动态圆模型
“动态圆”模型的应用
带电粒子在磁场中的运动经常涉及动态圆。常见的动态圆模型有两种，往往都还涉及边界（极值）问题。
模型1如图1，一束带负电的粒子以初速度垂直进入匀强磁场，若初速度方向相同，大小不同，所有粒子运动轨迹的圆心都在垂直于初速度的直线上，速度增大时，轨道半径随着增大，所有粒子的轨迹组成一组动态的内切圆。
模型2如图2，一束带负电的粒子以初速度垂直进入匀强磁场，若初速度大小相同，方向不同，则所有粒子运动的轨道半径相同，但不同粒子的圆心位置不同，其共同规律是：所有粒子的圆心都在以入射点为圆心，以轨道半径为半径的圆上，从而可以找出动态圆的圆心轨迹。使用时应注意各圆的绕向。
例1．如图所示，在圆形区域内存在一垂直于纸面向里的匀强磁场，一束速率各不相同的质子从A点沿圆形磁场的半径方向射入磁场。关于质子在该磁场内的运动情况，下列说法正确的是（）
A．运动时间越长的，其轨迹越长
B．运动时间越长的，其射出磁场时的速率越大
C．运动时间越长的，其轨迹对应的圆心角越大
D．运动时间越长的，其速度方向的偏转角越大
解析：该题考查动态圆的模型1．
质子沿半径方向射入，沿另一半径方向射出，轨迹半径r＝，偏转角等于圆心角θ＝
2arctan ＝2arctan ，偏转时间t＝＝·arctan ．由此可得偏转时间越长，圆心角越大，运动速率越小，选项C．D正确．
答案：CD
例2．如图甲所示，宽h＝2 cm的有界匀强磁场的纵向范围足够大，磁感应强度的方向垂直纸面向里。现有一群带正电的粒子从O点以相同的速率，从平面内的各个方向射入磁场。若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径r均为5 cm，不计粒子的重力，则（）
A．右边界：－4 cm＜y＜4 cm内有粒子射出
B．右边界：y＞4 cm和y＜－4 cm内有粒子射出
C．左边界：y＞8 cm内有粒子射出
D．左边界：0＜y＜8 cm内有粒子射出
解析：该题考查动态圆的模型2。
作出如图乙所示的示意图，由几何关系可得：临界点距x轴的间距y＝＝4 cm。
答案：AD
例3．（2010全国I，第26题）如下图，在区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B．在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0～180°范围内。已知沿y轴正方向发射的粒子在时刻刚好从磁场边界上点离开磁场。求：
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q／m；
（2）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；
（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。
解析：涉及动态圆的模型2。
（1）粒子沿y轴的正方向进入磁场，从P点经过做OP的垂直平分线与x轴的交点为圆心，根据直角三角形有，解得
由于，则粒子做圆周运动的圆心角为120°，周期为
粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，根据牛顿第二定律得
，，化简得．
（2）仍在磁场中的粒子其圆心角一定大于120°，这样粒子角度最小时从磁场右边界穿出；角度最大时从磁场左边界穿出。
角度最小时从磁场右边界穿出圆心角120°，所经过圆弧的弦与⑴中相等穿出点如图，根据弦与半径、x轴的夹角都是30°，所以此时速度与y轴的正方向的夹角是60°；角度最大时从磁场左边界穿出，半径与y轴的夹角是60°，则此时速度与y轴的正方向的夹角是120°。所以速度与y轴的正方向的夹角范围是60°到120°。
（3）在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应该与磁场的右边界相切，在三角形中两个
相等的腰为，而它的高是，半径与y轴的夹角是30°，这种粒子的圆心角是240°。所用时间为。所以从粒子发射到全部离开所用时间为。
有些时候，动态圆问题可以适当结合解析几何，难度陡增。
例4．（2009海南，第16题）如图，ABCD是边长为的正方形。质量为、电荷量为的电子以大小为的初速度沿纸面垂直于BC变射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：
（1）次匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；
（2）此匀强磁场区域的最小面积。
解析：涉及动态圆的模型2，但要做适当变化，可逆向思考。
（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧AEC是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。电子所受到的磁场的作用力
①
该力应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。圆弧AEC的圆心在CB边或其延长线上。依题意，圆心在A．C连线的中垂线上，故B 点即为圆心，圆半径为按照牛顿定律有
②
联立①②两式即得：③
（2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自点垂直于入射电子在A
点沿DA方向射出，且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧AEC是所求的最小磁场区域的一个边界。为了决定该磁场区域的另一边界，我们
来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为（不妨设）的情形。该电子的运动轨迹如右图所示。图中，圆AP的圆心为O，pq垂直于BC边，由③式知，圆弧AP的半径仍为，在A为原点、DC为x轴，AD为轴的坐标系中，P点的坐标为：
④；⑤
由④⑤消去参数得：⑥
这意味着，在范围内，p点形成以D为圆心、为半径的四分之一圆周AFC，
它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以B和D为圆心、为半径的两个四分之一圆周AEC和AFC所围成的，其面积为
⑦
例5．（2011浙江，高考样卷，第24题）有一等腰直角三角形区域，直角边长为。在该区域，有一垂直纸面向内磁感应强度为的匀强磁场。一束质量为、电荷量为，速度
范围在之间的带负电粒子从中点垂直直角边射入该磁场区域，在另一直角边放置一块足够大的荧光屏，如图所示。重力不计，求：
（1）速度至少为多大的带电粒子，能够在荧光屏上留下光斑。
（2）粒子在磁场中运动的时间和速度的关系。
（3）磁场区域内，荧光屏上亮点的位置和速度的关系。
（4）荧光屏上光斑的分布区域。
解析：涉及动态圆的模型1。
根据带电粒子在磁场中运动规律，可得：，求出：1
在荧光屏处，对应的半径为，粒子速度为：2
故小于的带电粒子不能在荧光屏上留下痕迹。当半径满足时，粒子运动时间为，当半径满足时，由图可知，
即得：
求出：3
当半径大于时，由图可知：，则可求出：，得：4
如图，根据几何关系可知：5
得：6
由该式可知，这是一条抛物线。
在磁场区域内，为了求出荧光屏最远处亮点坐标。如图可得：
求出相切位置对应的半径，
对应的最远坐标为：7
对应的速度：
在磁场区域外，最远处的坐标可以参考图示求出。
先求出最大速度对应的半径：
圆心坐标为，圆方程为，直线方程为解出圆与直线的交点：8
过交点的切线方程为：
当时。求出，最远处的光斑坐标为：9所以，光斑分布区域为：10接下来，例6中的第（2）问也有动态圆出现。
