人教版 九年级数学讲义 与圆有关的位置关系(含解析)
第12讲与圆有关的位置关系
知识定位
讲解用时：3分钟
A、适用范围：人教版初三，基础一般
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先学习与圆有关的三类位置关系：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系，重点掌握各种与圆位置关系的判断方法，其次学习切线的有关性质与判定定理以及切线长定理及应用，能够结合已知题意证明相关切线，最后掌握圆的外接三角形与三角形内切圆概念。本节课的重点是三类位置关系的判断方法以及切线的性质与判定定理，属于中考重点内容，也是难点之一，希望同学们能够好好学习，扎实基础。
知识梳理
讲解用时：30分钟
与圆有关的位置关系
（1）点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有3种，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，
则有：
⊙点P在圆外⊙d＞r
⊙点P在圆上⊙d=r
⊙点P在圆内⊙d＜r
注意：
点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆
心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系。
课堂精讲精练
【例题1】
到圆心的距离不大于半径的点的集合是（）。
A．圆的外部B．圆的内部C．圆D．圆的内部和圆
【答案】D
【解析】此题考查圆的认识以及点与圆的位置关系，
根据点和圆的位置关系，知圆的内部是到圆心的距离小于的所有点的集合；
圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合；
所以与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是圆的内部（包括边界），
故选：D．
讲解用时：3分钟
解题思路：根据圆是到定点距离等于定长的点的集合以及点和圆的位置关系即可解决。
教学建议：理解圆上的点、圆内的点和圆外的点所满足的条件。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：盱眙县校级月考年份：2016秋
【练习1】
关于半径为5的圆，下列说法正确的是（）。
A．若有一点到圆心的距离为5，则该点在圆外
B．若有一点在圆外，则该点到圆心的距离不小于5
C．圆上任意两点之间的线段长度不大于10
D．圆上任意两点之间的部分可以大于10π
【答案】C
【解析】此题主要考查了点与圆的位置关系以及弦长概念，
A、关于半径为5的圆，有一点到圆心的距离为5，则该点在圆上，故此选项错误；
B、关于半径为5的圆，若有一点在圆外，则该点到圆心的距离大于5，故此选
项错误；
C、圆上任意两点之间的线段长度不大于10，此选项正确；
D、圆上任意两点之间的部分不可以大于10π，故此选项错误，故选：C.
讲解用时：3分钟
解题思路：根据定义逐项排除。
教学建议：根据定义逐项排除。
难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：奉贤区一模年份：2014
【例题2】
已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，那么直线l与⊙O 的位置关系是（）。
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【答案】A
【解析】本题考查的是直线与圆的位置关系，
∵⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，
⊙3.5＜4，⊙直线l与⊙O的位置关系是相交，故选：A．
讲解用时：2分钟
解题思路：根据直线和圆的位置关系的内容判断即可。
教学建议：熟记直线与圆的位置关系判断。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：资中县一模年份：2018【练习2】
半径为10的⊙O和直线l上一点A，且OA=10，则直线l与⊙O的位置关系是（）。A．相切B．相交C．相离D．相切或相交
【答案】D
【解析】本题考查的是直线与圆的位置关系，
若OA⊙l，则圆心O到直线l的距离就是OA的长，等于半径，所以直线l与⊙O 相切；
若OA与直线l不垂直，根据垂线段最短，圆心O到直线l的距离小于5，即小
于半径，所以直线l与⊙O相交，故选：D．
讲解用时：5分钟
解题思路：分两种情况求解：OA⊙l与OA不垂直l，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判定。
教学建议：注意分类讨论。
难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：常州模拟年份：2018 【例题3】
已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（）。
A．0＜d＜1B．d＞5C．0＜d＜1或d＞5D．0≤d＜1或d＞5【答案】D
【解析】本题考查了圆与圆的位置关系，
若两圆没有公共点，则可能外离或内含，
外离时的数量关系应满足d＞5；
内含时的数量关系应满足0≤d＜1，故选：D．
讲解用时：3分钟
解题思路：若两圆没有公共点，则可能外离或内含，据此考虑圆心距的取值范围。教学建议：注意分类讨论。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：浦东新区模拟年份：2018 【练习3】
在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点E是边AB上一点（不与A、B重合），以点A为圆心，AE为半径作⊙A，如果⊙C与⊙A外切，那么⊙C的半径r的取值范围是。
【答案】8＜r＜13
【解析】本题考查了圆与圆的位置关系，
⊙四边形ABCD为矩形，
⊙⊙B=90°，AD=BC=12，
在Rt⊙ABC中，由勾股定理得AC=13，
⊙以点A为圆心，AE为半径作⊙A，由题意可知0 如果⊙C与⊙A外切，r A+r C=13，即r A=13-r C， 可得⊙C的半径r的取值范围是8＜r＜13． 讲解用时：3分钟 解题思路：先利用勾股定理计算出AC=13，利用⊙C与⊙A外切可确定⊙C的半径r的取值范围。 教学建议：根据圆与圆的位置关系解答。 难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：崇明县二模年份：2018 【例题4】 如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，若⊙A=40°，则⊙C等于（）。 A．20°B．25° C．30° D．50° 【答案】B 【解析】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质等知识， 如图，连接OB， ⊙AB是⊙O的切线， ⊙AB⊙OB，⊙⊙OBA=90°， ⊙⊙A=40°，⊙⊙AOB=90°﹣⊙A=50°， ⊙OB=OC，⊙⊙C=⊙OBC， ⊙⊙AOB=⊙C+⊙OBC=50°，⊙⊙C=⊙OBC=25°，故选：B． 讲解用时：5分钟 解题思路：如图，连接OB．由AB是⊙O的切线，推出AB⊙OB，即⊙OBA=90°，由⊙A=40°，推出⊙AOB=90°﹣⊙A=50°，由OB=OC，推出⊙C=⊙OBC，由⊙AOB=⊙C+⊙OBC=50°，即可解决问题。 教学建议：切线的常规辅助线就是连接圆心和切点，即出现直角。 难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：沙坪坝区模拟年份：2018【练习4】 如图，直线l是⊙O的切线，点A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C，D是优弧AC上一点，连接AD、CD，若⊙ABO=40°，则⊙D的大小是（）。A．50°B．40° C．35°D．