复数、推理与证明、空间向量(教案) 董鹏
复数、推理与证明、空间向量
一、复数
1、（17年文、理科第2题）已知复数z 满足 ，其中i 是虚数单位，则为 答案：
22
2、（16年文、理第3题）已知复数为纯虚数，其中是虚数单位，则实数的值是 ． 答案：2
3、（15年理科第3题）已知、， (i 为虚数单位)，则的值为 ． 答案：4
4、
（14年理、文科第2题）已知复数(43i)i z =-，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 ． 答案：5
5、
（13年理科第3题）已知a ，b ∈R ，a ＋b i ＝(1＋2i)(1－i) (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为 ▲ ． 答案：4
6、（13年文科第3题）设复数z 满足z ·i ＝3＋4i (i 是虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ ． 答案：5
7、（17年文、理科15题） 已知复数，是虚数单位， （1）若是纯虚数，求的值；
（2）设是的共轭复数，复数在复平面内上对于的点在第一象限，求的取值范围是
Z 1+i ()
=i Z a +2i
1-i
i a a b ?R a +bi =1+2i ()1-i ()
a +
b Z =
2+4mi
1-i
i m ?R ()
Z m Z Z Z +2Z m
解（1）z ＝2＋4m i 1－i ＝(2＋4m i)(1＋i)
(1－i)(1＋i)
＝1－2m ＋(2m ＋1)i ． …………………… 3分 因为z 是纯虚数，所以1－2m ＝0且2m ＋1≠0，
解得m ＝1
2． …………………… 6分 （2）因为—
z 是z 的共轭复数，所以—
z ＝1－2m －(2m ＋1)i ． ……………………8分
所以—z ＋2z ＝1－2m －(2m ＋1)i ＋2[1－2m ＋(2m ＋1)i]
＝3－6m ＋(2m ＋1)i ． …………………… 10分
因为复数—
z ＋2z 在复平面上对应的点在第一象限，
所以???3－6m ＞0，2m ＋1＞0，
…………………… 12分 解得－12＜m ＜12，即实数m 的取值范围为(－12，1
2)． …………………… 14分 8、（17年文科16题）
已知复数，复数，其中是虚数单位，、为实数
（1）若，求的值； （2）若求、的值
解：（1） 当m ＝1，n ＝－1时，z 1＝1－2i ，z 2＝1＋i ，
所以z 1＋z 2＝(1－2i)＋(1＋i)＝2－i ， ………………4分 所以|z 1＋z 2|＝22
＋(－1)2
＝5． ………………6分 （2）若z 1＝(z 2)2
，则m －2i ＝(1－n i)2
，
所以m －2i ＝(1－n 2
)－2n i ， ……………10分
所以???m ＝1－n 2
，
－2＝－2n ， ………………12分 解得???m ＝0，n ＝1．
………………14分 9、（15年理科15题）
已知，设
复数(是虚数单位)在复平面内对应的点在
第二象限:复数
（1）当
为真命题时，求的取值范围；
Z 1=m -2i Z 2
=1-ni i m n m =1,n =-1Z 1+Z 2Z 1=Z
2
()2
m n m ?R p :Z 1=m -1()+m +3()i i q :Z 2=1+m -2()
i p m
（2）若命题“
且”为假命题，“或”为真命题，求m 的取值范围
解（1）因为复数z 1＝(m －1)＋(m ＋3)i 在复平面内对应的点在第二象限，
所以???m －1＜0，m ＋3＞0．
解得－3＜m ＜1，即m 的取值范围为(－3，1)． ……………… 3分 （2）由q 为真命题，即复数z 2＝1＋(m －2)i 的模不超过10，
所以12
＋(m －2)2
≤10，解得－1≤m ≤5． ……………… 5分 由命题“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题
得???p 为真命题，q 为假命题，或 ???p 为假命题，q 为真命题． 所以???－3＜m ＜1，m ＜－1或m ＞5，或???m ≤－3或m ≥1，－1≤m ≤5，
即－3＜m ＜－1或1≤m ≤5．
所以m 的取值范围为(－3，－1)∪[1，5]． ……………… 8分
二、推理与证明
1、（16年文、理9）观察下列等式： (sin π3)－2＋(sin 2π3)－2
＝43×1×2；
(sin π5)－2＋(sin 2π5)－2＋(sin 3π5)－2＋(sin 4π5)－2
＝43×2×3； (sin π7)－2＋(sin 2π7)－2＋(sin 3π7)－2＋…＋(sin 6π7)－2
＝43×3×4； (sin π9)－2＋(sin 2π9)－2＋(sin 3π9)－2＋…＋(sin 8π9)－2
＝43×4×5； …… 依此规律，
当n ∈N *
时，(sin π2n ＋1)－2＋(sin 2π2n ＋1)－2＋(sin 3π 2n ＋1)－2＋…＋(sin 2n π
2n ＋1)－2
＝ ▲ ．
答案：4n (n ＋1)3 2、（16年理科16题）
已知数列满足 （1）求
（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明
p q p q a n {}a 1=1,a n -3()a n +1-a n +4=0,n ?N +()
a 2,a 3,a 4a n {}
解：（1）令n ＝1，－2a 2＋3＝0，a 2＝3
2， ………………1分
令n ＝2，－32a 3－32＋4＝0，a 3＝5
3， ………………2分 令n ＝3，－43a 4－53＋4＝0，a 4＝7
4． ………………3分 （2）猜想a n ＝2n －1
n (n ∈N *
)． ………………5分 证明：当n ＝1时，a 1＝1＝2－11，所以a n ＝2n －1
n 成立， ……………… 6分 假设当n ＝k 时，a n ＝2n －1n 成立，即a k ＝2k －1
k ， ………………8分 则(a k －3)a k ＋1－a k ＋4＝0，即(2k －1k －3)a k ＋1－2k －1
k ＋4＝0，
所以k +1k a k ＋1＝2k +1k ，即a k ＋1＝2k +1k +1＝2(k +1)－1
k +1，
所以当n ＝k ＋1时，结论a n ＝2n －1
