各种类型的P、V、T 关系（包括状态方程法和对应状态法）及其应用、优缺点和应用范围。 定性认识流体P-V-T 行为； 掌握描述流体P-V-T 关系的模型化方法，了解几种常见的状态方程； 掌握对比态原理和普遍化状态方程 掌握计算真实气体混合物P-V-T 关系的方法，并会进行计算。 了解液体的P-V-T关系 教学内容 在化工过程的分析、研究与设计中，流体的压力p、体积V 和温度T 是流体最基本的性质之一，并且是可以通过实验直接测量的。而许多其它的热力学性质如内能U、熵S、Gibbs自由能G 等都不方便直接测量，它们需要利用流体的p –V –T 数据和热力学基本关系式进行推算。因此，流体的p –V –T 关系的研究是一项重要的基础工作。 纯流体的P-V-T关系 气体的状态方程 对应态原理和普遍化关联式 真实气体混合物的P-V-T关系 液体的P-V-T关系 状态方程的比较、选用和应用 纯流体的P-V-T关系 纯物质在平衡态下的p –V –T 关系，可以表示为三维曲面，如 图2－1。
曲面上分单相区及两相共存区。曲线AC 和BC 代表汽液共存的边界线，它们相交于点C，C 点是纯物质的临界点，它所对应的温度、压力和摩尔体积分别称为临界温度Tc、临界压力pc 和临界体积Vc。 将p –V –T 曲面投影到平面上，则可以得到二维图形。图2－2 和 2－3 分别为图2－1投影出的p –T 图和p –V 图。 图2－2 纯物质的p –T 图图2－3 纯物质的p –V 图 图 2－2 中的三条相平衡曲线：升华线、熔化线和汽化线，三线的交点是三相点。高于临界温度和压力的流体称为超临界流体，简称流体。如图2－2，从A 点到B 点，即从液体到汽体，没有穿过相界面，即是渐变的过程，不存在突发的相变。超临界流体的性质非常特殊，既不同于液体，又不同于气体，可作为特殊的萃取溶剂和反应介质。近些年来，利用超临界流体特殊性质开发的超临界分离技术和反应技术成为引人注目的热点。 图 2－3 是以温度T 为参变量的p –V 图。图中包含了若干条等温线，高于临界温度的等温线曲线平滑并且不与相界面相交。小于临界温度的等温线由三个部分组成，中间水平段为汽液平衡共存区，每个等温线对应一个确定的压力，即为该纯物质在此温度下的饱和蒸气压。曲线AC 和BC 分
状态变量概念
Unit 15 State Variable concepts 状态变量概念Words and Expressions state variable 状态变量 state variable approach 状态变量方法 differential equations 微分方程 difference equations 差分方程 higher-order equation 高阶方程 optimal control theory 最优控制理论 specified a. 指定的，给定的 Given a. 给定的 behavior of the system 系统性能 accessible a. 可达的 measurable a. 可测量的 observable a. 可观测的 controllable a. 可控的 state vector 状态向量 state space 状态空间 input-output relationship 输入输出关系 mathematical notation 数学符号
initial conditions 初始条件 conventional techniques 常规技术 state variable representation 状态变量表示 multivariable systems 多变量系统 general form 通用形式 coefficient matrices 系数矩阵 state matrix 状态矩阵 companion matrix 伴随矩阵 input matrix 输入矩阵 interval n. 区间 output matrix 输出矩阵coefficient matrix 系数矩阵 state equation of the system 系统状态方程 output equation of the system 系统输出方程 column vector 列向量 row vector 行向量 scalar 标量 time description 时间描述 controlled process 控制过程
