初中数学十字相乘法练习
第十一讲 十字相乘法
探究解决：
（1）请直接填写下列结果 （x+2）（x+1）= ； （x+2）（x-1）= ； （x-2）（x+1）= ；（x-2）（x-1）= 。
把上述式子左右对调，你有什么发现？
二次项系数为1的二次三项式的二次三项式
直接利用公式直接利用公式————))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解进行分解。。
特点特点：：（（11）二次项系数是1；
（（2）常数项是两个数的乘积常数项是两个数的乘积；；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和一次项系数是常数项的两因数的和。。
（4）归纳归纳：：=+++ab x b a x )(2（ ）（）（）（ ））
将x 2+3x+2分解因式，看下图，你有什么启发？
x 2 +3x +2
2x + x = 3x
例 x 2 + 6x – 7= （x+7）(x-1) 步骤步骤
步骤： ①竖分竖分竖分二次项与常数项 ②交叉交叉
交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写横写横写因式 -x + 7x = 6x
例1. 用十字相乘法分解因式：
（1）x 2-8x+15 （2）x 2+4x+3 （3）-x 2-6x+16
练习 1．把下列各式分解因式：
（1）1522??x x = ； (2) =?+1032x x 。
（3） x 2-2x-3= 。
2．若=??652m m (m ＋a )(m ＋b )，则 a 和b 的值分别是 或 。
3. 分解因式(1)24142++x x (2)36152+?a a (3)542?+x x
(4)22?+x x (5)1522??y y (6)24102??x x
x x 1
2×x ??7×
x 1?
例2．已知，如图，现有a a ×、b b ×的正方形纸片和a b ×的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至 少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图 的痕迹），使拼出的矩形面积为22252a ab b ++，并标出此矩形的长和宽。
反馈练习反馈练习
1．若=??652m m (m ＋a )(m ＋b )，则 a 和b 的值分别是 或 ．
2．=??3522x x (x －3) (__________)．
3.如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干张，如果要拼一个长为(a＋2b)、宽为(a＋b)的大长方形，则需要C 类卡片 张．
4．分解因式：
（1）22157x x ++； (2) 2384a a ?+； （3）1522??x x
(4) 2576x x +? (5) 261110y y ?? （6）1032?+x x
5．先阅读学习，再求解问题：
a
b b
b 第3题图
材料：解方程：=?+1032x x 0。
解：原方程可化为 （x+5）（x-2）=0
所以x+5=0或 x-2=0
由x+5=0得x=-5
由x-2=0得x=2
所以x=-5或 x=2为原方程的解。
问题：：解方程：x 2-2x=3。
巩固训练巩固训练
1.下列各式分解因式错误的是 （ ）
A. )3)(2(652??=+?x x x x
B. )1)(6(652++=++x x x x
C. )1)(6(652+?=??x x x x
D. )1)(6(652?+=?+x x x x
2.（1）)6)(3(92++=++x x m x x ,则=m _.
（2）)2)(1(2+?=?+x x n mx x ,则=m _, =n .
（3）))((672b x a x x x ++=+?,则=a _, =b .
3．运用十字相乘法因式分解．
(1) 2273x x ?+ (2) 2675x x ?? (3) 261110y y ??
(4)22157x x ++ (5) 2384a a ?+ (6) 2576x x +?
(7) 22568x xy y +? （8）232++x x （9） 6
72+?x x
（10）22?+x x （11） 1522??x x
（11）x 2-8x+15 （12） x 2-2x-3
(13) x 2+7x +12 (14) x 2-8x +12 (15) x 2-x -12 (16) x 2+4x -12
(17) y 2+23y +22 (18) x 2-8x -20 (19) x 2+9x y -36 y 2
（20）1072+?x x （21）3522??x x (22) a 2+6ab +5 b 2
（23）x 2+5x +6 （24）x 2-5x +6 (25) x 2-5x -6 (26)x 2
+5x -6
二、公式法综合公式法综合
1.将下列多项式分解因式.
