直线与圆的极坐标方程

一、教学目标

(一)知识教学点

理解曲线的极坐标方程概念，掌握直线与圆的极坐标方程．

(二)能力训练点

会根据条件求直线与圆的极坐标方程，能利用极坐标方程进行有关计算．

二、教材分析

1．重点：曲线的极坐标方程的概念，根据条件求直线与圆的极坐标方程．2．难点：直线与圆的一般极坐标方程及其反用．

3．疑点：极坐标的多值性ρ≥0的规定对极坐标方程的要求．

讨论．

四、教学过程

(一)复习

前面刚复习过曲线的方程概念，井学习了曲线的参数方程概念，请大家类比上述两个概念，先讨论再整理出曲线的极坐标方程的定义．

学生1答：

如果曲线C上的点与方程φ(ρ，θ)有如下关系：

(1)曲线C上任一点的(所有坐标中至少有一个)坐标符合方程φ(ρ，θ)=0；

(2)方程φ(ρ，θ)=0的所有解为坐标的点都在曲线C上，则曲线C的方程是中φ(ρ，θ)=0．

(学生一般会漏掉(1)中括号部分．)

请看下例：

曲线C：点P(π，π)，

π(ρ，θ)=0；ρ=θ(θ=π)．

验证：(1)C上仅一点，但C上点的坐标(π，2kπ+π)、(-π，2kπ)不一定都符合φ(ρ，θ)=0．但点C的其中一个坐标(π，π)满足方程，所以应加上“所有坐标中至少有一个”的限定，否则是不正确的．这是因为极坐标系中一点对无穷多坐标的缘故．

(2)方程ρ=θ(θ=π)仅有一解，以其为坐标的点在曲线C上，无需考虑其它附加条件，这也是因为极坐标系中一坐标对一点的缘故．

与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是列出曲线上动点P的坐标(ρ，θ)之间的方程φ(ρ，θ)=0，然后化简并讨论．

(二)直线的极坐标方程

例1 求下列直线的极坐标方程：

学生2回答(1)、(2)小题结果．

学生3板演(3)、(4)小题．

(3)ρcos(θ-α)=p．

直接解Rt△OHP．

(4)方法1解Rt△

ρcos(θ-π)=1，即ρcosθ=-1．

方法2用(3)的结果

此时，ρ=1，α=π，代入得ρcosθ=-1．

其中，(3)小题可看作直线极坐标方程的一般形式，要熟练掌握，做到会由几何条件|or|=P、∠xOH=θ等列极坐标方程，反过来，会由方程ρcos(θ-a)=p，(p≥0)画出直线．

(三)圆的极坐标方程

例2 求下列圆的极坐标方程：

(1)中心在极点，半径为2；

(2)中心在C(a，o)，半径为a；

(4)中心在C(p0，θ0)，半径为r．

请生思考(1)、(2)、(3)小题．

学生4回答(1)、(2)、(3)小题结果．

解：(1)ρ=2；

(2)ρ=2acosθ；

(3)ρ=2asinθ．

学生5板演解答(4)小题．

(4)△OPC中

r2=ρ2+ρ02-2ρρ0cos(θ-θ0)．

这就是圆的极坐标方程的一般形式，(1)、(2)、(3)小题是它的特例，要熟练掌握，也就是会由圆心和半径写出圆的极坐标方程，反过来，会把圆的极坐标方程变成一般式后，从中确定圆心和半径．