25° 【答案】D 【解析】本题考查了切线的性质和圆周角定理的运用， ⊙AB是⊙O的切线， ⊙OA⊙AB，⊙⊙OAB=90°， ⊙⊙B=38°，⊙⊙AOB=90°﹣40°=50°， ⊙⊙D=⊙AOB=25°，故选：D． 讲解用时：4分钟 解题思路：先根据切线的性质得到⊙OAB=90°，再利用互余计算出⊙AOB=50°，然后根据圆周角定理求解。 教学建议：注意圆心角与圆周角的关系。 难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：朝阳区一模年份：2018【例题5】 如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，求⊙PCD的周长。 【答案】20 【解析】本题考查了切线长定理的应用， ⊙PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E， ⊙PA=PB=10，CA=CE，DE=DB， ⊙⊙PCD的周长是PC+CD+PD =PC+AC+DB+PD =PA+PB =10+10 =20． 讲解用时：5分钟 解题思路：根据切线长定理得出PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，求出⊙PCD的周长是PC+CD+PD=PA+PB，代入求出即可。 教学建议：灵活运用切线长定理。 难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：东明县一模年份：2018 【练习5】 如图，直线PA、PB是⊙O的两条切线，A、B分别为切点，若⊙APB=120°，⊙O 的半径为10，则弦AB的长为。 【答案】10 【解析】本题考查了圆的切线性质以及等边三角形的性质与判定， 连OA，OB， ⊙直线PA，PB是⊙O的两条切线， ⊙OA⊙PA，OB⊙PB，⊙⊙OAP=⊙OBP=90° ⊙⊙APB=120°，⊙OAP+⊙OBP+⊙APB+⊙AOB=360°， ⊙⊙AOB=60°， ⊙OA=OB，⊙⊙AOB为等边三角形， ⊙AB=OA=10． 讲解用时：5分钟 解题思路：先由题意得出⊙AOB为等边三角形，再由等边三角形性质即可得出。教学建议：连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题。 难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：曲靖一模年份：2018【例题6】 如图，圆O是⊙ABC的内切圆，分别切BA、BC、AC于点E、F、D，点P在弧DE上，如果⊙EPF=70°，求⊙B。 【答案】40° 【解析】此题考查三角形的内切圆与内心， ⊙⊙EPF=70°，⊙⊙EOF=2⊙EPF=140°， ⊙BE、BF是切线，⊙⊙BEO=⊙BFO=90°， ⊙⊙B=360°﹣90°﹣90°﹣140°=40°． 讲解用时：5分钟 解题思路：根据圆心角与圆周角的关系得出⊙EOF=140°，进而得出⊙B的度数即可。 教学建议：根据圆心角与圆周角的关系得出⊙EOF=140°。 难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：江干区一模年份：2018 【练习6】 如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，则点O是⊙ABC的（）。 A．三条高线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三角形三内角角平分线的交点 【答案】B 【解析】此题主要考查了三角形的外接圆与外心， ⊙⊙O是⊙ABC的外接圆， ⊙点O是⊙ABC的三条边的垂直平分线的交点，故选：B． 讲解用时：2分钟 解题思路：根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而得出答案。 教学建议：正确把握外心的定义是解题关键。 难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：富阳区一模年份：2018 【例题7】 如图所示，PB是⊙O的切线，B为切点，圆心O在PC上，⊙P=30°，D为弧BC 的中点。 （1）求证：PB=BC； （2）试判断四边形BOCD的形状，并说明理由。 【答案】 （1）⊙PB是⊙O的切线， ⊙⊙OBP=90°，⊙POB=90°﹣30°=60°， ⊙OB=OC，⊙⊙OBC=⊙OCB，⊙OCB=30°=⊙P， ⊙PB=BC． （2）四边形BOCD为菱形 【解析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定以及等边三角形的判定与性质， （1）⊙PB是⊙O的切线， ⊙⊙OBP=90°，⊙POB=90°﹣30°=60°， ⊙OB=OC，⊙⊙OBC=⊙OCB，⊙OCB=30°=⊙P， ⊙PB=BC． （2）四边形BOCD为菱形 理由如下：如图，连接OD交BC于点M， ⊙D是的中点，⊙OD垂直平分BC． 在Rt⊙OMC中， ⊙⊙OCM=30°，⊙OC=2OM=OD ⊙OM=MD，⊙四边形BOCD为菱形． 讲解用时：10分钟 解题思路：（1）由PB是⊙O的切线，⊙P=30°，易求得⊙OCB的度数，继而可得⊙P=⊙OCB=30°，又由等角对等边，证得PB=BC； （2）首先连接OD，易证得⊙BOD与⊙COD是等边三角形，可得OB=BD=OC=CD，即可证得四边形BOCD是菱形。 教学建议：注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用。 难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：金水区校级模拟年份：2018 【练习7】 如图，AB是⊙O的直径，⊙ACB的平分线交AB于点 D，交⊙O于点E，过点C作⊙O的切线CP交BA的延 长线于点P，连接AE。 （1）求证：PC=PD； （2）若AC=5cm，BC=12cm，求线段AE，CE的长。 【答案】 （1）证明：如图1中，连接OC、OE． ⊙AB 直径，⊙⊙ACB=90°，⊙CE平分⊙ACB， ⊙⊙ECA=⊙ECB=45°，⊙=， ⊙OE⊙AB，⊙⊙DOE=90°， ⊙PC是切线，⊙OC⊙PC，⊙⊙PCO=90°， ⊙OC=OE，⊙⊙OCE=⊙OEC， ⊙⊙PCD+⊙OCE=90°，⊙ODE+⊙OEC=90°，⊙PDC=⊙ODE， ⊙⊙PCD=⊙PDC，⊙PC=PD． （2） 【解析】本题考查切线的性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识， （1）证明：如图1中，连接OC、OE． ⊙AB 直径，⊙⊙ACB=90°，⊙CE平分⊙ACB， ⊙⊙ECA=⊙ECB=45°，⊙=， ⊙OE⊙AB，⊙⊙DOE=90°， ⊙PC是切线，⊙OC⊙PC，⊙⊙PCO=90°， ⊙OC=OE，⊙⊙OCE=⊙OEC， ⊙⊙PCD+⊙OCE=90°，⊙ODE+⊙OEC=90°，⊙PDC=⊙ODE， ⊙⊙PCD=⊙PDC，⊙PC=PD． （2）如图2中，作EH⊙BC于H，EF⊙CA于F， ⊙CE平分⊙ACB，EH⊙BC于H，EF⊙CA于F， ⊙EH=EF，⊙EFA=⊙EHB=90°， ⊙=，⊙AE=BE， ⊙Rt⊙AEF⊙Rt⊙BEH， ⊙AF=BH，设AF=BH=x， ⊙⊙F=⊙FCH=⊙CHE=90°，⊙四边形CFEH是矩形， ⊙EH=EF，⊙四边形CFEH是正方形， ⊙CF=CH，⊙5+x=12﹣x， ⊙x=，⊙CF=FE=， ⊙EC=CF=， AE===． 讲解用时：20分钟 解题思路：（1）如图1中，连接OC、OE．利用等角的余角相等，证明⊙PCD=⊙PDC （2）如图2中．作EH⊙BC于H，EF⊙CA于F．首先证明Rt⊙AEF⊙Rt⊙BEH，即可； 推出AF=BH，设AF=BH=x，再证明四边形CFEH是正方形，推出CF=CH，可得5+x=12﹣x，推出x=，延长即可解决问题。 教学建议：解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题。 难度：5 适应场景：当堂练习例题来源：泸县校级一模年份：2018 A B C D O P Q E 课后作业 【作业1】 直线AB 、CD 相交于点O ，射线OM 平分⊙AOD ，点P 在射线OM 上（点P 与点O 不重合），如果以点P 为圆心的圆与直线AB 相离，那么圆P 与直线CD 的位置关系是（ ）。 