n 成立. ………………12分 综上，对任意的n ∈N *
，a n ＝2n －1
n 成立. ………………14分
三、空间向量
1、（17年理科第9题）如图，在三棱锥中，是侧棱的中点，且
，则的值为______．
答案：0
2、（15年理科第8题）如图，已知四棱柱的底面是矩形，
，，
，为棱的中点，则
______．
答案：14
P -ABC M PC x +
y +z =ABCD -
A 1
B 1
C 1
D 1ABCD AB =4AA 1=3
E C 1D 1 C A
B
D A 1
B 1
C 1
D 1
E
（第8题图）
M
C
B
P
A
3、（17年理科16题） 如图，在正方体中，点分别是棱的中点
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2） 设二面角的大小为，求的值
答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，进而通过计算即可
得解；
（2）计算得平面DBG 和平面ABD 的法向量n 1和n 2，通过计算cos ＜n 1，n 2＞即可得解. 试题解析： 如图，以{
，
，
}为正交基底建立坐标系D —xyz ．
设正方体的边长为2，则D (0，0，0)，A (2，0，0)， B (2，2，0)，E (1，2，0)，F (2，1，2)，G (1，2，2)． （1）因为
＝(2，1，2)－(1，2，0)＝(1，－1，2)，
＝ (1，2，2)， 所以
·＝1×1＋(－1)×2＋2×2＝3，
ABCD -
A 1
B 1
C 1
D 1
E ,
F ,
G BC ,A 1B 1,B 1C 1EF DG A -BD -G q cos q
||＝＝，||＝3．
从而cos＜，＞＝＝＝，
即向量与的夹角的余弦为，
从而异面直线EF与DG所成角的余弦值为．
（2）＝(2，2，0)，＝(1，2，2)．
设平面DBG的一个法向量为n1＝(x，y，z )．
由题意，得
取x＝2，可得y＝－2，z＝1．
所以n1＝(2，－2，1)．
又平面ABD的一个法向量n2＝＝(0，0，2)，
所以cos＜n1，n2＞＝＝＝．
因此|cosθ|＝．
点睛：用向量法解决立体几何问题的注意点：
（1）建立空间直角坐标系时要判断是否具备了两两垂直的三条直线，否则要先给出证明；
4、（15年理科17题）在长方体中，分别
是的中点
（1）若，求的值；
（2）若，求二面角的余弦值
解如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，
DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立坐标系．
（1）由题意得A(2，0，0)，D1(0，0，a)，C1(0，2，a)，F(0，1，0)．
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
AB=AD=2,AA
1
=a,E,F
AD,CD
AC
1
^D
1
F a
a=2E-FD
1
-D
A B
C
D
C1
B1
A1
D1
E F
（第17题图）
C
D
C1
B
A1
D1
E F
z
y
故→AC 1＝(－2，2，a )，→
D 1F ＝(0，1，－a )． …… 2分
因为AC 1⊥D 1F ，所以→AC 1·→
D 1F ＝0，即(－2，2，a )·(0，1，－a )＝0． 从而2－a 2
＝0，又a ＞0，故a ＝2． ……………… 5分 （2）平面FD 1D 的一个法向量为m ＝(1，0，0)． 设平面EFD 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，
z )，
因为E (1，0，0)，a ＝2，故→EF ＝(－1，1，0)，→
D 1F ＝(0，1，－2)． 由n ⊥→EF ，n ⊥→
D 1F ，得－x ＋y ＝0且y －2z ＝0，解得x ＝y ＝2z ．
故平面EFD 1的一个法向量为n ＝(2，2，1)． ……………… 8分
因为cos
＝2
3，且二面角E －FD 1－D 的大小为锐角，
所以二面角E －FD 1－D 的余弦值为2
3． ……………… 10分 5、（14年理科17题）(本小题满分10分)在正方体11
1
1
ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别
是11
A B ，CD ，1
B C 的中点．
(1)求直线EG 与直线AF 所成角的余弦值； (2)求二面角1
D AF D --的余弦值．
高中数学选修2-2推理与证明教案及章节测试及答案
推理与证明 一、核心知识 1.合情推理 （1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 （2）类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 2.演绎推理 (1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。 (2)演绎推理的主要形式：三段论 “三段论”可以表示为：①大前题：M 是P②小前提：S 是M ③结论：S 是 P。其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。 3.直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。 （1）综合法就是“由因导果” ，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。 （2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因” 。要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。 4反证法 （1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 （2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正
空间向量与平行关系