(四)初步应用

例3 填空：

即ρ2-4ρsinθ+3=0．

即直线与圆相切．

(五)小结

(1)曲线的极坐标方程概念；

(2)求曲线极坐标方程；

(3)直线极坐标方程的一般式；

(4)圆的极坐标方程一般式．

五、布置作业

1．教材第137页，第3、4、5、6题．

2．填空：

提示：根据△OAB、△OPB、△OPA之间的关系列出ρ与θ之间的关系．

(4)已知A(ρ0，θ0)，ρ0≠0，0是极点，则OA的垂直平分线方程是(2ρcos(θ-θ0)=ρ0)．

3．射线OA、OB与Ox轴夹角均为45°，M、N分别在OA、OB上滑动，S△OMN=1：

(1)求MN中点P的轨迹方程；

(2)求|OP|的最小值．

解：(1)设P(ρ，θ)，由S△OMN=S△OPM+S△OPN可得

∴θ=0时，ρmin=1．

高中数学-极坐标与参数方程

2 2 坐标系与参数方程一、平面直角坐标系 1. 平面直角坐标系（1）数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系（2）平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系 ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向 ③坐标轴水平的数轴叫做 x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做 y 轴或纵坐标轴，x 轴或 y 轴统称为坐标轴 ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点 ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ，y)之间可以建立一一对应关系（3）距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段 P 1P 2 的中点为P ①两点间的距离公式|P 1P 2|＝ ??x ＝x 1＋x 2 ②中点P 的坐标公式? y ＋y ??y ＝ 1 2 2. 平面直角坐标系中的伸缩变换 ?x′＝λx （λ>0）设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：? ?y′＝μy （μ>0）的作用下，点 P(x ，y)对应到点 P′(x′，y′)，称φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换二、极坐标系 1. 定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2

直线的极坐标方程

直线的极坐标方程 1．过极点的直线的极坐标方程一般地，如图所示，直线l 过极点且倾斜角为α，则直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)，如果允许ρ取负值，则直线l 的方程为θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)． 2．不过极点的直线的极坐标方程已知不在极轴上的一点M (ρ1，θ1)，过点M 作直线l 与极轴所成的角为α，在l 上取不同于M 的一点P ，设P (ρ，θ)．如图所示，那么∠OMP ＝π－(α－θ1)，∠OPM ＝α－θ，在△OMP 中，由正弦定理得 |OP |sin ∠OMP ＝|OM | sin ∠OPM ，即 ρsin(α－θ1)＝ρ1 sin(α－θ) . 所以直线l 的方程为ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)，其中α，θ1，ρ1是常数． 1．在极坐标系中，与点? ?? ?? 3，－π3关于极轴所在直线对称的点的极坐标是( ) A.? ? ???3，－ 2π3 B ．? ????3，π3 C.? ????3，4π3 D ．? ?? ??3，5π6 解析：选B.由题知? ????3，－π3相当于极轴绕极点顺时针旋转π3，则点? ????3，－π3关于极轴所在直线对称的点相当于极轴绕极点逆时针旋转π3，极径都是 3，故选B. 2．极坐标方程θ＝3π 4 表示的图形是( ) A ．一条射线 B ．由极点出发的两条射线 C ．一条直线 D ．一个圆

解析：选C.θ＝34π是指由极角为3π 4 ，极径为任意实数的点组成的一条直线． 3．在极坐标系中，过点P ? ?? ?? 3， π3且垂直于极轴的直线方程为( ) A ．ρcos θ＝32 B ．ρsin θ＝32 C ．ρ＝32cos θ D ．ρ＝3 2sin θ 解析：选A.如图，设直线l 与极轴交点为A ，则|OA |＝|OP |cos π3＝3 2 ，设直线上动点M (ρ，θ)，则|OM |cos θ＝|OA |，即ρcos θ＝3 2 . 4．在极坐标系中，和极轴垂直且相交的直线l 与圆ρ＝4相交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则直线l 的极坐标方程为________．解析：由题意可知，极点O 到直线l 的距离为2 3.由于直线l 与极轴垂直且相交，所以直线l 的极坐标方程为ρcos θ ＝2 3. 答案：ρcos θ＝2 3 求直线的极坐标方程求下列直线的极坐标方程． (1)过点A ? ?? ?? 2，π3且平行于极轴的直线l ； (2)过点A ? ????3， π3且倾斜角为3π 4 的直线l . [解] (1)如图所示，在直线l 上取不同于点A 的任意一点M (ρ，θ)，因为A ? ????2，π3，所以|MH |＝2sin π 3 ＝3，在Rt △OMH 中，|MH |＝|OM |sin θ，即ρsin θ＝3，

极坐标系与参数方程一轮复习

极坐标系与参数方程 ?知识梳理、极坐标在象限确定. 二、常见曲线的极坐标方程 1、圆的极坐标方程（1）圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是 _____ ；（2） ______________________________________________________________ 圆心在极轴上的点（a,0）处，且过极点0的圆的极坐标方程是 _________________________ （3）圆心在点（a,处且过极点的圆0的极坐标方程是 ___________ 。 2、直线的极坐标方程（1）过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程是 __________ ；（2） _______________________________________________________ 过点（a,0），且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ___________________________________ 三、常见曲线的参数方程 1、极坐标定义：M 是平面上一点, 表示0M 的长度, 是MOx ，则有序实数实数对（,）,叫极径，叫极角；一般地, 2、极坐标和直角坐标互化公式: COS 2 2 x 2 y sin 或 t tan y （x 0）的象限由点（x, y ）所 [0,2 ）， 0 x y

