三角形重心三角形重心定理
三角形重心-三角形重心定理
三角形中的几个重要定理
三角形中的几个重要定理
1．梅涅劳斯定理
一直线与ΔABC的三边AB、BC、CA或它们的延长线分别相交于X，Y，Z，AXBYCZ则
梅涅劳斯定理的逆定理也成立
在ΔABC的边AB、BC、CA分别取X，Y，Z.
AXBYCZ
如果1，那么X，Y，Z三点共线。
XBYCZA
梅氏定理的逆定理常用来证明三点共线。
2. 塞瓦定理常可分为边元塞瓦定理和角元塞瓦定理。边元塞瓦定理：ΔABC内任取一点P，直线AP，BP，CP分别与边BC，CA，AB相交于点D，BDCEAF
E，F，则 1.
DCEAFB
边元塞瓦定理逆定理也成立：
在ΔABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果那么直线AD，BE，CF三线相交于同一点.
塞瓦定理的逆定理常用来证明三线共点。角元塞瓦定理
BDCEAF
1.
DCEAFB
A
F
M
E
B
D
C
如图，设D、E、F 分别是△ABC 的三边BC、CA、AB 上的点，三条线段AD、BE、CF 交于一点M．则
对ΔABC与点M，有
(完整word版)初中几何三角形五心及定理性质
初中几何三角形五心定律及性质 三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。 三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称 重心定理 三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。 5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。 外心定理
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。 外心的性质： 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。 2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或 ∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。 3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 5、外心到三顶点的距离相等 垂心定理 图1 图2 三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质： 1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line）） 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 推论： 1. 若D 、E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 。（图1） 2. 三角形的垂心是其垂足三角形的内心。（图1） 3. 若D 、E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 。（图2） 定理证明 已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE相交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB 证明： 连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE
高中数学三角形四心性质及例题
三角形“四心”向量形式的充要条件应用 1) O 是 ABC 的重心 OA OB OC 0; 2) O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA 若O 是 ABC （非直角三角形 ）的垂心， 故 tan AOA tan BOB tan COC 0 2 2 2 3) O 是 ABC 的外心 |OA | |OB| |OC | (或OA OB OC ) 若O 是 ABC 的外心 则 S BOC ：S AOC ：S AOB sin BOC ：sin AOC ：sin AOB sin2A : sin 2B : sin2C 故 sin 2A OA sin 2BOB sin 2COC 4） O 是内 心 ABC 的充要条件是 OA (|A AB B | AC ) OB ( BA AC |BA | |B B C C|) OC (|C CA A | |C C B B |) 0 AB,BC,CA 的单位向量为 e 1 ,e 2 , e 3 ，则刚才 O 是 ABC 内心的 充 要 条件 可 OA (e 1 e 3) OB (e 1 e 2 ) OC (e 2 e 3) 0 O 是 ABC 内心的充要条件也可以是 aOA bOB cOC 0 若O 是 ABC 的内心，则 S BOC ： S AOC ： S AOB a ：b ：c 引进单位向量， 使条件变得更简洁。如果 记 sin B OB sin COC ; 以写成 故 aOA bOB cOC 0或 sin AOA ABC 的内心; 若O 是 ABC 的重心，则 S BOC S AOC S AOB 3S ABC 故 OA PG 31(PA PB PC) OB OC 0; G 为 ABC 的重心 . 则 S BOC ： S AOC ： S AOB tan A ：tan B ： tan C
重心定理
重心定理 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．上述交点叫做三角形的重心. 外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点． 这点叫做三角形的外心. 垂心定理 三角形的三条高交于一点． 这点叫做三角形的垂心. 内心定理 三角形的三内角平分线交于一点． 这点叫做三角形的内心. 旁心定理 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点． 这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心． 三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心． 它们都是三角形的重要相关点． 中位线定理 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
