图形与证明(教案)

第十一章图形与证明

第1课时

课题：你的判断对吗? 教学目标：

1.经历一些观察、操作活动，并对获得的数学猜想进行试验验证，体验直观判断有时不一定正确，从而尝试从数学的角度运用所学的知识和方法寻求证据、给出证明.

2.在交流中，感受数学思考的合理性和严密性.

3.渗透辨证唯物主义思想。教学重难点：体会证明的必要性教学过程：

一、学情检查情境创设：

情境1（学生看书P126）

观察、思考和实验是人类发现、发明、创造的开端。我们曾通过观察、操作、实验等探索活动，发现了许多正确的结论.

难道所有的探索活动获得的结论都是正确的吗？

如图，从一只透明的空玻璃杯的侧面能看到杯子下面放了一枚硬币. ⑴如果向杯中注水，猜一猜这时从杯子的侧面还能看到这枚硬币吗？ ⑵试一试，你看到了硬币吗？情境2

装有半杯水的透明玻璃杯中，插入一根笔直的筷子，这时我们会看到什么结论呢？答：进入水里的部分被弯折了并且变大了.

说明：情景1、2学生亲身经历这两个实验的全过程,体验到生活中有时会产生错觉；事实上，在数学中只凭观察有时也会产生错觉，造成判断失误.

二、合作交流探索活动

1. 如图，两条线段AB 与CD 那一条长一些？先猜一猜，再量一量.

2．见书P127 观察2

3.如图，两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个小圆，另一个大圆内有2个小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大一些？请你猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证你的猜想.

D C

说明：这两个情景教学实例，告诉我们数学中观察、猜想有时不一定正确，引导学生运用已有的知识和方法进行验证它的正确性，进一步培养学生数学思考的严密性和合理性.

例1. 下面图1中的四边形是正方形吗？图2中的两条直线a 、b 平行吗？说说你的看法，如何验证你的结论？

操作：

如图⑴是一张8㎝×8㎝的正方形纸片，把它剪成4块，按图⑵所示重新拼合.

这4块纸片恰好能拼成一个长为13，宽为5的长方形吗？试试看，并与全班同学交流. 说明：本例题应主要让学生自己通过分组合作共同研究，判断能否完成这样的拼图，进一步感受到仅凭观察、猜想、操作、实验是不够的，强调我们在以后的数学学习中要学会说理.

五、课堂检测六、课后作业：七、教后感

图2

图1

第2课时

课题：说理教学目标：

1.经历探索一些问题时，由于“直观判断不一定可靠”、“直观无法做出确定判断”，但运用已有的数学知识和方法可以确定一个数学结论的正确性的过程，初步感受说理的必要性．

2.尝试用说理的方法解决问题，体验说理必须步步有据，培养学生严密分析问题的能力． 3．了解定义、命题、真命题、假命题的含义，会区分命题的条件和结论.

4.通过实验、操作、探索，培养学生辨证分析问题的能力和逆向思维的能力；懂得任何事物都是正反两方面的对立统一体. 教学重难点：

感受“说理”的必要性,“说理”是确认一个数学结论正确性的有力工具，命题的组成，命题真假的判断. 教学过程：

一、学情检查情境创设：

如图，把长方形草坪中间的一条1m 宽的直道改造成如图（2）处处1m 宽的“曲径”．

问题1 两条小道占用草坪的面积相同吗？说说你的理由．

问题2 你认为应该如何计算小道占草坪的面积？

操作1 用一张透明纸覆盖在图11-6（2）上，描出小道左边草坪的边框．操作2 把透明纸向右平移，使左、右两边的草坪拼合．你发现了什么？结论：“说理”是确定一个数学结论正确性的有力工具．二、合作交流探索活动（一）

例1.七年级某班的学生通过多次计算代数式2x 2x 2

+-的值，得到了以下的一些结论：

问题1 当x=－5、2

、0、2、3时，计算代数式的值，与同学交流．问题2 换几个数再试试，你发现了什么？你能说明理由吗？

问题3 你认为以下结论正确吗？你能说明理由吗？（1）无论x 取什么数，代数式的值总是偶数；（2）无论x 取什么数，代数式的值总是正数；（3）无论x 取什么数，代数式的值总是负数；（4）无论x 取什么数，代数式的值大于1．．

(2)(1)

例2.如图，画∠AOB，并画∠AOB的角平分线OC.

(1)将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两

条直角边与∠AOB的两边分别交于点E、F，并比较PE、PF的长度；

(2)把三角尺绕点P旋转，比较PE与PF的长度，你能得到什么结论？

你的结论一定成立吗？与同学交流.

说明：由于学生已有通过观察、度量、猜想所得到的结论有时不一定可靠的体验，以及初步感受到“说理”是确认一个数学结论正确性的有力工具，因此学生对探索到的结论就有如何“说理”的需求，虽然学生暂时不能解决，但这个悬念促使学生向往、追求着“说理”．练习：课本P130 练习1、2、3

探索活动（二）

（1）怎样的两个数是“互为相反数”？

（2）怎样的三角形是“等腰三角形”？

（3）一组数据中，怎样的数是“众数”？……

由此得到什么是定义（板书课本P163的结论）

思考（1）“等角的余角相等．”与“等角的余角相等吗？”这两句话一样吗？如不一样，它们有什么不同？

（2）“经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”与“经过一点画已知直线的垂线”有什么不同？

（3）“相等的角是对顶角”与“相等的角不一定是对顶角”又有什么不同？

探索活动（三）

1.观察下列命题，你能发现它们有什么共同的结构特征吗？

命题（1）：如果a>0, b<0，那么|a|=|b|.

命题（2）：如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等．

命题（3）：如果一个三角形有2个角相等，那么这两个角所对的边也相等．

说明：命题的结构特征学生不难找出，命题都由条件和结论两部分组成，缺少其中一部分就不能构成命题，可以明确告知学生，做为一个命题的两部分：条件和结论缺一不可，不过有时对其表述不明显罢了，为下面的活动做一些铺垫．

五、课堂检测

六、课后作业：

七、教后感

第3课时

课题：证明（1）

教学目标：

1.了解综合证明的基本步骤和书写格式；

2.了解什么是证明？什么是定理？

3.能从“同位角相等，两直线平行”“两直线平行，同位角相等”这两个基本事实出发，证明平行线的判定定理和平行线的性质定理，并能简单应用这些结论；

4.感受数学的严谨性，结论的确定性，初步养成言之有理，落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力；

5.感受欧几里得的演绎体系对数学发展和人类文明的价值.