第一节平面直角坐标系中的伸缩、平移变换知识点】点P(x,y)的对应点为P'(x',y')。称为平面直角坐标系中的伸缩变换定义 2：在平面内，将图形 F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F 的平移。若以向量a 表示移动的方向和长度，我们也称图形 F 按向量a 平移. F 上任意一点P 的坐标为(x, y)，向量a (h, k)，平移后因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．所以，在平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。【典例1】(2014年高考辽宁卷(文))将圆x 2 + /= 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C. (I) 写出 C 的参数方程； (II )设直线1: 2x + y - 2二0与C 的交点为P i ，P 2,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P i P 2的中点且与I 垂直的直线的极坐标方程. 练习: 定义 1：设 P(x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 x' x( y' y( 00) )的作用下，在平面直角坐标系中，设图形的对应点为P(x, y )则有: 即有: x x h ， y y k 在平面直角坐标系中，由 (x,y) (h,k) (x,y) xh x h 所确定的变换是一个平移变换。 yk

高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)

高考极坐标与参数方程大题题型汇总 1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕ ϕϕ =+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是 C 的交点为 O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分 (2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有由于12θθ=，所以，所以线段PQ 的长为2. 2．已知直线l 的参数方程为431x t a y t =-+⎧⎨=-⎩ （t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极点， x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为 26sin 8ρρθ-=-．（1）求圆M 的直角坐标方程；（2）若直线l 截圆M a 的值．解：（1）∵2 222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-⇒=-⇒+-=， ∴圆M 的直角坐标方程为2 2 (3)1x y +-=；(5分）

（2）把直线l的参数方程 4 31 x t a y t =-+ ⎧ ⎨ =- ⎩ （t为参数）化为普通方程得：34340 x y a +-+=， ∵直线l截圆M所得弦长为，且圆M的圆心(0,3) M到直线l的距离 |163|19 522 a d a - ===⇒=或 37 6 a=，∴ 37 6 a=或 9 2 a=．(10分）3．已知曲线C的参数方程为 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。（1）求曲线c的极坐标方程（2）若直线l的极坐标方程为 ρ(sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。解：(1)∵曲线c的参数方程为 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数) ∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5 将⎩ ⎨ ⎧ = = θ ρ θ ρ sin cos y x 代入并化简得： ρ=4cosθ+2sinθ 即曲线c的极坐标方程为 ρ=4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0 ∴圆心c到直线l的距离为d=2 2 =2∴弦长为22 5-=23 4．已知曲线C： 2 21 9 x y += ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 sin() 4 π ρθ-= （1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程；（2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.

极坐标系与极坐标方程

极坐标系及极坐标方程一、基础知识归纳总结： 1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换? ??>?='>?=').0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用下，点P(x,y)对应到点)y ,x (P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ. 极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 5.极坐标与直角坐标的互化： 6.直线的极坐标方程：极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点A(,0)(0)a a >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是cos a ρθ =. 在极坐标系中，过点0A(,)(0)a a θ>，且垂直于直线OA 的直线l 的极坐标方程是0cos()a ρθθ-=. 在极坐标系中，过点00A(,)ρθ，且与极轴成α角的直线的极坐标方程是00sin()cos()ραθραθ-=-. 7.圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ；在极坐标系中，以 C(,0)(0)r r >为圆心， r 为半径的圆的极坐标方程是 2cos r ρθ=；在极坐标系中，以 C(, )(0)2 r r π >为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 2rsin ρθ=；在极坐标系中，以 00C(,)ρθ 为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 222 0002cos()r ρρρρθθ+--=； 8.圆锥曲线方程：（1）1cos ep e ρ θ = -表示离心率为e ，焦点到相应准线距离为p 的圆锥曲线方程。当1e =时，表示极点在抛物线的焦点；当1e >时，极点在双曲线的右焦点；R ρ∈表示双曲线，R ρ+ ∈表示双曲线右支；当01e <<时，表示极点在椭圆的左焦点（2）当极点与直角坐标原点重合，极轴与x 轴正半轴重合时，圆锥曲线方程只需要利用互化公式转化即可。 9．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数 ? ? ?==),t (g y ), t (f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

