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一次函数压轴题训练

典型例题

题型一、 A 卷压轴题

一、 A 卷中涉及到的面积问题

例 1、如图，在平面直角坐标系

xOy 中，一次函数 y 1

2

x 2 与 x 轴、 y 轴分别相交于点

3

A 和点

B ，直线 y 2 kx b (k

0) 经过点 C （ 1，0）且与线段 AB 交于点 P ，并把△ ABO 分

成

两部分．

（ 1）求△ ABO 的面积；

（ 2）若△ ABO 被直线 CP 分成的两部分的面积相等，

求点 P 的坐标及直线

CP 的函数表达式。

y

y 1

B P

O C

A

x

y 2

练习 1、如图，直线 l 1 过点 A （ 0， 4），点 D （ 4， 0），直线 l 2 ： y

1

x 1与 x 轴交于点 C ，

2

两直线 l 1 ， l 2 相交于点 B 。

l 1

y

（1）、求直线 l 1 的解析式和点 A

B 的坐标；

l 2

（2）、求△ ABC 的面积。

B

C

O

D

x

二、 A 卷中涉及到的平移问题

例 2、正方形 ABCD的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB边落在X轴的正半轴上，且 A 点的坐标是（1， 0）。

4 8

①直线 y=3x- 3经过点 C，且与 x 轴交与点E，求四边形AECD的面积；

②若直线 l 经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分求直线l 的解析式，

③若直线 l1经过点F

3 .0 且与直线y=3x平行,将②中直线l沿着y轴向上平移2个单位

23

交 x 轴于点M , 交直线l1于点N , 求NMF 的面积.

练习 1、如图，在平面直角坐标系中，直线l

1： y

4

x 与直线 l2： y kx b 相交于

3

点 A，点 A 的横坐标为 3，直线l2交y轴于点 B，且OA 1

OB 。2

（1）试求直线l 2函数表达式。（6分）

（2）若将直线l 1沿着x轴向左平移3个单位，交y 轴

y 于点 C，交直线l2于点 D；试求△ BCD的面积。（4分）。

L 2

l 1

A

1

x

题型二、 B 卷压轴题

一、一次函数与特殊四边形

例 1、如图，在平面直角坐标系中，点A、B 分别在 x 轴、

y 轴上，线段OA、 OB的长 (0A

2x y

2x 与直线

是方程组的解，点 C是直线y

3x y6

AB的交点，点 D 在线段 OC上， OD=25

(1)求点 C 的坐标；

(2)求直线 AD的解析式；

(3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以 0、A、P、Q为顶点的四边形是菱

形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

练习 1、. 如图 , 在平面直角坐标系xOy 中,已知直线PA是一次函数y=x+m( m>0)的图象,直线 PB是一次函数y3x n(n > m )的图象,点P是两直线的交点, 点 A、B、C、Q分别是

两条直线与坐标轴的交点。

（1）用m、n分别表示点 A、 B、 P 的坐标及∠ PAB的度数；

（2）若四边形 PQOB的面积是11

，且 CQ:AO=1:2，试求点 P 的坐标，并求出直线 PA 与2

PB的函数表达式；

（ 3）在（ 2）的条件下，是否存在一点D，使以 A、 B、

P、 D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由。y

C

P

x A O B

2、（ 2011?玉溪）如图，在Rt△ OAB中，∠ A=90°，∠ ABO=30°， OB=，边 AB的垂直平分线CD分别与 AB、 x 轴、 y 轴交于点C、 G、 D．8 3 3

（1）求点 G的坐标；

（2）求直线 CD的解析式；

（3）在直线 CD上和平面内是否分别存在点 Q、 P，使得以 O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 Q得坐标；若不存在，请说明理由．

二、一次函数与三角形

例 2、如图 , 矩形 OABC在平面直角坐标系内(O 为坐标原点 ), 点 A 在x轴上 , 点 C 在y轴上 ,

点 B 的坐标为 (-2, 2

1

, 过点 H且平行于y 轴3 ),点E是BC的中点,点H在OA上,且AH=

2

的 HG与 EB交于点 G,现将矩形折叠 , 使顶点 C落在 HG上 , 并与 HG上的点 D重合 , 折痕为 EF,点 F 为折痕与y轴的交点 .