教学重点：从“同位角相等，两直线平行”这个基本事实出发，证明平行线的判定定理，并能简单应用这些结论.

教学难点：证明的基本步骤和书写格式，发展初步的演绎推理能力.

教学过程：

一、学情检查

情境创设：

1.一个数学结论的正确性如何确认呢？

其实数学家们早就遇到了这样的问题，人类对数学命题进行证明的研究已有两千多年的历史了.公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得写出了举世闻名的巨著《原本》，在这本书里，他挑选了一些基本定义和基本事实作为证实其他命题的出发点，推导出了400条定理.

2.课本中选用了哪些真命题作为“基本事实”，请一一写出来。

①___________________________________________________

②___________________________________________________

③___________________________________________________

④___________________________________________________

⑤___________________________________________________

另外，还有___________________和__________________也都看作基本事实。

3、由上面的基本事实出发，可以证实我们以前曾探索发现的有关平行线、三角形、四边形等许多性质是正确的。

注：这些基本事实都是推理的依据。

二、合作交流

问题：如何用推理的方法证实“同角的补角相等”的正确性呢？

(1)这个命题的条件是什么？结论是什么？

(2)你能根据命题的条件画出相应的图形吗？

(3)要证明图1中的∠2与∠3相等，就需要知道它们有什么联系？你能说说它们之间的联系吗？

解：∵∠1与∠2互补(已知)，

∴∠1+∠2=180°(互补的定义)，

∴∠2=180°-∠1(等式性质).

∵∠1与∠3互补(已知),

∴∠1+∠3=180°(互补的定义), 2

∴∠3=180°-∠1(等式性质), ∴∠2=∠3(等量代换).

归纳：用推理的方法证实真命题的过程叫做证明（proof ）.经过证明的真命题称为定理（theorem ）.

已经证明的定理也可作为以后推理依据. 例1.如何证明“对顶角相等” (1)仿照问题提问师生共同合作完成推理：

已知：如图直线AB 、CD 相交于点O. 求证：∠1=∠2.

证明与图形有关的命题，一般有哪几个步骤？

(1)根据命题，画出图形；

(2)根据命题，结合图形，写出已知、求证； (3)写出证明过程.

例2.证明：内错角相等，两直线平行.

已知：如图，直线a 、b 被直线C 所截，∠1=∠2. 求证a ∥b.

定理：内错角相等，两直线平行.

尝试：证明“同旁内角互补，两直线平行”.

2.“尝试”的证明，让学生充分发挥自已的知识积淀，从而对证明的格式有更深的理解.这里也与前面一样要让学生有条理地表述“三段论”.

3.再次感受到人类对真理的执着追求和严谨的科学态度. 练习：课本P136 练习1、2

五、课堂检测六、课后作业：七、教后感

第4课时

课题：证明（2）教学目标：

1.进一步了解证明的基本步骤和书写格式.

2.能从“两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明三角形内角和定理以及三角形内角和定理的推论，并能简单应用这些结论.

3.继续感受数学的严谨、结论的确定，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力.

教学重点：从“两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明三角形内角和定理以及三角形内角和定理的推论，并能简单应用这些结论.

教学难点：证明的基本步骤和书写格式，由合情推理到演绎推理的转化. 教学过程：

一、学情检查情境创设：

1.三角形3个内角的和是多少？

2.你是如何知道的？

3.你认为这个结论正确吗？你有过怀疑吗？为什么？

说明：设计问题情境，实质是借助拼图实践，为定理的证明铺垫了基本思路——把3个角“搬”到一起，利用平角的定义来证明，同时使添加辅助线有必要、有意义，由于学生经历了“直观判断不可靠”、“直观无法做出确定的判断”，所以实际教学中，学生对三角形3个内角和结论的正确性需要确认，也就是证明.

二、合作交流问题：

1.如何证明三角形内角和等于180°？

2.你有没有办法在平面图形中把三角形的三个内角“搬”到一起？

分析：添加辅助线，实质是构造新图形，由于学生没有接触过辅助线，实际教学中学生可能采用的方法有：

(1)拼图中把一个角移动位置的活动，通过画一个角等于这个角来实现.

(2)从已有的对图形的平移、旋转的认识出发，通过角的平移、旋转把三角形的3个内角“搬”到一起.

3.你能想办法把∠A 、∠B “搬”到相应的位置上吗？

已知：△ABC.

求证：∠A+∠B+∠C=180°.

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. 4. 画∠ACE=∠A 是否也可以证明: ∠A+∠B+∠ACB=180°？

5. 你还有不同的证明方法吗？与同学交流. 例如：过点A 作EF ∥BC.

例1.思考：如图，∠α是△ABC 的一个外角，∠α与△ABC 的内角有怎样的大小关系？由三角形内角和定理，可以知道： ∠α=∠A+∠B, 进而∠α＞∠A ， ∠α＞∠B.

三角形内角和定理的推论：

1. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

2. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

例2.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=∠C ，求证：梯形ABCD 是等腰梯形.

四、总结反思

(1)我们通过添加辅助线，把三角形的3个内角拼成1个平角；把三角形的3个内角拼成两平行线的同旁内角，证明了三角形内角和定理及推论，从中可以体会到，不同的添加辅助线方法的实质是相同的——把一个我们不会解的新问题，转化为我们会解的问题；

(2)从基本事实出发证实了曾探索得到有关平行线的结论的正确性、三角形内角和定理及推论，由此还可以继续证明一个又一个定理：

五、课堂检测六、课后作业：七、教后感

第5课时

课题：互逆命题

教学目标：

1. 了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立；

2. 通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是假命题.

3.能运用合情推理和演绎推理来证明一个命题.

4. 经历一些“探索—发现—猜想—证明”的过程，不断发展合乎逻辑的思考、有条理的表达的能力.

教学重点：

会写出一个命题的逆命题，并会利用反例判断一个命题是假命题.用不同的方法证明同一个命题.

教学难点：

如何列举反例判断一个命题是否真、假命题，规范证明过程的书写.

教学过程：

一、学情检查

情境创设：

公元前6世纪，古希腊哲人泰勒斯利用影子测量了金字塔的高度，他自已还发现了三角形的一个特征：等腰三角形的两个底角相等，反过来说，要使三角形两角相等，它们的对边必须相等.这个发现我们现在看来很简单，可是在当时发现它们的确不易，其实这两个三角形的特征是两个定理，或者说是两个真命题.