《空间向量与平行关系》 教学目标： 知识与技能：掌握线线平行，线面平行，面面平行的传统，基底，坐标方法. 过程与方法：在简单例题中利用这三种方法，循序渐进，慢慢熟练掌握. 情感与价值：通过对线，面平行，两种方法的比较.发现其中的数学规律， 学会总结，慢慢理解加深对数学的认识. 教育目标：数学课到底教什么？ 一教知识：传授人类在历史发展的过程中对各类事物观察、归纳、推演和论证过的共有的和特有的稳定属性，即事物在变化过程中保持的不变性。如三角形（类），其内角和 为180度（共有属性），而多边形的外角和为360度（更高层面的总结）. 二教方法和思想：引导学生重演知识的发生发展的过程，感受人类先哲们探索的艰辛，体会数学先驱们天才的思想，从而学会观察事物，提出问题并加以解决，让数学知识 这“冰冷的美丽唤出火热的思考”。 三引导学生融会贯通:简化记忆，构建起自己的数学结构，即总结出自己解决问题的“中途点”，以期能站在前人的肩膀上思考和分析问题. 教学难点：线，面平行传统方法的回顾 处理办法：在学案进行复习巩固 教学重点：用向量解决线，面平行问题 处理办法：通过例题循序渐进 教学设计 一.（复习回顾）
2.方向向量：在空间中直线的方向上用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线 的一个方向向量. 法向量：垂直于平面的向量（非零向量） 向量垂直：0=??⊥→→→→b a b a （两非零向量）“思考为什么要强调两非零向量”？ 二.新知引入：向量法 1. 设直线m l ，的方向向量分别为→→b a ,，平面βα，的法向量分别为→→v u ,，则： R b a b a m l ∈=??→→→→λλ,∥∥ 0=??⊥?→→→→u a u a l α∥ R v u v u ∈=??→→→→λλβα,∥∥ 1.线线平行 ① 设直线n m ,的方向向量分别为→→b a ,，根据下列条件判断直线n m ,的位置关系： ()2,1,2--=→a ()6,3,6--=→b ， ()2,1,2--=→a ()2,1,2--=→ b ， ②已知→1e ，→ 2 e 是空间任意两个非零向量，根据下列条件判断直线n m ,的位置关系： →→→-=2132e e a →→→+-=2132e e b →→→-=2132e e a →→→-=2164e e b 2.线面平行 ①设直线l 的方向向量为→a ，平面α的法向量为→u ，且直线l 不在平面α内.若0=?→→u a ，则( ) A ．l α∥ B ．l ?α C ．l ⊥α D ．l ?α或l α∥ ②设直线l 的方向向量为→a ，平面α的法向量为→u ，若0=?→→u a ，则( ) A ．l α∥ B ．l ?α C ．l ⊥α D ．l ?α或l α∥ ③设直线m 的方向向量为→a ，平面σ的法向量为，→u 直线m 不在平面α内. 根据下列条件判断直线 m 与平面σ的位置关系： ()5,2,2-=→a ()4,46-=→，u ()5,2,2-=→a ()2,23-=→ ，u 3.面面平行 ①设平面βα，的法向量分别为→→v u ,，根据下列条件判断直线β α，的位置关系 ()2,2,1-=→u ()4,4,2--=→v ()6,6,3-=→u ()4,4,2--=→v ②设平面σ的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－1，－2，k )，若βα∥，则k ＝( ) A ．2 B ．－4 C ．4 D ．－2
推理与证明(教案)
富县高级中学集体备课教案 年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§1.1 归纳推理第 1 课时 教学目标1、掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。 2、通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。 3、感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。 重点归纳推理及方法的总结中心 发言 人王晓君 难点归纳推理的含义及其具体应用 教具课型新授课课时 安排 1课 时 教法讲练结合学法归纳总结个人主页 教学过程 教一、原理初探 ①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！” ②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？ ③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？ 正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。 ④思考：整个过程对你有什么启发？ ⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。 二、新课学习 1、哥德巴赫猜想 哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法观察猜想证明 归纳推理的发展过程
人教版数学高二A版选修2-1学业测评空间向量与平行关系
学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．l 1的方向向量为v 1＝(1，2，3)，l 2的方向向量v 2＝(λ，4，6)，若l 1∥l 2，则λ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解析】 ∵l 1∥l 2，∴v 1∥v 2，则1 λ＝2 4，∴λ＝2. 【答案】 B 2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．在平面内 D ．平行或在平面内 【解析】 ∵AB →＝λCD →＋μCE →，∴AB →，CD →，CE →共面，则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内． 【答案】 D 3．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中，在平面α内的是( ) A ．(1，－1，1) B.? ? ???1，3，32 C.? ? ? ??1，－3，32 D.? ? ? ??－1，3，－32