三角形面积计算公式 S(面积)=a(边长)h(高)/2---三角形面积等于一边与这边上的高的积的一半[编辑本段]勾股定理 在Rt三角形ABC中，A≤90度，则 AB·AB+AC·AC=BC·BC A〉90度，则 AB·AB+AC·AC>BC·BC [编辑本段]梅涅劳斯定理 梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。 证明： 过点A作AG‖BC交DF的延长线于G, 则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。 三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1 它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。 另外,有很多人会觉得书写这个公式十分烦琐,不看书根本记不住,下面从别人转来一些方法帮助书写 为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意一个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。
三角形的重心定理及其证明
三角形的重心定理及其证明 积石中学王有华 同学们在学习几何时，常常用到三角形的重心定理.但很多同学不会证明这个定理？下面给出三种证明方法，你阅读后想一想，哪一种证明方法最好. 已知：（如图）设ABC V 中，L 、M 、N 分 别是BC 、CA 、AB 的中点. 求证：AL 、BM 、CN 相交于一点G ，且 AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1. 证明1（平面几何法）：（如图1）假设中 线AL 与BM 交于G ，而且假设C 与G 的连线与AB 边交于N ，首先来证明N 是AB 的中点. 现在，延长GL ，并在延长线上取点D ，使GL=LD 。因为四边形BDCG 的对角线互相平分，所以BDCG 是平行四边形.从而，B G ∥DC ，即GM ∥DC.但M 是AC 的中点，因此，G 是AD 的中点. 另一方面，GC ∥BD ，即NG ∥BD.但G 是AD 的中点，因此N 是AB 的中点. 另外，G 是AD 的中点，因此AG ﹕GL=2﹕1.同理可证： BG ﹕GM=2﹕1， CG ﹕GN=2﹕1. 这个点G 被叫做ABC V 的重心. 证明2（向量法）：（如图2）在ABC V 中，设AB 边上的中B C
线为CN ，AC 边上的中线为BM ，其交点为 G ，边BC 的中点为L ，连接AG 和GL ，因 为B 、G 、M 三点共线，且M 是AC 的中点， 所以向量BG u u u r ∥BM u u u u r ，所以，存在实数1λ ，使得 1BG BM λ=uuu r uuu u r ，即 1()AG AB AM AB λ-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r 所以，11(1)AG AM AB λλ=+-u u u r u u u u r u u u r =111(1)2 AC AB λλ+-u u u r u u u r 同理，因为C 、G 、N 三点共线，且N 是AB 的中点. 所以存在实数2λ，使得 22(1)AG AN AC λλ=+-u u u r u u u r u u u r = 221(1)2 AB AC λλ+-uu u r uuu r 所以 111(1)2AC AB λλ+-u u u r u u u r = 221(1)2 AB AC λλ+-u u u r u u u r 又因为 AB uuu r 、 AC u u u r 不共线，所以 1221112112λλλλ=-=-??? 所以 1223λλ== ，所以 1133AG AB AC =+uuu r uu u r uuu r . 因为L 是BC 的中点，所以GL GA AC CL =++u u u r u u u r u u u r u u r =111()332AB AC AC CB -+++u u u r u u u r u u u r u u u r =121()332AB AC AB AC -++-uuu r uuu r uuu r uuu r =1166 AB AC +uuu r uuu r ，即2AG GL =u u u r u u u r ，所以A 、G 、L 三点共线.故AL 、BM 、CN 相交于一点G ，且AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1 C
三角形重心性质定理题教案资料
三角形重心性质定理 1．三角形重心性质定理 课本原题（人教八年级《数学》下册习题19.2第16题） 在△ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于O。BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点O？为什么？ （提示：作BO中点M，CO的中点N。连接ED、EM、MN、ND） 分析：三角形三条中线的交点是三角形的重心（第十九章课题学习《重心》）。这道习题要证明的结论是三角形 重心的一个重要数学性质：三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。 证法1：（根据课本上的提示证明） （点评：证法1是利用中点构造三角形中位线，从而得到平行四边形，再利用平行四边形性质得到中线上三个线段之间的相等关系。） （点评：利用线段中点，还可以将与线段中点有关的线段倍长，构造全等，从而利用全等三角形的性质及三角形中位线的性质证明结论。） 2.三角形重心性质定理的应用 ⑴求线段长 例1如图3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC的重心，GE⊥AC 于点E，若BC=6cm，则GE= cm。 解： ⑵求面积 例2在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，求△ABC的面积。 解：
练习：1.如图5，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，G 是重心，如果AG=6，那么线段DG= 。 2.如图6，在△ABC 中，G 是重心，点D 是BC 的中点，若△ABC 的面积为6cm 2，则△CGD 的面积为 。 巧用中线的性质解题 我们知道三角形的一条中线将三角形分成的两个三角形等底同高，这样的两个三角形的面积相等.下面我们利用上述性质来巧解以下问题. 一、巧算式子的值 例1 在数学活动中，小明为了求23411112222++++…12n +的值（结果用n 表示），设计了如图1所示的几何图形.请你利用这个几何图形求 23411112222++++ (12) n +的值. 解析：从图中可以看出大三角形的面积为1，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，23411112222++++…12n +12 n +表示：组成面积为1的大三角形的所有小三角形的面积之和，于是23411112222++++ (12) n +112n =-. 【点评】此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算. 二、求图形的面积 例2 如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.