问题：

1. 这两个命题有什么联系与区别？

2. 我们还学过类似的一些命题吗？如(平行线的判定与性质).

归纳：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

说明：1. 这个情境，通过同学们熟悉的一组互逆命题引入，使学生能轻易总结出互逆命题的特征，归纳出它们的条件与结论的共性.再通过同学们之间的合作、交流、探索出类似的命题，从而能熟练掌握互逆命题的概念，会识别两个互逆命题.

2. 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题.

二、合作交流

1. 说出下列命题的逆命题，并与同学交流：

(1)对顶角相等；

(2)如果a2=b2，那么a=b；

(3)直角三角形的两个锐角互余；

(4)轴对称图形是等腰三角形；

(5)正方形的4个角都是直角.

说明：1. (1)(3)(5)直接叙述它们的逆命题可能会有些困难，可以指导学生画出相关的图形分析命题的条件和结论.

问题：

1. 你能判断上述互逆命题的真假吗？

(1)真，假；(2)假，真；(3)真，真；(4)假，真；(5)真，假.

说明：组织学生思考并交流各自判断命题真假的情况，以利于引导学生主动发现：一对互逆命题的真假性不一定相同.

问题2：说说你对一对互逆命题的真假性的看法，如果原命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？

问题3：你是如何判断一个命题是假命题的. 例1.如果a 2=b 2，那么a=b 正确吗？

（不正确，如：当a=2，b=2时，a 2=b 2，但a ≠b ，这样的例子称为反例）. 例2.写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题. (1)若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；

(2)角平分线上的点到这个角的两边距离相等； (3)若ab=0，则a=0. .

解：(1)逆命题为：若a ＞b ，则ac 2＞bc 2. 假命题，如c=0，ac 2=bc 2

(2)逆命题为：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，真命题. (3)逆命题为：若a=0，则ab=0，真命题.

例3.证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 分析：首先将文字命题转换成符号语言已知：如图(2)直线a 、b 、c ， b ∥a ，c ∥a ，求证：b ∥c. 证明：作直线a 、b 、c 的截线d 因为b ∥a(已知)

所以 ∠2=∠1( ) 因为c ∥a (已知)

所以∠3=∠1( ) 所以∠2=∠3(等量代换)

所以b ∥c( ) 四、总结反思

1.说说你对互逆命题有哪些了解？

2.举出一个反例来说明一个命题是假命题.

3.图形的特殊的“位置关系”常常决定了有某种特殊的“数量关系”.比如，如果两直线平行（位置关系），那么内错角相等（数量关系）.反过来，图形的特殊的“数量关系”常常决定了图形有特殊的“位置关系”.比如，如果内错角相等（数量关系），那么两平行线（位置关系），从而体会形与数的内在联系；

4.回顾我们曾探索得到的关于图形的“位置关系”和“数量关系”的互逆命题. 五、课堂检测六、课后作业：七、教后感

第6课时

课题：本章复习

一、基础训练

1、下列语句中，是命题的为（）

A、延长线段AB至C

B、垂线段最短

C、过点O作直线a∥b

D、锐角都相等吗

2、下列命题是假命题的是（）

A、若0＜b＜a，则a2＞b2

B、相等的角是对顶角

C、若a＋b＝0，则a、b互为相反数

D、两点之间线段最短

3、如图所示，下列推理及所注理由正确的是（）

A、∵DE∥BC，∴∠1＝∠C（同位角相等，两直线平行）

B、∵∠2＝∠3，∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）

C、∵DE∥BC，∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）

D、∵∠1＝∠C，∴DE∥BC（两直线平行，同位角相等）

4、如图所示，已知AB∥EF，BC⊥CD于C，∠ABC＝30°，∠DEF＝45°，则∠CDE等于（）

A、105°

B、75°

C、135°

D、115°

第3题第4题第5题

5、如图所示，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD＝＿＿＿＿＿

6、如图所示，推理填空：

（1）∵∠A＝＿＿＿＿＿（已知），

∴AC∥ED（）

（2）∵∠2＝＿＿＿＿＿＿＿（已知）

∴AC∥ED（）

（3）∵∠A＋＿＿＿＿＿＿＝180°（已知）

∴AB∥FD（）

（4）∵∠2＋＿＿＿＿＿＿＝180°（）

∴AC∥DE（）

7、命题“直角都相等”的条件是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，结论是＿＿＿＿＿＿＿

8、如图所示，已知AB∥CD，∠C＝75°，∠A＝25°，则∠E的度数是＿＿＿＿＿＿

二、知识点

1、知识结构

2、思想方法

（1）观察与推理相结合的思想方法（2）真假命题的判定方法

要判定一个命题是假命题，只要举出一个例子满足命题的条件，但不东路结论就可以了，即常说的举反例法.

判定一个命题是真命题，必须用说理的方法加以证明，证明一个真命题的一般步骤是： ①根据题意，画出图形；

②根据条件，结论、结合图形，写出已知、求证； ③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 三、例题精讲

例1、如图所示，已知∠B ＝25°，∠BEF ＝45°，∠EFC ＝30°，∠C ＝10°.求证：AB ∥CD.

例2、如图所示，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，ED 交BC 于点G ，点D 、C 分别落在D ’、C ’位置上，若∠EFG ＝55°，求∠AEG 和∠BGE 的度数.

例3、如图所示，已知BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，且BE ＝CF.请你判断AD 是△ABC 的中线学是角平分线？请说明你判断的理由.

例4、已知：如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH ，与BE 相交于点G. （1）求证：BC ＝AC ；（2）求证：CE ＝

BF ；（3）CE 与BG 的大小关系如何？试证明你的结论.