A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不确定 【答案】A 【解析】此题考查直线与圆的位置关系， 如图所示，⊙OM 平分⊙AOD ，以点P 为圆心的圆与直线AB 相离， ⊙以点P 为圆心的圆与直线CD 相离，故选：A ． 讲解用时：3分钟 难度：3 适应场景：练习题 例题来源：奉贤区二模 年份：2018 【作业2】 如图，PQ = 10，以PQ 为直径的圆与一个半径为20的圆O 内切于点P ，正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形外部，且与CD 相切与点Q ，求AB 的长。 【答案】1948+ 【解析】本题考查了直线与圆、圆与圆的位置关系， 连接OA 、OB ，连接PO 并延长交AB 于点E ， 由对称性可知PO 经过点Q ， ⊙以PQ 为直径的圆与CD 相切与点Q ，⊙PQ ⊥CD ， ⊙CD//AB ，⊙PE ⊥AB ，⊙AE=BE ， 设正方形的边长为a ，则2 a AE =，OE=a -OQ=a -10，OA=20， 由222OA OE AE =+，即22220)10()2(=-+a a ， 解得：a 1=1948+，a 2=1948-（舍）， ⊙AB 的长为1948+． 讲解用时：8分钟 难度：3 适应场景：练习题例题来源：广东模拟年份：2018 【作业3】 如图，已知⊙O与等腰⊙ABD的两腰AB、AD分别相切于点E、F，连接AO并延长到点C，使OC=AO，连接CD、CB． （1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）若AB=4cm，填空： ⊙当⊙O的半径为cm时，⊙ABD为等边三角形； ⊙当⊙O的半径为cm时，四边形ABCD为正方形。 【答案】（1）四边形ABCD是菱形；（2）⊙3、⊙2 【解析】本题考查了切线的性质、菱形的判定、等边三角形的性质、正方形的性质， （1）四边形ABCD是菱形， 理由如下：⊙AB、AD分别相切于点E、F， ⊙⊙EAO=⊙FAO，⊙OD=OB， ⊙AO=OC，⊙四边形ABCD是平行四边形， ⊙AB=AD，⊙⊙ABCD是菱形； （2）⊙当⊙O的半径为时，⊙ABD为等边三角形； 连接OE，⊙AD切⊙O于点E，⊙OE⊙AD， ⊙⊙ABD为等边三角形，⊙BD=AB=AD=4， ⊙⊙DAO=30°， ⊙OD=BD=2，AO=23，⊙OE=AO=3， ⊙当⊙O的半径为时，⊙ABD为等边三角形； ⊙当⊙O的半径为2cm时，四边形ABCD为正方形； 如图，⊙⊙DAO=⊙ADO=45°， ⊙AD=AB=4，⊙OA=OD=2， 由（2）知，OE⊙AD，⊙OE=AE=2， ⊙当⊙O的半径为2cm时，四边形ABCD为正方形。 讲解用时：15分钟 难度：5 适应场景：练习题例题来源：方城县一模年份：2018 一对一授课教案 学员姓名：____何锦莹____ 年级：_____9_____ 所授科目：___数学__________ 上课时间：____ 年月日_ ___时分至__ __时_ __分共 ___小时 一、圆的定义： 1. 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随 之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径． 2 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O ⊙”，读作“圆O”． 3 同圆、同心圆、等圆： 圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆. 注意：同圆或等圆的半径相等． 1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． 2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB． 5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 8. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1?的圆心 角，我们也称这样的弧为1?的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． 2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 一、圆的对称性 1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线． 2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 3. 圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合． 二、垂径定理 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2. 推论1：⑴平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ⑵弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 3. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 练习题； 圆与圆的位置关系教案 【教学目标】 1．能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 2．通过圆与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想． 3．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯． 【教学重难点】 教学重点：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 教学难点：用坐标法判断两圆的位置关系． 【教学过程】 ㈠复习导入、展示目标 问题：如何利用代数与几何方法判别直线与圆的位置关系？ 前面我们运用直线与圆的方程，研究了直线与圆的位置关系，这节课我们用圆的方程，讨论圆与圆的位置关系． ㈡检查预习、交流展示 1.圆与圆的位置关系有哪几种呢？ 2．如何判断圆与圆之间的位置关系呢？ ㈢合作探究、精讲精练 探究一：用圆的方程怎样判断圆与圆之间的位置关系？ 例1.已知圆 C 1：01322 2 =++++y x y x ，圆C 2 ： 02342 2 =++++y x y x ，是 判断圆C 1 与圆C 2 的位置关系. 解析：方法一，判断圆与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据连心线的长与两半径长的和或两半径长的差的绝对值的大小关系，判断圆与圆的位置关系. 解:(法一) 圆C 1 的方程配方,得4 923)1(2 2 = +?? ? ??++y x . 圆心的坐标是??? ??- -23,1,半径长2 3 1 =r . 圆C 2 的方程配方,得4 1723)2(2 2 = +? ? ? ??++y x . 圆心的坐标是?? ? ??--23,2,半径长 2 172= r . 连心线的距离为1, 217321+= +r r ,2 3 1721-=-r r . 因为 2 17 312317+<<-, 所以两圆相交. (法二) 方程 01322 2 =++++y x y x 与02342 2 =++++ y x y x 相减,得 2 1 = x 把2 1= x 代入01322 2=++++y x y x ,得 011242 =++y y 因为根的判别式016144>-=?,所以方程011242 =++y y 有两个实数根,因此两 圆相交. 点评:巩固用方程判断圆与圆位置关系的两种方法. 