三角形的重心、垂心、内心、外心知识讲解
一、三角形重心定理 二、三角形外心定理 三、三角形垂心定理 四、三角形内心定理 五、三角形旁心定理 有关三角形五心的诗歌 三角形五心定理 三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。 一、三角形重心定理 三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。 二、三角形外心定理 三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。2、若O 是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A 为钝角）。3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 5、外心到三顶点的距离相等 三、三角形垂心定理 三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。4、垂心分每条高线的两部分乘积
三角形重心的应用
三角形重心的应用 南昌县渡头中学邓淑刚 教学目的：1、了解三角形重心的概念，掌握重心的性质并能加以应用。 2、了解并掌握“一题多解法”证明思路。 教学重、难点：三角形重心的性质及其应用。 教学过程： 一、三角形重心性质定理 课本原题（人教八年级《数学》下册习题19.2第16题） 在△ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于O。BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点O？为什么？ （提示：作BO中点M，CO的中点N。连接ED、EM、MN、ND） 分析：三角形三条中线的交点是三角形的重心（第十九章课题学习《重心》）。这道习题要证明的结论是三角形重心的一个重要数学性质：三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该 顶点对边中点距离的2倍。 证法1：（根据课本上的提示证明） 取GA、GB中点M、N，连接MN、ND、DE、EM。（如图1） ∵MN是△GAB的中位线，∴MN∥AB，MN=1 2AB 又ED是△ACB的中位线，∴DE∥AB，DE=1 2AB ∴DE∥MN，DE=MN，四边形MNDE是平行四边形∴GM=GD，又AM=MG，则AG=2GD
同理可证：CG=2GF ，BG=2GE 点评：证法1是利用中点构造三角形中位线，从而得到平行四边形，再利用平行四边形性质得到中线上三个线段之间的相等关系。 证法2：延长BE 至F ，使GF=GB ，连接FC 。 ∵G 是BF 的中点，D 是BC 的中点 ∴GD 是△BFC 的中位线，GD ∥FC ，GD= 12 FC 由GD ∥FC ，AE=CE ，易证△AEG ≌△CEF ∴AG=FC ，即GD= 12 AG 点评：利用线段中点，还可以将与线段中点有关的线段倍长，构造全等，从而利用全等三角形的性质及三角形中位线的性质证明结论。 证法3：取EC 中点M ，连DM ，利用平行线分线段成比例及E 是AC 中点可证得相同的结论。（证明过程略） 二、三角形重心性质定理的应用 ⑴求线段长 例1 如图3所示，在Rt △ABC 中，∠A=30°，点D 是斜边AB 的中点，当G 是Rt △ABC 的重心，GE ⊥AC 于点E ，若BC=6cm ，则GE= cm 。 解：Rt △ABC 中，∠A=30°，BC=6 ∴AB=BC=12， D 是斜边AB 的中点，∴CD= 12 AB=6 G 是Rt △ABC 的重心，∴CG=23 CD=4 由CD=AD ，∠A=30°，∠GCE=30°
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质70409
三角形“四心”向量形式的充要条件应用 1．O 是ABC ?的重心?=++; 若O 是ABC ?的重心，则 AB C AOB AOC BOC S 31 S S S ????= ==故=++; 1()3 PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ?G 为ABC ?的重心. 2．O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：： ：：=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3．O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 OC OB OA ==) 若O 是ABC ?的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：： ：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ?的充要条件是 ( ( ( =?=?=-? 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是 ABC ?内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? ，O 是 ABC ?内心的充要条件也可以是c b a =++ 。若O 是ABC ?的内心，则 c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r 是ABC ?的内心; 向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r u u u r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； (一)将平面向量与三角形内心结合考查 例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满 足 OA OP + +=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的（ ） （A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 解析：因为 是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r 与AC u u u r 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又