图形与证明(二)复习(1)练习2

D C B A D 九年级数学作业（06-09-15）姓名 1、如图，设M ，N 分别是直角梯形ABCD 两腰AD ，CB 的中点，DE 上AB 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折，M 与N 恰好重合，则AE ：BE 等于（） A ．2:1 B ．1:2 C ．3:2 D ．2:3 2、小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图1的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm ；展开后按图2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm ，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是（） A ．0.5cm B ．1cm C ． 1.5cm D ．2cm 3、如图，若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD 的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的值等于。 4、矩形ABCD 中，22 =AB ，将角D 与角C 分别沿过A 和B 的直线 AE 、BF 向内折叠，使点D 、C 重合于点G ，且AGB EGF ∠=∠，则 =AD ． 5、已知平行四边形A B C D ，AD a AB b ABC α===，，∠．点F 为线段B C 上一点（端点 B C ，除外），连结A F A C ，，连结D F ，并延长D F 交A B 的延长线于点E ，连结C E ．（1）当F 为B C 的中点时，求证E F C △与A B F △的面积相等；（2）当F 为B C 上任意一点时，E F C △与A B F △的面积还相等吗？说明理由．左右左右第二次折叠第一次折叠图1 图2

6、在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD 分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有组；（2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；（3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？ 7、如图：把一个矩形如图折叠，使顶点B 和D 重合，折痕为EF 。（1）找出全等三角形；（2）△DEF 是什么三角形,并证明；（3）连接BE ，判断四边形BEDF 是什么特殊四边形，BD 与EF 有什么关系？并证明。 8、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒）．（1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式；（2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？（3）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由． A B C D A B C D D C B A P C Q B

三角形全等的证明教案

三角形全等的证明【知识梳理】（一）三角形概述： 1．定义（包括内、外角） 2．性质：三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n 边形内角和;④n 边形外角和。 ⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 ⑶角与边：在同一三角形中 3．三角形的主要线段（1）定义：高线、中线、角平分线、中垂线（2）××线的交点—-- 三角形的×心及性质 4．特殊三角形（等腰三角形、等边三角形）的判定与性质等腰三角形：定理：等腰三角形的两个底角相等，（简称：“等边对等角”）定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，（简称：“三线合一”）等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，（简称“等角对等边”）。等边三角形的性质及判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 5．全等三角形全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；全等的判定：SAS 、ASA 、AAS 、SSS ：注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA ；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA 。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。寻找对应元素的方法：（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。翻折如图（1），?BOC ≌?EOD ，?BOC 可以看成是由?EOD 沿直线AO 翻折180?得到的；等边等角大边大角小边小角

命题与证明教学设计与反思(供参考)

教学设计与反思

想一想，议一议判断对错： 1、要证明假命题很简单，只要举出一个反例就可以了。 2、证明真命题也很简单哪,只要举一个正确的例子就可以了。同学们,那句话是正确的?怎样才能确定一个命题是真命题呢? 得出“证明”的定义：一个命题的真假，常常需要进行有理有据的推理才能作出正确的判断，这个推理的过程叫做命题的证明。思考这两个问题的对错，讨论各自的想法并初步总结：如何判断一个命题是真命题呢？由此引出“证明” 使学生通过思考问题、互相讨论总结出“证明”的定义，加强前后知识的衔接，使学生更清晰的认识“证明”。做一做归纳总结出示幻灯片：例1 证明：平行于同一条直线的两条直线平行。证明一个命题的步骤是什么？（1）依据题意画图，将文字语言转换为符号（图形）语言。（2）根据图形写出已知、求证。（3）根据基本事实、已有定理等进行证明。例2：求证：邻补角的平分线互相垂直。思考后互相讨论，总结归纳出证明一个命题的步骤，然后按照步骤完成例2。通过例题教学，突出和落实“证明” 的两方面特征，并引导学生充分认识并掌握“证明过程”是如何进行的。练习1、已知：如图，∠1=∠2，求证：AB∥CD 2、已知，如图，直线AB，CD 被EF、GH所截， ∠1=∠2 。求证：∠3=∠4 要求学生自己动手，实践“证明”，在练习中使学生规范做题步骤。学生做题时可以自行选择不同的证明方法，使学生对证明步骤熟悉的同时，培养学生的灵活能力。检测学生对证明步骤的掌握情况。课堂小结以问题的形式引导学生自主总结本节课所学内容：这节课你们学到了什么？有何收获？学生各自发表自己的收获，总结本节课的知识点引导学生思考、交流、梳理所学知识， “勤于思考，收获快乐”，使学生的积极情感体验得到升华。

初二数学教案：命题与证明

初二数学教案：命题与证明第二十四章证明与命题(一)复习一、教学目标： 1、了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论。 2、会在简单情况下判断一个命题的真假。理解反例的作用，知道利用反例可证明一个命题是错误的。 3 、了解证明的含义，理解证明的必要性，体会证明的过程要步步有据。 4、会根据一些基本事实证明简单命题。 5、通过实例，体会反证法的含义。了解反证法的基本步骤。 6、初步会综合运用命题、证明以及相关知识解决简单的实际问题。二、本章知识结构框架图：三、教学过程： (一)知识回顾 1、一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。命题分为真命题与假命题。 2、说明一个命题是假命题,通常只用找出一个反例,但要说明一个命题是真命题,就必须用推理的方法,而不能光凭一个例子。

(二)说一说 1.指出下列句子，哪些是命题，哪些不是命题? (1)有两个角和夹边对应相等的三角形是全等的三角形; (2)有两条边对应相等的两个三角形全等; (3)作A的平分线; (4)若a=b 则a2= b2 (5) 同位角相等吗? 2.说出一个已学过定理: 说出一个已学过公理: 3、下列把命题改写成如果，那么的形式。并判断下列命题的真假. (1)不相等的角不可能是对顶角. (2)垂直于同一条直线的两直线平行; (3)两个无理数的乘积一定是无理数. (三)练一练 1. 用反例证明下列命题是假命题： (1) 若x(5-x)=0，则x=0; (2) 等腰三角形一边上的中线就是这条边上的高; (3) 相等的角是内错角; (4)若x2,则分式有意义. (四)例题分析例1求证:全等三角形对应角的平分线相等.