变式2 2 2 2 (1)(2)(2)1(2)(5)16x y x y ++-=-+-=与的位置关系 解：根据题意得，两圆的半径分别为1214r r ==和，两圆的圆心距 5.d == 因为 12d r r =+，所以两圆外切． ㈣反馈测试 导学案当堂检测 ㈤总结反思、共同提高 判断两圆的位置关系的方法: (1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定； (2)依据连心线的长与两半径长的和12r r +或两半径的差的绝对值的大小关系． 【板书设计】 一．圆与圆的位置关系 （1）相离，无交点 （2）外切，一个交点 （3）相交，两个交点； 圆 目录 圆的定义及相关概念 垂经定理及其推论 圆周角与圆心角 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 圆内接四边形 会用切线, 能证切线 切线长定理 三角形的内切圆 了解弦切角与圆幂定理（选学） 圆与圆的位置关系 圆的有关计算 一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。 考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d， 则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d＞r；②点在圆上?d=r；③点在圆内? d＜r； 【典型例题】 例1 在⊿ABC中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD是直径，? = ∠84 EOD，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。 M A B C 九年级数学上册 圆 几何综合专题练习（解析版） 一、初三数学 圆易错题压轴题（难） 1．如图，二次函数y=x 2-2mx+8m 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边且OA≠OB ),交y 轴于点C ，且经过点（m ，9m ）,⊙E 过A 、B 、C 三点。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）求点E 的坐标； （3）过抛物线上一点P （点P 不与B 、C 重合）作PQ ⊥x 轴于点Q ，是否存在这样的点P 使△PBQ 和△BOC 相似？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由 【答案】（1）y=x 2 +2x-8（2）（-1，- 72）（3）（-8，40），（-15 4，-1316），（-174 ，-25 16 ） 【解析】 分析：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+=，解这个方程可求出m 的值； （2）分别令y =0和x =0，求出OA ，OB ，O C 及AB 的长，过点E 作EG x ⊥轴于点 G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，AE ,设OF =GE =a ,根据AE CE = ，列方过程求出a 的值， 从而求出点E 的坐标； （3）设点P (a , a 2+2a -8)， 则2 28,2PQ a a BQ a =+-=-，然后分PBQ ∽CBO 时 和PBQ ∽BCO 时两种情况，列比例式求出a 的值，从而求出点P 的坐标. 详解：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+= 解得：121,0m m =-=（舍去） ∴228y x x =+- （2）由（1）可得：2 28y x x =+-，当0y =时，124,2x x =-=; ∵点A 在点B 的左边 ∴42OA OB ，== ， ∴6AB OA OB =+=， 当0x =时，8y =-， ∴8OC = 过点E 作EG x ⊥轴于点G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，, 则11 6322 AG AB = =?= ， 设 ，则 ， 在Rt AGE ?中，， 在 中， ()2 22218CE EF CF a =+=+-， ∵AE CE = ， ∴()2 2918a a +=+- ， 解得：7 2a = ， ∴712E ? ?-- ?? ? ， ； （3）设点()2,28a a a P +-， 则2 28,2PQ a a BQ a =+-=-， a.当PBQ ?∽CBO ?时， PQ CO BQ OB =，即228822 a a a +-=-， 解得：10a =（舍去）； 教学目标 重点、难点考点及考试要求1、了解圆与圆的五种位置关系； 2、经历探索两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系间的内在联系的过程，并运用相关结论解决问题； 1、位置关系与对应数量关系的运用 2、两圆的位置关系对应数量关系的探索 1、圆与圆的五种位置关系 2、两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系 教学内容 第一课时圆与圆的位置关系知识点梳理 课前检测 1、⊙ O的半径是 6，圆心到直线l的距离为 3，则直线l与⊙ O的位置关系是（） A．相交B．相切C．相离D．无法确定 2、如图 1，AB与⊙ O切于点 B， AO＝6 ㎝， AB＝ 4 ㎝，则⊙ O的半径为（） A、4 5 ㎝ B、25 ㎝ C、2 13㎝ D、13 ㎝ 3、如图 2，已知⊙ 0 的直径 AB与弦 AC的夹角为 35°，过 C点的切线 PC与 AB的 延长线交于点 P，则么∠ P 等于（） A．150B．200C．250D．300 图 1图2图3 4、如图 3，AB与⊙ O切于点 C， OA=OB，若⊙ O的直径为 8cm，AB=10cm，那么 OA的长是（） A．41B．40 C. 14 D. 60 5、已知：如图，△ ABC中， AC＝BC，以 BC为直径的⊙ O交 AB于点 D，过点 D 作 DE⊥ AC于点 E，交 BC的延长线于点 F． 求证：（ 1） AD＝BD；（2）DF是⊙ O的切线． 知识梳理 （一）两圆位置关系的定义 注：（ 1）找到分类的标准： ①公共点的个数； ②一个圆上的点是在另一个圆的内部还是外部 （2）两圆相切是指两圆外切与内切 （3）两圆同心是内含的一种特殊情况 （二）两圆位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系之间的联系：两圆的半径分别为R、r ，圆心距为 d，那么 两圆外离 d ＞ R＋r 两圆外切 d =R＋r 两圆相交R－ r＜ d ＜ R＋ r （ R≥ r ） 两圆内切 d =R－r （R ＞ r ） 两圆内含 d ＜ R－r （R ＞ r ） （三） . 借助数轴进一步理解两圆位置关系与量关系之间的联系 初三数学讲义（10）（圆） 知识梳理： 1.圆定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合 2. 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。（不能 直接用）即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 3. 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =； ③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 4. 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ B D 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 5. 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 6. 切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。