控制系统状态方程求解
第三章控制系统状态方程求解 3－1 线性连续定常齐次方程求解 所谓齐次方程解，也就是系统的自由解，是系统在没有控制输入的情况下，由系统的初始状态引起的自由运动，其状态方程为： ………………………………………………………(3 －1) 上式中，X是n×1维的状态向量，A是n×n的常数矩阵。 我们知道，标量定常微分方程的解为： ………………（3 －2） 与（3－2）式类似，我们假设（3－1）的解X(t)为时间t的幂级数形式，即： ………………………………(3 －3) 其中为与X（t）同维的矢量。 将（3－3）两边对t求导，并代入（3－1）式，得：
上式对任意时间t都应该成立，所以变量t的各阶幂的系数都应该相等，即： 即: ……………………………………………（3－4） 将系统初始条件代入（3－3），可得。代入（3－4）式可得： (3) 5） 代入（3－3）式可得（3－1）式的解为：
(3) 6) 我们记： (3) 7） 其中为一矩阵指数函数，它是一个n×n的方阵。所以（3－6）变为： (3) 8） 当（3－1）式给定的是时刻的状态值时，不难证明： (3) 9） 从（3－9）可看出，形式上是一个矩阵指数函数，且也是一个各元素随时间t变化的n×n矩阵。但本质上，它的作用是将时刻的系统状态矢量转移到t时刻的状态矢量，也就是说它起到了系统状态转移的作用，所以我们称之为状态转移矩阵(The State Transition Matrix)，并记： (3) 10） 所以：
【例3－1】已知，求解：根据（3－7）式， 3－2 的性质及其求法 性质1： 【证】根据的定义式（3－7）， 【证毕】 性质2：① ②
第一章 1[1].1流体流动静力学基本方程分析
第一章流体流动 1-0 概述 一学习本章的意义： 1．流体存在的广泛性。在化工厂中，管道和设备中绝大多数物质都是流体（包括气体、液体或气液混合物）。只是到最后，有些产品才是固体。 2 ．通过研究流体流动规律，可以正确设计管路和合理选择泵、压缩机、风机等流体输送设备，并且计算其所需的功率。 3 ．流体流动是化工原理各种单元操作的基础，对强化传热、传质具有重要的实践意义。因为热量传递，质量传递，以及化学反应都在流动状态下进行，与流体流动密切相关。 所以大家要认真学习这一章，充分打好基础。 二流体流动的研究范畴 1 流体定义：具有流动性的液体和气体统称为流体。 2 连续性介质假定：流体是由大量的单个分子组成，而每个分子之间彼此有一定的间隙，它们将随时都在作无规则随机的运动。所以，若把流体分子作为研究对象，则流体将是一种不连续介质，这将使研究非常困难。好在在化工生产过程中，我们对流体流动规律的研究感兴趣的并非是单个分子的微观运动，而是流体宏观的机械运动。所以我们不取单个分子作为考察对象，而取比分子平均自
由程大得多，比设备尺寸小得多的这样一个流体质点作为最小考察对象，质点是由大量分子组成的微团，它可以代表流体的性质。流体可以看成是由大量微团组成的，质点间无空隙，而是充满所占空间的连续介质，从而可以使用连续函数的数学工具对流体的性质加以描述。 提高：连续性介质假定 如图1所示，考虑一个微元体积内流体平均密度的变化情况：取包含P（x，y，z）点在内的微元体积⊿V，其中包含流体的质量为⊿m，则微元流体的平均密度为⊿m/⊿V，微元流体的平均密度随体积的变化如图2所示。当微元体积⊿V从非常小逐渐增大，趋向一个特定的微元体积V时，流体的平均密度逐渐趋向一个极限值，且不再随微元体积的继续增大而发生变化。当微元体积⊿V比δV小时，这时微元体积内所包含的流体分子数目是那样少，以致流体分子由于其无规则的热运动，进入或离开微元体积的流体分子数目已足以引起该微元体积内流体平均密度的随机波动。只有当微元体积大于δV后，其中
流体的PVT关系和状态方程