图形的认识、图形与证明

【模拟试题】（答题时间：45分钟）一、选择题 1、如图所示，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上，四边形EFGB 也为正方形，则△AFC 的面积为S ，则（） A 、S=2 B 、S=2.4 C 、S=4 D 、S 与B E 长度有关 2、下列四边形①等腰梯形，②正方形，③矩形，④菱形的对角线一定相等的是（） A 、①②③ B 、①②③④ C 、①② D 、②③ 3、如图直角梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=3，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至ED ，连AE 、CE ，则△ADE 的面积是（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、不能确定 4、如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB//DC ，AC ⊥BC ，点E 是AB 的中点，EC//AD ，则∠ABC 等于（） A 、75° B 、70° C 、60° D 、30° 5、如图所示，是一个正方形与一个直角三角形所拼成的图形，则该图形的面积为（） A 、mn 21 m 2 + B 、2m mn 2- C 、2 mn m 2+ D 、2 n m 22+ 二、填空题

1、如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC+BD=_________。 2、已知任意直线l把平行四边形ABCD分成两部分，要使这两部分的面积相等，直线l 所在位置需满足的条件是__________（只需填上一个你认为合适的条件）。 2，3、已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=3 那么AP的长为____________。 4、如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开，可以拼出不同形状的四边形，请写出其中两个不同的四边形的名称： 5、如图，正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于_________cm，四边形EFGH的面积等于cm。 _________2 三、解答题 1、已知：如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF。（1）求证：AF=CE；（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论。

【北师大版初三数学】第1讲：三角形的证明-教案

知识讲解： 1．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理：（1）与等腰三角形、等边三角形有关的结论：性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等．等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高互相相等．判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形．（2）与直角三角形有关的结论：勾股定理的逆定理；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等．(HL) （3）与一般三角形有关的结论：

在一个三角形中，两个角不相等，它们所对的边也不相等（用反证法证明）． 2．命题的逆命题及其真假：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．其中一个定理称为另一个定理的逆定理．例如勾股定理及其逆定理． 3．尺规作图线段垂直平分线的性质定理和判定定理；用尺规作线段的垂直平分线；已知底边和底边上的高，用尺规作等腰三角形角平分线的性质定理和判定定理；用尺规作已知角的平分线．课堂练习：考点一：等腰三角形【例题】 1、【14外国语期中】等腰三角形的一边为5另一边为9，这这个三角形的周长为（）A．19 B.23 C .14 D.19或23 2、【14外国语月考】等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是（） A．有一个内角是600 B.有一个外角是1200 C．有两个角相等 D.腰与底边相等 3、【经开一中月考】将两个全等的有一个角为３００的直角三角形拼成如图所示，其中两条直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（）Ａ．４Ｂ．３Ｃ．２Ｄ．１ 4、【14外国语月考】腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为。 5、【经开一中月考】一个等腰三角形有一角是７００，则其余两角分别为。 6、【经开一中月考】等腰直角三角形一条边长是1cm,那么它斜边上的高是 cm. 7、【经开一中月考】已知：如图ＡＢ＝ＡＣ，DE∥AC求证：△ＤＢＥ是等腰三角形。 8、【14外国语月考】如图，等边△ABC中，AO是BC边上的中线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD 下方作等边△CDE，连结BE。（1）求证：AD＝BE

5.3.2 命题、定理、证明(教案)

5.3.2 命题、定理、证明【知识与技能】 1.知道什么叫做命题，什么叫真命题，什么叫做假命题，什么叫定理. 2.理解命题由题设和结论两部分组成，能将命题写成“如果……那么……”的形式或“若……则……”的形式. 【过程与方法】通过对若干个命题的分析，了解什么叫命题以及命题的组成，知道什么叫做真命题，什么做假命题，什么叫做定理. 【情感态度】通过本节的学习使同学们明白命题在数学上的重要作用，不仅如此，命题在其它许多学科都有重要作用. 【教学重点】命题的定义，命题的组成. 【教学难点】命题的判断，真假命题的判断，命题的题设和结论的区分. 一、情境导入，初步认识问题1 分析下列判断事情的语句，指出它们的题设和结论. （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. （2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. （3）对顶角相等. （4）等式两边加同一个数，结果仍是等式. 问题2 判断下列语句，是不是命题，如果是命题，是真命题，还是假命题. （1）画线段AB=5cm. （2）两条直线相交，有几个交点？（3）如果直线a∥b,b∥c,那么a∥c. （4）直角都相等. （5）相等的角是对顶角.

【教学说明】全班同学合作交流，即先分组完成上面的两个问题，然后交流成果，最后得出正确的答案. 二、思考探究，获取新知思考 1.真命题与定理有什么样的关系. 2.对题设和结论不明显的命题，怎样找出它们的题设和结论. 【归纳结论】1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题. 2.命题由题设和结论两部分组成 3.真命题与假命题：正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题. 4.定理是经过推理证实的真命题，是在今后推理中经常作为依据的一种真命题.但不是所有经过推理证实的真命题都把它当作定理. 对于题设和结论不明显的命题，应先将它改写成“如果……那么……”的形式或“若……则……”的形式.一般来说，如果前面的部分是题设，那么后面的部分是结论.将这种命题改写成“如果……那么……”的形式时，那么后面的部分一定要简单明了. 三、运用新知，深化理解判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题.举出一个反例. （1）若a＞b,则a2＞b2. （2）两个锐角的和是钝角. （3）同位角相等. （4）两点之间，线段最短. 【教学说明】本环节让同学们分组讨论，在合作交流中深刻理解命题的组成和真假命题的判断. 【答案】略. 四、师生互动，课堂小结请几名学生口答，然后由教师归纳，可用电脑课件放映到屏幕上. 1.布置作业：从教材“习题5.3”中选取. 2.完成练习册中本课时的练习.

图形的认识图形与证明(一)

【本讲教育信息】一. 教案内容：图形的认识、图形与证明（一）几何初步、三角形二. 教案目标：通过对几何初步、三角形基础知识的复习，解决中考中常见的问题。三. 重点、难点：熟练地解决与几何初步、三角形相关的问题四. 课堂教案：中考导航一 ???????? ? ???? ? ?????? ????????????质互余、互补的意义、性角的比较与度量角的和、差及角平分线射线平行线相交线直线公理直线线段的比较与度量线段公理与中点线段的和、差、倍、分线段几何初步知识中考课程标准要求一

中考导航 ???? ?? ? ????? ? ??? ???????????????????????作图性质判定概念全等直角三角形钝角三角形锐角三角形按角等腰三角形不等边三角形按边分类三角形中考课程标准要求【典型例题】例1. 如图能折叠成的长方体是（）（2006年大连市）答案：D 例2. 如图，AC ＝BC ，AE 平分∠CAD ，且∠C ＝40°，则∠DAE ＝_________。（2005年邵阳市）

答案：55° 例3. 如图所示，l 是四边形ABCD 的对称轴，如果AD//BC ，则有以下结论：①AB//CD ②AB ＝BC ③AB ⊥BC ④AO ＝CO 那么其中正确的结论序号是________________。（2006年烟台市）答案：①②④ 例4. 如图1所示，△ABC 为等边三角形，面积为S 。D 1、E 1、F 1分别是△ABC 三边上的点，且AB 2 1 CF BE AD 111= ==，连结11E D 、11F E 、11D F ，可得△111F E D 是等边三角形，此时△11F AD 的面积S 4 1S 1=，S 41S F E D ' 1111=?的面积。图1 （1）当D 2、E 2、F 2分别是等边△ABC 三边上的点，且AB 3 1 CF BE AD 222===时（如图2所示）