(1)求∠ CEF的度数和点 D 的坐标 ;(3分)

(2)求折痕 EF 所在直线的函数表达式;(2 分 )

(3)若点 P在直线 EF 上 , 当△ PFD为等腰三角形时 , 试问满足条件的点P 有几个 , 请求出点 P 的坐标 , 并写出解答过程.(5分)

y

B G

E

C

D

F

A

O x H

y

B G

E

C

D

F

A

H O x

练习 1、（ 2011?漳州）如图，直线 y=-2x+2 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点，将△ OAB绕点 O 逆时针方向旋转 90°后得到△ OCD．

（1）填空：点 C 的坐标是（，），点 D 的坐标是（，）；

（2）设直线 CD与 AB交于点 M，求线段 BM的长；

（3）在 y 轴上是否存在点P，使得△ BMP是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点

P的坐标；若不存在，请说明理由．

2、（ 2010?黑河）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x+12 的图象分别交x 轴， y 轴于 A，

B 两点过点 A 的直线交y 轴正半轴与点M，且点 M为线段 OB的中点．

（1）求直线 AM的函数解析式．

（2）试在直线 AM上找一点 P，使得 S△ABP=S△AOB，请直接写出点 P 的坐标．

（3）若点 H 为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以 A， B， M， H

为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由

三、重叠面积问题

例 3、已知如图，直线y3x 4 3 与x轴相交于点A，与直线y3x 相交于点P．

①求点 P 的坐标．

②请判断OPA的形状并说明理由．

③动点 E 从原点 O出发，以每秒1个单位的速度沿着 O→ P→ A 的路线向点A匀速运动（ E 不与

点 O、 A重合），过点 E 分别作 EF⊥x 轴于 F，EB⊥ y 轴于 B．设运动 t 秒时，矩形 EBOF与

△OPA重叠部分的面积为S．求：S与 t 之间的函数关系式．y

P

E

B

O F A x

练习 1、如图，已知直线l1 : y x 2与直线 l 2：y 2 x 8 相交于点F，l1、l2分别交x轴

于点 E、 G，矩形 ABCD顶点 C、D 分别在直线l1、 l 2，顶点A、B都在x轴上，且点B 与

点 G 重合。

（ 1）、求点 F 的坐标和∠ GEF 的度数； （ 2）、求矩形 ABCD 的边 DC 与 BC 的长；

（ 3）、若矩形 ABCD 从原地出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度平移，设移

动时间为 t 0 t 6 秒，矩形 ABCD 与△ GEF 重叠部分的面积为 s ，求 s 关于 t 的函数关

系式，并写出相应的

t 的取值范围。

y l 2

l 1

C

D

F

B

G

A

O

E

x

、如图，过 （ ， ）、 （ ， 3 ）两点的直线与直线

y 3x 交于点 ．平行于

y 轴的

2 A 8 0 B 0 8

C

直线 l 从原点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴向右平移， 到 C 点时停止； l

分

别交线段 BC 、 OC 于点 D 、E ，以 DE 为边向左侧作等边△ DEF ，设△ DEF 与△ BCO 重叠部

分的面积为 S （平方单位），直线 l 的运动时间为 t （秒）．

（ 1）直接写出 C 点坐标和 t 的取值范围；

（ 2）求 S 与 t 的函数关系式； （ 3）设直线 l 与 x 轴交于点

P ，是否存在这样的点 P ，使得以 P 、 O 、 F 为顶点的三角形

为等腰三角形，若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

3、（衡阳市）如图，直线 y

x 4 与两坐标轴分别相交于 A.B 点，点 M 是线段 AB 上任意

一点（ A.B 两点除外），过 M 分别作 MC ⊥ OA 于点 C ， MD ⊥OB 于 D ．

（ 1）当点 M 在 AB 上运动时，你认为四边形 OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；

7

（ 3）当四边形 OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着 x 轴的正方向移动，设平移的距离为

a（0 a 4)

，正方形 OCMD与△ AOB重叠部分的面积

为S．试求 S 与a的函数关系式并画

出该函数的图象．

y y y

B B B

D

M

OCAx O Ax O Ax 图（ 1）图（ 2）图（ 3）

四、关系式问题

例 4 、如图，已知直线的解析式为

，直线与 x 轴、 y 轴分别相交于A、 B 两点，直线经过 B、

C 两点，点 C 的坐标为（ 8， 0），又已知点P 在 x 轴上从点 A 向点 C 移动，点Q 在直线

从点 C 向点 B 移动 . 点 P、 Q同时出发，且移

动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（） .

（1）求直线的解析式.