【解析】 对于B ，AP →＝? ?? ??－1，4，－12， 则n ·AP →＝(3，1，2)·? ?? ??－1，4，－12 ＝0， ∴n ⊥AP →，则点P ? ?? ??1，3，32在平面α内． 【答案】 B 4．已知直线l 的方向向量是a ＝(3，2，1)，平面α的法向量是u ＝(－1，2，－1)，则l 与α的位置关系是( ) A ．l ⊥α B ．l ∥α C ．l 与α相交但不垂直 D ．l ∥α或l ?α 【解析】 因为a ·u ＝－3＋4－1＝0，所以a ⊥u .所以l ∥α或l ?α. 【答案】 D 5．若u ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( ) A ．(0，－3，1) B ．(2，0，1) C ．(－2，－3，1) D ．(－2，3，－1) 【解析】 同一个平面的法向量平行，故选D. 【答案】 D 二、填空题 6．若平面α，β的法向量分别为(－1，2，4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．
条据书信 如何证明是向量空间
如何证明是向量空间 向量空间证明解题的基本方法： 1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系中 2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位; 3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标; 4)求解给定问题 证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。 证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可 只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法 2 解： 因为x+y+z=0 x=-y-z y=y+0xz z=0xy+z (x,y,z)=(-1，1，0)xy+(-1，0，1)xz y,z为任意实数
则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2) 步骤1 记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c ∴a+b+c=0 则i(a+b+c) =i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A) =-asinC+csinA=0 接着得到正弦定理 其他 步骤2. 在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。篇二:《空间向量在几何证明题解法》 空间向量在几何体中例题 1如图，在四棱椎P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点。 （1）求证：EF⊥CD； （2）证明：PA//平面DEF 3．已知四棱锥P ABCD的底面为直角梯形，AB//DC， DAB90,PA底面ABCD，且PA AD DC 1 2
立体几何中的向量方法—证明平行和垂直
2017届高二数学导学案编写 审核 审批 课题：立体几何中的向量方法—证明平行和垂直 第 周 第 课时 班 组 组评 姓名 师评 【使用说明】 1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【教学难点】 理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【学习方法】学案导学法，合作探究法。 【自主学习·梳理基础】 1、 考点深度剖析 利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向． 2．【课本回眸】 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 ①直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB → 为直线l 的方向向量，与AB → 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量． ②平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量， 则求法向量的方程组为??? ?? n·a ＝0， n·b ＝0. 2.用向量证明空间中的平行关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. ②设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝xv 1＋yv 2. ③设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . ④设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1∥u 2. 3. 用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. ②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 4.共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)， a ⊥ b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． 【课堂合作探究】 探究一：如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中， N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在 棱 1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP . 当1=λ时，证明：直线//1BC 平面EFPQ . 探究二：如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明： (1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE .
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.2.1空间向量与平行关系课时作业 新人教A版选修2-1
空间向量与平行关系 (30分钟50分) 一、选择题(每小题3分,共18分) 1.若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,有可能使l∥α的是( ) A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 【解析】选D.若l∥α,则a·n=0.而选项A中a·n=-2.选项B中a·n=1+5=6.选项C中a·n=-1,选项D 中a·n=-3+3=0. 【变式训练】已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则线段AB与坐标平面( ) A.xOy平行 B.xOz平行 C.yOz平行 D.yOz相交 【解析】选C.因为=(9,2,1)-(9,-3,4)=(0,5,-3),故∥平面yOz.又A(9,-3,4),B(9,2,1)不在平面yOz内,所以AB∥平面yOz. 2.(2014·郑州高二检测)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( ) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 【解析】选B.分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系. 因为A1M=AN=a,
所以M, N. 所以=. 又C1(0,0,0),D1(0,a,0), 所以=(0,a,0). 所以·=0. 所以⊥. 因为是平面BB1C1C的一个法向量,且MN?平面BB1C1C, 所以MN∥平面BB1C1C. 【一题多解】选B.=++, ① =++. ② 因为A1M=AN=a, 所以=,=. ①×2+②得3=2+, 而=,所以=+. 故MN∥平面BB1C1C. 3.(2014·泰安高二检测)以下四组向量: ①a=(1,-2,1),b=(-1,2,-1); ②a=(8,4,0),b=(2,1,0); ③a=(1,0,-1),b=(-3,0,3); ④a=,b=(4,-3,3). 其中a,b分别为直线l1,l2的方向向量,则它们互相平行的是( ) A.②③ B.①④ C.①②④ D.①②③④ 【解析】选D.因为①a=(1,-2,1)=-b=-(-1,2,-1),
空间向量及其运算
§8.5 空间向量及其运算 1． 空间向量的概念 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量． (2)向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA →和OB → ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，0≤〈a ，b 〉≤π. 2． 共线向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)空间向量基本定理 如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，其中e 1，e 2，e 3叫作空间的一个基底． 3． 空间向量的数量积及运算律 (1)定义 空间两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4． 空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，
2018届一轮复习北师大版第六章不等式推理与证明第五节合情推理与演绎推理教案
第五节合情推理与演绎推理 ☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆ 自|主|排|查 1．合情推理 (1)归纳推理 ①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。
②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理。 (2)类比推理 ①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理。 ②特点：是由特殊到特殊的推理。 2．演绎推理 (1)演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。 (2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ①大前提——已知的一般原理。 ②小前提——所研究的特殊情况。 ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。 微点提醒 1．合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明。 2．在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误。
3．应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的。若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的。 小|题|快|练 一、走进教材 1．(选修2－2P77练习T1改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an －1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( ) A．an＝3n－1 B．an＝4n－3 C．an＝n2 D．an＝3n－1 【解析】a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2。故选C。 【答案】 C 2．(选修2－2P84A组T5改编)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，且n∈N*)成立。类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则存在的等式为________。 【解析】根据类比推理的特点可知：等比数列和等差数列类比，在等差数列中是和，在等比数列中是积，故有b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*)。 【答案】b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*) 二、双基查验 1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )
空间向量与平行关系