八年级数学下册第一章三角形的证明回顾与思考教案1新版北师大版

《回顾与思考》教学目标 1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等。 2、发展学生的初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力。教学重点通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固教学难点本章知识的综合性应用。教学过程知识回顾 1、等腰三角形的性质：（边）_______________ ；（角）_______________ ；“三线合一”的内容____________________________________ 。 2、等边三角形的性质：（边）_______________ ;（角）__________________ 。 3、判定等腰三角形的方法有：（边）_______________ ;（角）________________________ 。 4、判定等边三角形的方法有：（边）_______________ ;（角）________________________ 。 5、_________________________________________________ 线段垂直平分线的性质定理：。逆定理：____________________________________________________________________ 。三角形的垂直平分线性质：___________________________________________________ 。 6、_____________________________________________________________ 角的性质定理：。逆定理：____________________________________________________________________ 。三角形的角平分线性质：_____________________________________________________ 。 7、___________________________________________________ 三角形全等的判定方法有：。 8 30°锐角的直角三角形的性质： ______________________________________________ 。 9、方法总结：（1）证明线段相等的方法：1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；3）等角对等边；4）等腰三角形三线合一的性质；5）中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。（2）证明两角相等的方法：1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；4）全等三角形对应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆定理。

北师版八年级数学下册教案第一章三角形的证明

第一章三角形的证明 1等腰三角形第1课时全等三角形及等腰三角形的性质 1．理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理． 2．经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步掌握证明的基本步骤和书写格式． 3．掌握等腰三角形性质定理的推论．重点掌握等腰三角形的性质定理及推论．难点证明等腰三角形的相关性质．一、复习导入 1．请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条： (1)两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； (2)两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； (3)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)； (4)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)； (5)三边对应相等的两个三角形全等(SSS)． 2．在此基础上回忆全等三角形的判定定理：(推论)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)，并要求学生利用前面所提到的公理进行证明． 3．回忆全等三角形的性质．二、探究新知 1．等腰三角形的性质定理问题1：什么是等腰三角形？问题2：你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形裁剪下来．问题3 ：试用折纸的方法回忆等腰三角形有哪些性质．引导学生得出等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等．(简称为“等边对等角”) 问题4：你能利用已有的基本事实和定理证明这些结论吗？已知：如图，在△ABC中，AB＝AC. 求证：∠B＝∠C. 分析：方法一：作∠BAC的平分线，交BC边于点D；方法二：过点A作AD ⊥BC于点D；方法三：取BC的中点D. 证法一：取BC的中点D，连接AD. ?? ? ?? AB＝AC BD＝CD AD＝AD ?△ABD≌△ACD?∠B＝∠C.

图形与证明

13、（05年）如图，已知，在△ABC 和△DCB 中，AC=DB ，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC ≌ △DCB ，则还需增加一个条件是__。（13）（15） 15、（05年）如图，口ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在 CD 上的点F ，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为__。 18、（05年）（8分）大楼AD 的高为10米，远处有一塔BC ，某人在楼底A 处测得踏顶B 处的仰角为60o，爬到楼顶D 点测得塔顶B 点的仰角为30o，求塔BC 的高度。 22、（05年）（9分）AB 是⊙O 的直径，点E 是半圆上一动点（点E 与点A 、B 都不重合），点C 是BE 延长线上的一点，且CD ⊥AB ，垂足为D ，CD 与AE 交于点H ，点H 与点A 不重合。（1）（5分）求证：△AHD ∽△CBD （2）（4分）连HB ，若CD=AB=2，求HD+HO 的值。 D B A O D B H E C D

图10－1 M G O D B E A C x y F 图10－2 p B G C E M O D A x y ９．（06年）如图4，王华晚上由路灯A 下的B 处走到Ｃ处时，测得影子CD 的长为１米，继续往前走３米到达Ｅ处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 等于Ａ．4.5米Ｂ．6米Ｃ．7.2米Ｄ．8米图4 10．（06年）如图5，在□ABCD 中，AB : AD = 3:2，∠ADB=60°，那么cos Ａ的值等于Ａ．36- Ｂ．322+ Ｃ．36± Ｄ．322± 图5 13．（06年）如图6所示，在四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA ，对角线AC 与BD 相交于点O ．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD 是正方形，则还需增加的一个条件是______________．图6 15．（06年）在△ABC 中，AB 边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC 的面积为__________________． 18．（06年）（７分）如图7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC , AD DC AB ==， 120ADC ∠=．（1）（３分）求证：DC BD ⊥ 证明：（2）（４分）若4AB =，求梯形ABCD 的面积．解：得分 22．（06年）(10分)如图10-1，在平面直角坐标系xoy 中，点M 在x 轴的正半轴上， ⊙M 交x 轴于 A B 、两点，交y 轴于C D 、两点，且C 为AE 的中点，AE 交y 轴于G 点，若点A 的坐标为（－2，0），AE 8= (1)(3分)求点C 的坐标. 解： (2)(3分)连结MG BC 、，求证：MG ∥BC 证明： (3)(４分) 如图10-2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时， PF OF 的比值是否发生变化，若不变，求出比值；若变化，说明变化规律. 解： A D B C A B C D A B C D E F A B C D O

《三角形的证明》复习教案

第一章《三角形的证明》 1、性质和判定 2、尺规作图垂直平分线的应用：（1）确定到两点（三点）距离相等的点的位置（2）确定线段的中点（3）过一点作已知直线或线段的垂线角平分线的应用（1）把一个角分成n2等份（2）确定到角的两边或三角形三边距离相等的点（3）与垂直平分线结合，解决实际问题 3、全等三角形的判定（AAS，SSS，SAS，ASA，HL）双基训练： 1．已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是____________. 2．一个等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是________________. 3．已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积是________________. 4．在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是 . 5．已知⊿ABC中，∠A = 090，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC = . 6．在△ABC中，∠A=40°，AB=AC ，AB的垂直平分线交AC与D，则∠DBC 的度数为． 7．Rt⊿ABC中，∠C=90o，∠B=30o，则AC与AB两边的关系