三角形重心三角形重心定理
三角形重心-三角形重心定理 三角形中的几个重要定理 三角形中的几个重要定理 1．梅涅劳斯定理 一直线与ΔABC的三边AB、BC、CA或它们的延长线分别相交于X，Y，Z，AXBYCZ则 梅涅劳斯定理的逆定理也成立 在ΔABC的边AB、BC、CA分别取X，Y，Z. AXBYCZ 如果1，那么X，Y，Z三点共线。 XBYCZA 梅氏定理的逆定理常用来证明三点共线。
2. 塞瓦定理常可分为边元塞瓦定理和角元塞瓦定理。边元塞瓦定理：ΔABC内任取一点P，直线AP，BP，CP分别与边BC，CA，AB相交于点D，BDCEAF E，F，则 1. DCEAFB 边元塞瓦定理逆定理也成立： 在ΔABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果那么直线AD，BE，CF三线相交于同一点. 塞瓦定理的逆定理常用来证明三线共点。角元塞瓦定理 BDCEAF 1. DCEAFB A F M E B D
C 如图，设D、E、F 分别是△ABC 的三边BC、CA、AB 上的点，三条线段AD、BE、CF 交于一点M．则 对ΔABC与点M，有 sin BAMsin ACMsin CBM 1 sin MACsin MCBsin MBAsin BM Dsin MCAsin CBA 1 sin DMCsin ACBsin AMBsin CM Esin MABsin ACB 1 sin EMAsin BACsin BCM 对ΔMBC与点A，有 对ΔMCA与点B，有 对ΔMAB与点C，有 角元塞瓦定理的逆定理也成立。 sin AMFsin MBCsin BAC 1
sin FMBsin CBAsin CAM A D DE B F C B C E A F B E DA CF 如图，过△ ABC的三个顶点各引一条异于三角形三边的直线AD、BE、CF．若 sin BADsin ACFsin CBE 1，则AD、BE、CF三线共点或互相平行。
第八讲 三角形的重心
第八讲三角形的重 心 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
第八讲 三角形的重心、垂心、外心和内心 初中阶段我们已经学习了关于三角形的边和角的许多性质，也涉及三角形边上中线、高线、垂直平分线以及内角平分线的一些性质。例如，线段（如三角形的一边）的垂直平分线上的点和这条线段两站点的距离相等。反之，和一条线段两个端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上；角（如三角形的一个内角）的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。反之，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，诸如此类。 涉及一个三角形的三条中线、三条高线、三条边的垂直平分线以及三个内角平分线的性质及相互关系是中学平面几何的重要内容。在高中学习中，会涉及三角形三条中线交点、三条高线交点、三条边的垂直平分线交点以及三个内角平分线交点，即三角形的几个“巧合点”。本节将对这些知识作较系统的阐述。 一、三角形的重心 如图8-1，在△ABC 中，AD 、BD 是两条中线，记它们的交点为G ，连接DE 、DE 是三角形的中位线。 ∴DE ∥AB ，且.21AB DE ∴∠GAB=∠GDE ，∠GBA=∠GED. ∴△AGB ∽△DGE ，且相似比为2：1. ∴AG=2GD ，BG=2GE. 于是得到关于三角形中线的一个重要性质：三角形的两条中线的交点把这两条中线都分成2：1的两段。 现在再研究第三条中线与其他两条中线交点有什么特殊性质。 图8-1 图8-2
如图8-2，设△ABC 的两条中线AD 、BE 交于G ，中线CF 、BE 交于G ′.由已知的三角形中线的性质，则有BG=2GE ，且BG ′=2G ′E ，CG ′=2G ′F. ∴G ′与G 重合，则三角形的三条中线相交于一点，且该点把三角形的各中线分成长度比为2：1的两段，这个交点称为三角形的重心。三角形的重心必在三角形的内部。今后我们也常说：三角形的重心把中线分成2：1的两段。 例1 如图8-3，已知E 、F 分别是平行四边形ABCD 边AD 、CD 的中点，BE 和BF 分别交对角线AC 于M 、N ，求证：AM=MN=NC 。 分析 四边形问题常转化为三解形问题，连接BD ，则BE 、BF 分别为△ABD 、△CBD 的中线，再利用中线、重心的性质问题，则问题迎刃而解。 证明 连接BD ，BD 与AC 交于O ，根据平行四边形性质，O 为BD 的中点。∵E 为AD 的中点，∴M 是△ABD 的重心，∴AM=2MO 。 同理，CN=2NO ，则 CO NO AO MO 31,31==，由于AO=CO ，∴.3 232CN AM CO AO MN ==== 例2 求证：两条中线相等的三角形是等腰三角形。 已知：△ABC 中，中线BE=CD 求证：△ABC 是等腰三角形 证明：如图8-4，设中线BE 、CD 交于G ，则G 为△ABC 的重心。∴ .3 2,32CO CG BE GB == ∵BE=CD ，∴GB=CG 则∠GBC=∠GCB （同一三角形中，等边对等角） 又BC 为△BEC 和△CBD 的公共边， ∴△EBC ≌△DCB ，∴∠ABC=∠ACB ，∴AB=AC 图8-3 图8-4
三角形的重心定理及其证明