例6．（2011四川卷第25题）如图所示，正方形绝缘光滑水平台面WXYZ边长=1．8m，
距地面h=0．8m。平行板电容器的极板CD间距d=0．1m且垂直放置于台面，C板位于边界WX上，D板与边界WZ相交处有一小孔。电容器外的台面区域内有磁感应强度B=1T、方向竖直向上的匀强磁场。电荷量q=5×10-13C的微粒静止于W处，在CD间加上恒定电压U=2．5V，板间微粒经电场加速后由D板所开小孔进入磁场（微粒始终不与极板接触），然后由XY边界离开台面。在微粒离开台面瞬时，静止于X正下方水平地面上A点的滑块获得一水平速度，在微粒落地时恰好与之相遇。假定微粒在真空中运动，极板间电场视为匀强电场，滑块视为
质点，滑块与地面间的动摩擦因数=0．2，取g=10m/s2。
（1）求微粒在极板间所受电场力的大小并说明两板的极性；
（2）求由XY边界离开台面的微粒的质量范围；
（3）若微粒质量m o=1×10-13kg，求滑块开始运动时所获得的速度。
解析：
（1）由左手定则及微粒的偏转方向可知，该微粒带正电，即C板为正，D板为负；电场力的大小为①；
（2）涉及动态圆中的模型1．
由题意知两个轨迹边界如图所示，由此边界得
②
再由向心力公式得
③
且④
联立②③④式，得该微粒的质量范围：
（3）先将质量m o=1×10-13kg代入③④可得以及，其轨迹如图所示。
由图可知，也即是⑤
设微粒在空中的飞行时间为t,则由运动学公式可知⑥
设滑块滑至与微粒相碰过程中的平均速度为，将其沿YX以及WX方向分解，各自的分速度记为、，根据运动学公式
沿WX方向有⑦
沿YX方向有⑧
由⑤⑥⑦⑧可得以及
根据勾股定理知⑨
把当做该过程中间时刻的瞬时速度，设滑块初速度为，由运动学公式得
⑩
再根据牛顿第二定律知
⑾
联立⑥⑨⑩⑾得
设其方向与YX沿线夹角为，则
，即得。
说明：对于此题的第（3）问，标准答案采用的是正、余弦定理结合的办法，与本文所用方法不同，但结果一致。
物理部分
二、选择题（14～18题为单选题；19～21题为多选题）
14、下列叙述中，符合物理学史的是（）
A、牛顿应用“理想斜面实验”推翻了亚里士多德“力是维持物体运动的原因”的观点
B、牛顿通过研究，建立了万有引力定律
C、牛顿在前人研究的基础上，总结了行星运行的三大定律
D、牛顿曾说“我之所以比别人看得远,是因为我站在巨人的肩膀上”,牛顿所指的巨人
答案：B
15、如图所示，两梯形木块A、B叠放在水平地面上，A、B之间的接触面倾斜．连接A与
天花板之间的细绳沿竖直方向，关于两木块的受力，下列说法正确的是( )
A．A、B之间一定存在摩擦力作用
B．木块A可能受三个力作用
C．木块B可能受到地面的摩擦力作用
D．B受到的地面的支持力一定大于木块B的重力
答案：B
16、足够长的木板质量为m 1，沿水平地面做匀减速运动．t=0时刻，在木板上无初速放一质量为m 2的物块，物块与木板、木板与地面间的动摩擦因数相同．分别用v 1和v 2表示木板和物块的速度，下列反映v 1和v 2变化的图线中正确的是（ ）
，甲、乙两物体的质量分别为
答案：D
试题分析：要使两物体与圆盘不发生相对滑动，圆盘旋转的角速度最大时m 受到沿半径向内的最大静摩擦力和绳子的拉力，M 受到绳子的拉力等于最大静摩擦力，所以有：
l m Mg mg 2ωμμ=+，由此可知D 正确。
考点：本题考查了向心力的分析与计算。
18、如图所示是卫星绕地球运行时变轨前后的两个轨道，A 点是圆形轨道Ⅰ与椭圆轨道Ⅱ的重合点，B 为轨道Ⅱ上的一点，则关于卫星的运动，下列说法中错误的是（ ）
A ．在轨道Ⅱ上经过A 时的速度小于经过
B 时的速度
B ．在轨道Ⅱ上经过A 时的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 时的动能
C ．在轨道Ⅱ上运动的机械能小于在轨道Ⅰ上运动的机械能
D ．在轨道Ⅱ上经过A 时的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 时的加速度 答案：D
19、如图所示，在空间存在竖直向上的匀强电场，质量为m 电量为+q 的物块从A 点由静止
开始下落，加速度为
2
1
g ，下落H 到B 点后与一轻弹簧接触，又下落h 后到达最低点C ．在由A 运动到C 的过程中（空气阻力不计），则（ ） A ．物块机械能减少
2
)
(h H mg +
B ．物块和弹簧组成的系统机械能减少
2
)
(h H mg +
C ．物块在B 点的速度最大
D ．对于系统，重力势能的减少量等于弹性势能与电势能的增加量之和 答案：BD
20、位于正方形四角上的四个等量点电荷的电场线分布如右图所示，ab、
cd分别是正方形两条边中垂线，O点为中垂线的交点，P、Q分别为cd、
ab上的点。则下列说法正确的是
A．P、O两点的电势关系为φP＝φO
B．P、Q两点电场强度的大小关系为E Q＜E P
C．若在O点放一正点电荷，则该正点电荷受到的电场力不为零
D．若将某一负电荷由P点沿着图中曲线PQ移到Q点，电场力做负功
答案：AB
21、如图所示，电阻为r的金属杆ab以恒定的速率v在光滑平行导轨上向右滑行(导轨电阻忽略不计)，定值电阻R与金属棒构成闭合回路，整个装置置于垂直纸面向里的匀强磁场中，下列叙述正确的是()
A．ab杆中的电流强度与速率v成正比
B．外力对ab杆做功的功率与速率v成正比
C．电阻R上产生的电热功率与速率v成正比
D．磁场作用于ab杆的安培力与速率v成正比
答案：AD
22、利用图1示装置可以做力学中的许多实验．
（1）以下说法正确的是C ．
A．利用此装置“研究匀变速直线运动”时，必须设法消除小车和木板间的摩擦阻力的影响
B．利用此装置探究“加速度与质量的关系”并用图象法处理数据时，如果画出的a-m 关系图象不是直线，就可确定加速度与质量成反比
C．利用此装置探究“小车与木板之间的动摩擦因数”实验时，不需要将长木板的一端抬高以平衡摩擦力．
（2）甲、乙两同学在同一实验室，各取一套图示的装置放在水平桌面上，小车上放不同质量的砝码，在没有平衡摩擦力的情况下，研究小车与木板之间的动摩擦因数（实验中小车的轮子被锁死，小车只能在长木板上滑动）．实验中对小车及车内砝码研究，根据牛顿第二定律有F-μmg=ma，实验中记录小车的加速度a和小车所受的合外力F，通过图象处理数据．甲、乙两同学分别得到图2中甲、乙两条直线．设甲、乙用的小车及砝码质量分别为m甲、m乙，甲、乙用的小车与木板间的动摩擦因数分别为μ甲、μ乙，由图可知，m甲小于 m乙，μ甲大于μ乙．（填“大于”、“小于”或“等于”）
23、为了测定一节干电池的电动势和内阻，实验室提供了下列器材：
A．待测干电池（电动势1.5V左右，内阻不超过1.5Ω）
B．电流表A1（量程0～2mA，内阻R A1=10Ω）
C．电流表A2（量程0～0.6A，内阻约为0.1Ω）
D．滑动变阻器R1（0～20Ω，10A）
E．滑动变阻器R2（0～100Ω，1A）
F．定值电阻R3=990Ω
G．开关、导线若干
利用以上提供的器材，欲测量该电池的电动势和内阻，请回答以下问题：
（1）为测量方便且测量误差较小，上述滑动变阻器应选用D（填写序号字母）．
（2）在图1所示虚线框内补画出完整的电路原理图．
（3）根据合理的设计电路测量数据，电流表A1的示数记为I1，电流表A2的示数记为I2，某同学测出了6组I1、I2的数据，在图2坐标纸上作出I1和I2的关系图线．根据描绘出的图
点评：正确选择仪器是电学实验的经常考查的考点；本题为测量电源的电动势和内电阻的实验的变形，注意由于没有电压表，本实验中采用改装的方式将表头改装为电压表，再根据原实验的研究方法进行分析研究．
24、如图所示，直角坐标系xoy位于竖直平面内，在﹣3m≤x≤0的区域内有磁感应强度大