直线与圆的极坐标方程

直线与圆的极坐标方程一、教学目标 (一)知识教学点理解曲线的极坐标方程概念，掌握直线与圆的极坐标方程． (二)能力训练点会根据条件求直线与圆的极坐标方程，能利用极坐标方程进行有关计算．二、教材分析 1．重点：曲线的极坐标方程的概念，根据条件求直线与圆的极坐标方程．2．难点：直线与圆的一般极坐标方程及其反用． 3．疑点：极坐标的多值性ρ≥0的规定对极坐标方程的要求．讨论．四、教学过程 (一)复习前面刚复习过曲线的方程概念，井学习了曲线的参数方程概念，请大家类比上述两个概念，先讨论再整理出曲线的极坐标方程的定义．学生1答：如果曲线C上的点与方程φ(ρ，θ)有如下关系： (1)曲线C上任一点的(所有坐标中至少有一个)坐标符合方程φ(ρ，θ)=0； (2)方程φ(ρ，θ)=0的所有解为坐标的点都在曲线C上，则曲线C的方程是中φ(ρ，θ)=0． (学生一般会漏掉(1)中括号部分．) 请看下例：

曲线C：点P(π，π)， π(ρ，θ)=0；ρ=θ(θ=π)．验证：(1)C上仅一点，但C上点的坐标(π，2kπ+π)、(-π，2kπ)不一定都符合φ(ρ，θ)=0．但点C的其中一个坐标(π，π)满足方程，所以应加上“所有坐标中至少有一个”的限定，否则是不正确的．这是因为极坐标系中一点对无穷多坐标的缘故． (2)方程ρ=θ(θ=π)仅有一解，以其为坐标的点在曲线C上，无需考虑其它附加条件，这也是因为极坐标系中一坐标对一点的缘故．与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是列出曲线上动点P的坐标(ρ，θ)之间的方程φ(ρ，θ)=0，然后化简并讨论． (二)直线的极坐标方程例1 求下列直线的极坐标方程：学生2回答(1)、(2)小题结果．学生3板演(3)、(4)小题． (3)ρcos(θ-α)=p．

极坐标知识点

1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则????? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，? ???? ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0). 2．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ； (3)当圆心位于M ??? ?a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin θ. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0； (2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ??? ?b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 4．几种常见曲线的参数方程 (1)圆以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是? ???? x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程为????? x ＝r cos α，y ＝r sin α，其中α是参数． (2)椭圆椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程是? ???? x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2 a 2＝1(a > b >0)的参数方程是????? x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数． (3)直线

直线与圆的方程

直线与圆的方程近些年，高等数学在数学领域中发挥着越来越重要的作用。其中，直线与圆的方程是高等数学的重要知识点之一。圆的方程和直线的方程都是用来表示几何图形的。理解这两个方程，以及如何从一个表达式推导出另一个表达式，对于高等数学的学习都是十分重要的。一、直线的方程直线是数学中最基本的几何图形，由两个不同的点组成，连接这两个点，即可形成一条直线。直线的方程一般可以用一元一次方程的形式来表示：y=kx+b。其中，K是直线斜率，B是截距。给定任意一个点（x，y）可以推算出斜率K与截距B的值，从而确定直线的方程式。此外，还可以使用参数方程的形式来表示直线的方程，如：x=at+b，y=ct+d，表示一条直线。在此方程中，a,b,c,d定了这条直线的方向，t是参数。二、圆的方程圆是由一系列的点的集合的闭合曲线组成的，其中心点（X0，Y0），是整个圆的中心点，其半径为R。根据中心点坐标及半径，可以用极坐标系来表示一个圆，即： x = X0 + R*cosθ y = Y0 + R*sinθ 其中R是圆的半径，θ是弧度，一个圆上任一点坐标都可以用这个方程来表示。此外，还可以使用标准的圆的方程来表示：