三角形的重心定理及其证明 积石中学王有华 同学们在学习几何时，常常用到三角形的重心定理.但很多同学不会证明这个定理？下面给出三种证明方法，你阅读后想一想，哪一种证明方法最好. 已知：（如图）设ABC 中，L 、M 、N 分别是BC 、CA 、AB 的中点. 求证：AL 、BM 、CN 相交于一点G ，且 AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1. 证明1（平面几何法）：（如图1）假设中 线AL 与BM 交于G ，而且假设C 与G 的连线与AB 边交于N ，首先来证明N 是AB 的中点. 现在，延长GL ，并在延长线上取点D ，使GL=LD 。因为四边形BDCG 的对角线互相平分，所以BDCG 是平行四边形.从而，B G ∥DC ，即GM ∥DC.但M 是AC 的中点，因此，G 是AD 的中点. 另一方面，GC ∥BD ，即NG ∥BD.但G 是AD 的中点，因此N 是AB 的中点. 另外，G 是AD 的中点，因此AG ﹕GL=2﹕1.同理可证： BG ﹕GM=2﹕1， CG ﹕GN=2﹕1. 这个点G 被叫做ABC 的重心. 证明2（向量法）：（如图2）在ABC 中，设AB 边上的中 B C
线为CN ，AC 边上的中线为BM ，其交点为G ，边BC 的中点为L ，连接AG 和GL ，因为B 、G 、M 三点共线，且M 是AC 的中点， 所以向量B G ∥BM ，所以，存在实数1λ ，使得 1BG BM λ= ，即 1()AG AB AM AB λ-=- 所以，11(1)AG AM AB λλ=+- =111 (1)2 A C A B λλ+- 同理，因为C 、G 、N 三点共线，且N 是AB 的中点. 所 以存在实数2λ，使得 22(1)AG AN AC λλ=+- = 221(1)2 A B A C λλ+- 所以 111 (1)2A C A B λλ+- = 221(1)2 A B A C λλ+- 又因为 AB 、 A C 不共线，所以 12 21 112112 λλλλ=-=-?? ? 所以 122 3λλ== ，所以 1133 A G A B A C =+ . 因为L 是BC 的中点，所以G L G A AC C L =++ =111()332 A B A C A C C B -+++ =121()332AB AC AB AC -++- =1166 A B A C + ，即2AG GL = ，所以A 、G 、L 三点共线. 故AL 、BM 、CN 相交于一点G ，且AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1 C
与三角形外心、内心、重心相关的关系和定理
三角形外心、内心、重心相关的关系和定理。外心即外接圆的圆心，此时三角形三个顶点在圆上，圆心到三个顶点的距离相等，即外心到三角形三个顶点距离相等，因此外心是三角形三条边的中垂线的交点。 内心即内切圆的圆心，此时三角形三条边都与圆相切，圆心到三条边的距离相等，即内心到三角形三个顶点距离相等，因此内心是三角形三个角的角平分线交点。 重心即三条中线的交点，分别通过三个顶点与对边中点相连，中线的交点即是重心，重心把三条中线分成1:2，即重心与中点的距离与重心与顶点的距离比为1:2。 垂心即三条高的交点，分别通过三个顶点作对边作垂线，垂线的交点即是垂心。 重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的三个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形三个顶点距离的平方和最小。 外心的性质： 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。 2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或 ∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）. 3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 4、外心到三顶点的距离相等
内心的性质： 1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。 2直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和、减去斜边的差的二分之一。 3、O为三角形的内心， A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO: ON=AB: BN=AC: CN=(AB+AC): BC 4（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心，∠ A、∠ B、∠C的内角平分线分别交 BC、A C、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b. 5、内心到三角形三边距离相等。
三角形一边平行线性质定理
个性化辅导授课案 教师： 卢天明 学生: 时间 2016年7月 日 时段 三角形一边的平行线性质定理 一、知识要点： 1、同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比 （2） （1） D C B A D C B A 如图（1）： ABD ADC S BD S DC = 如图（2）：若AD ∥BC,则 ADC ABC S AD S BC = 2、三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例。 如图（1），若DE ∥BC ，则 AD AE DB EC =或AD AE AB AC =或DB CE AB AC = 如图（2），若DE ∥BC ，则AB AC AE AD = 或AB AC EB DC =或EA DA EB DC = E D E （2） （1） C B A D C B A 3、三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 如图（1）已知：△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，则 AD DE AE AB BC AC == ; 如图（2）已知：△ABC 中，点D 、E 分别在CA 、BA 的延长线上，且DE ∥BC ，则AB BC AC AE DE AD == .