流体的P-Ｖ-T关系和状态方程 教学目的要求 能熟练掌握流体（特别是气体）的各种类型的P、V、T 关系（包括状态方程法和对应状态法）及其应用、优缺点和应用范围。 ?定性认识流体P－V-T 行为; ?掌握描述流体P-Ｖ-Ｔ关系的模型化方法,了解几种常见的状态方程; ?掌握对比态原理和普遍化状态方程 ?掌握计算真实气体混合物P－V－T 关系的方法,并会进行计算。 ?了解液体的P-V-T关系 教学内容 在化工过程的分析、研究与设计中，流体的压力p、体积V 和温度Ｔ是流体最基本的性质之一,并且是可以通过实验直接测量的。而许多其它的热力学性质如内能U、熵Ｓ、Gi ｂｂｓ自由能G 等都不方便直接测量，它们需要利用流体的ｐ–Ｖ–T 数据和热力学基本关系式进行推算。因此,流体的p –Ｖ–T 关系的研究是一项重要的基础工作。 ２.1 纯流体的P-V－T关系 2.2 气体的状态方程 2.３对应态原理和普遍化关联式 ２.4 真实气体混合物的P-V-T关系 2.5 液体的P-Ｖ－T关系 2.6 状态方程的比较、选用和应用 2．1纯流体的Ｐ-Ｖ-T关系 ◆纯物质在平衡态下的ｐ–Ｖ–T 关系，可以表示为三维曲面，如图2-1。 曲面上分单相区及两相共存区。曲线ＡC 和BC 代表汽液共存的边界线,它们相交于点Ｃ，C 点是纯物质的临界点，它所对应的温度、压力和摩尔体积分别称为临界温度T c、临界压力p c 和临界体积Vｃ。 ◆将p –Ｖ–T 曲面投影到平面上,则可以得到二维图形。图２－2 和２－３分 别为图2-1投影出的p –Ｔ图和p –V 图。
图 2-2 纯物质的p –T 图 图 2-３ 纯物质的 ｐ –V 图 图 2-2 中的三条相平衡曲线：升华线、熔化线和汽化线,三线的交点是三相点。高于临界温度和压力的流体称为超临界流体，简称流体。如图2-2,从A 点到B 点,即从液体到汽体,没有穿过相界面,即是渐变的过程，不存在突发的相变。超临界流体的性质非常特殊,既不同于液体，又不同于气体，可作为特殊的萃取溶剂和反应介质。近些年来，利用超临界流体特殊性质开发的超临界分离技术和反应技术成为引人注目的热点。 图 ２－３ 是以温度Ｔ 为参变量的ｐ –Ｖ 图。图中包含了若干条等温线，高于临界温度的等温线曲线平滑并且不与相界面相交。小于临界温度的等温线由三个部分组成,中间水平段为汽液平衡共存区,每个等温线对应一个确定的压力，即为该纯物质在此温度下的饱和蒸气压。曲线ＡC 和BC 分别为饱和液相线和饱和气相线，曲线ACB 包含的区域为汽液共存区,其左右分别为液相区和气相区。 等温线在两相区的水平段随着温度的升高而逐渐变短，到临界温度时最后缩成一点 Ｃ。从图2-3 中可以看出，临界等温线在临界点上是一个水平拐点，其斜率和曲率都等于零,在数学上表示为: 0)(0)( 22=??=??Tc Tc V P V P 式（2－1)和（2－2)对于不同物质都成立,它们对状态方程等的研究意义重大。 纯物质P ＶT 关系的应用:超临界技术和液化气体成分的选择 2.2气体的状态方程 纯物质的状态方程(E ｑuation of Ｓt ａte, EOS) 是描述流体ｐ-V-T 性质的关系式，即： f （ p ， T, V ) = ０ 状态方程类型：立方型、多常数型、理论型； 混合物的状态方程从纯物质出发，通过引入混合规则，来计算混合物的热力学性质。 2.2.1 理想气体状态方程 假定分子的大小如同几何点一样，分子间不存在相互作用力，由这样的分子组成的气体
第三章 流体流动的基本概念与基本方程
第三章 流体流动的基本概念与方程 质量守恒定律、牛顿第二定律、能量守恒定律等是物质运动的普遍原理，流体作为一类物质也应该遵循这些原理。这些原理刚体运动的方程式在物理学和理论力学中大家已经学习过，适用于流体运动的方程式将在本章讨论。本章首先介绍描述流体流动的一些基本概念，然后推导出流体流动的基本方程，即连续方程、动量方程、能量方程等。这些基本概念与方程在流体运动学中的研究中是十分重要的。 3.1 描述流体流动的方法 在流体力学的研究中，描述流体的运动一般有两种方法，即拉格朗日法与欧拉法。 3.1.1 拉格朗日法 拉格朗日法着眼于单个流体质点是怎样运动的，以及流体质点的特性是如何随时间变化的。为了区别流体质点，使用某特定质点在某瞬时的坐标(a, b, c)是比较方便的，坐标(a, b, c)描述的只是某一特定的质点。 在任何瞬时质点的位置可表示为 (3.1) 对于一给点的坐标(a, b, c)，上述方程组代表的是一特定流体质点的轨迹。 此时，质点是速度可以通过将质点是位置矢量对时间求导数得到。在笛卡尔坐标系中，质点的速度可表示为 (3.2) 加速度为