(1)15?a （2）10044?a （3）42242b b a a +?
2 将下列多项式分解因式
(1)18a 2－50 (2)2x 2y－8xy＋8y (3)a 2(x－y)－b 2(x－y)
归纳：综合运用提公因式法与运用公式法的一般步骤： （1） （2） （3）
三、例题教学例题教学
例1. 把下列各式分解因式.
（1）164?a （2）4224167281y y x x +?
例2.求下列代数式的值.
(1)已知a ＋b =5，ab =3，求代数式a 3b ＋2a 2b 2＋ab 3的值.
（2）已知2x ＋y =6，x －3y =1，求：14y (x －3y )2－4(3y －x )3的值.
四、反馈练习反馈练习
1．多项式①165x －x ②()2x 1?－4(x－1)＋4 ③()()422x 1
4x x 14x +?++ ④－42x －1＋4x 分解因式后，结果含有相同因式的是 （ ）
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
2．无论x，y 取何值，整式22x 4x y 6y 13?+?+总是 （ ）
A.非负数
B.正数
C.负数
D.非正数
3.把下列各式分解因式.
(1)3ax 2－3ay 4 （2）x 4－81 （3）x 4－2x 2＋1 （4）－2xy －x 2－y 2
（5）3ax 2＋6axy ＋3ay 2 （6）x 4－8x 2y 2＋16y
4 (7)(x 2＋2x )2－(2x ＋4)2
（8）80a 2(a ＋b )－45b 2(a ＋b ) (9)(x ＋y )2－4(x 2－y 2)＋4(x －y )
2 （10）(x 2＋2x )2＋2(x 2
＋2x )＋1
4.已知2x＋y=b，x－3y=1 求14y(x－3y)2－4(3y－x)3
的值.
22
n7n5
+??都能被24整除.
★5.试说明对任意整数n，()()
十字相乘法练习题及答案
十字相乘法因式分解练习题及答案 1、=++232x x 2、=+-672x x 3、=--2142x x 4、=-+1522x x 9、=++342x x 10、=++1072a a 11、=+-1272y y 12、=+-862q q 13、=-+202x x 14、=-+1872m m 15、=--3652p p 16、=--822t t 23、=++101132x x 24、=+-3722x x 25、=--5762x x 27、=++71522x x 28、=+-4832a a 29、=-+6752x x 33、=-+15442n n 34、=-+3562l l 答案：1、)2)(1(++x x 2、)6)(1(--x x 3、)7)(3(-+x x 4、)5)(3(+-x x 5、)2)(4(22++x x 6、)3)(1(-+-+b a b a 7、)2)((y x y x -- 8、)7)(4(2-+x x x 9、)3)(1(++x x 10、)5)(2(++a a 11、)4)(3(--y y 12、)4)(2(--q q 13、)5)(4(+-x x 14、)9)(2(+-m m 15、)9)(4(-+p p 16、)4)(2(-+t t 17、)5)(4(2 2-+x x 18、)8)(1(+-ax ax 19、)7)(2(b a b a -- 20、)9)(2(y x y x ++21、)6)(1(2-+y y x 22、)6)(2(+--a a a 23、)53)(2(++x x 24、)12)(3(--x x 25、)53)(12(-+x x 26、)45)(2(y x y x -+27、)7)(12(++x x 28、)23)(2(--a a 29、)35)(2(-+x x 30、)5)(25(+-ab ab 31、)5)(23(xy ab xy ab -- 32、)32)(32)(1(22-++x x x y 33、)52)(32(n m n m +- 34、)73)(52(-+l l
因式分解--十字相乘法练习题
十字相乘法分解因式练习题 1. 如果))((2b x a x q px x ，那么p 等于() A.ab B.a ＋b C.－ab D.－(a ＋b) 2. 如果 305)(22x x b x b a x ，则b 为() A.5 B.－6 C.－5 D.6 3. 多项式a x x 32可分解为(x －5)(x －b)，则a ，b 的值分别为( ) A.10和－2 B.－10和2 C.10和2 D.－10和－2 4. 不能用十字相乘法分解的是 () A.22x x B.x x x 310322C.242x x D.2 2865y xy x [5. 分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 () A. 20)(13)(22y x y x B.20)(13)22(2y x y x C.20)(13)(22y x y x D.20)(9)(22y x y x 6. 将下述多项式分解后，有相同因式 x －1的多项式有( ) ①672x x ；②1232x x ；③652x x ；④9542x x ；⑤823152x x ；⑥12 1124x x A.2个 B.3个 C.4个 D.5个7.10 32x x .8.6 52m m (m ＋a)(m ＋b).a ＝_____，b ＝__________. 9.3522x x (x －3)(). 10.2x ____22y (x －y)(__________). 11.1522x x =______________. 12. 当k ＝______时，多项式k x x 732有一个因式为__________. 13. 若x －y ＝6，3617 xy ，则代数式3 2232xy y x y x 的值为__________. 14. 把下列各式分解因式：
因式分解之十字相乘法专项练习的题目
