菱形的性质和判定
一、知识梳理
二、基础过关
1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）。
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线互相垂直
D.对角线相等
2、下列命题中,真命题是（ ）。
A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C 。对角线互相平分且相等的四边形是菱形 D.对角线相等的四边形是菱形
三、能力提升
1、菱形周长为40，一条对角线长为16，则另一条对角线长为 ，这个菱形的面积为 .
2、菱形ABCD 中∠A=120°，周长为14。4，则较短对角线的长度为 。
3、在矩形ABCD 中，1A 、1B 、1C 、1D 分别是四边的中点，顺次连结1A 、1B 、1C 、1D 。 求证：四边形1A 1B 1C 1D 是菱形。
四、合作探究
如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，过点D 作DP ∥OC ，且DP=OC,连结CP ，试判断 四边形CODP 的形状，并证明。
★ 思维延伸:若题目中的矩形变为菱形，(图一），结论应变为什么？
五、学习札记
六、拓展延伸
（1）想一想，依次连接任意四边形ABCD各边的中点，试判断得到的新四边形的形状,并证明。
（2）若（1）中的任意四边形为平行四边形，其它条件不变，则（1）中结论是否成立？
（3）若(1）中的任意四边形为对角线相等的四边形，其它条件不变，试判断得到的新四边形的形状，并证明.
（4）若（1）中的任意四边形为矩形,其它条件不变，则(3)中结论是否成立？
（5）若(1）中的任意四边形为对角线互相垂直的四边形,其它条件不变，试判断得到的新四边形的形状，并证明。（6）若（1)中的任意四边形为菱形，其它条件不变，则(5)中结论是否成立？
归纳：中点四边形的判定
①顺次连接任意四边形各边的中点，所得的四边形是
②顺次连接对角线的四边形各边的中点，所得的四边形是
③顺次连接对角线的四边形各边的中点，所得的四边形是
4.3.1菱形的性质
学习过程
一、研读教材
1、叫做菱形.菱形是的平行四边形.
2、探究菱形的性质。
例1：已知四边形ABCD是菱形，且AD=BC，求证四边相等。
性质1：
例2：已知四边形ABCD是菱形,求证AC⊥BD。
性质2： 例3：已知四边形ABCD 是菱形，求证AC 、BD 各平分一组对角。
性质3：
例4：在菱形ABCD 中，已知AC=6，BD=8,边上的高是4。8，求菱形ABCD 的面积.
性质4： 注意，性质5:菱形具有 的一切性质.
思考：菱形具有而平行四边形不一定具有的性质有哪些？
菱形是 图形,对称轴有 条，即两条 所在的直线. 二、知识运用。
1、在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O,
（1）AB= = = ，即菱形的 。
(2）图中的等腰三角形有 ，直角三角形有 ，△AOD ≌ ≌ ≌ ，由此得出菱形的对角线 ，每一条对角线 .
（3）如果∠ADC=120°，则△ABD 和△BCD 是 三角形，OD= AD 。 2、课堂练习。
（1）菱形的对角线长为24和10,则菱形的边长为 ，周长为 ,面积为 。 （2）在菱形ABCD 中，已知∠ABC=60°,AC=4,则AB= 。
(3）菱形的两邻角之比为1:2，边长为2,则菱形的面积为__________．
（4)已知菱形的面积等于80cm 2
,高等于8cm ，则菱形的周长为 。 （5）已知菱形ABCD 的周长为20cm,∠A ：∠ABC ＝1：2，则BD= cm 。 （6）在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ,AF ⊥CD 于点F ，且E 、F 分别为BC 、CD 的中点，（如图)则∠EAF 等于（ )
A ．75°
B ．60°
C ．45°
D ．30° （7）菱形ABCD,若∠A ：∠B ＝2：1,∠CAD 的平分线A
E 和边CD 之间的关系是( ） A ．相等 B ．互相垂直且不平分 C ．互相平分且不垂直 D ．垂直且平分 (8）已知菱形的周长为20cm ，一条对角线长为5cm,求菱形各个角的度数．
（9）已知菱形ABCD 的边长为2 cm,∠BAD ＝120°对角线AC 、BD 相交于点O ，试求出菱形对角线的长和面积．
（10） 如图，已知菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC=16cm ，BD=12cm,求菱形的高．
O D C B A
三、课后练习：
（1）已知菱形两邻角的比是1：2，周长为40cm,则较短对角线的长是 。
（2）已知菱形的一条对角线的长为12cm,面积是30cm 2
,则这个菱形的另一条对角线的长为 cm 。 （3）已知菱形ABCD 的周长为40cm ，BD=
3
4
AC ，则菱形的面积为（ ） A ．96cm 2
B ．94cm 2
C ．92cm 2
D ．90cm
2
(4)已知菱形的周长为40cm,两对角线的长度之比为3：4，则两对角线的长分别为（ ） A ．6cm ，8cm B ．3cm,4cm C ．12cm ，16cm D ．24cm ，32cm （5） 已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为 ( ） A 。 45°，135° B 。 60°,120° C 。 90°，90° D 。 30°,150°
(6）菱形的边长是2 cm,一条对角线的长是23 cm ，则另一条对角线的长是（ ）
A ．4cm
B ．3cm
C ．2cm
D ．23cm （7)已知菱形的一边与两条对角线构成的两角之比为5：4,求菱形的各内角的度数．
（8） 已知,如图所示,菱形ABCD 中，E,F 分别是BC 、CD 上的一点，∠D=∠EAF=∠AEF ＝60°.∠BAE ＝18°，求∠CEF 的
度数．
1．(2014•槐荫区二模）下列说法中，错误的是( ） A ． 平行四边形的对角线互相平分
B ． 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C ． 菱形的对角线互相垂直
D ． 对角线互相垂直的四边形是菱形
2．（2014秋•龙岗区期末）下列命题中,真命题是（ ） A ． 有两边相等的平行四边形是菱形 B ． 有一个角是直角的四边形是直角梯形 C ． 四个角相等的菱形是正方形 D ．
两条对角线相等的四边形是矩形
3．（2014•新泰市一模)已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的有（ ）
①当AB=BC 时，它是菱形;②当AC ⊥BD 时,它是菱形；③当∠ABC=90°时，它是矩形；④当AC=BD 时，它是正方形．
A．1组B．2组C． 3组 D． 4组
4．（2014春•嵊州市期末）顺次连接四边形各边中点所得的四边形是（）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．以上都不对
5．（2014春•武夷山市校级期中）菱形和矩形一定都具有的性质是(）
A．对角线相等B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分且相等D．对角线互相平分
