菱形的定义和性质

一、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

二、菱形的性质：

1、对角线互相垂直且平分；

2、四条边都相等；

3、对角相等，邻角互补；

4、每条对角线平分一组对角；

5、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形；

6、在60度的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的根号3倍；

7、菱形具备平行四边形的一切性质。

三、菱形的判定：

1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；

2、四边相等的四边形是菱形；

3、关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形；

4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。

菱形的性质及判定

菱形的性质及判定 1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等． ③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程中应给予足够重视。菱形的性质【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为 ⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则 1∠= 度．图2 1 C B A ⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是______．【例3】如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分． P H F E D C B A 【例4】如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于．图1 H O D C B A 【巩固】 ☆如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，则DE 的长为【例5】 ☆ 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为【巩固】如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（） A ．5 B ．10 C ．6 D ．8 图2D C B A 图3 E D P C F B A 【巩固】如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点， EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（） A ．35︒ B ．45︒ C ．50︒ D ．55︒ 【例6】 ☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（） A ．15︒或30︒ B ．30︒或45︒ C ．45︒或60︒ D ．30︒或60︒ E F D B C A

初中数学菱形的性质及判定

初中数学菱形的性质及判定 1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等． ③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形． 4．三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得

的线段也是中位线．以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质．定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半．重点是菱形的性质及判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程中应给予足够重视。板块一、菱形的性质菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为中点中点中点平行

菱形性质和判定

菱形 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（菱形是平行四边形：一组邻边相等） 2、性质：（1）边：四条边都相等；（2）角：对角相等、邻角互补；（3）对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；（4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形． 3、菱形的判定方法: 一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形 4、识别菱形的常用方法（1）先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任一组邻边相等．（2）先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直．（3）说明四边形ABCD 的四条相等． 5、面积:设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则S 菱形=ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则S 菱形=1 ab 1.如图，菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，若∠BCO=55°，则∠ADO= ． 2.如图所示，已知菱形ABCD 中，E 、F 分别在BC 和CD 上，且∠B=∠EAF=60°， ∠BAE=15°，求∠CEF 的度数。 3. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 、E 分别为AB ，AC 边上的中点，连接DE ，将△ADE 绕点E 旋转180°得到△CFE ，连接AF ，CD ．（1）求证：四边形ADCF 是菱形；（5分）（2）若BC =8，AC =6，求四边形ABCF 的周长．（5分） 4. 如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm ，一只电子甲虫，从点A 开始按ABCDAEFGAB …的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm 时停下，则它停的位置是（）第3题图 C

菱形的性质与判定

菱形的性质与判定目标: 掌握菱形的定义，了解菱形与平行四边形的关系；掌握菱形的性质与判定；能运用菱形性质与判定解决相关问题；通过实际应用提高学生用数学的意识。重点: 菱形的性质及判定难点：区别菱形的性质与判定并正确运用其解决相关问题。知识要点： 1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。 2、菱形的性质：性质1菱形的四条边相等。性质2菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角。已知：菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O（如图1）求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC。证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB＝AD（菱形的四条边相等）在等腰△ABD中，∵BO＝OD， ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD。同理： AC平分∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC。图1 3、菱形面积计算方法： (1) S＝底×高 (2) S＝对角线1×对角线2＝ab

例已知菱形ABCD的边长为2cm ，∠BAD＝120°，对角线AC、BD相交于点O（如下图），求这个菱形的对角线长和面积。解：∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD，∠BAO＝＝×120°＝60° （菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角）在Rt△AOB中， ∵∠ABO＝90°－∠BAO＝30° ∴AO＝＝×2＝1（cm） BO＝（cm） ∵AO＝，BO＝ ∴AC＝2AO＝2（cm），BD＝2BO＝2（cm）＝AC×BD＝2（cm2） ∴S 菱形ABCD 4、菱形的判定：判定定理1四边都相等的四边形是菱形。判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。本周典型例题分析： 1．已知：如图，□ABCD中，AB=2BC，E、F是直线BC上的点，BE=BC=CF，求证：AF⊥ED 分析：若连结MN，欲证DE⊥AF，只要证四边形AMND是菱形。证明：连结MN ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD BC，AB DC 在△ABF中，∵BC=CF，AB∥CN ∴AN=NF 又∵AD∥BF，∴DN=NC