(x-X0)+(y-Y0)=R 在这个方程中，(X0,Y0)是圆心，R是半径，X,Y是圆上的一点，当X,Y给定时，可以求出该点到圆心的距离，从而确定该点是否在圆上。三、直线与圆的相交在实际的计算中，有时需要求解直线与圆之间是否相交，以及相交的位置。这里可以利用直线方程和圆方程来分析，首先用直线方程带入圆方程，并展开来求解。（x-X0） + (kx+b-Y0) = R 令a=k+1，b=2（b-Y0）k-2X0,c=X0+(b-Y0)-R，令f（x）= ax+bx+c，可以得到 f（x） = 0 解f（x）= 0，可以得到x1和x2，此时，（x1，y1）和（x2，y2）就是直线与圆的交点。四、总结以上是关于直线与圆方程的介绍，主要介绍了用一元一次方程和参数方程表示直线，用极坐标系和标准圆的方程表示圆，以及求解直线与圆的交点的方法。除此之外，还有另一种向量方法方法可以求解，以及带入其他几何图形来分析相交情况。因此，掌握直线与圆的方程表达，及其解法，对于高等数学的学习具有重要的参考作用。

极坐标及参数方程

坐标系与参数方程 1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取一样的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，那么 ⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ y ＝ρsin θ ，⎩ ⎨⎧ ρ2＝x 2＋y 2 tan θ＝y x x ≠0. 2．直线的极坐标方程假设直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，那么它的方程为ρsin(θ－α)＝ ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α； (2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过点M (b ，π 2)且平行于极轴：ρsin θ＝b . 3．圆的极坐标方程假设圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2 ＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ； (3)圆心位于M (r ，π 2)，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 4．直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α (t 为参数)． 5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩ ⎨⎧ x ＝x 0＋r cos θ， y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)． 6．圆锥曲线的参数方程 (1)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ (θ为参数)．

极坐标与参数方程

极坐标系 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． (3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的． 2．极坐标与直角坐标的互化

点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)互化公式极坐标方程化为直角坐标方程的步骤第一步判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化第二步通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解第三步根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式及ρ2＝x2＋y2将极坐标方程转化为直角坐标方程直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标 (1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x，y 分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程． (2)求直角坐标系中的点(x，y)对应的极坐标的一般步骤：第一步，根据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离，即计算ρ；第二步，根据角θ的正切值tan θ＝ (x≠0)求出角θ(若正切值不存在，则该点在y轴上)，问题即解．[例1] 在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin

极坐标参数方程万能公式

极坐标参数方程万能公式极坐标与参数方程公式：x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=y/x，x²+y²=ρ²。坐标系与参数方程公式 x=ρcosθ，y=ρsinθ tanθ=y/x,x²+y²=ρ² 有些曲线的方程在直角坐标里面不太好处理，于是我们把它换在极坐标中处理。例如经过上面式子的变换：以原点为圆心的圆的方程：ρ=R 双曲线，椭圆，抛物线的极坐标统一形式：ρ=eP/（1-ecosθ），P为焦准距，e为离心率。常见参数方程

极坐标方程用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常用来表示ρ为自变量θ的函数。极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果ρ(−θ）=ρ（θ），则曲线关于极点（0°/180°）对称，如果ρ（π-θ）=ρ（θ），则曲线关于极点（90°/270°）对称，如果ρ（θ−α）=ρ（θ），则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。圆在极坐标系中，圆心在（r，φ）半径为r的圆的方程为

ρ=2rcos（θ-φ）另：圆心M(ρ',θ')半径r的圆的极坐标方程为: (ρ')²+ρ²-2ρρ'cos(θ-θ')=r² 根据余弦定理可推得。直线经过极点的射线由如下方程表示 θ=φ，其中φ为射线的倾斜角度，若m为直角坐标系的射线的斜率，则有φ =arctanm。任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。这些在点（r′，φ）处的直线与射线θ=φ垂直，其方程为r′（θ）=r′sec（θ-φ）。玫瑰线极坐标的玫瑰线是数学曲线中非常著名的曲线，看上去像花瓣，它只能用极坐标方程来描述，方程如下： r（θ）=acoskθ 或r（θ）=asinkθ，如果k是整数，当k是奇数时那么曲线将会是k个花瓣，当k是偶数时曲线将是2k个花瓣。如果k为非整数，将产生圆盘（disc）状图形，且花瓣数也为非整数。注意：该方程不可能产生4的倍数加2（如2，6，10……）个花瓣。变量a代表玫瑰线花瓣的长度。阿基米德螺线

极坐标与参数方程

极坐标与参数方程极坐标 1定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。 2极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位,即极径；④角度单位及它的方向，即极角．在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一说明：极坐标与直角坐标的不同点：直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的． 3直线的极坐标方程 ⑴0ϕθ=或0ϕθ=+π ⑵ρa = ⑶ ⑷θρsin a = ⑸θ ρsin a -= 图10ϕθ=θρcos a =O θρcos a -=a 图4θρsin a -=图5

