二面角求法及经典题型归纳

二面角求法归纳

18题，通常是立体几何（12-14分），本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。

以下是求二面角的五种方法总结，及题形归纳。 定义法：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面

ABCD

，AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°

（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 证（I ）略

解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B

作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，

连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点，

∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2=

SM ，则2

2

=

GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，0

60=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=

BF

在△GAB 中，26=

AG ，2=AB ，0

90=∠GAB ，∴2

11423=+=BG 366

23

2

22211

32

12cos 222-=-=??-

+=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG F

G

F

G

∴二面角S AM B --的大小为)3

6arccos(-

例2. （2010全国I 理，19题，12分）如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，

AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .

（Ⅰ）证明：SE=2EB ；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .

(Ⅱ) 由1,2,,

SA AB SE EB AB SA ====⊥知

1,AD=1AE ==又.

故ADE ?为等腰三角形.

取ED 中点

F,连

接

AF

,则

,

AF DE AF ⊥==

. 连接FG ，则//,FG EC FG DE ⊥.

所以，AFG ∠是二面角A DE C --的平面角.

连接AG,A G=,3

FG =

=

, 2221

cos 22

AF FG AG AFG AF FG +-∠==-,

所以，二面角A DE C --的大小为120°.

例3（2010浙江省理，20题，15分）如图， 在矩形ABCD 中，点,E F 分别 在线段,AB AD 上，2

43

AE EB AF FD ===

=.沿直线EF 将 AEF V 翻折成'A EF V ，使平面'A EF BEF ⊥平面.

（Ⅰ）求二面角'

A FD C --的余弦值；

（Ⅱ）点,M N 分别在线段,FD BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与

'A 重合，求线段FM 的长.

练习（2008山东）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，P A⊥平面ABCD，

ABC

60

（Ⅰ）证明：AE⊥PD;

（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面P AD所成最大角

的正切值为

E—AF—C的余弦值.

2

分析：第1题容易发现，可通过证AE⊥AD后推出AE⊥平

面APD，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大

角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运

用在二面角的棱AF上找到可计算二面角的平面角的顶点S，和两边SE与SC，进而计算二

面角的余弦值。（答案：二面角的余弦值为

5

15

） 二、三垂线法

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例2）过二面角B-FC 1-C 中半平面BFC 上的一已知点B 作另一半平面FC 1C 的垂线，得垂足O ；再过该垂足O 作棱FC 1的垂线，得垂足P ，连结起点与终点得斜线段PB ，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线PB 、垂线BO 、射影OP ）。再解直角三角形求二面角的度数。

例1．(2009山东卷理) 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，

AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。 （1） 证明：直线EE 1//平面FCC 1； （2） 求二面角B-FC 1-C 的余弦值。

证（1）略

解（2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱AB 的中点,所以BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取CF 的中点O,则OB ⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,CC 1⊥平面ABCD,所以CC 1⊥BO,所以OB ⊥平面CC 1F,过O 在平面CC 1F 内作OP ⊥C 1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB 为二面角B-FC 1-C 的一个平面角, 在△BCF 为正三角形中

,OB =在Rt △CC 1F 中, △OPF ∽△CC 1F,∵

11OP OF CC C F =

∴22OP ==

, 在Rt △OPF 中

,2BP ===

,cos 2

OP OPB BP ∠===,所以二面角B-FC 1-C

的余弦值为

7

. 例2（2010安徽卷理18题）（本小题满分13分）

E

A

B

C

F

E 1

A 1

B 1

C 1

D 1

D

F 1

O

P

E

A

B C

F

E 1

A 1

B 1

C 1

D 1

D

如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，

EF ∥AB ，EF ⊥FB ，AB =2EF ，∠BFC =90°，BF =FC ，H

为BC 的中点．

（Ⅰ）求证：FH ∥平面EDB ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面EDB ；

（Ⅲ）求二面角B —DE —C 的大小．（1、过F 作ＤＥ的

垂线，交ＤＥ的延长线于Ｋ，则∠ＢＫＦ即为所求。２、射影面积法。3、向量法。）

例3（2010全国II 理，,19题，12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，

1AA AB =，

D 为1BB 的中点，

E 为1AB 上的一点，13AE EB =．

（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线； （Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°，求二面角

111A AC B --的大小．（因为1//DG AB ，故C D G ∠为异面

直线1AB 与CD 的夹角，45CDG ∠=.设2AB =，则

1,,,3AB DG CG AC =作111B H AC ⊥，

H 为垂足.因为底面111A B C ⊥面11AAC C ，故1B H ⊥面11AAC C ，又作1HK AC ⊥，K 为垂足，连接1B K ，由三垂线定理，得11B K AC ⊥，因此1B KH ∠为二面角111A AC B --的平面角.） 例4（2010湖北理18题，12分）如图, 在四面体ABOC 中，O C ⊥OA, OC ⊥OB, ∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1.