十字相乘法进行因式分解 学生姓名：刘家艺 【基础知识精讲】 （1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式； （4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法． 【重点难点解析】 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2 ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652 ++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2 2 86y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式3722 2+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22 +-ab ab ，就是 关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2 ++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般 规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2 ，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++
分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2 (a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221， 那么c bx ax ++2 ))(()(22112112212 21c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征 是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如： )45)(2(86522-+=-+x x y xy x 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”． 【典型热点考题】 例1 把下列各式分解因式： （1）1522 --x x ；（2）2 2 65y xy x +-． 点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数； （2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项2 6y 可分为(－2y )(－3y )，而
十字相乘法因式分解练习题#精选、
因式分解详解——注意中间项的符号！最后的符号同十字相乘列式的符号~ 定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 有()()()b x a x ab x b a x+ + = + + + 2 注意：这里常数项是2，只有1×2。当常数项不是质数时，要通过多次拆分的尝试，直到符合要求为止。通常是拆分常数项，验证一次项 例1 把2x2-7x+3分解因式。 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数）： 2=1×2=2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 1 3 1 -1 1 -3 2 × 3 2 × 1 2 × -3 2 × -1 1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1） 1×（-1）+2×（-3） =5 =7 =-5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。 解 2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之 积，即a=a 1a 2 ，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c 1 c 2 ，把a 1 ，a 2 ，c 1 ，c 2 排列如下： a 1 c 1 a 2× c 2 a 1c 2 + a 2 c 1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a 1c 2 +a 2 c 1 ，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系 数b，即a 1c 2 +a 2 c 1 =b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a 1 x+c 1 与a 2 x+c 2 之积，即 ax2+bx+c=（a 1x+c 1 ）（a 2 x+c 2 ）。 像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 例2把6x2-7x-5分解因式。 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 2 1 3 × -5 2×（-5）+3×1=-7 是正确的，因此原多项式可以用直字相乘法分解因式。 解 6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）。 指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二镒项系数不是1的二次三贡式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。 对于二次项系数是1的二次三贡式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数。例如把x2+2x-15分解因式，十字相乘法是 1 -3 1 × 5 1×5+1×（-3）=2 所以x2+2x-15=（x-3）（x+5）。 例3把5x2+6xy-8y2分解因式。 分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 5 × -4 1×（-4）+5×2=6 解 5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）。 