小B=4.0×10﹣4T、方向垂直于纸面向里的条形匀强磁场，其左边界与x轴交于P点；在x＞0的区域内有电场强度大小E=4N/C、方向沿y轴正方向的条形匀强电场，其宽度d=2m．一质量m=6.4×10﹣27kg、电荷量q=﹣3.2×10-19C的带电粒子从P点以速度v=4×104m/s，沿与x 轴正方向成α=60°角射入磁场，经电场偏转最终通过x轴
上的Q点（图中未标出），不计粒子重力．求：
（1）带电粒子在磁场中运动时间；
（2）当电场左边界与y轴重合时Q点的横坐标．
中考数学几何模型之阿氏圆最值模型(解析版)
中考数学几何模型：阿氏圆最值模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 【模型来源】 “阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”. A B P O 【模型建立】 如图 1 所示，⊙O 的半径为R ，点 A 、B 都在⊙O 外 ，P 为⊙O 上一动点，已知R=2 5 OB ， 连接 PA 、PB ，则当“PA+ 2 5 PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC 使 OC=25R ，则可说明△BPO 与△PCO 相似，则有2 5 PB=PC 。故本题求“PA+ 2 5 PB ”的最小值可以转化为“PA+PC ”的最小值，其中与A 与C 为定点，P 为动点，故当 A 、P 、C 三点共线时，“PA+PC ”值最小。
【技巧总结】 计算PA k PB +g 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形 问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +g 的值最小，解决步骤具体如下： 1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB 2. 计算出这两条线段的长度比 OP k OB = 3. 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB =，PC k PB =g 4. 则=PA k PB PA PC AC ++≥g ，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值
初中数学阿氏圆最值模型归纳
几何模型:阿氏圆最值模型 【模型来源】 “阿氏圆"又称为“阿波罗尼斯圆”,如下图,已知A、B两点,点P满足PA:PＢ=k(k≠1),则满足条件得所有得点Ｐ得轨迹构成得图形为圆。这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称“阿氏圆"。 A B P O 【模型建立】 如图1 所示,⊙O 得半径为Ｒ,点A、B 都在⊙O外,P为⊙O上一动点,已知R=OB, 连接PA、PＢ,则当“ＰA+PB”得值最小时,P 点得位置如何确定？ 解决办法:如图2,在线段 OB 上截取ＯC使ＯＣ=Ｒ,则可说明△ＢPＯ与△ＰCＯ相似,则有ＰB=PC。故本题求“PA＋ＰB”得最小值可以转化为“ＰA+ＰC”得最小值,其中与A与C为定点,P为动点,故当A、P、C 三点共线时,“PＡ＋ＰＣ”值最小。 【技巧总结】 计算得最小值时,利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形 问题:在圆上找一点P使得得值最小,解决步骤具体如下: 1.如图,将系数不为1得线段两端点与圆心相连即OP,OB 2.计算出这两条线段得长度比 3.在ＯB上取一点C,使得,即构造△POM∽△BOP,则, 4.则,当A、P、C三点共线时可得最小值
典题探究 启迪思维探究重点 例题1、如图,在Rｔ△ABC中,∠Ｃ=90°,AＣ=4,BC=3,以点C为圆心,２为半径作圆Ｃ,分别交AC、BＣ于D、Ｅ两点,点P就是圆C上一个动点,则得最小值为________＿＿。 E A B C D P M P D C B A 【分析】这个问题最大得难点在于转化,此处P点轨迹就是圆,注意到圆Ｃ半径为2,ＣA=4, 连接CP,构造包含线段AＰ得△CPA,在ＣＡ边上取点M使得CＭ＝2, 连接ＰM,可得△CPＡ∽△CMP,故PA:ＰＭ＝2:1,即PM=. 问题转化为PM+ＰＢ≥ＢＭ最小值,故当B,Ｐ,M三点共线时得最小值,直接连BM即可得. 变式练习〉＞> 1.如图1,在RＴ△AＢＣ中,∠ＡCＢ=９0°,CＢ＝４,CA=6,圆C得半径为2,点Ｐ为圆上一动点,连接AP,BP, 求①,②,③,④得最小值。 [答案]:①＝,②=２,③=,④=.
圆中有关最值问题一.doc
圆中有关最值问题（1）教学设计 一、设计思路： 圆中有关最值问题是中考数学中的重要内容，是综合性较强的问题，它贯穿初中数学的 始终，是中考的热点问题。其运用性质有：圆中直径是最长的弦、垂线段最短、三边关系定 理、对称法等。本节课以例题入手来研究圆中的有关最值问题。 二、学情分析 学生知识技能基础：学生在前面几节课已经认识了圆，学习了圆的有关知识，以及数学 的基本结论：圆中直径是最长的弦、垂线段最短、三角形三边关系等基本知识，这些为本节 课的学习奠定了良好的知识技能基础。 学生活动经验基础：通过以往的数学学习，学生已经具有了一些数学活动经验的基础； 另一方面，在以往的数学活动中，学生已经经历了很多合作交流的学习过程，具有了一定的 合作学习的经验，具备了一定的合作交流的能力。 三、教学目标 知识与技能： 1、会利用直径是圆中最长的弦这一基本结论解决有关最值问题； 2、会利用圆外一点与圆上各点的连线中最短与最近距离这一基本事实，解决圆中有关最值问题。 方法与途径： 通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念，培养学生动手动脑、发现 问题及解决问题的能力，以及推理能力和有条理的表达能力。 情感与评价： 通过实际操作、画图等活动，培养学生的动手能力，提高学生的识图技能，使学生的思 维变得更加灵活。 现代教学手段： 多媒体和几何画板的合理应用，增加了课时内容，激发了学生学习的积极性，突破了教 学重点、难点的同时，更重要的是使复杂问题更加简单化，通过清楚的动画演示，使学生进 一步感受何时取得最大值问题。 四、教学重点与难点 教学重点：将试题转化为最值中的有关模型 教学难点：将试题转化为最值中的有关模型的方法
第11讲阿氏圆最值模型(解析版)
中考数学几何模型11：阿氏圆最值模型 名师点睛拨开云雾开门见山在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 【模型来源】 “阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”. B P O
【模型建立】 如图1 所示，⊙O 的半径为R，点A、B 都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知R=2 5 OB， 连接PA、PB，则当“PA+2 5 PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 解决办法：如图2，在线段OB 上截取OC使OC=2 5 R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有 2 5 PB=PC。 故本题求“PA+2 5 PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、 P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。 【技巧总结】 计算PA k PB +g的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形 问题：在圆上找一点P使得PA k PB +g的值最小，解决步骤具体如下： 1.如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB
2. 计算出这两条线段的长度比 OP k OB = 3. 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB =，PC k PB =g 4. 则=PA k PB PA PC AC ++≥g ，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值 典题探究 启迪思维 探究重点 例题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则1 2 PA PB +的最小值为__________． E A B C D P 【分析】这个问题最大的难点在于转化1 2 PA ，此处P 点轨迹是圆，注意到圆C 半径为2，CA=4，
利用阿氏圆求几何最值应用举例一
阿氏圆及其应用举例（1） 一、什么是阿氏圆？ 已知平面上两点A 、B ，则所有符合 ＝k （k ＞0且k ≠1）的点P 会组成一个圆．这个结论最先由 古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆． 二、阿氏圆基本解法：构造三角形相似． 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、 BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则1 2 PA PB 的最小值为__________． E A B C D P M P D C B A 分析：在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM 、PC ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=1 2PA ．问 题转化为PM+PB 最小值，连BM 即可． 三、阿氏圆应用举例 例1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝7，AC ＝9，以C 为圆心、3为半径作⊙C ，P 为⊙C 上一动点，连接AP 、BP ，则AP +BP 的最小值为（ ） A ．7 B ．5 C ． D ． B P O
解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM． ∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM?CA，∴＝， ∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴＝＝，∴PM＝PA， ∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM＝＝5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值为5．故选：B． 例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，则AP+BP的最小值为（） A．B．6C．2 D．4 解：如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝， 又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD． 要使AP+BP最小，只要AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小， 即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP 的最小值为，故选：A． 例3、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是． 解：∵2AD+3BD= 2 3 3 AD BD ?? + ? ?? ，∵求 2 3 AD BD +最小值即可, 在CA上截取CM，使得CM＝4，连接DM，BM．
圆中的最值问题
圆中的最值问题 【考题展示】 题1 (2012年武汉中考)在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________． 题2 (2013年武汉元调)如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b，+的最大值.（有修改） 求a b 题3 (2013年武汉四调)如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为_________． 题4 (2013年武汉五模)在△ABC中，120 A BC=．若△ABC的内切圆半径为r，则r的最大值为 ∠=?，6 _________．（有修改） 题5 (2013年武汉中考)如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是_________． 题1图题2 图题3 图
题4图题5图 【典题讲练】 类型1（相关题：题5） 1.1 如图，边长为a的等边△ABC的顶点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，则动点C到原点O的距离的最大值是_________． 1.2在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=8，BC=6，点A，B分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动时，点B随着在正y轴上运动（下图），求原点O到点C的距离OC的最大值，并确定此时图形应满足什么条件． 1.3 如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC=2，点A、C分别在x轴、y 轴上，当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时，点C在y轴正半轴上运动． （1）当A在原点时，求点B的坐标； （2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB； （3）在运动的过程中，求原点O到点B的距离OB的最大值，并说明理由．
圆中最值问题的求解方法
圆中最值问题的求解方法 有关圆的最值问题，往往知识面广、综合性大、应用性强，而且情境新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，本文按知识点分类，以近几年中考题为例，归纳总结此类试题的解题方法． 一、直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 例1 （2012宁波）如图1，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝ D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于点E，F，连结EF，则线段EF长度的最小值为_______． 分析由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短． 解如图2，连结OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H． ∵在Rt△ADB中， ∠ABC＝45°，AB＝ ∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2． 由圆周角定理，可知 ∠EOH＝1 2 ∠EOF＝∠BAC＝60°， ∴在Rt△EOH中， EH＝OE·sin∠EOH ＝1． 由垂径定理，可知EF＝2EH 点评本题是一道融垂径定理、圆周角定理、解直角三角形于一体的综合应用题．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆． 二、两点之间线段最短 例2 （2014三明）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是CD CD 上的一个动点，连结AP，则AP的最小值是_______．