E D E （2） （1） C B A D C B A 小试牛刀： 选择题 1、在“平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例”定理证明中，课本上所用的思想方法是（ ） A 、先证明特殊情况成立，再证得一般情况成立 B 、利用平行线性质 C 、利用三角形全等 D 、把线段的比转化为面积的比，再把面积比转化成线段的比 一、填空题 1、 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD=4BD,则AE=_______EC 2、 已知：D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，AE=6，AD=3,AB=5,则AC=____________ 3、 已知：△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别是边AB 、AC 上的点，若AD:AB=2:9,EC-AE=5厘米，则AC=_______厘米。 4、 如图，已知：AC ∥BD ，AB 与CD 交于点O 。若AC:BD=2:3,AO=1.2,则AB=___________. 5、 如图，点D 、E 分别在△ABC 边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，若AD:BD=3:4，BE 和CD 相交于点O ，则EO:OB=____________。 第1题 E D C B A 第4题 O D C B A O E D C B A 二、典型例题： 例1、 如图所示，DE ∥AB,EF ∥BC ，AF=5厘米，FB=3厘米，CD=2厘米。求BD 。
有关三角形的内心外心重心等的问题
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。 1、三角形重心定理 三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名） 重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。 2、三角形外心定理 三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。 外心的性质： 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。 2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或 ∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。 3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3， c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c， (c1+c2)/2c )。 5、外心到三顶点的距离相等 3、三角形垂心定理 三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。 垂心的性质： 1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
三角形重心定理
一、三角形重心定理 二、三角形外心定理 三、三角形垂心定理 四、三角形内心定理 五、三角 形旁心定理 三角形五心定理 二、三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重 心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。 一、三角形重心定理 三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。 二、三角形外心定理 三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。5、外心到三顶点的距离相等 三、三角形垂心定理 三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 三、定理证明已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长 交AB于点F ，求证：CF⊥AB 证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC∴ΔAEO∽ΔA DC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB 因此，垂心定理成立！ 四、三角形内心定理 三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。内心的性质：1、 三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。3、P为ΔABC所在平面上任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c). 4、O 为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 5、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0．7、（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b. 五、三角形旁心定理 三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。旁心的性质：1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。2、每个三角形都有三个旁心。3、旁心到三边的距离相等。如图，点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。 一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质教学提纲
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
三角形“四心”向量形式的充要条件应用 1．O 是ABC ?的重心?=++; 若O 是ABC ?的重心，则 AB C AOB AOC BOC S 31 S S S ????= ==故0OC OB OA =++; 1()3 PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ?G 为ABC ?的重心. 2．O 是ABC ?的垂心??=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：： ：：=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3．O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 ==) 若O 是ABC ?的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：： ：： 故C 2sin B 2sin A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ?的充要条件是 | CB || CA |( | BC || BA |( AC | AB |( =?=?=-? 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ?内心的充要条件可以写成 0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+?=+?=+? ，O 是ABC ?内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 。若O 是ABC ?的内心，则 c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故 C sin B sin A sin c b a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r 是ABC ?的内心; 向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r u u u r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； (一)将平面向量与三角形内心结合考查 例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 + +=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的（ ） （A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心
三角形五心定律
三角形五心定律及性质 一、重心定理 三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名） 重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。 5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。 二、外心定理 三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。 外心的性质： 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。 2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。 3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 5、外心到三顶点的距离相等 三、垂心定理 三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。 垂心的性质： 1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line）） 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 定理证明 已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE相交于点O，连接CO并延长交AB 于点F ，求证：CF⊥AB 证明：