临清实验高中高二年级数学学科新授课导学案 编写人：国辉 ， 审核人：周静， 使用日期：12,27 编号：046 3.2.1 空间向量与平行关系 一、学习目标 1.理解直线的方向向量和平面的法向量， 2.能用向量语言表述和证明空间平行问题。 二、自主学习，合作探究 (一）知识导学 1．直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线 或 的向量，一条直线的方向向量有 个. 2．平面的法向量 直线l α⊥，取直线l 的方向向量a ，则a 叫做平面α的 . 3．空间中平行关系的向量表示 1）线线平行 设直线l 、m 的方向向量分别为111222(,,),(,,)a a b c b a b c ==则l ∥m ? ? ＝ . 2）线面平行 设直线l 的方向向量为111(,,)a a b c =，平面α的法向量为222(,,)u a b c =，则l ∥α? ? ＝0? . 3）面面平行 设平面α、β的法向量分别为111(,,)u a b c =，222(,,)v a b c =，则α∥β? ? ? . 4）平面法向量的求法 ①当已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可作为平面的法向量. ②当已知平面α内两不共线向量123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==时，常用待定系数法求法向量： 设法向量(,,)n x y z =，由0 a n b n ??=???=??，得12312300a x a y a z b x b y b z ++=??++=?， 在上述方程中，对x 、y 、z 中的任一个赋值，求出另两个，所得n 即为平面的法向量. ★ 特别提醒 平面的法向量一定是非零向量，赋值时，要保证(0,0,0).n ≠ （二）例题解析 题型一：利用方向向量和法向量判定线面位置关系 例1、（1）设a ，b 分别是1l ，2l 的方向向量，判断1l ，2l 的位置关系 ①(2,3,1)a =-，(6,9,3)b =-- ②(5,0,2)a =，(0,4,0)b = （2）设,μυ分别是平面,αβ的法向量，判断,αβ的位置关系。 ①(1,1,2)μ=-，1(3,2,)2 υ=- ②(0,3,0)μ=，(0,5,0)υ=- （3）设μ是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，判断直线l 与α的位置关系。 ①(2,2,1)μ=-，(3,4,2)a =- ②(0,2,3)μ=-，(0,8,12)a =- （变式训练）根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系。 （1）直线1l ，2l 的方向向量分别是(1,3,1)a =--，(8,2,2)b = （2）平面,αβ的法向量分别是(1,3,0)μ=，(3,9,0)υ=-- （3）直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是(1,4,3)a =--，(2,0,3)μ=
空间向量与立体几何知识点
立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．
（3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ， 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???， 故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|． （3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离． 备考建议：
推理与证明教案
推理与证明合情推理（一） 教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 教学重点：能利用归纳进行简单的推理. 教学难点：用归纳进行推理，作出猜想. 教学过程： 一、新课引入： 1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”. 二、讲授新课： 1. 教学概念： ①概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. ②归纳推理的几个特点; 1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上 归纳推理的一般步骤： ⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理； ⑵提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶检验猜想。
归纳练习：(i )由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？ (ii )由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？ (iii )观察等式：2221342,13593,13579164 +==++==++++==，能得出怎样的结论？ ③ 讨论：(i )统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？ (ii )归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段） (iii )归纳推理的结果是否正确？（不一定） 2. 教学例题： ① [例1] 观察图，可以发现：1=12,1+3=4=22,1+3+5=9=32, 1+3+5+7=16=42, 1+3+5+7+9=25=52, … 由上述具体事实能得出怎样的结论？ ② 出示例题：已知数列{}n a 的第1项12a =，且1(1,2,)1n n n a a n a += =+ ，试归纳出通项公式. （分析思路：试值n =1，2，3，4 → 猜想n a →如何证明：将递推公式变形，再构 造新数列）
利用空间向量证明面面平行垂直
利用空间向量证明面面平行垂直 1.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．证 明：平面ADE⊥平面A1D1F. 2.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在棱BB1 上，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H．求证：平面EGF//平面ABD 3.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD， PA=1，M为侧棱PD的中点．证明：平面MAC⊥平面PCD
4.如图，四边形是矩形，平面，，为中点． 证明：平面平面 5.如图，在底面是矩形的四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4， E是PD的中点．求证：平面PDC⊥平面PAD 6.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点． 求证：平面EAC⊥平面AB1C
7.如图，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点． 求证：平面ABB1A1⊥平面A1BD PD。 8.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD//QA，QA=AB=1 2证明：平面PQC⊥平面DCQ