6．（2013秋•冠县校级期末）下列命题中，真命题是（）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是菱形
7．（2014春•金牛区期末）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）
A．对角相等B．对边相等
C．对角线相等D．对角线互相平分
8．下面性质,矩形不一定具有的是（）A．对角线相等B四个角都相等C是轴对称图形D．对角线垂直9．菱形具有而矩形不具有的性质是（)A．对角相等B．四边相等C．对角线互相平分 D．四角相等10．菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：3，则菱形的面积为（）
A． 25cm2B． 16cm2C．cm2D．cm2
11．下列条件能判定四边形是菱形的是（）
A．对角线相等的四边形B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线互相垂直平分的四边形D．对角线相等且互相垂直的四边形
12．(2013•湘西州)下列说法中，正确的是（) A．同位角相等 B 对角线相等的四边形是平行四边形C．四条边相等的四边形是菱形D．矩形的对角线一定互相垂直
13．（2013•怀化）如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠ABC=60°,则对角线AC=（）
A． 12 B． 9 C． 6 D． 3
14．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°．已知△ABC的周长是15,则菱形ABCD的周长是（)
A． 25 B． 20 C． 15 D． 10
15．(2014秋•宁城县期末)如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE,连接BD，CE交于点F．（1)求证：△ABD≌△ACE；（2)求证:四边形ABEF是菱形．
16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O，过点C作CP∥DB，过点B作BP∥AC，两线相交于点P．求证：四边形COBP是菱形．
17．(2012•淮安模拟）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥BD交CB的延长线于点G．（1）求证:DE∥BF；(2）问∠G为多少度时，四边形DEBF是菱形．并证明你的结论．
18．已知：如图,在梯形ABCD中，AD∥BC,BC=2AD,AC⊥AB,点E是AC的中点，DE的延长线与BC相交于点F．求证：四边形AFCD是菱形．
19．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，BE平分∠CBA交AC于E，交CD于F，CG⊥BE交AB于G．
(1）求证：四边形CFGE是菱形；（2）若AG=4,BG=6，求AE和DF的长．
20．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F,AE与BF交于点P，连接EF，PD．(1）求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．
21．(2014•淮安）如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．求证：四边形AEDF是菱形．
22．已知:平行四边形ABCD中，E、F是BC、AB的中点，DE、DF分别交AB、CB的延长线于H、G；（1）求证：BH=AB;(2）若四边形ABCD为菱形，试判断∠G与∠H的大小，并证明你的结论．
23．如图：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G,交AB于E,EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．
24．已知：如图，△ABC≌△CAD．(1）求证:四边形ABCD为平行四边形；（2）若AE、CF分别平分∠CAD、∠ACB，且∠CFB=∠B，求证：四边形AECF为菱形．
25．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形;(2)若AB=8，AD=16，求MD的长．
26．如图，在直角梯形ABCD中,AD∥BC且AD=BC，∠BAD=90°，E、F分别是BD、CD上的中点，连接AE、EF．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）若BD=BC，求证：四边形AEFD是菱形．
27．把两个完全相同的矩形纸片ABCD，BFDE如图放置，已知AB=BF，求证:四边形BHDG是菱形．
28．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线与BC边相交于点E,∠ABC的平分线与AD边相交于点F．请证明四边形ABEF是菱形．
29．（2013秋•姜堰市期末）如图，在▱ABCD中，EF垂直平分AC交BC于E，交AD于F．
（1)求证：四边形AECF为菱形；（2）若AC⊥CD，AB=6，BC=10，求四边形AECF的面积．
30．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连结CE．（1）求证：BD=EC；（2)若∠E=50°,求∠EAC的大小．
菱形的性质及判定
菱形的性质及判定 1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等． ③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形． 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． 点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定 判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形． 重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。 难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视。 菱形的性质 【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为 ⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是 【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则 1∠= 度． 图2 1 C B A ⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是______． 【例3】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ， 证明：AB 与EF 互相平分． P H F E D C B A 【例4】 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24， 则OH 的长等于 ． 