高一物理机械振动及其产生条件;简谐运动的特点、规律北师大版知识精讲

高一物理机械振动及其产生条件；简谐运动的特点、规律北师大版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

机械振动及其产生条件；简谐运动的特点、规律；简谐运动的图像

二. 知识总结归纳

1. 机械振动及其产生条件：机械振动是指物体（或物体的一部分）在某一中心位置两侧所做的往复运动。它的产生条件是：回复力不为零；阻力足够小。

回复力是使振动物体回到平衡位置的力。它是以效果命名的力，类似于向心力，一般由振动方向上的某个力或某几个力的合力来提供。

2. 简谐运动的特点：回复力的大小与位移大小始终成正比，方向始终相反，即符合公式F ＝－kx 。这也是判断一个机械振动是否是简谐运动的依据。我们常见的两个简谐运动模型是弹簧振子和单摆。大家想一想这两个典型运动的回复力由哪些力提供？

在这里需要强调两个概念：一是平衡位置。平衡位置是指物体在振动方向上所受合力为零的位置。简谐运动一定有平衡位置，而机械振动有中心位置，不一定有平衡位置。另一个是位移。振动中物体的位移是表示物体即时位置的物理量，它始终以平衡位置为初始位置，可以用一个由平衡位置指向某一时刻位置的有向线段来表示。

3. 简谐运动的规律：简谐运动是一种复杂的非匀变速运动，要结合牛顿运动定律、动量定理、动能定理、机械能守恒定律来分析解决简谐运动的问题。

（1）简谐运动的对称性：振动物体在振动的过程中，在关于平衡位置对称的位置上，描述物体振动状态的物理量（位移、速度、加速度、动量、动能、势能等）大小相等。

（2）简谐运动的周期性：振动物体完成一次全振动（或振动经过一个周期），描述物体振动状态的物理量（位移、速度、加速度、动量、动能、势能等）又恢复到和原来一样。简谐运动的周期是由振动系统的特性决定的，与振幅无关。

弹簧振子的周期只决定于弹簧的劲度系数和振子的质量，与其放置的环境和方式无关。 单摆在小角度摆动下的振动可视为简谐运动，其周期公式为＝，其T 2 L g

中L 为摆长（悬点到球心间的距离），g 为重力加速度，单摆周期与振幅、摆球质量无关。

4. 受迫振动和共振：受迫振动是指物体在周期性驱动力作用下的振动。做受迫振动的物体，它的周期或频率等于驱动力的周期或频率，而与物体的固有周期或频率无关。共振是指做受迫振动的物体，它的固有周期与驱动力的周期越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象。

【典型例题】

例1. 一弹簧振子作简谐运动，则下列说法正确的有：

A. 若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值；

B. 振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大；

C. 振子每次通过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同；

D. 振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度和位移一定相同。 分析与解答：正确答案是D 。

如图所示，因为弹簧振子的位移是以平衡位置O 为起点的，设向右为正，则当振子在

OA段时，位移为正，在OA'段时位移为负。可见当振子由O向A'运动时其位移为负值，速度也是负值，故A选项错。

振子在平衡位置时，回复力为零，加速度a为零，但速度最大，故B错。

振子经过平衡位置O时，速度方向可以是不同的（可正、可负），故C错。

a kx m x a

=-/

由知，同时相同，但振子在该点的速度方向可以向左也可以

向右，故D正确。

可见，分析简谐运动各量变化关系时，一定要以位移为桥梁理清各物理量间的关系，要和实际弹簧振子运动联系起来，画出草图来分析。

例2. 某质点做简谐运动，先后以同样的速度通过相距l的a、b两点（如图所示），用的时间是1s。过b点后再经1s以相反方向的速度（相同的速率）再次通过b点，则该质点作简谐运动的周期T＝___________。

分析与解答：简谐运动中有两个对称，一是关于最大位移处的对称，一是关于平衡位置的对称。

根据关于平衡位置的对称性，当振子的速率相等时，其位移大小必定相等，且通过该相等位移所用的时间也相同。据此可以判定：该简谐运动的平衡位置必在ab连线的中点O；同时从O运动到b的时间为0.5s，而且，第二次通过b再回到O所用的时间也是0.5s（b 到O和O到b用时相等）；根据关于最大位移处的对称性，从b到最大位移处用时为0.5s。而O至最大位移时用的时间即简谐运动的四分之一周期为1s，因此，该简谐运动的周期为4s。