分析如图4，取BC的中点E，连结AE，交半圆于点P2，在半圆上取点P1，连结AP1，EP1，可得，AP1＋EP1>AE，即AP2是AP的最小值．再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可． 解如图4，取BC的中点E，连结AE，交半圆于点P2，在半圆上取点P1，连结AP1， EP1，可得，AP1＋EP1>AE， ∵AE P2E＝1． ∴AP21． 即AP2是AP的最小值． 点评本题考查了勾股定理、最短路径问题，利用两点之间线段最短是解题的关键． 三、利用轴对称，求直线上一点到直线同侧两点的线段之和最短 例3 （2014张家界）如图5，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为_______． 分析A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋PC的最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值． 解如图6，连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于点H． 根据垂径定理，得到 在Rt△BCH中，根据勾股定理得到 BC＝， 则PA＋PC的最小值为 点评正确理解BC的长是PA＋PC的最小值，是解决本题的关键． ==，例4（2014东营）如图7，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8cm，AC CD BD
人教版九年级数学精品专题14.圆中的最值问题
拔高专题圆中的最值问题 一、基本模型构建 常见模型 图(1) 图（2） 思考图（1）两点之间线段最短； 图（2）垂线段最短。 .在直线L上的同侧有两个点 A、B，在直线L上有到A、B 的距离之和最短的点存在，可 以通过轴对称来确定，即作出 其中一点关于直线L的对称 点，对称点与另一点的连线与 直线L的交点就是所要找的点．二、拔高精讲精练 探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题 例1：如图，A点是⊙O上直径MN所分的半圆的一个三等分点，B点是弧AN的中点，P 点是MN上一动点，⊙O的半径为3，求AP+BP的最小值。 解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，AA′． ∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点， ∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=3， ∴A′B=32．∵两点之间线段最短，∴PA+PB=PA′+PB=A′B=32． 【教师总结】解决此题的关键是确定点P的位置．根据轴对称和两点之间线段最短的知识，把两条线段的和转化为一条线段，即可计算。 探究点二：直线与圆上点的距离的最值问题
例2：如图，在Rt△AOB中，OA=OB=32，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），求切线PQ的最小值 解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=3 2， ∴AB=2OA=6，∴OP= ? OA OB AB =3，∴PQ=22 OP OQ =22． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内，过P作⊙O切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．求线段AB的最小值． 解：（1）线段AB长度的最小值为4， 理由如下： 连接OP， ∵AB切⊙O于P， ∴OP⊥AB， 取AB的中点C， ∴AB=2OC； 当OC=OP时，OC最短， 即AB最短， 此时AB=4．
圆中的最值问题
拔咼专题圆中的最值问题 、基本模型构建 图 （1）图（2） 图（1）两点之间线段最短； 图（2）垂线段最短。 ?在直线L上的同侧有两个点 A、B,在直线L上有到A、B 的距离之和最 短的点存在，可以通过轴对称来确定， 即作出其中一点关于直线L的对称 点，对称点与另一点的连线与直线L 的交点就是所要找的点. 二、拔高精讲精练 探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题 例1:如图，A点是O O上直径MN所分的半圆的一个三等分点，B点是弧AN的中点，P 点是MN上一动点，O O的半径为3，求AP+BP的最小值。 解：作点A关于MN的对称点A '，连接A ' B，交MN于点P,连接0A AA ???点A与A '关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点， :丄 A ' 0N= / AON=60 ° , PA=PA 点B 是弧AN 的中点， ???/ BON=30 ° ,?/ A ' 0B= / A ' 0N+ / BON=90。，又T OA=OA ' =3, ??? A' B=3?,2 ?两点之间线段最短，??? PA+PB=PA ' +PB=A ' B=3 S . 常见模型 思考
【教师总结】解决此题的关键是确定点P的位置.根据轴对称和两点之间线段最短的知识, 把两条线段的和转化为一条线段，即可计算。 探究点二：直线与圆上点的距离的最值问题
例2:如图，在Rt△ AOB中，0A=0B=3 . 2 , O O的半径为1点P是AB边上的动点, 过点P作O 0的一条切线PQ (点Q为切点)，求切线PQ的最小值 解：连接OP、OQ.T PQ是O 0的切线，??? 0Q丄PQ;根据勾股定理知PQ2=Op2-OQ2, Rt △ AOB 中，OA=OB=3 .2 , ? PQ= 'OP? OQ? =2、2 . 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点0为圆心，2为半径画O 0, P是O 0是一动点且P在第一象限内，过P作O 0切线与x轴相交于点A ,与y轴相交于点B.求 解：(1)线段AB长度的最小值为4, 理由如下： 连接0P, ?/ AB 切O 0 于P, ?0P丄AB , 取AB的中点C, ?AB=20C ; 当OC=OP时，0C最短， 即AB最短， 此时AB=4 .
初中几何模型阿氏圆最值模型