(3.3) 3.1.2欧拉法 流体是由无数流体质点组成的连续介质，充满流动流体的空间称为流场。 表示流体速度的一种方法就是着眼于空间的某一点，观察流经该点的流体质点随时间的运动。这种研究流体质点运动的方法称为欧拉法。在更一般的意义上，欧拉法可以通过以下方面描述整个流场： (1)在空间某一点流动参数，如速度、压强等，随时间的变化； (2)这些参数相对于空间邻近点的变化。 此时，流动参数是空间点的坐标与时间的函数： (3.4) 或 (3.4a) (3.5) 流体质点随时间将从一点运动到另一点，这意味着流体质点的位置也是时间的函数。 利用多元函数的微分连锁律，可将流体质点在x方向的加速度表示为： (3.6a) 同样 (3.6b) (3.6c) 或写成矢量的形式
流体的PVT关系和状态方程
流体的P-V-T关系与状态方程 教学目的要求 能熟练掌握流体(特别就是气体)的各种类型的P、V、T 关系(包括状态方程法与对应状态法)及其应用、优缺点与应用范围。 ?定性认识流体P-V-T 行为; ?掌握描述流体P-V-T 关系的模型化方法,了解几种常见的状态方程; ?掌握对比态原理与普遍化状态方程 ?掌握计算真实气体混合物P-V-T 关系的方法,并会进行计算。 ?了解液体的P-V-T关系 教学内容 在化工过程的分析、研究与设计中,流体的压力p、体积V 与温度T 就是流体最基本的性质之一,并且就是可以通过实验直接测量的。而许多其它的热力学性质如内能U、熵S、Gibbs 自由能G 等都不方便直接测量,它们需要利用流体的p –V –T 数据与热力学基本关系式进行推算。因此,流体的p –V –T 关系的研究就是一项重要的基础工作。 2、1 纯流体的P-V-T关系 2、2 气体的状态方程 2、3 对应态原理与普遍化关联式 2、4 真实气体混合物的P-V-T关系 2、5 液体的P-V-T关系 2、6 状态方程的比较、选用与应用 2、1纯流体的P-V-T关系 ◆纯物质在平衡态下的p –V –T 关系,可以表示为三维曲面,如图2－1。 曲面上分单相区及两相共存区。曲线AC 与BC 代表汽液共存的边界线,它们相交于点C,C 点就是纯物质的临界点,它所对应的温度、压力与摩尔体积分别称为临界温度T c、临界压力p c 与临界体积V c。 ◆将p –V –T 曲面投影到平面上,则可以得到二维图形。图2－2 与2－3 分别为图2 －1投影出的p –T 图与p –V 图。
图 2－2 纯物质的p –T 图 图 2－3 纯物质的p –V 图 图 2－2 中的三条相平衡曲线:升华线、熔化线与汽化线,三线的交点就是三相点。高于临界温度与压力的流体称为超临界流体,简称流体。如图2－2,从A 点到B 点,即从液体到汽体,没有穿过相界面,即就是渐变的过程,不存在突发的相变。超临界流体的性质非常特殊,既不同于液体,又不同于气体,可作为特殊的萃取溶剂与反应介质。近些年来,利用超临界流体特殊性质开发的超临界分离技术与反应技术成为引人注目的热点。 图 2－3 就是以温度T 为参变量的p –V 图。图中包含了若干条等温线,高于临界温度的等温线曲线平滑并且不与相界面相交。小于临界温度的等温线由三个部分组成,中间水平段为汽液平衡共存区,每个等温线对应一个确定的压力,即为该纯物质在此温度下的饱与蒸气压。曲线AC 与BC 分别为饱与液相线与饱与气相线,曲线ACB 包含的区域为汽液共存区,其左右分别为液相区与气相区。 等温线在两相区的水平段随着温度的升高而逐渐变短,到临界温度时最后缩成一点 C 。从图2－3 中可以瞧出,临界等温线在临界点上就是一个水平拐点,其斜率与曲率都等于零,在数学上表示为: 0)(0)( 22=??=??Tc Tc V P V P 式(2－1)与(2－2)对于不同物质都成立,它们对状态方程等的研究意义重大。 纯物质PVT 关系的应用:超临界技术与液化气体成分的选择 2、2气体的状态方程 纯物质的状态方程(Equation of State, EOS) 就是描述流体p-V-T 性质的关系式,即: f( p, T, V ) = 0 状态方程类型:立方型、多常数型、理论型; 混合物的状态方程从纯物质出发,通过引入混合规则,来计算混合物的热力学性质。 2.2.1 理想气体状态方程 假定分子的大小如同几何点一样,分子间不存在相互作用力,由这样的分子组成的气体叫做理想气体。在极低的压力下,真实气体可以当作理想气体处理,以简化问题。理想气体状态方程就是最简单的状态方程:
流体的P-V-T关系和状态方程
流體的P-V-T關系和狀態方程 教學目的要求 能熟練掌握流體（特別是氣體）的各種類型的P、V、T 關系（包括狀態方程法和對應狀態法）及其應用、優缺點和應用范圍。 定性認識流體P-V-T 行為； 掌握描述流體P-V-T 關系的模型化方法，了解幾種常見的狀態方程； 掌握對比態原理和普遍化狀態方程 掌握計算真實氣體混合物P-V-T 關系的方法，并會進行計算。 了解液體的P-V-T關系 教學內容 在化工過程的分析、研究與設計中，流體的壓力p、體積V 和溫度T 是流體最基本的性質之一，并且是可以通過實驗直接測量的。而許多其它的熱力學性質如內能U、熵S、Gibbs自由能G 等都不方便直接測量，它們需要利用流體的p –V –T 數據和熱力學基本關系式進行推算。因此，流體的p –V –T 關系的研究是一項重要的基礎工作。 2.1 純流體的P-V-T關系 2.2 氣體的狀態方程 GAGGAGAGGAFFFFAFAF
2.3 對應態原理和普遍化關聯式 2.4 真實氣體混合物的P-V-T關系 2.5 液體的P-V-T關系 2.6 狀態方程的比較、選用和應用 2.1純流體的P-V-T關系 純物質在平衡態下的p –V –T 關系，可以表示為三 維曲面，如圖2－1。 曲面上分單相區及兩相共存區。曲線AC 和BC 代表汽液共存的邊界線，它們相交于點C，C 點是純物質的臨界點，它所對應的溫度、壓力和摩爾體積分別稱為臨界溫度Tc、臨界壓力pc 和臨界體積Vc。 將p –V –T 曲面投影到平面上，則可以得到二維圖 形。圖2－2 和2－3 分別為圖2－1投影出的p –T 圖 和p –V 圖。 GAGGAGAGGAFFFFAFAF
状态方程
第一节物性估算 在化工过程计算中，估算气体和液体的热力学性质有非常重要的作用。分离过程，如蒸馏、气体吸收 和液体萃取需要对相平衡中的纯流体和流体混合物的容量性质进行估算。在涉及热效应的过程操作中，还 必须估算焓、热容及系统中的熵变。 1. 气体的容量性质 真实气体容量性质与理想气体的偏差一般用压缩因子形式来表示，Z =(PV)/(RT) ，对于理想气体， Z = 1。 应用曲线拟合方法，可以将以图表形式给出的真实气体的压缩因子表示为对比温度Tr 、对比压力Pr 和临界压缩因子Zc的函数。Hougen, Watson和Ragatz在Chemical Process Principles, Part II(1959, John Wiley)中提供了数据表。 应用一些已经导出的真实气体的状态方程也可以估算一定温度和 压力下的摩尔体积或密度。物理化学 课程中介绍的范德华方程和维里方程是较简单的气体方程形式。下面是一些化工中常用的状态方程，但是 每个方程都有它的适应范围和限制，不能期望用一种方程完成所有计算。
R-K(Redlich-Kwong)方程： R-K方程和它的变形或改进形方程使用非常广泛。R-K方程用在对比压力直到0.8的情况，用于预测烷烃 的气相容量性质，但是不适用于接近临界条件或液相情况。 其中Tc和Pc分别是临界温度和临界压力。 R-K方程的压缩因子Z的三次方程形式为 式中Pr = P/Pc和Tr = T/Tc分别是对比压力和对比温度。 上式在用于混合物时，方程的常数为 。 其中Ai和Bi为组分i的常数。 S-R-K (Soave -Redlich-Kwong) 方程： S-R-K方程是Soave修正的R-K方程，它将R-K方程中的用温度函数a(T)代替。
第三章线性系统状态方程的解