答案和解析 1.解：以D 为原点，向量DA ????? ，DC ????? ，DD 1???????? 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立坐标系如图， 设正方体的棱长为1． 则D(0,0，0)，A(1,0，0)，E (1,1,1 2)，C 1(0,1，1)，M (1,0,1 2)， DA ????? =(1,0，0)，DE ?????? =(1,1,12)，C 1M ???????? =(1,?1,?1 2 )． 设平面ADE 的法向量为m ??? =(a,b ，c)， 则{DA ????? ·m ??? =0 DE ?????? ·m ??? =0?{a =0,a +b +12 c =0.令c =2，得m ??? =(0,?1,2)， 由D 1(0,0，1)，A 1(1,0，1)，F (0,12,0)，得D 1A 1?????????? =(1,0，0)，D 1F ??????? =(0,1 2 ,?1)， 设平面A 1D 1F 的法向量为n ? =(x,y ，z)，则{D 1A 1?????????? ·n ? =0D 1F ??????? ·n ? =0?{x =0,12y ?z =0. 令y =2，则n ? =(0,2，1)．∵m ??? ·n ? =(0,?1,2)·(0,2，1)=0?2+2=0， ∴m ??? ⊥n ? .∴平面ADE ⊥平面A 1D 1F . 2.证明：如图所示建立空间直角坐标系， 设AB =a ，则A 1(a,0，0)，B 1(0,0，0)，C 1(0,2，0)，F(0,1，0)，E(0,0，1)， A(a,0，4)，B(0,0，4)，D(0,2，2)，G(a 2,1，0)． 所以B 1D ???????? =(0,2，2)，AB ????? =(?a,0，0)，BD ?????? =(0,2，?2)． AB ????? =(?a,0，0)，BD ?????? =(0,2，?2)，GF ????? =(?a 2,0，0)，EF ????? =(0,1，?1)，所以AB ????? =2GF ????? ，BD ?????? =2EF ????? ，所以GF ????? //AB ????? ，EF ????? //BD ?????? ?所以GF // AB ，EF // BD ． 又GF ∩EF =F ，AB ∩BD =B ，所以平面EGF //平面ABD ．
高中数学 错误解题分析 3-2第1课时 空间向量与平行关系
3.2 立体几何中的向量方法 第1课时 空间向量与平行关系 双基达标 限时20分钟 1．若A (－1，0，1)，B (1，4，7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为 ( )． A ．(1，2，3) B ．(1，3，2) C ．(2，1，3) D ．(3，2，1) 答案 A 2．若u ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )． A ．(0，－3，1) B ．(2，0，1) C ．(－2，－3，1) D ．(－2，3，－1) 答案 D 3．若平面α与β的法向量分别是a ＝(1，0，－2)，b ＝(－1，0，2)，则平面α与β的位置 关 系 是 ( )． A ．平行 B ．垂直 C ．相交不垂直 D ．无法判断 解析 ∵a ＝(1，0，－2)＝－(－1，0，2)＝－b ，∴a∥b ，∴α∥β. 答案 A 4．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，－8，1)，平面α的法向量为(1，y ，2)，则y ＝________． 解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量(2，－8，1)与平面α的法向量(1，y ，2)垂直，∴2×1－8×y ＋2＝0，∴y ＝12. 答案 12 5．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则 k ＝______． 解析 由α∥β得1－2＝2－4＝－2 k ，解得k ＝4.
答案 4 6．如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2PA 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q 、R 分别是O 1B 1、AE 的中点，求证：PQ ∥RS . 证明 如图所示，建立空间直角坐标系，则A (3，0， 0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4， 2)，E (3，4，0) ∵AP ＝2PA 1， ∴AP →＝2PA 1→＝23AA 1→，即AP →＝2 3(0，0，2)＝(0，0，43)， ∴P 点坐标为(3，0，4 3 )． 同理可得Q (0，2，2)，R (3，2，0)，S (0，4，2 3)． ∴PQ →＝(－3，2，23)＝RS →，∴PQ →∥RS → ， 又∵R ?PQ ，∴PQ ∥RS . 综合提高（限时25分钟） 7．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3，4)，B (9，2，1)，则线段AB 与坐标平面 ( )． A ．xOy 平行 B ．xOz 平行 C ．yOz 平行 D ．yOz 相交 解析 因为AB → ＝(9，2，1)－(9，－3，4)＝(0，5，－3)，所以AB ∥平面yOz . 答案 C 8．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中在 平 面 α 内 的 是 ( )． A ．(1，－1，1) B ．(1，3，3 2) C ．(1，－3，32) D ．(－1，3，－3 2 ) 解析 要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量PA → 与平面α的法向量n 是否垂直，即 PA →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，PA →＝(1，0，1)，则PA → ·n
推理与证明教学设计范本(高中数学)
教学设计说明 一、本节课数学内容的本质、地位和作用的分析 推理是根据一个或几个已知的事实（或假设）来确定一个新的判断的思维方式. 数学、哲学和心理学等学科对其都有研究，它更是人类思维的基本形式. 人们在日常活动和科学研究中经常使用的推理有合情推理和演绎推理. 合情推理是人 类发现新知的一个重要途径. 它既有猜测和发现结论的作用，又有探索和启发思路的作用. 本节课所学习的归纳推理是合情推理的一种. 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的思维过程，通过归纳推理可以发现新知识，获得新结论. 推理与证明的内容属于数学思维方法的范畴，贯穿数学教学的始终，遍布数学知识的每个领域. 旧教材将其渗透在具体的数学内容中分散处理，如：综合法和分析法放在“不等式”一章，“反证法”作为“简易逻辑”的一部分，“合情推理”更是很少涉及. 新课程将其统一纳入教材，集中讲授，我认为这对学生系统掌握其方法是很有必要的. 尤其是“合情推理”这一新加入内容，有助于学生从单纯的解答现成的问题，扩展到能够独立的提出一些问题. 很多大数学家（比如拉格朗日，波利亚）都强调合情推理是他们发现新问题的重要手段，波利亚更是在其名著《数学与猜想》中拿出很多章节对合情推理的模式进行一一总结. 如果学生掌握了这些方法，并能够在今后有意识的使用它们，不仅能培养其言之有据，论证有理的思维习惯，而且对开发学生创新性思维，为社会培养创新型人才都有很强的现实意义. 二、教学目标分析 新课程中，合情推理分为归纳推理和类比推理两讲，本节课是第一部分，对它是初步了解. 所以我把教学重点放在对归纳推理的概念理解和应用上.而提高学生从特 殊到一般的归纳能力则是本节课的教学难点，教学的关键是引导学生自己探索、观察、发现、归纳. 归纳推理作为发现新知的一种途径，有时探索的过程是漫长而曲折的，课堂上设置了有一定难度的“汉诺塔问题”，正是希望学生通过一番“辛苦”的努力才能得到结论. 这样的安排有利于提高学生的数学素养和锻炼学生的意志品质. 根据以上想法，结合我校学生的实际情况，我制定了如下教学目标： (1)了解合情推理的含义；理解归纳推理的概念，能利用归纳的方法进行一些简单