指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。 例4把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式。 分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。 问：两个乘积的历式有什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便？ 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2（x-y），它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用址字相乘法分解因式了。 解（x-y）（2x-2y-3）-2 =（x-y）［2（x-y）-3］-2 1 -2 =2（x-y）2-3（x-y）-2 2 × +1 =［（x-y）-2］［2（x-y）+1］ 1×1+2×（-2）=-3 =（x-y-2）（2x-2y+1）。 指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法。
因式分解之十字相乘法专项练习题
十字相乘法进行因式分解 【基础知识精讲】 【重点难点解析】 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2 ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652 ++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式3722 2+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 【典型热点考题】 例1 把下列各式分解因式： （1）1522 --x x ； （2）2 265y xy x +-． 例2 把下列各式分解因式： （1）3522 --x x ；（2）3832 -+x x ．
例3 把下列各式分解因式： （1）9102 4 +-x x ； （2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+； （3）120)8(22)8(222++++a a a a ． 点悟：（1）把2 x 看作一整体，从而转化为关于2 x 的二次三项式； （2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式； （3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式． 因式分解之十字相乘法专项练习题 (1) a 2－7a+6； (2)8x 2+6x －35；
(完整版)因式分解之十字相乘法专项练习题
十字相乘法进行因式分解 1．二次三项式 多项式ax2 bx c ，称为字母x的二次三项式，其中ax 2称为二次项，bx为一次项， c 为常数项．例如，x2 2x 3和x2 5x 6都是关于x的二次三项式． 在多项式x2 6xy 8 y2中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式2a2b2 7ab 3 中，把ab 看作一个整体，即2(ab)2 7(ab) 3，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式(x y)2 7(x y) 12 ，把x＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是： (1)对于二次项系数为1 的二次三项式x2 px q ，如果能把常数项q 分解成两个因数a， b 的积，并且a＋b 为一次项系数p，那么它就可以运用公式 2 x (a b)x ab (x a)( x b) 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项” ．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． (2)对于二次项系数不是 1 的二次三项式ax2 bx c(a，b，c 都是整数且a≠0)来说，如果存在四个整数a1,a2,c1,c2，使a1 a2 a，c1 c2 c，且a1c2 a2c1 b， 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一
十字相乘法分解因式经典例题和练习
用十字相乘法分解因式 十字相乘法： 一．2()x p q x pq +++型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 例1把下列各式因式分解： (1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ 变式 1、22215a b ab -- 2、422318a b a b -- 例2把下列各式因式分解： ⑴2243a ab b -+ ⑵222()8()12x x x x +-++ 变式 1、22215x xy y -- 2.、2256x xy y +- 例3把下列各式因式分解 ⑴ 223310x y x y y -- ⑵2234710a b ab b -+ 变式 ⑴222(3)2(3)8x x x x +-+- ⑵22(2)(22)3x x x x ----
二．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解 例4把下列各式因式分解： (1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +- 练习： 1、.因式分解：1、6732-+x x 2、 3832-+x x 例5把下列各式因式分解： （1）422416654y y x x +-； （2） 633687b b a a --； 练习：234456a a a --； 422469374b a b a a +-． 例6把下列各式因式分解 2222-+--+y y x xy x 练习： 233222++-+-y y x xy x 变式：分解因式：22 2456x xy y x y +--+- 变式：. 若x y mx y 2256-++-能分解为两个一次因式的积，求m 的值