是， 8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300 ，腰长为6，则其底边上的高是。 9. 如图，在△ABC 和△DEF 中，已知AC=DF ，BC=EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要的条件是（） A.∠A=∠D B.∠ACB=∠F C.∠B=∠DEF D.∠ACB=∠D 10．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，则∠A 的度数为（） A.30° B.36° C.45° D.70° 11．如图，△ABC ≌△AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则对于结论①AC ＝AF ；②∠FAB ＝∠EAB ；③EF ＝BC ；④∠EAB ＝∠FAC ，其中正确结论的个数是（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12．如图， DC ⊥CA ，EA ⊥CA ， CD=AB ，CB=AE ．求证：△BCD ≌△EAB ． 13.如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC ； 14．如图，在△ABD 和△ACE 中，有下列四个等式： ①AB=AC ②AD=AE ③∠1=∠2 ④BD=CE ．以其中．．三个条件为已知，填入已知栏中，一个为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程。已知： . 求证： . 证明：提升练习 16.如图，CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，CE 与BF 相交于D ，且BD=CD. 求证：D 在∠BAC 的平分线上. D E C B A

命题定理与证明教案完整版

命题定理与证明教案集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]

《命题、定理与证明》教案教学目标知识与技能： 1、了解命题、定义的含义；对命题的概念有正确的理解；会区分命题的条件和结论；知道判断一个命题是假命题的方法； 2、了解命题、公理、定理的含义；理解证明的必要性. 过程与方法： 1、结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识； 2、结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识. 情感、态度与价值观：初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值. 重点找出命题的条件（题设）和结论；知道什么是公理，什么是定理. 难点命题概念的理解；理解证明的必要性. 教学过程【一】一、复习引入教师：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180 度”，“等腰三角形两底角相等”等.根据我们已学过的图形特性，试判断下列句子是否正确. D C B A

1、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； 2、两直线平行，同位角相等； 3、同旁内角相等，两直线平行； 4、平行四边形的对角线相等； 5、直角都相等. 二、探究新知（一）命题、真命题与假命题学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子1、2、5是正确的，句子3、4是错误的.像这样可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题. 教师：在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果.......，那么.......”的形式.用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论.例如，在命题1中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”就是结论. 有的命题的题设与结论不十分明显，可以将它写成“如果.........，那么...........”的形式，就可以分清它的题设和结论了.例如，命题5可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等.” （二）实例讲解 1、教师提出问题1（例1）：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果.......，那么.......”的形式，并分别指出命题的题设和结论. 学生回答后，教师总结：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”.这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”. 2、教师提出问题2：把下列命题写成“如果.....，那么......”的形式，并说出它们的条件和结论，再判断它是真命题，还是假命题. （1）对顶角相等；（2）如果a＞b，b＞c，那么a=c；

冀教版数学八下第二十四章《命题与证明》word复习教案

冀教版数学八下第二十四章《命题与证明》 w o r d复习教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第二十四章证明与命题（一）复习一、教学目标： 1、了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件（题设）和结论。 2、会在简单情况下判断一个命题的真假。理解反例的作用，知道利用反例可证明一个命题是错误的。 3、了解证明的含义，理解证明的必要性，体会证明的过程要步步有据。 4、会根据一些基本事实证明简单命题。 5、通过实例，体会反证法的含义。了解反证法的基本步骤。 6、初步会综合运用命题、证明以及相关知识解决简单的实际问题。二、本章知识结构框架图：三、教学过程：（一）知识回顾 1、一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。命题分为真命题与假命题。 2、说明一个命题是假命题,通常只用找出一个反例,但要说明一个命题是真命题,就必须用推理的方法,而不能光凭一个例子。（二）说一说定义命题命题的结构命题的真假命题的表述真假命题的判断证明(固定格式) 反证法举反例公理定理

1.指出下列句子，哪些是命题，哪些不是命题？（１）有两个角和夹边对应相等的三角形是全等的三角形；（２）有两条边对应相等的两个三角形全等；（３）作∠Ａ的平分线；（４）若ａ＝ｂ则 a 2= b 2 （5）同位角相等吗 2.说出一个已学过定理: 说出一个已学过公理: 3、下列把命题改写成“如果……，那么……”的形式。并判断下列命题的真假. （1）不相等的角不可能是对顶角. （2）垂直于同一条直线的两直线平行；（3）两个无理数的乘积一定是无理数. （三）练一练 1. 用反例证明下列命题是假命题： (1) 若x(５-x)=0，则x=0； (2) 等腰三角形一边上的中线就是这条边上的高； (3) 相等的角是内错角；（4）若x ≠2,则分式有意义. （四）例题分析 42 x x

图形与证明二复习教学案教案

图形与证明二复习教学案教案 Updated by Jack on December 25,2020 at 10:00 am

第一章图形与证明（二）复习教学案一、知识回顾： [1]等腰三角形的性质和判定（1） 1、等腰三角形的性质定理。定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，（简称：＿＿＿＿＿＿）定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，（简称：＿＿＿＿＿＿）2 文学语言图形符号语言等边对等角在∵＿＿＿＿＿＿＿＿； ∴＿＿＿＿＿＿＿＿。三线合一（（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD ＿∴＿＿＿，＿＿＿＿＿。（2）∵＿＿＿，＿＿＿＿＿ ∴＿＿＿＿，＿＿＿＿＿。（（3）∵＿＿＿，＿＿＿＿ ∴∴＿＿＿＿＿，＿＿＿＿。 3 ∵_________________________ ∴_________________________ 4、三角形中位线：图形：几何语言：∵__________________________________ ∴__________________________________ 三角形中位线性质：__________________________________________ [2] 直角三角形的全等判定 1、全等三角形判定定理：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（）（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（）（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（）（4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（） 2、角平分线性质：＿＿＿＿＿＿＿＿角平分线判定：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ∵_________________________ ∵ _________________________ ∴_________________________ ∴_________________________ [3] 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定 1、平行四边形的三条性质：__________________________________________