第三章 线性系统的运动分析 §3-1线性连续定常齐次方程求解 一、齐次方程和状态转移矩阵的定义 １、齐次方程 状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统的状态方程的齐次部分为：)()(t Ax t x = 线性定常连续系统：Ax x = ２、状态转移矩阵的定义 齐次状态方程Ax x = 有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。其解为)0()(x e t x At ?=。 其中At e 称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为：At e t =)(φ。 若初始条件为)(0t x ，则状态转移矩阵记为：)(00 )(t t A e t t -=-Φ 对于线性时变系统，状态转移矩阵写为),(0t t φ，它是时刻t ，t 0的函数。但它一般不能写成指数形式。 （１）幂级数法 设Ax x = 的解是t 的向量幂级数 +++++=k k t b t b t b b t x 2210)( 式中 ，，， ，，k b b b b 210都是n 维向量，则 +++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x )(2210 +++++=k k t b t b t b b A 故而有： ????? ?? ????== ====003 230 2 12 01!1! 3131 2 121b A k b b A Ab b b A Ab b Ab b K K
且有0)0(b x =。 故 +++++=k k t b t b t b b t x 2210)( ++ +++=k k t b A k t b A t Ab b 02 02 00! 1! 21 )0()! 1!21(22 x t A k t A At I k k ++ ++ += 定义：∑ ∞ == ++ +++=0 2 2! 1! 1!21K k k k k At t A k t A k t A At I e 则)0()(x e t x At ?=。 （２）拉氏变换解法 将Ax x = 两端取拉氏变换，有 )()0()(s Ax x s sx =- )0()()(x s x A sI =- )0()()(1x A sI s x ?-=- 拉氏反变换，有 )0(])[()(11x A sI L t x ?-=-- 则 ])[()(11---==A sI L e t At φ 【例3.1.1】 已知系统的状态方程为x x ?? ? ???=00 10 ，初始条件为)0(x ，试求状态转移矩阵和状态方程的解。 解：（１）求状态转移矩阵 ++ ++ +==k k At t A k t A At I e t ! 1! 21)(2 2φ 此题中： ???? ??=00 10A ， ?? ? ???====00 0032n A A A 所以
利用matlab求解系统的状态方程
实验报告 实验名称利用MATLAB 求解系统的状态方程 系统的能控性、能观测性分析 系专业班 姓名学号授课老师 预定时间2014-5-28实验时间实验台号14 一、目的要求 掌握状态转移矩阵的概念。学会用MATLAB求解状态转移矩阵。 掌握求解系统状态方程的方法，学会绘制状态响应曲线； 掌握线性系统状态方程解的结构。学会用MATLAB 求解线性定常系统的状态响应和输出响应，并绘制相应曲线。 掌握能控性和能观测性的概念。学会用MATLAB 判断能控性和能观测性。 掌握系统的结构分解。学会用MATLAB 进行结构分解。 掌握最小实现的概念。学会用MATLAB 求最小实现。 二、原理简述 线性定常连续系统的状态转移矩阵为。 函数step( ) 可直接求取线性连续系统的单位阶跃响应。 函数impulse( ) 可直接求取线性系统的单位脉冲响应。 函数lsim( ) 可直接求取线性系统在任意输入信号作用下的响应。 函数initial( ) 可求解系统的零输入响应。 n 阶线性定常连续或离散系统状态完全能控的充分必要条件是：能控性
矩阵的秩为n。 线性定常连续或离散系统输出能控的充分必要条件是：矩阵 的秩为m。 n 阶线性定常连续或离散系统状态完全能观测的充分必要条件是：能观测性矩阵 的秩为n。 三、仪器设备 PC 计算机，MATLAB 软件 四、内容步骤 题 A=[0 1;-2 -3];B=[3;0];C=[1 1];D=0; G=ss(A,B,C,D); t=; p=expm(A*t) u1=0;x10=[1;-1]; [y1o,t,x1o]=initial(G,x10,t) t2=0::10;x20=[0;0];u2=ones(size(t2)); [y2,t2,x2]=lsim(G,u2,t2); plot(t2,x2,':',t2,y2,'-')