例3. 如图所示是某弹簧振子振动图象，试由图象判断下列说法哪些正确：

A. 振幅是3m

B. 周期是8s

C. 4s末小球速度为负，加速度为零

D. 第14s末小球的加速度为正，速度最大

分析与解答：正确答案是BC。

纵轴是质点离开平衡位置的位移，横轴是时间，图象是振动图象。由图象可知振幅A ＝3cm，故A错，而周期T＝8s，故B正确。

4s末质点由正位移向负位移通过平衡位置，位移为零，速度为负方向，而加速度为零，

∴C 正确。

从第12s 末到第14s 末图象延伸到x 轴负的最大值处，故此时质点位移为负的最大值，加速度最大，且为正值，但速度为零，故D 错。

可见，处理振动图象问题一定要把图象还原为质点的实际振动过程分析，图象不是振动物体的轨迹。

例4. 已知某摆长为1m 的单摆在竖直平面内做简谐运动，则：（1）该单摆的周期为____________；（2）若将该单摆移到表面重力加速度为地球表面重力加速度1/4倍的星球表面，则其振动周期为____________；（3）若在悬点正下方摆长中点处钉一光滑小钉，则该小球摆动的周期为____________。

分析：第一问我们可以利用单摆周期公式计算出周期；第二问是通过改变当地重力加速度来改变周期的。只要找出等效重力加速度，代入周期公式即可得解。第三问的情况较为复杂，此时小球的摆动已不再是一个完整的单摆简谐运动。但我们注意到，小球在摆动过程中，摆线在与光滑小钉接触前后，分别做摆长不同的两个简谐运动，所以我们只要求出这两个摆长不同的简谐运动的周期，便可确定出摆动的周期。

解答：（）依据，可得122T L g

T s ==π （）等效重力加速度为，则依据，可得2424g g T L g T s '/'''===π

（3）钉钉后的等效摆长为：半周期摆长为L 1＝1m ，另半周期摆长为L 2＝0.5m 。 则该小球的摆动周期为：

T L g L g s ''=+=+ππ12222

例5. 如图所示，轻直杆OC 的中点悬挂一个弹簧振子，其固有频率为2Hz 。杆的O 端有固定光滑轴。C 端下边由凸轮支持，凸轮绕其轴转动，转速为n 。当n 从0逐渐增大到5r/s 过程中，振子M 的振幅变化情况将是____________，当n ＝____________r/s 时振幅最大。若转速稳定在5r/s ，M 的振动周期是____________。

分析与解答：本题考查受迫振动的频率和共振的条件的分析。振子固有频率为2Hz ，凸轮的转动频率就是驱动力的频率，即f 驱从0增大到5Hz ，变化过程中，先接近固有频率，达到相等后又偏离固有频率，故振幅先增大后减小。当f 驱＝f 固＝2Hz ，即n ＝2r/s 时振幅最大。

当，即，，受迫振动的周期取决于驱动力的周驱驱n r s f Hz T s ===5502/. 期，即也为0.2s 。

例6. 一弹簧振子做简谐运动，振动图象如图所示。振子依次振动到图中a、b、c、d、e、f、g、h各点对应的时刻时，（1）在哪些时刻，弹簧振子具有：沿x轴正方向的最大加速度；沿x轴正方向的最大速度。（2）弹簧振子由c点对应x轴的位置运动到e点对应x轴的位置，和由e点对应x轴的位置运动到g点对应x轴的位置所用时间均为0.4s。弹簧振子振动的周期是多少？（3）弹簧振子由e点对应时刻振动到g点对应时刻，它在x轴上通过的路程是6cm，求弹簧振子振动的振幅。

分析：（1）弹簧振子振动的加速度与位移大小成正比，与位移方向相反。振子具有沿x 轴正方向最大加速度，必定是振动到沿x轴具有负向的最大位移处，即图中f点对应的时刻。