数学几何模型：阿氏圆最值模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 【模型来源】 “阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”. A B P O 【模型建立】 如图 1 所示，⊙O 的半径为R ，点 A 、B 都在⊙O 外 ，P 为⊙O 上一动点，已知R=2 5 OB ， 连接 PA 、PB ，则当“PA+ 2 5 PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC 使 OC=25R ，则可说明△BPO 与△PCO 相似，则有2 5 PB=PC 。故本题求“PA+ 2 5 PB ”的最小值可以转化为“PA+PC ”的最小值，其中与A 与C 为定点，P 为动点，故当 A 、P 、C 三点共线时，“PA+PC ”值最小。
【技巧总结】 计算PA k PB +g的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形 问题：在圆上找一点P使得PA k PB +g的值最小，解决步骤具体如下： 1.如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB 2.计算出这两条线段的长度比 OP k OB = 3.在OB上取一点C，使得 OC k OP =，即构造△POM∽△BOP，则 PC k PB =，PC k PB =g 4.则= PA k PB PA PC AC ++≥ g，当A、P、C三点共线时可得最小值 典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC 于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则 1 2 PA PB +的最小值为__________． E A B C D P M P D C A 【分析】这个问题最大的难点在于转化 1 2 PA，此处P点轨迹是圆，注意到圆C半径为2，CA=4， 连接CP，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2， 连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM= 1 2 PA． 问题转化为PM+PB≥BM最小值，故当B，P，M三点共线时得最小值，直接连BM13
经典几何模型之“阿氏圆”
经典几何模型之“阿氏圆” ————段廉洁 一.模型名称由来 【模型背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当k 值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P 在圆上运动。其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。 【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗 尼斯发现，故称“阿氏圆”。 二.模型建立 如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？ 模型解读：最早见“PA+PB”型问题应该是在“将军饮马”问题中，而本题多了一个“k”，故如何确定“k·PB”的大小是关键，如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点,P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3
三.“阿氏圆”模型破解策略 【破解策略详细步骤解析】 第一步：连接动点于圆心O （一般将含有k 的线段两端点分别与圆心O 相连），即连 接OB 、OP ； 第二步：计算出线段OP 与OB 及OP 与OA 的线段比，找到线段比为k 的情况，如例子中的k OB OP =第三步：在OB 上取点C ，使得 OB OP OP OC =；（核心关键步骤）第四步：连接AC ，与⊙O 的交点即为点P 【核心步骤另单独解析】 回顾图2，在OB 上取点C 构建OB OP OP OC =的目的是为了形成“母子型相似模型”，“母子型相似”的构建是“阿氏圆”模型破解的“核武器”，“母子型相似”一出，“阿氏圆”直接秒杀。 将图2中△BPO 单独提取出，如图4，上色渲染的△PCO ∽△BPO ，就是“母子型相似模型”，“母子型相似模型”的特点如图4，△PCO 与△BPO 有公共角∠O ，且OB OP OP OC =某些角度处理策略题中，“母子型相似”的主要特征是∠0=∠O 、∠B =∠OPC ）
等时圆模型(最新最全)
“等时圆”模型的规律及应用 一、 等时圆模型（如图所示） 二、 等时圆规律： 1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。（如图a ） 2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。（如图b ） 3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d ）自由落体的时间，即 g R g R g d t 2 420=== （式中R 为圆的半径。） 三、等时性的证明 设某一条弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d （如右图）。根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为αsin g a =，位移为αsin d s =，所以运动时间为 g d g d a s t 2sin sin 220= == αα 即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。 四、应用等时圆模型解典型例题 例1：如图1，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ） A.球面 B.抛物面 C.水平面 D.无法确定 图a 图b
【解析】：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A 正确。 例2：如图2，在斜坡上有一根旗杆长为L ，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB 滑至斜坡底部，又知OB=L 。求小环从A 滑到B 的时间。 【解析】：可以以O 为圆心，以 L 为半径画一个圆。根据“等时圆”的规律可知，从A 滑到B 的时间等于从A 点沿直径到底端D 的时间，所以有 g L g L g d t t AD AB 242=== = 例3：如图5所示，在同一竖直线上有A 、B 两点，相距为h ，B 点离地高度为H ，现在要在地面上寻找一点P ，使得从A 、B 两点分别向点P 安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A 和B 沿木板下滑到P 点的时间相等，求O 、P 两点之间的距离OP 。 解析：由“等时圆”特征可知，当A 、B 处于等时圆周上，且P 点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。 如图6所示，此时等时圆的半径为： 12 h R O P H ==+ 所以 OP = =例4：如图7， AB 是一倾角为θ的输送带，P 处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P 与AB 输送带间建立一管道（假使光滑），使原料从P 处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？ 解析：借助“等时圆”，可以过P 点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输送带AB 相切，如图所示，C 为切点，O 为圆心。显然，沿着PC 弦建立管道，原料从P 处到达C 点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等。因而，要使原料从P 处到达输送带上所 D 图 2 图6 图7 图8