(完整版)十字相乘法练习题
十字相乘法习题 1.232++x x 2.562++x x 3.11122++x x 4.17182++x x 5.342++x x 6.342+-x x 7.322-+x x 8.322--x x 9.672+-x x 10.652--x x 11.62-+x x 12.62--x x 13.22625a a +- 14.2024--x x 15.8624++x x 16. 42718x x +- 17.2223y xy x +- 18. 22149b ab a +- 19.8722--ax x a 20.10322-+mn n m 21. 223613b yb y +- 22. 9102+--a a 23. a a a 12423+-- 24. 222265x y x y x -- 25. 3)(4)(2++-+x b a b a 26. 10)2(3)2(2-+++y x y x 27. 12)4(7)4(222++++x x x x 28.2224)3(x x -- 29.6)25)(35(22--+++x x x x 30.24)4)(3)(2)(1(++-+-x x x x
31. 223x x -- 32. 2257x x +- 33. 2321a a -- 34. 23145b b +- 35.22157x x ++ 36. 2384a a -+ 37. 2576x x +- 38. 261110y y -- 39.313122+-x x 40.272442++x x 41.8652-+x x 42.1322++x x 43.61362+-y y 44.6732--a a 45.15442-+n n 46.3562-+x x 47.13852--x x 48. 2152-+x x 49.220920y y -- 50.2252310a b ab +- 51. 222231710a b abxy x y -+ 52. 53251520x x y xy -- 53. 22122+-）（x x 54. 108)2(39)2(324+---y x y x 55.8306251022++-+-y x y xy x 54. 222210173b a abxy y x +- 55. 2222)332()123(++-++x x x x
(完整版)因式分解--十字相乘法练习题含答案
十字相乘法因式分解练习题 1、232++x x 2、672+-x x 3、2142--x x 4、1522 -+x x 5、8624++x x 6、3)(4)(2++-+b a b a 7、2223y xy x +- 8、234283x x x -- 9、342++x x 10、1072++a a 11、1272+-y y 12、862+-q q 13、202-+x x 14、1872-+m m 15、3652--p p 16、822--t t 17、2024--x x 18、8722-+ax x a
19、22149b ab a +- 20、2 21811y xy x ++ 21、222265x y x y x -- 22、a a a 12423+-- 23、101132++x x 24、3722 +-x x 25、5762--x x 26、22865y xy x -+ 27、71522++x x 28、4832+-a a 29、6752-+x x 30、1023522-+ab b a 31、222210173y x abxy b a +- 32、22224954y y x y x -- 33、15442-+n n 34、3562-+l l 35、2222110y xy x +- 36、2215228n mn m +- 376)25)(35(22--+++x x x x 38、24)4)(3)(2)(1(++-+-x x x x
答案：1、)2)(1(++x x 2、)6)(1(--x x 3、)7)(3(-+x x 4、)5)(3(+-x x 5、)2)(4(22++x x 6、)3)(1(-+-+b a b a 7、)2)((y x y x -- 8、)7)(4(2-+x x x 9、)3)(1(++x x 10、)5)(2(++a a 11、)4)(3(--y y 12、)4)(2(--q q 13、)5)(4(+-x x 14、)9)(2(+-m m 15、)9)(4(-+p p 16、)4)(2(-+t t 17、)5)(4(22-+x x 18、)8)(1(+-ax ax 19、)7)(2(b a b a -- 20、)9)(2(y x y x ++21、)6)(1(2 -+y y x 22、)6)(2(+--a a a 23、)53)(2(++x x 24、)12)(3(--x x 25、)53)(12(-+x x 26、)45)(2(y x y x -+27、)7)(12(++x x 28、)23)(2(--a a 29、)35)(2(-+x x 30、)5)(25(+-ab ab 31、)5)(23(xy ab xy ab -- 32、)32)(32)(1(22-++x x x y 33、)52)(32(n m n m +-34、)73)(52(-+l l 35、)2)(10(y x y x --36、)54)(32(n m n m -- 37、)35)(4)(1(2-+++x x x x 38、)8)(2)(3(2-++-x x x x
十字相乘法专项训练