(Ⅰ) 设P 为AC 的中点.证明：在AB 上存在一点Q,使PQ ⊥OA,并计算=AB

AQ

的值； (Ⅱ) 求二面角O-AC-B 的平面角的余弦值.

（II ）解连结PN ，PO.

由OC ⊥OA ，OC ⊥OB 知，OC ⊥平面OAB ， 又?ON 平面OAB ，∴OC ⊥ON ， 又由ON ⊥OA 知：ON ⊥平面AOC ， ∴OP 是NP 在平面AOC 内的射影， 在等腰COA Rt ?中，P 为AC 的中点， .OP AC ⊥∴

根据三垂线定理，知：AC ⊥NP.

OPN ∠∴为二面角O —AC —B 的平面角，

在等腰COA Rt ?中，OC=OA=1，2

2=

∴OP ， 在,3

330tan ,=

?=?OA ON AON Rt 中 .

5156

3022

cos ,6

30,22===

∠∴=

+=?∴PN

PO

OPN ON OP PN PON Rt 中在

例4（2010重庆市理，19题12分）如题（19）图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，

，点E 是棱PB 的中点。 （I ） 求直线AD 与平面PBC 的距离；

（II ）

若

，求二面角A-EC-D 的平面角的余弦值。

解（Ⅰ）在矩形ABCD 中，//AD BC ,从而//PBC AD 平面,故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离.

因ABCD,PA AB.PA ⊥⊥底面得由PA AB =,故PAB ?为等腰直角三角形，而点E 是棱PB 的中点，所以AE PB ⊥.

又在矩形ABCD 中，BC AB ⊥,而AB 是PB 在底面ABCD 内的射影，由三垂线定理得

BC PB ⊥,从而B C P ⊥平面，

故

因1

PBC,AE CE,FG CE,FG//AE 2

AE ⊥⊥⊥平面故又知

，FG=2从而,且C 点为AC 的中点.

连接,DG

则在13

.22

Rt ADC ?中，DG=

所以222cos 2DF FG DG DFG DF FG +-=

= 练习（2008天津）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形．

已知

60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．

（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；

（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小．

分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明AD ⊥平面PAB 后，容易发现平面PAB ⊥平面ABCD ，点P 就是二面角P-BD-A 的半平面上的一个点，于是可过点P

作棱BD 的垂线，再作平面ABCD 的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。（答案：二面角A BD P --的大小为4

39

arctan

） 三．补棱法

本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决

例1（2008湖南）如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为

1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2.

（Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面P AB ;

（Ⅱ）求平面P AD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.

分析：本题的平面P AD 和平面PBE 没有明确的交线，依本法显然要补充完整（延长AD 、BE 相交于点F ，连结PF .）再在完整图形中的PF .上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。（Ⅰ）证略 解: （Ⅱ）延长AD 、BE 相交于点F ，连结PF .

过点A 作AH ⊥PB 于H ，由（Ⅰ）知

平面PBE ⊥平面P AB ,所以AH ⊥平面PBE . 在Rt △ABF 中，因为∠BAF ＝60°， 所以，AF =2AB =2=AP .

在等腰Rt △P AF 中，取PF 的中点G ，连接AG . 则AG ⊥PF .连结HG ，由三垂线定理的逆定理得，

PF ⊥HG .所以∠AGH 是平面P AD 和平面PBE 所成二面角的平面角（锐角）.

A

B

C

E

D P F

G

H

A

B

C

E

D

P

在等腰Rt△P AF中，

2

AG PA

==

在Rt△P AB中，

5

AP AB

AH

PB

====

所以，在Rt△AHG中，

sin

AH

AGH

AG

∠===

故平面P AD和平面PBE

所成二面角（锐角）的大小是arcsin

例2. （2010广东省卷理18题，14分）如图5，AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC=D

F=，

（1）证明：EB FD

⊥；

（2）已知点,Q R为线段,

FE EB上的点，

2

3

FQ FE

=，

2

3

FR FB

=，求平面BED与平面RQD所成的两面角的正弦值.