7、切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠ B A 数学九年级上册 圆 几何综合专题练习（word 版 一、初三数学 圆易错题压轴题（难） 1．已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AD 2=，AB BC CD 6===，动点P 在 射线BA 上，以BP 为半径的 P 交边BC 于点E （点E 与点C 不重合），联结PE 、 PC ，设x BP =，PC y =. （1）求证：PE //DC ； （2）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）联结PD ，当PDC B ∠=∠时，以D 为圆心半径为R 的D 与P 相交，求R 的取 值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）2436(09)y x x x =-+<<；（3）3605 R << 【解析】 【分析】 ()1根据梯形的性质得到B DCB ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到B PEB ∠∠=，根据 平行线的判定定理即可得到结论； ()2分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、.G 推出四边形ADGF 是矩形， //PH AF ，求得2BF FG GC ===，根据勾股定理得到 22226242AF AB BF =-=-=，根据平行线分线段成比例定理得到 223PH x = ，13BH x =，求得1 63 CH x =-，根据勾股定理即可得到结论； ()3作//EM PD 交DC 于.M 推出四边形PDME 是平行四边形.得到PE DM x ==，即 6MC x =-，根据相似三角形的性质得到1218 655 PD EC ==-=，根据相切两圆的性质即可得到结论． 【详解】 () 1证明：梯形ABCD ，AB CD =， B DCB ∠∠∴=， PB PE =， B PEB ∠∠∴=， DCB PEB ∠∠∴=， 点与圆的位置关系 肖海霞 学习目标：1、理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离决定； 2、理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆； 3、会画三角形的外接圆，熟识相关概念 学习过程 一、点与圆的位置三种位置关系 生活现象：阅读课本P53页，这一现象体现了平面内．．．点与圆的位置关系． 如图1所示，设⊙O 的半径为r ， A 点在圆内，OA r B 点在圆上，OB r C 点在圆外，OC r 反之，在同一平面上．．．．．，已知的半径为r ⊙O ，和A ，B ，C 三点： 若OA ＞r ，则A 点在圆 ； 若OB ＜r ，则B 点在圆 ； 若OC=r ，则C 点在圆 。 二、多少个点可以确定一个圆 问题：在圆上的点有 多个，那么究竟多少个点就可以确定一个圆呢？ 试一试 画图准备： 1、圆的 确定圆的大小，圆 确定圆的位置； 也就是说，若如果圆的 和 确定了， 那么，这个圆就确定了。 2、如图2，点O 是线段AB 的垂直平分线 上的任意一点，则有OA OB 图2 画图： 1、画过一个点的圆。 右图，已知一个点A ，画过A 点的圆． 小结：经过一定点的圆可以画 个。 图 1 o B A A 2、画过两个点的圆。 右图，已知两个点A 、B ，画经过A 、B 两点的圆． 提示：画这个圆的关键是找到圆心， 画出来的圆要同时经过A 、B 两点， 那么圆心到这两点距离 ，可见， 圆心在线段AB 的 上。 小结：经过两定点的圆可以画 个，但这些圆的圆心在线段的 上 3、画过三个点（不在同一直线）的圆。 提示：如果A 、B 、C 三点不在一条直线上，那么经过A 、B 两点所画的圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上， 而经过B 、C 两点所画的圆的圆心在 线段BC 的垂直平分线上，此时，这 两条垂直平分线一定相交，设交点为O ， 则OA ＝OB ＝OC ，于是以O 为圆心， OA 为半径画圆，便可画出经过A 、B 、C 三点的圆． 小结：不在同一条直线．．．．．上的三个点确定 个圆． 三、概括 我们已经知道，经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点． 如图：如果⊙O 经过△ABC 的三个顶点， 则⊙O 叫做△ABC 的 ，圆心O 叫 做△ABC 的 ，反过来，△ABC 叫做 ⊙O 的 。 △ABC 的外心就是AC 、BC 、AB 边的 交点。 四、分组练习 A B C B 圆中的基本概念及定理（讲义） 课前预习 在小学的时候，我们知道“一中同长”表示的是圆，中心称为，固定的线段长称为，还知道半径为r 的圆的周长为，面积为 ． 在七年级我们学习了圆的另外一种说法：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．固定的端点O 称为圆心，线段OA 称为半径． 一条弧AB 和经过这条弧的两条半径OA，OB 所组成的图形叫做扇形．顶点在圆心的角叫做圆心角． 知识点睛 1.在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个 端点A 所形成的图形叫做．其固定的端点O叫做，线段OA 叫做．以点O 为圆心的圆，记作，读作“圆O”． 2.圆中概念： 弧：，弧包括和； 弦：； 圆周角：； 圆心角：； 弦心距：； 等圆：； 等弧：． 3.圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是； 圆是中心对称图形，其对称中心为．4.圆中基本定理： *（1）垂径定理： ．推论： ．（2）四组量关系定理：在中，如果 、、、 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． （3）圆周角定理：．推论1：． 推论2：， ．推论3：． 注：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边 形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆． 圆中处理问题的思路： ①找圆心，连半径，转移边； ②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式； ③遇直径，找直角，由直角，找直径； ④由弧找角，由角看弧． C D A R B 精讲精练 1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为 M ，下列结论不一定成立 的是（ ） ︵ ︵ A ．CM =DM B ． C B =B D C ．∠ACD =∠ADC D ．OM =MB 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图，⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC ，若 AB = 的半径为 ． ，则⊙O 3. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10 mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为 mm ． 第 3 题图 第 4 题图 4. 如图，圆拱桥桥拱的跨度 AB =12 m ，桥拱高 CD =4 m ，则拱桥的直径为 ． 5. 如图，在⊙O 中，直径 CD 垂直于弦 AB ，垂足为 E ，连接 OB ， CB ．已知⊙O 的半径为 2，AB = 2 ，则∠BCD = ． 6 3 word版初中数学 第二十四章《圆》专题练习 目录 专题1 与圆周角有关的辅助线作法 (1) 专题2圆周角定理 (3) 专题3 证明切线的两种常用方法 (4) 专题4与切线长有关的教材变式 (5) 专题5与圆的切线有关的计算与证明 (6) 专题6 求阴影部分的面积 (8) 专题1 与圆周角有关的辅助线作法 类型1 构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角 1．