十字相乘法专项训练 一、基础概念： 1．二次三项式： 多项式2ax bx c ++，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项． 例如，223x x --和256x x ++都是关于x 的二次三项式． 在多项式2268x xy y -+中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式22273a b ab -+中，把ab 看作一个整体，即22()7()3ab ab -+，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式2()7()12x y x y ++++，把x y +看作一个整体，就是关于x y +的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容： 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用()()ax b cx d ＋＋竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2 ，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式： ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2 (a ，b ，c 都是整数且0a ≠)来说，如果存在四个整数1a ，2a ，3a ，4a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221，则可用十字相乘法进行因式分解． 3．因式分解一般要遵循的步骤： 先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”． 二、经典例题： 【例1】把下列各式分解因式： （1）2215x x -- ；（2）2256x xy y -+．
因式分解十字相乘法练习题含答案
十字相乘法因式分解练习题 1、=++232 x x 2、=+-672 x x 3、=--2142 x x 4、=-+1522 x x 9、=++342 x x 10、=++1072 a a 11、=+-1272 y y 12、=+-862 q q 13、=-+202 x x 14、=-+1872m m 15、=--3652p p 16、=--822t t 23、=++101132 x x 24、=+-3722 x x 25、=--5762x x 27、=++71522 x x 28、=+-4832a a 29、=-+6752 x x 33、=-+15442 n n 34、=-+3562l l 答案：1、)2)(1(++x x 2、)6)(1(--x x 3、)7)(3(-+x x 4、)5)(3(+-x x 5、)2)(4(2 2 ++x x 6、)3)(1(-+-+b a b a 7、)2)((y x y x -- 8、)7)(4(2-+x x x 9、)3)(1(++x x 10、)5)(2(++a a 11、)4)(3(--y y 12、)4)(2(--q q 13、)5)(4(+-x x 14、)9)(2(+-m m 15、)9)(4(-+p p 16、)4)(2(-+t t 17、)5)(4(2 2 -+x x 18、)8)(1(+-ax ax 19、)7)(2(b a b a -- 20、)9)(2(y x y x ++21、)6)(1(2-+y y x 22、)6)(2(+--a a a
23、)53)(2(++x x 24、)12)(3(--x x 25、)53)(12(-+x x 26、)45)(2(y x y x -+27、)7)(12(++x x 28、)23)(2(--a a 29、)35)(2(-+x x 30、)5)(25(+-ab ab 31、)5)(23(xy ab xy ab -- 32、)32)(32)(1(2 2 -++x x x y 33、)52)(32(n m n m +-34、)73)(52(-+l l 35、)2)(10(y x y x --36、)54)(32(n m n m -- 37、)35)(4)(1(2 -+++x x x x 38、)8)(2)(3(2 -++-x x x x
十字相乘法练习题含答案
十字相乘法因式分解练习题 1、=++232x x 2、=+-672x x 3、=--2142x x 4、=-+1522x x 9、=++342x x 10、=++1072a a 11、=+-1272y y 12、=+-862q q 13、=-+202x x 14、=-+1872m m 15、=--3652p p 16、=--822t t 23、=++101132x x 24、=+-3722x x 25、=--5762x x 27、=++71522x x 28、=+-4832a a 29、=-+6752x x 33、=-+15442n n 34、=-+3562l l
答案：1、)2)(1(++x x 2、)6)(1(--x x 3、)7)(3(-+x x 4、)5)(3(+-x x 5、)2)(4(2 2++x x 6、)3)(1(-+-+b a b a 7、)2)((y x y x -- 8、)7)(4(2-+x x x 9、)3)(1(++x x 10、)5)(2(++a a 11、)4)(3(--y y 12、)4)(2(--q q 13、)5)(4(+-x x 14、)9)(2(+-m m 15、)9)(4(-+p p 16、)4)(2(-+t t 17、)5)(4(22-+x x 18、)8)(1(+-ax ax 19、)7)(2(b a b a -- 20、)9)(2(y x y x ++21、)6)(1(2-+y y x 22、)6)(2(+--a a a 23、)53)(2(++x x 24、)12)(3(--x x 25、)53)(12(-+x x 26、)45)(2(y x y x -+27、)7)(12(++x x 28、)23)(2(--a a 29、)35)(2(-+x x 30、)5)(25(+-ab ab 31、)5)(23(xy ab xy ab -- 32、)32)(32)(1(22-++x x x y 33、)52)(32(n m n m +- 34、)73)(52(-+l l
因式分解之十字相乘法专项练习题