（2）解：过D作HD QR

∥.

22

FQ=FE,FR=FB

33

，

QR EB

∴∥.

HD EB

∴∥.

又D BED

RQD

∈平面平面，

例3（2010江西省理，20题，12分）如图，BCD ?与MCD ?都是边长为2的正三角形，

平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB =

（1）求点A 到平面MBC 的距离；

（2）求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值．

解（2）延长AM 、BO 相交于E ，连CE 、DE ，CE 是平面ACM 与平面BCD 的交线．

由（1）知，O 是BE 的中点，则四边形BCED 是棱形．

作BF EC ⊥于F ，连AF ，则,AF EC AFB ⊥∠就是二面角A EC B --的平面角，设为θ．

因为120BCE ∠=，所以60BCF ∠=．

2sin 603

BF ==,

tan 2,sin 5

AB BF θθ=

==．

练习：已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。

（1）求证：AC 1⊥BC ；

（2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。

提示：本题需要补棱，可过A 点作CB 的平行线L （答案：所成的二面角为45O

） 四、射影面积法（cos s S

q =

射影）

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜

射S S =

θ）求出二面角的大小。

例1（2008北京理）如图，在三棱锥P ABC -中，

2AC BC ==，90ACB ∠=，

AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；

（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小；

分析：本题要求二面角B —AP —C 的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面ABP 与平面ACP 中建立一对原图形与射影图形并分别求出S 原与S 射 于是得到下面解法。 解：（Ⅰ）证略

（Ⅱ）AC BC =，AP BP =，APC BPC ∴△≌△．

又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥． 又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且AC

PC C =，

BC ∴⊥平面PAC ．

取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =，BE AP ∴⊥．

EC 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥．

∴△ACE 是△ABE 在平面ACP 内的射影， 于是可求得：

2222=+===CB AC AP BP AB ，622=-=AE AB BE ，

2

==EC AE 则

12221

21=?=?==?CE AE S S ACE 射，

3622

1

21=?=?==?EB AE S S ABE 原

设二面角B AP C --的大小为?

，则

A

C

B

E

P A

C

B

P

A 1

D 1

B 1

C 1 E

D B

C

A

图5 A

C

B

B 1

C 1

A 1 L

3

33

1cos =

=

=

原

射S S ? ∴二面角B AP C --的大小为3

3arccos

=? 练习： 如图5，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值.

分析 平面AB 1E 与底面A 1B 1C 1D 1交线即二面角的棱没有给出，要找到二面角的平面角，则必须先作两个平面的交线，这给解题带来一定的难度。考虑到三角形AB 1E 在平面A 1B 1C 1D 1上的射影是三角形A 1B 1C 1，从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。

（答案：所求二面角的余弦值为cos θ=

3

2）. 五、向量法

向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。 例1（2009天津卷理）如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=

1

2

AD (I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (II) 证明平面AMD ⊥平面CDE ； 求二面角A-CD-E 的余弦值。

现在我们用向量法解答：如图所示，建立空间直角坐标系，

以点A 为坐标原点。设，1=AB 依题意得()，，，001B ()，，，011C ()，，，020D ()，，，110E ()，，，100F .21121M ???

?

?，，

（I ）()，，，解：101B -= ()，

，，110-=

.2

1

221

00=?++=

=

于是

所以异面直线B F 与DE 所成的角的大小为0

60.

（II ）证明：，，，由??

? ??=21121AM ()，，，101CE -= ()0AM CE 020AD =?=，可得，，， .AMD CE A AD AM .AD CE AM CE .0平面，故又，因此，⊥=⊥⊥=?

.CDE AMD CDE CE 平面，所以平面平面而⊥?

（III ）?????=?=?=.

0D 0)(CDE u CE u z y x u ，

，则，，的法向量为解：设平面

.111(1.00），，，可得令，

于是==?