图1 H O D C B A 【巩固】 ☆如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥， ，于点E ，则DE 的长为 【例5】 ☆ 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为 【巩固】 如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ） A ．5 B ．10 C ．6 D ．8 图2D C B A 图3 E D P C F B A 【巩固】 如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点， EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（ ） A ．35︒ B ．45︒ C ．50︒ D ．55︒ 【例6】 ☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所 成的角α的度数应为（ ） A ．15︒或30︒ B ．30︒或45︒ C ．45︒或60︒ D ．30︒或60︒ E F D B C A
(完整版)菱形的性质及判定
菱形的性质 及判定 知识点 A 要求 B 要求 Ｃ要求 菱形 会识别菱形 掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质和 判定解决简单问题 会用菱形的知识解决有关问题 1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等． ③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形． 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． 点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定 判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形． 重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形 重、难点 知识点睛 中考要求
的基础。 难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视。 板块一、菱形的性质 【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为 ⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是 【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则 1∠= 度． 图2 1 C B A ⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=?，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是______． 【例3】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ， 证明：AB 与EF 互相平分． P H F E D C B A 【例4】 ☆ 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的 周长为24，则OH 的长等于 ． E F D B C A 例题精讲
菱形的性质及判定
初中数学菱形的性质及判定 1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等． ③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形． 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． 点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定 判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形． 板块一、菱形的性质 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为 ⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为,若墙上钉子间的距离，则 度． 16cm 16cm AB BC ==1∠=
⑵如图，在菱形中，，、分别是、的中点，若，则菱形 的边长是______． 如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，交于， 证明：与互相平分． ☆ 如图1所示，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于 ． ☆如图，已知菱形的对角线于点，则的长为 图2 1 C B A ABCD 60A ∠=?E F A B AD 2EF =ABCD E ABCD AD EF A C ⊥H CB F AB P AB EF P H F E D C B A ABCD AC BD O H AD ABCD 24OH 图1 H O D C B A ABCD 8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥， ，E DE E F D B C A
菱形性质和判定
菱形 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（菱形是平行四边形：一组邻边相等） 2、性质：（1）边：四条边都相等；（2）角：对角相等、邻角互补； （3）对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角； （4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形． 3、菱形的判定方法: 一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 四条边都相等的四边形是菱形 4、识别菱形的常用方法 （1）先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任一组邻边相等． （2）先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直． （3）说明四边形ABCD 的四条相等． 5、面积:设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则S 菱形=ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则S 菱形=1 ab 1.如图，菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，若∠BCO=55°，则∠ADO= ． 2.如图 所示，已知菱形ABCD 中，E 、F 分别在BC 和CD 上，且∠B=∠EAF=60°， ∠BAE=15°，求∠CEF 的度数。 3. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 、E 分别为AB ，AC 边上的中点，连接DE ，将△ADE 绕点E 旋转180°得到△CFE ，连接AF ，CD ． （1）求证：四边形ADCF 是菱形；（5分） （2）若BC =8，AC =6，求四边形ABCF 的周长．（5分） 4. 如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm ，一只电子甲虫，从点A 开始按ABCDAEFGAB …的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm 时停下，则它停的位置是（ ） 第3题图 C