振子振动到平衡位置时，具有最大速度，在h点时刻，振子速度最大，再稍过一点时间，振子的位移为正值，这就说明在h点对应的时刻，振子有沿x轴正方向的最大速度。

（2）图象中c点和e点，对应振子沿x轴从＋7cm处振动到－7cm处。e、f、g点对应振子沿x轴，从－7cm处振动到负向最大位移处再返回到－7cm处。由对称关系可以得出，振子从c点对应x轴位置振动到g点对应x轴位置，振子振动半周期，时间为0.8s，弹簧振子振动周期为T＝1.6s。

（3）在e点、g点对应时间内，振子从x轴上－7cm处振动到负向最大位移处，又返回－7cm处行程共6cm，说明在x轴上负向最大位移处到－7cm处相距3cm，弹簧振子的振幅A＝10cm。

解答：（1）f点；h点。（2）T＝1.6s。（3）A＝10cm。

说明：本题主要考察结合振动图象如何判断在振动过程中描述振动的各物理量及其变化。讨论振子振动方向时，可以把振子实际振动情况和图象描述放在一起对比，即在x轴左侧画一质点做与图象描述完全相同的运动形式。当某段图线随时间的推移上扬时，对应质点的振动方向向上；同理若下降，质点振动方向向下。振动图象时间轴各点的位置也是振子振动到对应时刻平衡位置的标志，在每个时刻振子的位移方向永远背离平衡位置，而回复力和加速度方向永远指向平衡位置，这均与振动速度方向无关。因为振子在一个全振动过程中所通过的路程等于4倍振幅，所以在t时间内振子振动n个周期，振子通过的路程就为4nA。

例7. 一弹簧振子做简谐运动，周期为T，以下说法正确的是（）

A. 若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T 的整数倍

B. 若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt一定等于T/2的整数倍

C. 若Δt＝T/2，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动的加速度大小一定相等

D. 若Δt＝T/2，则在t时刻和（t＋Δt）时刻弹簧的长度一定相等

分析：如图所示为物体做简谐运动的图象。由图象可知，在t1、t2两个时刻，振子在平衡位置同侧的同一位置，即位移大小相等，方向相同，而Δt＝t2－t1＜T，所以选项A错误。

在t 1时刻振子向远离平衡位置方向振动，即具有正向速度，在t 2时刻振子向平衡位置 方向振动，即具有负向速度，但它们速度大小相等。而。所以选?t t t T =-<

212

项B 错误。 因为，振子在这两个时刻的振动情况完全相同；所以具有相?t t t T =-=41 同的加速度，选项C 正确。

因为，振子在这两个时刻位于平衡位置的两侧，即若时?t t t T t =-=3112

刻弹簧处于伸长状态，则t 3时刻弹簧处于压缩状态。所以选项D 错误。

解答：选项C 正确。

说明：做简谐运动的物体具有周期性，即物体振动周期的整数倍后，物体的运动状态与初状态完全相同。做简谐运动的物体具有对称性，即描述振动的物理量的大小（除周期和频率外）在关于平衡位置对称的两点上都相等，但矢量的方向不一定相同。做简谐运动的物体具有往复性，即当物体振动回到同一点时，描述振动的物理量的大小（除周期和频率外）相同，但矢量的方向不一定相同。

例8. 一平台沿竖直方向作简谐运动，如图所示，一物体置于振动平台上随台一起运动，当振动平台处于什么位置时，物体对台面的正压力最大（ ）

A. 当振动平台运动到最高点时

B. 当振动平台向下运动过振动中心点时

C. 当振动平台运动到最低点时

D. 当振动平台向上运动过振动中心点时

解析：如图所示，物体上、下简谐运动的过程中，由重力、弹力的合力提供振动的回复力，产生指向平衡位置的加速度a ，如图：

mg N ma N mg ma m m -==-11；

mg N N mg -==220；

N mg ma N mg ma m m 33-==+；

由此可得出C 选项正确，该题关键：加速度指向平衡位置。

例9. 如图所示是演示砂摆振动图象的实验装置和实验结果，砂摆的摆动可看作简谐振动。若平拉纸的速度为0.2m/s ，从刻度尺上读出图线的尺寸，可算出这个砂摆的摆长是_____________m 。