十字相乘法进行因式分解 1. 二次三项式 多项式cix2 +bx + c ,称为字母“的二次三项式，其中ax'称为二次项，&为一次项，c 为常数项.例如，x2 -2x-3和疋+5尤+ 6都是关于x的二次三项式. 在多项式X2-6A>-+8V2中，如果把y看作常数，就是关于“的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y的二次三项式. 在多项式2a2b2-lab+3中，把訪看作一个整体,即2(“尸-7(ab) + 3，就是关于訪的二次三项式.同样，多项式(x+)y+7(x+y) + 12 ,把x+y看作一个整体，就是关于x +卩的二次三项式. 2. 十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(?+ ? (cx+小竖式乘法法则.它的一般规律是： (1) 对于二次项系数为1的二次三项式x2+px + q f如果能把常数项g分解成两个因数曰，6的积，并 且a+b为一次项系数。那么它就可以运用公式 [ x' + {a + b)x + ab = (x + a){x + b) 分解因式.这种方法的特征是''拆常数项，凑一次项”.公式中的"可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同. (2) 对于二次项系数不是1的二次三项式a^+bx + c (a, b, c都是整数且mfO)来说，如果存在四个整数a v a19c v c2,使a〕?a2=a f c{*c2=c ,且a{c2 + a2c} = b , 3. 因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘 法，最后考虑分组分解法.对于一个还能継续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行.以上步骤
十字相乘法因式分解练习题
十字相乘法因式分解练习题 一、选择题 1 ． 如 果 ) )((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b ) 2 ． 如 果 30 5)(22--=+++?x x b x b a x ，则b 为 ( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．6 3．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－2 4 ． 不 能 用 十 字 相 乘 法 分 解 的 是 ( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+- C ．242++x x D ．22865y xy x -- 5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( ) A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y x D ．20)(9)(22++-+y x y x 6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( )
①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 二、填空题 7．=-+1032x x ___ ______． 8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__ ________，b ＝____ __ ____． 9．=--3522x x (x －3)(___ _______)． 10．+2x _ ___=-22y (x －y )(_____ _____)． 11．22____)(____(_____)+=++ a m n a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(________ __)． 13．若x －y ＝6，36 17 =xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为_______ ___． 三、解答题 14．把下列各式分解因式： 2522++x x 3832-+x x 20322--x x 6732-+x x 25562--x x 2352--x x 6724+-x x ； 36524--x x ；
初中数学十字相乘法练习(20200710023442)
第十一讲 十字相乘法探究解决： （1）请直接填写下列结果 （x+2）（x+1）= ；（x+2）（x-1）= ；（x-2）（x+1）= ；（x-2）（x-1）= 。把上述式子左右对调，你有什么发现？ 二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x 进行分解。 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。 （4）归纳： ab x b a x )(2（）（）将x 2+3x+2分解因式，看下图，你有什么启发？ x 2 +3x +2 2x + x = 3x 例 x 2 + 6x – 7= （x+7）(x-1) 步骤： ①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式-x + 7x = 6x 例1. 用十字相乘法分解因式： （1）x 2-8x+15 （2）x 2+4x+3 （3）-x 2 -6x+16 练习 1．把下列各式分解因式： （1）1522x x = ； (2) 1032x x 。（3） x 2-2x-3= 。2．若6 52m m (m ＋a )(m ＋b )，则a 和b 的值分别是或。3. 分解因式(1)24142x x (2)36152a a (3)5 42x x (4)22x x (5)1522y y (6) 24 102x x x x 12 x 7x 1