“等时圆”模型的基本规律及应用
“等时圆”模型的基本规律及应用 （此文章已发表于《考试》杂志） 前段时间在网上发了一个帖子“等时圆规律有哪些应用”，居然有同志认为是“等势圆”吧。而在物理教学中，借助各种模型，把抽象问题具体化，把复杂问题简单化，能使得物理问题便于理解和接受。基于此我对“等时圆”规律和应用阐述如下： 一、何谓“等时圆” 如图1所示，ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a 、b 、c 处释放（初速为0），用t 1、t 2、t 3依次表示各滑环到达d 所用的时间，则（ ）
中考数学专题复习 圆的最值问题模型汇总
圆的最值问题 知识储备 最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点P就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可． 当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——辅助圆． 在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题． 若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最值的问题就会变得简单了，比如：如右图，A为圆外一点，在圆上找一点P使得PA最小． 类型一已知圆轨迹类 典例分析 【例1.1】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线L上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，直线L不经过点C，则AB的最小值为． 【例1.2】如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（） A． B． C．3 D．2
【练习】 1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是( ). A ．19 4 B ． 245 C ． 5 D ． 2.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中， 线段EF 长度的最小值为 ． 3. 如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝5 ，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB ＝45°，点M ，N 分别是AB ，AC 的中点，则线段MN 长的最大值为（ ）
圆中最值模型的应用
一个最值模型在解题中的运用 模型 如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B，则P A是点P到⊙O上的点的最短距离． 证明如图2，在⊙O上任取一点C(不为点A、B)，连结PC、OC． ∵PO 人一种山重水复疑无路的感觉，若借助于模型，那么便柳暗花明，豁然开朗了，PE 与PF 的最小值一定是过圆心的直线与圆交点的时候，考虑到点A 和点B 是定点，点P 为CD 上动点，这样问题转化为“一定两动型”的“将军饮马”问题． 如图6，作点B 关于CD 的对称点B '，连结AB '与CD 的交点就是所要求的点P ，此时PE ＋PF 最小，易知P AB 为等边三角形，则PE ＋PF 的最小值为3＋3－1－2＝3． 评析 例1和例2都可以直接借助模型解决问题．这类问题图中有圆，为思考问题提供了方向性和目的性．例1结构相对简单，也易找到解决问题的着眼点；例2是三个动点所形成的两条动线段之和的最小值问题，解决这类问题时要善于以静制动，动中窥静，也就是说去寻找动点运动过程中不变的量，借助模型易知，在点P 、E 、F 在运动过程中，PE 所在直线过圆心A ，所在直线过圆心B 时，PE 和PF 分别取得最小值，将点E 和点F 的动，转化为点A 和点B 的静，使问题迎刃而解． 二、图中无圆可构造应用 例3．（2014成都中考题）如图7，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A 'MN ，连结A 'C ，则A 'C 长度的最小值是_______. 解析 由折叠知A 'M ＝AM ，又M 是AD 的中点，可得MA ＝MA '＝MD ，故点A ’在以AD 为直径的圆上．如图8，以点M 为圆心，MA 为半径画⊙M ，过点M 作MH ⊥CD ，垂足为H 由模型可知，当点A ’在CM 上时，A 'C 长度取得最小值． 在Rt △MDH 中， DH ＝DM ·c ≌s ∠HDM ＝ 12 MH ＝DM ·sin ∠HDM 在Rt △CHM 中， 例4（2013武汉中考题）如图9，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF .连结CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是_______. 解析 点E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，初看无从入手，但结合题设中AE ＝DF ，易证 △ABE ≌△DCF ，得∠ABE ＝∠DCF . 由正方形的对称性，知 △ADG ≌△CDG ，得∠DAG ＝∠DCF ， 则∠DAG ＝∠ABE . ∵∠BAE ＝90°． ∴∠DAC ＋∠BAH ＝90°， 则 ∠BAH ＋∠ABH ＝90°， ∴∠AHB ＝90°． 几何模型：阿氏圆最值模型 【模型来源】 “阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”. A B P O 【模型建立】 如图 1 所示，⊙O 的半径为R，点A、B 都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知R= 2 5 OB， 连接PA、PB，则当“PA+ 2 5 PB”的值最小时，P 点的位置如何确定 ￥ 解决办法：如图2，在线段OB 上截取OC使OC= 2 5 R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有 2 5 PB=PC。故本题求“PA+ 2 5 PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。 【技巧总结】 计算PA k PB 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形 问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +的值最小，解决步骤具体如下： 1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB 2. 计算出这两条线段的长度比 OP k OB = 3. 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB =，PC k PB = 4. 