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知识点 A 要求 B 要求 Ｃ要求 菱形 会识别菱形 掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质和 判定解决简单问题 会用菱形的知识解决有关 问题 知识点睛 1．菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质， ?还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等． ③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形． 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． 点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定 判定 ①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定 ②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定 ③：四边相等的四边形是菱形． 重、难点 重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它 是特殊的平行四边形，特殊之处就是 “有一组邻边相等 ”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边 形的判定 方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形 中考要求 菱形的性质 及判定
的基础。 难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质， 同时还具有自己独特 的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条 件，在实际解题中， 应该应用哪些条件， 怎样应用这些条件， 常常让许多学生手足无措， 教师在教学过程 中 应给予足够重视。 例题精讲 板块一、菱形的性质 【例 1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为 ⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是 例 2】 ⑴如图 2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为 1 度． 的边长是 _______ 例3】 如图， E 是菱形 ABCD 的边 AD 的中点， EF AC 于 H ，交CB 的延长线于 F ，交 AB 于 P ， 证明： AB 与 EF 互相平分． 例4】 ☆ 如图 1所示，菱形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，H 为 AD 边中点，菱形 ABCD 的 周长为 24 ，则 OH 的长等于 ． 16cm 若墙上钉子间的距离 AB BC 16cm ，则 ⑵如图，在菱形 ABCD 中， A 60 ， E 、 F 分别是 AB 、 C
(完整版)菱形的性质及判定
菱形的性质 及判断 中考要求 知识点 A 要求B要求Ｃ要求 菱形会鉴别菱形掌握菱形的看法、性质和判断，会用菱形的性质和会用菱形的知识解决相关判断解决简单问题问题 知识点睛 1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质 菱形是特其他平行四边形，它拥有平行四边形的所有性质，?还拥有自己独到的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等． ③ 对角线性质：对角线互相垂直均分且每条对角线均分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形． 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． 议论：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判断 判断① ：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判断② ：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判断③ ：四边相等的四边形是菱形． 重、难点 重点是菱形的性质和判判定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，第一她是平行四边形，但它 是特其他平行四边形，特别之处就是“有一组邻边相等”，所以就增加了一些特其他性质和不同样于平行四
的基础。 难点是菱形性质的灵便应用。由于菱形是特其他平行四边形，所以它不仅拥有平行四边形的性质，同 时还拥有自己独到的性质。若是获取一个平行四边形是菱形，就可以获取好多关于边、角、对角线的条 件，在本质解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让好多学生慌张失措，教师在授课过程中应恩赐足够重视。 例题精讲 板块一、菱形的性质 【例 1】☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中 心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度最少是 【例 2】⑴如图 2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离 AB BC 16cm ，则 1 度． A B C 1 图2 ⑵如图，在菱形ABCD 中， A 60 ， E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点，若 EF 2 ，则菱形 ABCD 的边长是 ______． A E F B D C 【例 3】如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EF AC 于 H ，交 CB 的延长线于 F ，交 AB 于 P ，证明： AB 与 EF 互相均分． D E H A C P B F 【例 4】☆如图 1 所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD订交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为 24，则 OH 的长等于．