（2）设△ PCQ的面积为S，请求出S 关于 t 的函数关系式.

练习 1、（ 2011?鸡西）已知直线 y=x+4 与 x 轴、 y 轴分别交

于 A、 B两点，∠ ABC=60°， BC与 x 轴交于点 C．

（1）试确定直线 BC的解析式．

（2）若动点 P 从 A 点出发沿 AC向点 C 运动（不与 A、C 重合），同时动点 Q从 C 点出发沿CBA向点 A 运动（不与C、A 重合），动点 P 的运动速度是每秒 1 个单位长度，动点Q的运动速度是每秒 2 个单位长度．设△APQ的面积为S， P 点的运动时间为t 秒，求 S 与 t 的函数

关系式，并写出自变量的取值范围．

（3）在（ 2）的条件下，当△APQ的面积最大时，y 轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以 A、 Q、 M、 N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N 点的坐标；若不存在，请

说明理由．

2、（ 2011?河池）已知直线l 经过 A（ 6， 0）和 B（ 0， 12）两点，且与直线y=x 交于点 C．（1）求直线l 的解析式；

（2）若点 P（ x， 0）在线段OA上运动，过点P 作 l 的平行线交直线y=x 于 D，求△ PCD的面积 S 与 x 的函数关系式；S 有最大值吗？若有，求出当S 最大时 x 的值；

（3）若点 P（ x， 0）在 x 轴上运动，是否存在点 P，使得△ PCA成为等腰三角形？若存在，请

写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

一次函数压轴题训练

典型例题

题型一、 A 卷压轴题

一、 A 卷中涉及到的面积问题

例 1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y

2

x 2 与x轴、y轴分别相交于点13

A 和点 B，直线y2kx b (k 0) 经过点C（1，0）且与线段AB交于点P，并把△ABO分成

两部分．

（ 1）求△ ABO的面积；

（ 2）若△ ABO被直线 CP分成的两部分的面积相等，求点P的坐标及直线CP的函数表达式。

y

y 1

B P

O C A x

练习 1、如图，直线

1

x

l过点（，），点（，），直线 l： y x 1与轴交于点，1A0 4 D 4 022C

两直线 l1， l 2相交于点B。

l 1

y

（1）、求直线l1的解析式和点 B 的坐标；

A

l2（2）、求△ ABC的面积。

B

C

O D x

二、 A 卷中涉及到的平移问题

例 2、正方形 ABCD的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB边落在X轴的正半轴上，且 A 点的坐标是（1， 0）。

4 8

①直线 y=3x- 3经过点 C，且与 x 轴交与点 E，求四边形AECD的面积；

②若直线 l 经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分求直线l 的解析式，

③若直线 l1经过点F

3 .0 且与直线y=3x平行,将②中直线l沿着y轴向上平移2个单位

23

交 x 轴于点M , 交直线l1于点N , 求NMF 的面积.

练习 1、如图，在平面直角坐标系中，直线l

1： y

4

x 与直线 l2： y kx b 相交于

3

点 A，点 A 的横坐标为 3，直线l2交y轴于点 B，且OA 1

OB 。2

（1）试求直线l 2函数表达式。（6分）

（2）若将直线l 1

沿着 x 轴向左平移3

个单位，交

y

轴于点

C l 2

于点

D

，交直线；试求△

BCD的面积。（ 4 分）。L 2

y

l 1

A

1

1

x

O

B

题型二、 B 卷压轴题

一、一次函数与特殊四边形

例 1、如图，在平面直角坐标系中，点A、B 分别在 x 轴、 y 轴上，线段OA、OB的长 (0A

2x y

2x 与直线AB的交点，点D 在线段 OC 上，

是方程组的解，点 C 是直线y

3x y 6

OD=2 5

(1)求点 C 的坐标；

(2)求直线 AD的解析式；

(3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以 0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

练习 1、. 如图 , 在平面直角坐标系xOy 中,已知直线PA是一次函数y=x+m( m>0)的图象,直线 PB是一次函数y3x n(n > m )的图象,点P是两直线的交点, 点 A、B、C、Q分别是

两条直线与坐标轴的交点。

（ 1）用m、n分别表示点A、 B、 P 的坐标及∠ PAB

的度数；

（2）若四边形 PQOB的面积是11

，且 CQ:AO=1:2，2

试求点 P 的坐标，并求出直线PA与 PB 的函数表达式；

（ 3）在（ 2）的条件下，是否存在一点D，使以 A、

B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点

D的坐标；若不存在，请说明理由。y C

P

Q

A O B

x

2、（ 2011?玉溪）如图，在Rt△ OAB中，∠ A=90°，∠ ABO=30°， OB=，边 AB的垂直平分线CD分别与 AB、 x 轴、 y 轴交于点C、 G、 D．8 3 3