则=PA k PB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值 ， 典题探究 启迪思维 探 究重点 例题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于 D 、 E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则1 2 PA PB +的最小值为__________． E A B C D P 【分析】这个问题最大的难点在于转化1 2PA ，此处P 点轨迹是圆，注意到圆C 半径为2，CA=4， 连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2， 连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=1 2 PA ． 问题转化为PM+PB ≥BM 最小值，故当B ，P ，M 三点共线时得最小值，直接连BM 变式练习>>> 1．如图1，在RT △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ,BP ， . 求①BP AP 21+ ，②BP AP +2，③BP AP +3 1 ，④BP AP 3+的最小值. 最值专题 一、【阿氏圆最值】 模型识别： 问题本质： 【例1】 1．已知∠ACB =90°，CB =4，CA =6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点． （1）12 AP BP +的最小值为__________； （2）13 AP BP +的最小值为 ． 【例2】 已知：如图1，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A （－1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 为顶点． （1）求抛物线解析式及点D 的坐标； （2）如图2，E 为OB 的中点，将线段OE 绕点O 顺时针旋转得到OE'，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接 E'B 、E'C ，当C E B E '+'2 1取得最小值时，求直线E'B 与抛物线的交点坐标． 二、【归于几何模型】 （一）“将军饮马”问题：分散化为集中的数学化归思想 1. 如图1,将军骑马从A 出发，先到河边a 喝水，再回驻地B ，问将军怎样走路程最短？ 2. 如图,一位将军骑马从驻地M 出发，先牵马去草地OA 吃草，再牵马去河边OB 喝水，最后回到驻地M ，问：这位将军怎样走路程最短? 图1 图2 3. 如图，在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点， 连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝ 4.已知点A 是半圆上的一个三等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点， 若⊙O 的半径长为1，则AP+BP 的最小值为__________. 5.如图,∠AOB=30°,点M ,N 分别在边OA ,OB 上,且OM=1,ON=3,点P ,Q 分别在边OB ,OA 上,则MP+PQ+QN 的最小值是 . 隐形圆模型的最值问题 【母题示例】 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E是CD上一动点，沿AE折叠矩形，使得点D落在矩形ABCD内的点D′处，连接CD′，则CD′的最小值为________． 【命题形式】常在几何图形中，结合折叠、旋转问题计算最值，一般会出现直角、定点和定长等特征信息． 【母题剖析】 先判断点D′在以A为圆心，AD为半径的圆上，再根据勾股定理确定CD′的最小值即可． 【母题解读】 隐形圆模型的最值问题是一种特殊的最值问题，其中以基本图形(三角形、矩形等)为背景，结合图形变换(折叠、旋转)来计算图形中某条线段的最值．常见的模型有：直角模型；定角模型；折叠旋转模型等．解题的关键是先确定动点轨迹所在圆的圆心，再连接定点与圆心，从而实现问题的解决. 模型一直角模型 【模型解读】直角模型是在问题中出现“直角”“垂直”“90°”等关键词，利用“90°的圆周角所对的弦是直径”从而确定动点所在轨迹，以及动点的圆心，再确定定点和圆的位置关系，最后利用勾股定理等方法求线段的最值． 【基本图形】 基本 图形 BM⊥BN，点C是∠MBN内一点，且AC⊥BC，则点C在说明 以AB为直径的圆上 【核心突破】 1.如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别从点D和点C出发，沿射线DA、射线CD运动，且DE＝CF，直线AF、直线BE交于点H，连接DH，则线段DH长度的最小值为( ) A．35－3 B．25－3 C．33－3 D．3 2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(3，0)，点P是平面内一点，且AP⊥BP，点M的坐标为(3，4)，连接MP，则MP的最小值为________． 模型二定角模型 【模型解读】定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计 “阿波罗尼斯圆模型”——中考数学最值专题 【教学重难点】 1．阿氏圆（阿波罗尼斯圆）由来，模型识别 2．本质：“两定一动”型——系数不为1的最值问题处理 3．三步处理：①画圆；②r上取半，连动点；③计算，连中点&定点即为所求 【模块一模型识别】 古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～190年），与欧几里得、阿基米德齐名．他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后来研究者没有插足的余地． 阿波罗尼斯最早发现：若平面上两定点A、B满足PA k PB =（k为定值且不等于1），则点P的轨迹是一个圆，后称阿氏圆． 在初中的题目中往往利用逆向思维构造“母子型相似+两点间线段最短”，解决带系数两线段之和的最值问题．观察下面的图形，当B在在圆上运动时，BA、BC的长在不断的发生变化，但它们的比值却始终保持不变．解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法．如图，在△ABC的 边AC上找一点D，使得AD AB k AB AC ==，则此时△ABD∽△ACB． 模型识别： 问题本质： 动感体验：（几何画板） 【模块二最值计算】 【例1】 1．已知点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的⊙O上运动，试求1 2AP BP +的最小值． 2．已知∠ACB =90°，CB =4，CA =6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点． （1）12 AP BP +的最小值为__________； （2）13 AP BP +的最小值为 ． 3．已知⊙O 半径为2，AC 、BD 为切线，AC =2，BD =4，P 为弧AB 上一动点，试求2PC PD +的最小值． ※4．如图，△ABC 中，∠ACB =45°，AC =8，BC =62，D 是平面内一点，且CD=4，则 12 AD +BD 的最小值为 ．初中数学阿氏圆最值模型归纳
“阿波罗尼斯圆模型”——中考最值专题(二)
隐形圆模型的最值问题-含答案
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