如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，∠AOC ＝140°，点B 是AC ︵ 的中点，则∠D 的度数是( ) A ．70° B ．55° C ．35.5° D ．35° 2．如图，点A ，B ，C ，D 分别是⊙O 上的四点，∠BAC ＝50°，BD 是直径，则∠DBC 的度数是( ) A ．40° B ．50° C ．20° D ．35° 3．如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝50°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为( ) A ．50° B ．55° C ．60° D ．65° 4．如图，A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB ＝40°，点D 在ACB ︵ 上，M 为半径OD 上一点，则∠AMB 的度数不可能为( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．85° 类型2 利用直径构造直角三角形 5．如图，在⊙O 中，∠OAB ＝20°，则∠C 的度数为 ． 6．如图，在⊙O 中，AB 为直径，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，AB ＝6，则BD ＝ ． 7．如图，⊙A 过点O ，C ，D ，点C 的坐标为(3，0)，点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，已知∠OBD ＝30°，则⊙A 的半径等于 ． 8．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于点D ，AC ＝5，DC ＝3，AB ＝42，则⊙O 的半径为 ． 高中数学复习讲义第八章直线和圆的方程 【方法点拨】 1．掌握直线的倾斜角，斜率以及直线方程的各种形式，能正确地判断两直线位置关系，并能熟练地利用距离公式解决有关问题．注意直线方程各种形式应用的条件．了解二元一次不等式表示的平面区域，能解决一些简单的线性规划问题． 2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题. 3．熟练运用待定系数法求圆的方程． 4．处理解析几何问题时，主要表现在两个方面：(1)根据图形的性质，建立与之等价的代数结构;(2)根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质．5．要重视坐标法，学会如何借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结合思想． 6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题；还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识． 第1课直线的方程 【考点导读】 理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形式，能根据条件，求出直线的方程． 高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程，属中、低档题，多以填空题和选择题出现，每年必考. 【基础练习】 1. 直线x cos α＋ 3y ＋2＝0 的倾斜角范围是50,,66πππ????????????? 2. 过点)3,2(P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 10320-+=-=或x y x y 3.直线l 经过点（3，-1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l 的方程为42=-=-+或y x y x 4.无论k 取任何实数，直线()()()14232140k x k y k +--+-=必经过一定点P ，则P 的坐标为（2，2） 【范例导析】 例1.已知两点A （－1，2）、B （m ，3） （1）求直线AB 的斜率k ； （2）求直线AB 的方程； （3）已知实数m 1? ?∈???? ，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 分析：运用两点连线的子斜率公式解决，要注意斜率不存在的情况. 解:（1）当m =－1时，直线AB 的斜率不存在． 当m ≠－1时，1 1 k m = +， （2）当m =－1时，AB ：x =－1， 当m ≠1时，AB ：()1 211 y x m -= ++. （3）①当m =－1时，2 π α=； ②当m ≠－1时， ∵( 1,1k m ?=∈-∞?+∞??+?? 九年级数学第二十四章圆测试题（A ） 一、选择题（每小题3分，共33分） 1．（2005·资阳）若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a>b ），则此圆的半径为（ ） A ． 2b a + B ．2b a - C ．2 2b a b a -+或 D ．b a b a -+或 2．（2005·浙江）如图24—A —1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦 AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 3．已知点O 为△ABC 的外心，若∠A=80°，则∠BOC 的度数为（ ） A ．40° B ．80° C ．160° D ．120° 4．如图24—A —2，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=40°，则∠OBC 的度数为（ ） A ．20° B ．40° C ．50° D ．70° 5．如图24—A —3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 6．如图24—A —4，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B=60°，则∠A 等于（ ） A ．80° B ．50° C ．40° D ．30° 7．如图24—A —5，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA=5，则△PCD 的周长为（ ） A ．5 B ．7 C ．8 D ．10 8．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m ，母线长为3m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（ ） A ．2 6m B ．2 6m π C ．2 12m D ．2 12m π 9．如图24—A —6，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（ ） A ．16π B ．36π C ．52π D ．81π 10．已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC 的内切圆的半径为（ ） A ．310 B ．5 12 C ．2 D ． 3 图24—A — 5 图24—A — 6 图24—A — 1 图24—A — 2 图24—A — 3 图24—A —4 与圆有关的位置关系（讲义）?知识点睛 1.点与圆的位置关系 d表示__________的距离，r表示___________． ①点在圆外?_____________； ②点在圆上?_____________； ③点在圆内?_____________． 三点定圆定理：_________________________________． 注：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 2.