（1）求点 G的坐标；

（2）求直线 CD的解析式；

（3）在直线 CD上和平面内是否分别存在点 Q、 P，使得以 O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 Q得坐标；若不存在，请说明理由．

二、一次函数与三角形

例 2、如图 , 矩形 OABC 在平面直角坐标系内 (O 为坐标原点 ), 点 A 在 x 轴上 , 点 C 在 y 轴上 , 点 B 的坐标为 (-2, 2 3 ), 点 E

是 BC 的中点 , 点 H 在 OA 上 , 且 AH=1

, 过点 H 且平行于 y 轴的 HG 与 EB 交于点 G, 现将矩形

2

折叠 , 使顶点 C 落在 HG 上 , 并与 HG 上的点 D 重合 , 折痕为 EF, 点 F 为折痕与 y 轴的交点 .

(1) 求∠ CEF 的度数和点 D 的坐标 ;(3 分) (2) 求折痕 EF 所在直线的函数表达式

;(2 分 )

(3) 若点 P 在直线 EF 上 , 当△ PFD 为等腰三角形时 , 试问满足条件的点 P 有几个 , 请求出点 P

的坐标 , 并写出解答过程 .(5

分 )

B G

E

y

B G

E

y

C

C

D

F

D

F

A

O x A H O x

H

练习 1、（ 2011?漳州）如图，直线 y=-2x+2 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 B 两点，将△ OAB 绕点 O

逆时针方向旋转 90°后得到△ OCD ．

（ 1）填空：点 C 的坐标是（ ， ），点 D 的坐标是（ ，）；

（ 2）设直线 CD 与 AB 交于点 M ，求线段 BM 的长； （3）在 y 轴上是否存在点

P ，使得△ BMP 是等腰三角形？若存在， 请求出所有满足条件的点

P 的坐标；若不存在，请说明理由．

3、（ 2010?黑河）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x+12 的图象分别交x 轴， y 轴于 A，

B 两点过点 A 的直线交y 轴正半轴与点M，且点 M为线段 OB的中点．

（1）求直线 AM的函数解析式．

（2）试在直线 AM上找一点 P，使得 S△ABP=S△AOB，请直接写出点 P 的坐标．

（3）若点 H 为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以 A， B， M， H 为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由

三、重叠面积问题

例 3、已知如图，直线y3x 4 3 与x轴相交于点A，与直线y3x 相交于点P．

①求点 P 的坐标．

②请判断OPA的形状并说明理由．

③动点 E 从原点 O出发，以每秒1个单位的速度沿着 O→ P→ A 的路线向点A匀速运动（ E 不与点 O、 A重合），过点 E 分别作 EF⊥x 轴于 F，EB⊥ y 轴于 B．设运动 t 秒时，矩形 EBOF与

△OPA重叠部分的面积为S．求：S与 t 之间的函数关系式．y

P

E

B

练习 1、如图，已知直线l1 : y x 2与直线 l 2：y 2 x 8 相交于点F，l1、l2分别交x轴于点 E、 G，矩形 ABCD顶点 C、D 分别在直线l1、 l 2，顶点A、B都在x轴上，且点B 与

点G重合。

（1）、求点 F 的坐标和∠ GEF的度数；

（2）、求矩形 ABCD的边 DC与 BC的长；

（3）、若矩形 ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度平移，设移

动时间为 t 0 t 6秒，矩形 ABCD与△ GEF重叠部分的面积为s，求 s 关于t的函数关

系式，并写出相应的t 的取值范围。

y l 2

l 1

C

D

F

B

G A O E x

2、如图，过（ 8，0）、（ 0，8 3 ）两点的直线与直线

y3x 交于点．平行于

y

轴的

A B C

直线 l 从原点O出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；l 分

别交线段 BC、 OC于点 D、E，以 DE为边向左侧作等边△ DEF，设△ DEF与△ BCO重叠部分的面积为 S（平方单位），直线l的运动时间为 t （秒）．

（1）直接写出C点坐标和 t 的取值范围；

（2）求 S 与 t 的函数关系式；

（ 3）设直线l与x轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以 P、 O、 F 为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．