第01讲-三角形的证明-教案

第01讲三角形的证明温故知新三角形全等的条件（1）三角形全等条件1：三条边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。注意：①在运用“SSS”判定三角形全等，必须同时满足三边对应相等，只有一边或两边对应相等是不能得到全等的。②“SSS ”判定全等只适用于三角形，不能适用其他图形。符号语言：已知△ABC 与△DEF 的三条边对应相等。在△ABC 与△DEF 中，?? ? ??===DF AC EF BC DE AB ∴△ABC ≌△DEF （SSS ）（2）三角形全等条件2：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。注意：①用“ASA”判定两个三角形全等时，一定要说明两个角及夹边对应相等 ②在书写两个三角形全等的条件“ASA”时，一般把夹边相等写在中间的位置。符号语言：已知∠D=∠E ，AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ．求证：△ABD ≌△ACE ．证明：在△ABD 和△ACE 中， ∠D=∠E AD=AE ∠BAD ＝∠CAE ∴△ABD ≌△ACE （ASA ）（3）三角形全等条件3：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“边边角”或“AAS”。符号语言：如图：D 在AB 上，E 在AC 上，DC=EB,∠C=∠B ．求证：△ACD ≌△ABE 证明：在△ACD 和△ABE 中． ∠C=∠B ∠A=∠A DC=EB ∴△ACD ≌△ABE （AAS ）．注意：“AAS”中的“S”是有限制条件的，必须是两组对应等角中一组等角的对边。（4）三角形全等条件4：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。符号语言：在△ABC 与△DEF 中，

命题、定理、证明教学设计

课题 5.3.2命题、定理、证明授课人教学目标知识技能掌握命题、定理的概念，并能分清命题的题设和结论，判定真命题和假命题；能根据已知条件对简单问题进行证明.数学思考通过讨论、探究、交流等形式，使学生在辩论中获得知识体验. 问题解决用类比的方法，经历自主学习、合作探究，领悟命题的有关概念. 情感态度在学习过程中培养学生敢于怀疑、大胆探究的品质，培养合作、交流的能力，从活动中体会学习的快乐. (续表) 教学重点掌握命题、定理的概念，并能分清命题的组成. 教学难点分清命题的组成，并能把一个命题改写成“如果……那么……”的形式. 授课类型新授课课时教具教学活动教学步骤师生活动设计意图活动一：创设情境导入新课【课堂引入】以下6个句子，有什么不同？你能对它们进行分类吗？如果你能分类，分类的依据是什么？ (1)熊猫没有翅膀；(2)对顶角相等；(3)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； (4)你喜欢数学吗？(5)作线段AB＝CD；(6)清新的空气；(7)不许讲话．指出像这样判断一件事情的语句，叫做命题．既复习了已学知识，又让学生认识了命题的多种表现形式. 活动二：实践探究交流新知【探究1】命题的概念下列句子中，哪些是命题？ ①直角三角形中的两个锐角互余； ②正数都大于0； ③如果∠1＋∠2＝180°，那么∠1与∠2互补； ④太阳不是行星； ⑤对顶角相等吗？ ⑥作一个角等于已知角． 1.通过各类型的语句探究命题的概念.

分析：①②③是命题，它们都对事情作出了肯定回答；④是命题，它对事情作出了否定回答；⑤不是命题，只表示疑问，并未作出判断；⑥不是命题，只是描述了一个作图的过程，设有做出判断．解：①②③④是命题，⑤⑥不是命题．师生共同总结判断命题的依据：对事件做出了肯定或否定的判断的句子为命题，否则不是命题．【探究2】命题的题设和结论命题由题设和结论两部分组成，其中“题设”是已知事项，即命题中的已知条件；“结论”是由已知事项推出的事项，即结论是在已知条件的前提下可得到的结果．命题的表述形式有标准形式：“如果……那么……”，另外还有“若……则……”等，一般地，“如果……”和“若……”是题设部分，“那么……”和“则……”是结论部分．一些命题前面的“附加部分”属题设．要准确找出一个命题的题设和结论，特别是一些没有关联词语、题设和结论不明显的命题． (续表) 活动二：实践探究交流新知例2判断下列语句是不是命题，是命题的指出命题的题设和结论，并判断此命题是否是真命题． (1)画射线AC； (2)同位角相等吗？ (3)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行； (4)任意两个直角都相等； (5)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (6)若|x|＝|y|，则x＝y. 解：(1)(2)不是命题； (3)题设是两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，结论是这两条直线平行，是真命题； (4)题设是两个角是直角，结论是这两个角相等， 2.师生通过例题共同探究命题的题设和结论的确定方法． 3．引导学生区分命题与定理的关系，且体会数学命题证明的必要性.

三角形内角和定理的证明教学设计

名师精编优秀教案北师大八年级下册数学 6.5《三角形内角和定理的证明》教学设计西乡三中蒲忠明在学生掌握了平行线的性质及严格的证明等知识的基础教案背景：上展开的本节课教学。北师大八年级下册数学6.5《三角形内角和定理的证明》教学课题：教材分析： (一)教材的地位和作用：这节内容是在前面学生对“三角形内角和是180°”这个结论有了一定直观认识的基础上编排的，以往对这个结论也曾进行过简单的说理，这里则以严格的步骤演绎证明，旨在让学生从实践操作转移到理性思维上来，使学生初步掌握证明的要求和格式，促使学生养成严谨的数学思维方法，发展学生的证明素养。三角形内角和定理从数量角度揭示三角形三内角之间的关系，是三角形的一个重要性质，既是今后几何推理的重要依据，又是计算角度的重要方法。教材从学生实践操作到证明过程的呈现训练了学生的抽象思维能力和逻辑推理能力；其中辅助线的作法学生第一次接触，它集中了条件、构造了新图形、形了成新关系，实现了未知与已知的转化，起到了解决问题的桥梁作用；课本议一议引导学生一题多思，体现运动变化的观点，读一读为学生认识定理的发现过程另劈蹊径，渗透极限的思想，是学生认识客观世

界、不断探求新知的一种重要途径。因此本节内容不仅在知识上具有承前启后的地位，而且对今后学习和生活都将起到重要的指导作用。教学目标：)二( 名师精编优秀教案 [知识与技能目标]：掌握三角形内角和定理的证明和简单应用，初步学会作辅助线证明的基本方法，培养学生观察、猜想、和推理论证能力。 [过程与方法目标]： 1、对比过去折纸、撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。 2、通过一题多证、一题多变体会思维的多向性。 3、引导学生应用运动变化的观点认识数学。 [情感与态度目标]：通过一题多证、一题多变激发学生勇于探索、合作交流的精神，体验成功的乐趣，引导学生的个性发展。感悟逻辑推理的价值。（三）教学重难点：本节课的重点是：探索证明三角形内角和定理的不同方法，利用三角形内角和定理进行简单的计算或证明。本节课的难点是：应用运动变化的观点认识数学。从拼图过程中发现并正确引入辅助线是本节课的关键。引导发现法、尝试探究法。教学方法：教学过程：一、创设情景、提出问题：