??=+-=+-u x z y z x

又由题设，平面ACD 的一个法向量为).100(，，=v

例2（2010北京卷理，16题14分） 如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE ⊥AC,EF ∥

，CE=EF=1. （Ⅰ）求证：AF ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDE ；

（Ⅲ）求二面角A-BE-D 的大小。

例3（2010福建卷理，18题，13分）

如图，圆柱1OO 内有一个三棱柱111ABC-A B C ，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB 是圆O 直径. （Ⅰ）证明：平面11A ACC ⊥平面11B BCC ；

（Ⅱ）设AB=1AA ，在圆柱1OO 内随机选取一点，记该点取自于三棱柱111ABC-A B C 内的概率为p .

（i ）当点C 在圆周上运动时，求p 的最大值；

（ii ）记平面11A ACC 与平面1B OC 所成的角为θ(0<90)θ≤，当p 取最大值时，求cos θ的值.

解（Ⅰ）

1A A ⊥平面ABC ，BC ABC ?平面，1A A BC ∴⊥．

AB 是圆O 的直径，BC AC ∴⊥． 又111,AC

A A A BC A ACC =∴⊥平面．

而11BC B BCC ?平面，所以平面1111A ACC B BCC ⊥平面．

（Ⅱ）（i ）设圆柱的底面半径为r ，则12,AB AA r ==故三棱柱

111ABC A B C -的体积11

22

V AC BC r AC BC r =

??=??．

又

2

2

2

2

4,AC BC AB r +==22

222

AC BC AC BC r +∴?≤=，当且仅当

AC BC ==时等号成立．

从而，3

12V r ≤．而圆柱的体积23

22V r r r ππ=?=，故313212V r p V r ππ

=≤=，当且仅

当AC BC ==，即OC AB ⊥时等号成立．所以，p 的最大值等于

1π

． （ii ）由（i ）可知，p 取最大值时，OC AB ⊥．于是，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -（如图），则1(,0,0),(0,,0),(0,,2)C r B r B r r ．

11BC A ACC ⊥平面，

(,,0)BC r r ∴=-是平面11A ACC 的一个法向量．

例4（2010海南理，18题，12分）如图，己知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD,AC ⊥BD 垂足为H,PH 是四棱锥的高，E 为AD 中点. （Ⅰ)证明：PE ⊥BC

（Ⅱ）若APB ∠=ADB ∠=60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值.

解：以H 为原点，HA ，HB ，HP 分别为,,x y z 轴，线段HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则(1,0,0),(0,1,0)A B .

（Ⅰ）设(,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n <>，

则1(0,,0),(,,0)22m

D m

E . 可得1(,,),(,1,0)22

m

PE n BC m =-=-.

因为0022

m m

PE BC ?=-+=，

所以PE BC ⊥.

（Ⅱ）由已知条件可得1m n ==，故(C ，(0,D ，

1(,,0),(0,0,1)26

E P -

.

例5（2010辽宁省理，19题，12分）已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=1

2

AB ，N 为AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点.

（Ⅰ）证明：CM ⊥SN ；

（Ⅱ）求SN 与平面CMN 所成角的大小.

证明：设PA=1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为z y x ,,轴正向建立空间直角坐标

系如图，则)0,2

1,1(),0,0,21(),21,0,1(),0,0,2(),0,1,0(),1,0,0(S N M B C P （Ⅰ）)0,2

1

,21(),21,1,1(--=-=． 因为002

1

21=++-=?，

所以CM SN ⊥．

（Ⅱ）)0,1,2

1

(-=，

设),,(z y x a =为平面CMN 的一个法向量，

则???????

=+-=+-.02

1,021y x z y x 令2=x ，

得)2,1,2(-=a ．

因为1|cos ,|2a SN -=

=，

所以SN 与平面CMN 所成角为45°．

练习（2008湖北）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥侧面11A ABB . （Ⅰ）求证：AB BC ⊥；

（Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ,二面角

1A BC A --的大小为?，试判断θ与?的大小关系，并

予以证明.

分析：由已知条件可知：平面ABB 1 A 1⊥平面BC C 1 B 1⊥平面ABC 于是很容易想到以B 点为空间坐标原点建立坐标系，并将相关线段写成用坐标表示的向量，先求出二面角的两个半平面的法向量，再利用两向量夹角公式求解。

（答案：2

2

arcsin

c

a a +=φ）

总之，上述五种二面角求法中，前三种方法可以说是三种增添辅助线的一般规律，后两种是两种不同的解题技巧，考生可选择使用。