利用空间向量证明空间位置关系
利用空间向量证明立体几何中的平行与垂直问题 [考纲要求] 1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．会简单应用空间两点间的距离公式． 2．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．掌握空间向量的数量积及其坐标表示．能用向量的数量积判断向量的共线和垂直． 4．理解直线的方向向量及平面的法向量．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系． 5．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理)． 知识点一：空间向量及其运算 1．空间向量及其有关概念 (1)空间向量的有关概念 (2) 2. (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 3．空间向量的运算及其坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
[基本能力] 1．如图，已知空间四边形ABCD ，则13AB ―→＋13BC ―→＋13CD ―→ 等于________． 答案：13 AD ―→ 2．已知i ，j ，k 为标准正交基底，a ＝i ＋2j ＋3k ，则a 在i 方向上的投影为________． 答案：1 3．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)共线，则p ＝________，q ＝________. 答案：3 2 4．已知向量a ＝(－1,0,1)，b ＝(1,2,3)，k ∈R ，若k a －b 与b 垂直，则k ＝________. 答案：7 考法一 空间向量的线性运算 [例1] 已知四边形ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O .Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值： (1)O Q ―→＝P Q ―→＋x PC ―→＋y PA ―→； (2)PA ―→＝x PO ―→＋y P Q ―→＋PD ―→. [解] (1)如图，∵O Q ―→＝P Q ―→－PO ―→＝P Q ―→－12(PA ―→＋PC ―→)＝P Q ―→－ 1 2PA ―→－12 PC ―→， ∴x ＝y ＝－1 2 . (2)∵PA ―→＋PC ―→＝2PO ―→， ∴PA ―→＝2PO ―→－PC ―→. 又∵PC ―→＋PD ―→＝2P Q ―→，∴PC ―→＝2P Q ―→－PD ―→. 从而有PA ―→＝2PO ―→－(2P Q ―→－PD ―→)＝2PO ―→－2P Q ―→＋PD ―→ . ∴x ＝2，y ＝－2. 考法二 共线、共面向量定理的应用 [例2] 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点， 用向量方法求证： (1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH . [证明] (1)如图，连接BG ，则EG ―→＝EB ―→＋BG ―→＝EB ―→＋12 (BC ―→＋BD ―→ ) ＝EB ―→＋BF ―→＋
直接证明和间接证明(4个课时)课程教案
2．2直接证明与间接证明 教学目标： （1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义； （2）掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式； （3）能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法； （4）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力. 教学建议： 1．知识结构:（不等式证明三种方法的理解）==〉（简单应用）==〉（综合应用） 2．重点、难点分析 重点：不等式证明的主要方法的意义和应用； 难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的； ②综合性问题证明方法的选择． （1）不等式证明的意义 不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立． （2）比较法证明不等式的分析 ①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法． ②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．
由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的 a-b>0．这种证法就是求差比较法． 由于当b>0时,a>b<==>(a／b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a／b)>1(b>0)．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件． ③求差比较法的基本步骤是：“作差→变形→断号”． 其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的． 变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可. ④作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．（3）综合法证明不等式的分析 ①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法． ②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列已知条件推导变换，推导出求证的不等式． ③综合法证明不等式的逻辑关系是： （已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要条件）==〉（结论）（4）分析法证明不等式的分析