菱形的性质及判定知识点及典型例题

1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等． ③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形． 4．三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线．以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质．中点中点中点平行定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半．重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。菱形的性质及判定

难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程中应给予足够重视。板块一、菱形的性质【例1】菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为【例2】在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例3】如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则 1∠= 度．图2 1 C B A 【例4】如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是______．【例5】如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分． P H F E D C B A 【例6】如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于． E F D B C A

(完整版)菱形的性质及判定

菱形的性质及判断中考要求知识点 A 要求B要求Ｃ要求菱形会鉴别菱形掌握菱形的看法、性质和判断，会用菱形的性质和会用菱形的知识解决相关判断解决简单问题问题知识点睛 1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质菱形是特其他平行四边形，它拥有平行四边形的所有性质，?还拥有自己独到的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等． ③ 对角线性质：对角线互相垂直均分且每条对角线均分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．议论：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判断判断① ：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判断② ：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判断③ ：四边相等的四边形是菱形．重、难点重点是菱形的性质和判判定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，第一她是平行四边形，但它是特其他平行四边形，特别之处就是“有一组邻边相等”，所以就增加了一些特其他性质和不同样于平行四

的基础。难点是菱形性质的灵便应用。由于菱形是特其他平行四边形，所以它不仅拥有平行四边形的性质，同时还拥有自己独到的性质。若是获取一个平行四边形是菱形，就可以获取好多关于边、角、对角线的条件，在本质解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让好多学生慌张失措，教师在授课过程中应恩赐足够重视。例题精讲板块一、菱形的性质【例 1】☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度最少是【例 2】⑴如图 2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离 AB BC 16cm ，则 1 度． A B C 1 图2 ⑵如图，在菱形ABCD 中， A 60 ， E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点，若 EF 2 ，则菱形 ABCD 的边长是 ______． A E F B D C 【例 3】如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EF AC 于 H ，交 CB 的延长线于 F ，交 AB 于 P ，证明： AB 与 EF 互相均分． D E H A C P B F 【例 4】☆如图 1 所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD订交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为 24，则 OH 的长等于．

菱形的性质及判定

菱形的性质及判定知识点 A 要求 B 要求Ｃ要求菱形会识别菱形掌握菱形的概念、性质和判定;会用菱形的性质和判定解决简单问题会用菱形的知识解决有关问题 1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形;它具有平行四边形的所有性质;•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补;对角相等． ③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形;也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高;等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直;其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．重点是菱形的性质和判定定理..菱形是在平行四边形的前提下定义的;首先她是平行四边形;但它是特殊的平行四边形;特殊之处就是“有一组邻边相等”;因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法..菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续;又是以后要学习的正方形的基重、难点知识点睛中考要求

础.. 难点是菱形性质的灵活应用..由于菱形是特殊的平行四边形;所以它不但具有平行四边形的性质;同时还具有自己独特的性质..如果得到一个平行四边形是菱形;就可以得到许多关于边、角、对角线的条件;在实际解题中;应该应用哪些条件;怎样应用这些条件;常常让许多学生手足无措;教师在教学过程中应给予足够重视.. 板块一、菱形的性质【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为 ⑵在平面上;一个菱形绕它的中心旋转;使它和原来的菱形重合;那么旋转的角度至少是【例2】 ⑴如图2;一活动菱形衣架中;菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==;则 1∠= 度．图2 1 C B A ⑵如图;在菱形ABCD 中;60A ∠=︒;E 、F 分别是AB 、AD 的中点;若2EF =;则菱形ABCD 的边长是______．【例3】如图;E 是菱形ABCD 的边AD 的中点;EF AC ⊥于H ;交CB 的延长线于F ;交AB 于P ; 证明：AB 与EF 互相平分． P H F E D C B A 【例4】 ☆ 如图1所示;菱形ABCD 中;对角线AC 、BD 相交于点O ;H 为AD 边中点;菱形ABCD 的周长为24;则OH 的长等于． E F D B C A 例题精讲