例2．已知，如图，现有a a 、b b 的正方形纸片和a b 的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至 少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使拼出的矩形面积为22 252a ab b ，并标出此矩形的长和宽。反馈练习 1．若652m m (m ＋a )(m ＋b )，则a 和b 的值分别是或． 2．3522x x (x －3) (__________)．3.如图，正方形卡片 A 类、 B 类和长方形卡片 C 类各若干张，如果要拼一个长为(a ＋2b)、宽为(a ＋b)的大长方形， 则需要C 类卡片张．4．分解因式： （1）22157x x ； (2) 2384a a ；（3）15 22x x (4) 2576x x (5) 261110y y （6）10 32x x 5．先阅读学习，再求解问题： A a a B b b C b a 第3题图
(完整版)十字相乘法因式分解练习题
十字相乘法因式分解练习题 1、=++232 x x 2、=+-672 x x 3、=--2142 x x 4、=-+1522 x x 5 、 =++8624x x 6、=++-+3)(4)(2 b a b a 7、=+-22 23y xy x 9、=++342 x x 10、 =++1072a a 11、 =+-1272y y 12 =+-862q q 13、=-+202 x x 14 =-+1872m m 15、=--3652p p 16、=--822 t t 17、=--2024 x x 18、=-+8722 ax x a 19、=+-22 149b ab a 20、=++22 1811y xy x 21、=--2222 65x y x y x 22、=+--a a a 12423 23、=++101132 x x 24、=+-3722 x x 25、=--5762x x 26、=-+22 865y xy x 27、=++71522 x x 28、=+-4832 a a 29、=-+6752x x 30、=-+1023522 ab b a 31、=+-2222 10173y x abxy b a 32、=--22224 954y y x y x 33、=-+15442 n n 34、=-+3562 l l 35、=+-22 22110y xy x 36、=+-22 15228n mn m 一元二次方程的解法 1、()()513+=-x x x x 2、x x 5322=- 3、 2260x y -+= 4、01072=+-x x 5、 ()()623=+-x x 6、()()03342 =-+-x x x
因式分解之十字相乘法分组分解专项练习题
因式分解-----十字相乘法 1．认识二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次 三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2 ，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2 (a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221， 那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注
十字相乘法练习题#精选、
十字相乘法 x2+ 3x + 2=0 x2 -3x + 2=0 x2+ x - 2=0 x2 -x - 2=0 x2 -4x +3=0 x2+ 4x + 3=0 x2+ 2x- 3=0 x2 -2x -3=0 x2+ 6x + 5=0 x2 -6x +5=0 x2+ 4x -5=0 x2 -4x -5=0 x2+ 5x + 6=0 x2- 5x + 6=0 x2+ 7x + 6=0 x2 -7x + 6=0 x2+ x - 6=0 x2- x - 6=0 x2+5x-6=0 x2 -5x -6=0 x2+ 8x + 7=0 x2+ 6x - 7=0 x2- 6x - 7=0 x2- 8x + 7=0 x2+ 9x + 8=0 x2 -9x + 8=0 x2+ 6x +8=0 x2 -6x +8=0 x2-7x -8=0 x2+ 7x -8=0 x2+ 2x -8=0 x2 -2x -8=0 x2+11x + 10=0 x2-11x +10=0 x2+ 7x + 10=0 x2 -7x + 10=0 x2+9x - 10=0 x2 -9x-10=0 x2+ 3x -10=0 x2 - 3x -10=0 x2+ 13x +12=0 x2 - 13x +12=0x2+8x +12=0 x2 -8x +12=0
x2+ 7x +12=0 x2 -7x +12=0 x2+ 11x -12=0 x2-11x -12=0 x2+ x -12=0 x2 -x -12=0 x2+ 4x -12=0 x2 -4x -12=0 x2+ 2x - 15=0 x2- 2x - 15=0 x2+ 8x + 15=0 x2- 8x + 15=0 x2+ 11x +18=0 x2+ 9x +18=0 x2- 9x + 18=0 x2 -11x +18=0 x2+ 19x + 18=0 x2- 19x + 18=0 x2+ 17x - 18=0 x2- 17x - 18=0 x2+ 3x - 18=0 x2- 3x - 18=0 x2+ 12x + 20=0 x2- 12x + 20=0 x2+ x - 20=0 x2- x - 20=0 x2+ 9x + 20=0 x2- 9x + 20=0 x2+ 8x - 20=0 x2- 8x - 20=0 x2+ 21x + 20=0 x2- 21x + 20=0 x2+ 19x - 20=0 x2- 19x - 20=0 x2+ 23x + 22=0 x2- 23x + 22=0 x2+ 9x - 22=0 x2- 9x - 22=0 x2+ 13x + 22=0 x2- 13x + 22=0 x2- 21x - 22=0 x2+ 21x - 22=0 x2+ 12x + 27=0 x2-6x - 27=0 x2+ 14x +45=0 x2- 4x -45=0 x2+ 18x +45=0 x2-12 x -45=0