直线与圆的位置关系 d表示__________________的距离，r表示__________． ①直线与圆相交?____________； ②直线与圆相切?____________； ③直线与圆相离?____________． 切线的判定定理：__________________________________ __________________________________________________； 切线的性质定理：__________________________________．*切线长定理：______________________________________ __________________________________________________．注：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆 的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．*3. 圆与圆的位置关系 d表示__________的距离，R表示________，r表示 _________． ①圆与圆外离?_________________； ②圆与圆外切?_________________； ③圆与圆内切?_________________； ④圆与圆内含?_________________； ⑤圆与圆相交?_________________． 4.圆内接正多边形 _______________________________叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的_________. 正多边形的中心：___________________________________； 正多边形的半径：___________________________________； A 点和圆的位置关系专题练习题 1．⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA＝3 cm，则点A与⊙O的位置关系为( ) A．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定 2．已知⊙P的半径为5，点P的坐标为(2，1)，点Q的坐标为(0，6)，则点Q与⊙P的位置关系是( ) A．点Q在⊙P外B．点Q在⊙P上C．点Q在⊙P内D．不能确定 1．⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA＝3 cm，则点A与⊙O的位置关系为( ) A．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定 2．已知⊙P的半径为5，点P的坐标为(2，1)，点Q的坐标为(0，6)，则点Q与⊙P的位置关系是( ) A．点Q在⊙P外B．点Q在⊙P上C．点Q在⊙P内D．不能确定 5．过一点可以作_________个圆；过两点可以作_______个圆，这些圆的圆心在两点连线的___________________上；过不在同一条直线上的三点可以作________个圆． 6．下列关于确定一个圆的说法中，正确的是( ) A．三个点一定能确定一个圆B．以已知线段为半径能确定一个圆 C．以已知线段为直径能确定一个圆D．菱形的四个顶点能确定一个圆 7．下列命题中，错误的有( ) ①三角形只有一个外接圆；②三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点；③等边三角形的外心也是其三边的垂直平分线、高及角平分线的交点；④任何三角形都有外心． A．3个B．2个C．1个D．0个 8．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( ) A．点P B．点Q C．点R D．点M 9．直角三角形的外心是________的中点，锐角三角形的外心在三角形的_________，钝角三角形的外心在三角形的__________． 10．如图，一只猫观察到一老鼠洞的三个洞口A，B，C，这三个洞口不在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地方才能最省力地同时顾及三个洞口？作出这个位置． 4.2.2 圆与圆的位置关系 整体设计 教学分析 本节课研究圆与圆的位置关系,重点是研究两圆位置关系的判断方法,并应用这些方法解决有关的实际问题.教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上结合前面学习的点与圆、直线与圆的位置关系,得到圆与圆的位置关系的几何方法,用代数的方法来解决几何问题是解析几何的精髓,是平面几何问题的深化,它将是以后处理圆锥曲线的常用方法.因此,增加了用代数方法来分析位置关系,这样有利于培养学生数形结合、经历几何问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力,其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义.根据学生的基础,学习的自觉性和主动性,自主学习和探究学习能力,平时的学习养成的善于观察、分析和思考的习惯,同时由于本节课从内容结构与思维方法上与直线与圆的位置关系相似,学生对上节课内容掌握较好,从而本节课从学生学习的角度来看不会存在太多的障碍,因而教学方法可以是引导学生从类比直线与圆位置关系来自主研究圆与圆的位置关系. 三维目标 使学生理解并掌握圆和圆的位置关系及其判定方法.培养学生自主探究的能力.通过用代数的方法分析圆与圆的位置关系,使学生体验几何问题代数化的思想,深入了解解析几何的本质,同时培养学生分析问题、解决问题的能力,并进一步体会数形结合的思想. 重点难点 教学重点：求弦长问题,判断圆和圆的位置关系. 教学难点:判断圆和圆的位置关系. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.平面几何中,圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法如下:第一步：计算两圆的半径R,r；第二步：计算两圆的圆心距O O2,即d；第三步：根据d与R,r之间的关系,判断两圆的位置关系. 1 两圆的位置关系： 圆 考点1：圆以及与圆有关的概念 考点2：圆的性质定理垂径定理 圆周角定理 切线长定理 三角形的内切圆和外接圆 圆的内接多边形定理 圆 相离 考点3：与圆有关的位置关系外切 相交 内切 内含 考点4：与圆有关的计算弧长，扇形面积的计算 圆柱，圆锥相关计算 考点一：圆以及与圆有关的概念 【笔记】知识点一圆的定义 （1）在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫圆心，线段叫做半径； （2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 知识点二与圆有关的概念 （1）半径：圆心到圆周的距离；直径：经过圆心的弦叫做直径。直径是半径的2倍。（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。弦心距：从圆心到弦的距离叫圆心距。 （3）弧：圆上任意两点间的部分叫弧。 优弧：大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧．都叫做半圆。 等弧 ．．：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。（在大小不等的两个圆中，不存在等弧。 （4）圆周角：顶点在圆周上，两条边都与圆相交的角。 （5）圆心角：顶点在圆心上，以半径为两条边的角。 （6）切线：直线和圆有唯一公共点时，这条直线是圆的切线。在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 （7）弓形：由弦及其所对的弧 ．．．．．．组成的图形叫做弓形。（一弦对两弧） （8）同心圆：圆心相同，半径不相等 ．．．．．的两个圆叫做同心圆。 