菱形的判定和性质
B C A D O 菱形的判定和性质 一、基础知识 （一）菱形的概念 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 （二）菱形的性质： 1、 具有平行四边形的一切性质； 2、 菱形四条边都相等； 3、 菱形的对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； 4、 菱形是轴对称图形； 边 角 对角线 对称性 菱形 对边平行； 四边相等 对角相等； 邻角互补 互相垂直平分且 平分对角 轴对称 （三）菱形的判定： 1、 一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 3、 四条边都相等的四边形是菱形； （四）菱形的面积 1、可以用平行四边形的面积算（S= 2 1 底×高） 2、用对角线计算（面积的两对角线的积的一半 S= 2 1 ab) A B C D E
二、例题讲解 考点一 ：菱形的判定 例1：下列命题正确的是（ ） （A ） 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 （B ） 对角线相等的四边形一定是矩形 （C ） 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 （D ） 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 练习1：菱形的对角线具有( ) A ．互相平分且不垂直 B ．互相平分且相等 C ．互相平分且垂直 D ．互相平分、垂直且相等 练习2：如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形 B ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形 C ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形 练习3：如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( ) A ．DE 是△ABC 的中位线 B ．AA '是B C 边上的中线 C ．AA '是BC 边上的高 D ．AA '是△ABC 的角平分线 A B C D E A ' D B C A N M O
菱形的性质及判定知识点及典型例题
菱形的性质 及判定 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2 .菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，？还具有自己独特的性质: ①边的性质：对边平行且四边相等. ②角的性质：邻角互补，对角相等. ③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角. ④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形. 菱形的面积等于底乘以咼，等于对角线乘积的一半. 点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半. 3.菱形的判定 判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形. 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 判定③：四边相等的四边形是菱形. 4 .三角形的中位线 中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线. 也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线. 以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质. 定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半. 重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边 形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。
难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质， 同时还具有自己独 特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条 件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措， 教师在教学过程 中 应给予足够重视。 在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是 板块一、菱形的性质 【例1】 菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为 【例2】 【例3】 如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为 1 __________ 度. 16cm 若墙上钉子间的距离 AB BC 16cm ，则 【例4】 如图，在菱形 ABCD 中， A 60 , E 、 的边长是 __________________ • F 分别是AB 、AD 的中点，若 EF 2，则菱形ABCD 【例5】 如图, 证明: E 是菱形ABCD 的边AD 的中点, AB 与E F 互相平分. EF AC 于H ，交CB 的延长线于 F ,交AB 于P ， 【例6】 所示，菱形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点O , H 为AD 边中点，菱形 ABCD 的周 如图1 长为24，则OH 的长等于 D
菱形性质和判定
知识点回顾 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（菱形是平行四边形：一组邻边相等） 2、性质：（1）边：四条边都相等；（2）角：对角相等、邻角互补； （3）对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角； （4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形． 3、菱形的判定方法: 一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形 4、识别菱形的常用方法 （1）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等． （2）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直． （3）说明四边形ABCD的四条相等． 5、面积:设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S菱形=1 ab 2 例题解析 1. 如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠ BCO=55°，则∠ ADO= ． 2. 如图所示，已知菱形ABCD中，E、F分别在BC和CD上，且∠ B=∠EAF=60°，∠ BAE=15°，求∠ CEF的度数。 3. 如图，在Rt△ABC中，∠ ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ ADE绕点E旋转180°得到△ CFE，连接AF，CD．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（5 分） （2）若BC= 8，AC= 6，求四边形ABCF的 周长．（5 4. 如图，两个连接在一起的菱形的边长都是 1cm，一只电子甲虫，从点 A 开始按ABCDAEFG⋯AB 分）的
顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm 时停下，则它停的位置是 A．点 F B．点 E C．点 A D．点C 练习 1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点 A，B 的坐标分别为（－3，0），（2 ，0），点D在y轴 上，则点C的坐标是． 2. 如图，菱形ABCD的边长为4， ∠BAD=120°，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值是 ． 3. 如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当 菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为 4. 如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F． （1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等； （3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数． 5. 如图，在三角形ABC中，AD平 分∠BAC，将△ ABC折叠，使点A 与点 D 重合，展开后折痕分别交 AB、AC 于点E、F，连接DE、 DF. 求证：四边形 AEDF是菱形. 6. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，AC与BD相交于O 点，OC=O，A 若E是CD上任意一点，连结BE交AC于点F，连结
菱形的判定与性质
、知识点归纳 菱形的判定和性质 （一）菱形的概念 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 （二）菱形的性质： （1）具有平行四边形的所有通性; 因为ABCD是菱形（2）四个边都相等； （3）对角线垂直且平分对角. 边角对角线对称性 菱形对边平行； 四边相等对角相等； 邻角互补 互相垂直平分且 平分对角 轴对称 菱形是轴对称图形; （三）菱形的判 定: （1）平行四边形一组邻边等 （2）四个边都相等 （3）对角线垂直的平行四边形 （4）对角线垂直且相互平分 四边形ABCD是菱形. （四）菱形的面 积 1、可以用平行四边形的面积算（ 1 S=—底x高) 2 用对角线计算（面积的两对角线的积的一半 C B S= —ab)
、例题讲解 考点一：菱形的判定 例1:下列命题正确的是（ ） （A ） 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 （B ） 对角线相等的四边形一定是矩形 （C ） 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 （D ） 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 练习 1 :菱形的对角线具有（） A •互相平分且不垂直 B •互相平分且相等 C •互相平分且垂直 D •互相平分、垂直且相等 2:如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC BD 相交于点 O, M N 分别是边AB AD 的中点，连接 0M ON MN 则下列叙述正确的是（ ） A.A AOMfD ^ AON 都是等边三角形 B .四边形AM0I 与四边形 ABCD 是位似图形 C.四边形MBOf 和四边形MOD 都是菱形 D .四边形MBC 创四边形NDC 都是等腰梯形 F 列条件之一能使平行四边形 ABC ［是菱形的为（） ① AC BD ② BAD 90。③ AB BC ④ AC BD A .①③ B.②③ C.③④ D.①②③ 3:如图，在三角形ABC 中，AB > AC , D 、 E 分别是AB 、AC 上的点，△ ADE 沿线段DE 翻折, 使点A 落在边BC 上，记为 A •若四边形 ADAE 是菱形，则下列说法正确的是 （） A . DE 是厶ABC 的中位线 B . AA 是B C 边上的中线 C. AA 是BC 边上的高 D . AA 是厶ABC 的角平分线 4:如图,
菱形的判定和性质
菱形的判定和性质 LT
B C A D O 菱形的判定和性质 一、基础知识 （一）菱形的概念 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 （二）菱形的性质： 1、 2、 菱形四条边都相等； 3、 菱形的对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； 4、 菱形是轴对称图形； （三）菱形的判定： 1、 一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 3、 四条边都相等的四边形是菱形； （四）菱形的面积 1、可以用平行四边形的面积算（S= 2 1 底×高）
2、用对角线计算（面积的两对角线的积的一半 S=2 1ab) 二、例题讲解 考点一 ：菱形的判定 例1：下列命题正确的是（ ） （A ） 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定 是平行四边形 （B ） 对角线相等的四边形一定是矩形 （C ） 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 （D ） 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一 定是正方形 练习1：菱形的对角线具有( ) A ．互相平分且不垂直 B ．互相平分且相等 C ．互相平分且垂直 D ．互相平分、垂直且相等 练习2：如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点 A C D E
练习1：如图，AD 是Rt △ABC B 交AD 于G ，交AC 于E ，过E 作EF ⊥边形AEFG 是菱形． 练习2：如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF ⊥AC 于 点H ，交CB 延长线于点F ，交AB 于点G ，求证：AB 与EF 互相平分。 练习3：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，DE 垂直平分BC ，垂足为D ，交AB 于点E ，又点F 在DE 的延长线上，且AF ＝CE ，求证：四边形ACEF 是菱 E H G F E D C B A F E D B