解析：由可知：T L g L T g ==2422ππ

由题意，单摆周期，所以摆长T S v s L g =

===0202142

..π 【模拟试题】

1. 关于简谐运动，以下说法正确的是（ ）

A. 回复力的方向总是指向平衡位置

B. 振动物体向平衡位置运动时，加速度方向和速度方向相同

C. 振动物体向远离平衡位置方向运动时，加速度方向总是和速度方向相同

D. 振动物体向远离平衡位置方向运动时，速度减小，加速度也逐渐减小

2. 如图1所示，弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，O 为平衡位置，A 、B 为其最大位移处，当振子经过P 点时开始计时，即t ＝0，则下述说法中正确的是（ ）

图1

A. 当振子的速度再次与0时刻相同时，则弹簧振子经过的时间一定是一个周期

B. 当振子第二次通过P 点时，振子的速度一定与0时刻的速度相同

C. 当振子经过P 点时，其加速度与速度均与0时刻相同

D. 当振子经过P 点时，其加速度与0时刻相同，而速度不一定相同

3. 如图2所示是某质点作简谐运动的图象，则质点振幅是____________cm ，周期是____________s ，频率是____________Hz ，0~4s 内质点通过路程是____________cm ，6s 末质点位移是____________m 。

图2

4. 如图3所示是某质点的振动图象，则（ ）

图3

A. t t 12和时刻质点的速度相同

B. 从t t 12到时间速度方向与加速度方向相同

C. t t 23到时间内速度变大，而加速度变小

和时刻质点的加速度相同

D. t t

13

5. 如图4甲所示是一弹簧振子，O为平衡位置，BC为两个极端位置，取向右为正方向，图乙是它的振动图线，则：

甲乙

图4

①t＝0时，由乙图可知，振子正处在甲图中的____________位置，运动方向是____________（填“左”或“右”），再经过____________s，振子才第一次回到平衡位置。

②当t＝0.6s时，位移是____________cm，此时振子正处于甲图中的____________位置。

6. 如图5所示是一弹簧振子简谐运动的位移x与时间t的关系曲线，由图可知（）

图5

A. 质点的振动频率是4Hz

B. 质点的振幅是20cm

C. 在1s－2s时间间隔内，质点的速度逐渐减小，方向沿x轴负方向

D. 在3s－4s时间间隔内，质点的加速度逐渐增大，方向沿x轴正方向

7. 在同一地点的两个单摆的振动图象如图6所示。从图象可知，它们（）

图6

A. 摆球质量相等

B. 振幅相等

C. 摆长相等

D. 摆球同时改变速度方向

8. 如图7所示为一质点的振动图象，由图可知（）

图7

A. 质点振动的振幅是8cm，M、H两点所对应的时间间隔为一个周期

B. M、N、G、H点对应的时刻，质点振动的速度相同

C. P、Q所对应的时刻质点的加速度相同

D. t＝0.1s时，质点的动能正在向势能转化

9. 如图8所示，当A振动起来后，通过水平挂绳迫使B、C振动，下列说法正确的是（）

图8

A. A、B、C三个单摆的周期均相同

B. 只有A、C二个的周期相同

C. B的振动振幅比C小

D. A、B、C三个振幅均相等

10. 摆长为l的单摆做简谐运动，若从某时刻开始计时（取作t＝0），当振动至t

l

g =

3

2

π

时，摆球具有负向最大速度，则单摆的振动图象为图9中的：

图9

11. 甲乙两个单摆，摆线长度相等，甲球质量是乙球的2倍，现在把两球分别向两边拉开角度3°和5°，如图10所示，此后同时释放，则两球相遇在（）

图10

A. O点左侧

B. O点右侧

C. O点

D. 无法确定

【试题答案】

1. AB

2. D

3. 2；4；0.25；8；0

4. C D

5. ①0；右；0.4；②－2；C

6. D

7. C

8. CD

9. AC 10. D 11. C