菱形的性质

菱形的性质菱形是一种具有特殊性质的几何图形，在数学中被广泛研究和应用。它的定义是一个具有四条边且四个顶点均位于同一平面内的凸四边形，其特点是四条边长度相等且相互垂直，对角线相等并且相互垂直。本文将从菱形的角度、边角关系、对称性和应用等方面详细探讨菱形的性质。 1.菱形的角度菱形的角度特点非常明显，它的四个顶点内角均为90度。由于垂直的性质，菱形的对边之间也是垂直的，因此其内角可以分为两组：两个锐角和两个钝角，且两两互补。 2.菱形的边角关系菱形的边角关系是菱形性质研究中的一个重要内容。我们知道，菱形的四条边长度相等，这意味着菱形的内角也必然相等。同时，菱形的对角线也相等，从而推断出菱形的四个内锐角和四个内钝角都相等，且每个角都为90度。此外，由于菱形的两对角线相互垂直，就意味着菱形的两个内锐角和两个内钝角互为补角。 3.菱形的对称性菱形具有很强的对称性，这是菱形性质中的又一个重要方面。菱形的两条对角线相交于一点，这个点被称为菱形的中心。菱形的中心是菱形具有对称性的重要标志，它将菱形分成了四个互相对称的部分。菱形的任意两个对角线可以分别作为对称轴，通过中心点，将菱形分成两个完全相等的部分。这种对称性使得菱形在艺术、装饰和设计等领域得到了广泛应用。

4.菱形的应用菱形的性质使得它在各个领域得到了广泛的应用。在数学中，菱形作为一种特殊的四边形，是几何学的基础，研究菱形性质有助于理解和解决更复杂的几何问题。在艺术和设计中，菱形的对称性和美观性使它成为一种常用的图形元素，经常被用来装饰图案、绘画和雕塑作品。菱形图案也常常出现在建筑物和城市规划中，如建筑立面、道路划线等。总结：菱形是具有特殊性质的几何图形，它的四个角均为90度，每条边和对角线长度相等。菱形具有边角对称性，在艺术、设计和建筑等领域有广泛应用。研究菱形性质有助于理解几何学的基础知识，同时也为解决相关问题提供了思路和方法。菱形作为一种简单而美观的图形元素，不仅在数学中具有意义，也在人们的日常生活中起着重要的作用。

菱形的定义概念

菱形的定义概念在一个平面内，一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线相互垂直的平行四边形是菱形，四条边都相等的四边形是菱形。以下是店铺分享给大家的关于菱形的定义，欢迎大家前来阅读! 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的性质 1、对角线互相垂直且平分,并且每条对角线平分一组对角; 2、四条边都相等; 3、对角相等，邻角互补; 4、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形, 5、在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的√3倍。 6、菱形是特殊的平行四边形，它具备平行四边形的一切性质。菱形的判定 1、一组邻边相等的平行四边形是菱形 2、四边相等的四边形是菱形 3、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。菱形的中点四边形是矩形(对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为菱形，对角线相等的四边形的中点四边形定为矩形。) 菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的面积 1.对角线乘积的一半(只要是对角线互相垂直的四边形都可用);由把菱形分解成2个三角形，化简得出 2.底乘高=菱形面积。 3.设菱形的边长为a,一个夹角为θ，则面积公式是:S=a^2·sinθ

菱形的特征顺次连接菱形各边中点为矩形正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形。

初中数学菱形的性质及判定

初中数学菱形的性质及判定 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质： ①边的性质：对边平行且四边相等.一...... ②角的性质：邻角互补，对角相等. ③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角.•............ ④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形. .......... 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半. 点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半. 3.菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形. 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 判定③：四边相等的四边形是菱形. 4.三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线. 也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线. 以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什

么是中位线，再用中位线的性质. 定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半. 重点是菱形的性质及判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程中应给予足够重视。板块一、菱形的性质菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2星【关键词】