【例1】下列判断中正确的是( ) A. 长度相等的弧是等弧 B. 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 【答案】C 【例2】下列说法中：(1)圆心角相等，所对的弦相等。(2)过圆心的线段是直径。(3)长度相等的弧是等弧。(4)弧是半圆。(5)三点确定一个圆。(6)平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。(7)弦的垂直平分线必经过圆心正确的个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【例3】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心， CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数为() A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 第11讲与圆有关的位置关系 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础偏上 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先学习与圆有 关的三类位置关系：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系，重点掌握各种与圆位置关系的判断方法，其次学习切线的有关性质与判定以及切线长定理及应用，能够结合已知题意证明相关切线，最后掌握圆的外接三角形与三角形内切圆概念。本节课的重点是三类位置关系的判断方法以及切线的性质与判定定理，属于中考重点内容，也是难点之一，希望同学们能够好好学习，扎实基础。 知识梳理 讲解用时：25分钟 与圆有关的位置关系 （1）点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有3种，设⊙Ｏ的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有： ⊙点P在圆外⊙ｄ＞r ⊙点P在圆上⊙d=r ⊙点P在圆内⊙ｄ＜r 注意： 点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆 心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系。 （2）直线与圆的位置关系 直线和圆的3种位置关系： ⊙相离：一条直线和圆没有公共点； ⊙相切：一条直线和圆只有一个公共点，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点； ⊙相交：一条直线和圆有两个公共点，这条直线叫圆的割线； 判断直线和圆的位置关系： ⊙直线l和⊙Ｏ相交⊙ｄ＜r ⊙直线l和⊙Ｏ相切⊙d=r ⊙直线l和⊙Ｏ相离⊙ｄ＞r （3）圆与圆的位置关系 ⊙外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部； ⊙外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部； ⊙相交：两个圆有两个公共点； ⊙内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部； ⊙内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部。 判断圆和圆的位置关系： ⊙两圆外离⊙ｄ＞R+r； ⊙两圆外切⊙d=R+r； ⊙两圆相交⊙Ｒ﹣r＜d＜R+r（R≥ｒ）； ⊙两圆内切⊙d=R﹣r（R＞r）； ⊙两圆内含⊙ｄ＜R﹣r（R＞r）． 圆的基本性质 知识点 圆的定义 几何定义：线段OA，绕O点旋转一周得到的图形，叫做圆。其中，O为圆心，OA为半径。 集合定义：到定点等于定长的所有点的集合。其中，定点为圆心，定长为半径。 圆的书写格式： 圆的对称性 （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 （2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3）圆是旋转对称图形。 与圆有关的线段 半径：圆上一点与圆心的连线段。确定一个圆的要素是圆心和半径。 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。 弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 劣弧：小于半圆周的圆弧叫做劣弧。表示方法： 优弧：大于半圆周的圆弧叫做优弧。表示方法： 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 注意：同弧或等弧对应的弦相等。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 注意:定理中的“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，深圳可以是过圆心的直线或线段；该定理也可以理解为：若一条直线具有两条性质：①过圆心；②垂直于一条弦，则此直线具有另外三条性质：①平分此弦；②平分此弦所对的优弧；③平分此弦所对的劣弧. 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 在下列五个条件中:①CD是直径;②CD⊥AB;③AM=BM;④AC=BC;⑤AD=BD.只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. 注意：(1)在圆中，与已知弦（非直径）相等的弦共有条；共端点且相等的弦共有条。 （2）在圆中，与已知弦（非直径）平行的弦共有条；平行且相等的弦共有条。 例1.如图：OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点，求证：AD=BC. 点与圆的三种位置关系 一、学习目标： 1、了解点与圆的三种位置关系； 2、能根据点与圆心的距离判断点与圆的位置关系； 3、能画出经过一点、经过两点的圆。 二、探索： 问题1：点与圆的位置关系有哪几种？ （做一做）如图，直线上有四点O、A、B、 C ， 且OA=1，OB=2，OC=3， 以O为圆心，2 ， r 为半径画O 则点A在圆，点B在圆， 点C在圆。 结论：⑴点与圆的位置关系有三种：点在，点在，点在。 ⑵设O 的半径为r， ①若点A OA r； ②若点B OB r； ③若点C OC r。 三、练习A 填一填：1、设O 的半径为10㎝， ⑴若PO=8㎝，则点P在圆。 ∵r=，OP=， ∴OP r（填“＞”、“＜”、“＝”）， ∴点P在圆。 ⑵若PO=10㎝，则点P在圆。 ∵r=，OP=， ∴OP r（填“＞”、“＜”、“＝”）， ∴点P在圆。 ⑶若PO=12㎝，则点P在圆。 ∵r=，OP=， ∴OP r（填“＞”、“＜”、“＝”）， ∴点P在圆。 2、已知O 的半径为5 r=㎝，A为线段OP的中点，当OP满足下列条件时，分别指出点A和O 的位置关系： ①OP=6㎝②OP=10㎝③OP=14㎝解：∵OP=6㎝，解：∵OP=10㎝，解：∵OP=14㎝，∴AO=㎝，∴AO=㎝，∴AO=㎝， A B A B C ∴AO r ， ∴AO r ， ∴AO r ， ∴点A 在 。 ∴点A 在 。 ∴点A 在 。 问题二：如何判定一个圆经过已知点？ 1、如图经过已知点A 的圆是（ ） 2、根据以下条件，作O （1）经过一个已知点A ，作O 思考：这样的圆能做 个，请在上图中再做一个经过A 点的O 结论：过一点可以画 个圆。 （2）经过两个已知点A 、B ，作O 分析：圆心O 在线段AB 的 线上， 思考：这样的圆能画 个。 结论：过已知两点可以画 个圆。 （3）经过不共线的三点A 、B 、C ，作O 分析：∵O 经过A 、B 、C 三点 ∴O 经过A 、B 两点九年级圆基础知识点,(圆讲义)
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