4圆的极坐标方程 ⑴a =ρ ⑵θρcos 2a = ⑶θρcos 2a -= ⑷θρsin 2a = ⑸ θρsin 2a -= 5极坐标与直角坐标互化公式： y 直（x ，y ）极（，θ） M(x,y) =x 2+y 2 tan θ=y/x （，θ）极（，θ）直（x ，y ） O x x= cos θ y= sin θ 参数方程 1定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． 2直线的参数方程：过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： a =ρ图1 θ ρcos 2a =图2θρcos 2a -=图3θρsin 2a =图4θρsin 2a -=图5

(完整版)极坐标基础

1．极坐标系 (1)定义在平面内取定点O，叫做极点，引一条射线OX叫做极轴，再选定一个长度单位和角的正方向(通常以逆时针方向)，这样就建立了极坐标系； (2)点的极坐标点M在极坐标平面内，|OM|=ρ，∠MOX=θ，则点M的坐标为M(ρ，θ)，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角．当ρ＜0时，∠XOP=θ，在OP的反向延长线上取一点M，使|OM|=|ρ|，点M就是坐标为(ρ，θ)的点．由于(ρ，θ+2kπ)，(-ρ，θ+(2k+1)π)(k∈Z)都表示同一点，因此在极坐标平面上点与有序数对不是一一对应的．但如果限定ρ＞0，0≤θ＜2π或-π＜θ≤π，则除极点外就可以一一对应了； (3)对称点坐标点M(ρ，θ)关于极轴的对称点为M；(ρ，-θ)，点M(ρ，θ)关于极点的对称点为M。(-ρ，θ)，点M(ρ，θ)关于过极点与极轴垂直的直线(极垂线)的对称点为M(-ρ，-θ)； (4)极坐标内两点的距离公式 2．直角坐标与极坐标的互化 (1)互化条件原点与极点重合，极轴与x轴正半轴重合，两个坐标系长度单位一致． (2)互化公式 (3)互化公式所得到的圆锥曲线的方程例题在极坐标系中，点(ρ，0)与(-ρ，π-θ)的位置是 [ ] A．关于极轴所在直线对称； B．关于极点对称； D．重合．

说明一般地，为了求出点(ρ，θ)满足一定条件的极坐标，可先写出它的极坐标的一般形式，再根据ρ和θ的条件确定k的值，从而得到所要求的坐标．【例4】已知点B，C，D的直角坐标为(2，-2)，(0，-15)，(-12，5)，求它的极坐标(ρ＞0，0＜θ＜2π)．

[ ] A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线分析将方程化为直角坐标方程，即可判断曲线形状．因为给定的 [ ] ∴极坐标方程是ρ=1+cosθ(图形是心脏线)．说明通过上两例可看出，化极坐标方程为直角坐标方程有时较容易判断曲线形状，但如曲线是由动点旋转运动而产生的，则它的极坐标方程可能比直角坐标方程简单．

常见的极坐标方程

常见的极坐标方程引言极坐标是一种用于描述平面上点的坐标系统，它不同于直角坐标系，而是使用极径和极角来确定点的位置。在物理学、工程学和数学等领域，极坐标方程广泛应用于各种问题的建模和解决。本文将详细介绍常见的极坐标方程，包括圆的极坐标方程、直线的极坐标方程、螺线的极坐标方程等内容。圆的极坐标方程圆在极坐标系中的方程是常见的极坐标方程之一。假设圆心位于坐标原点，半径为r，则圆的极坐标方程为： r = a 其中a为常数，表示圆的半径。根据该方程，可以得到不同半径的圆。直线的极坐标方程直线在极坐标系中的方程是另一种常见的极坐标方程。对于经过坐标原点的直线，其极坐标方程为： θ = α 其中α为常数，表示直线与极轴的夹角。通过改变α的取值，可以得到不同夹角的直线。螺线的极坐标方程螺线是一种特殊的曲线，其极坐标方程为： r = aθ 其中a为常数。根据该方程，当θ取不同的值时，可以得到不同形状的螺线。阿基米德螺线阿基米德螺线是最常见的螺线之一，其极坐标方程为：

r = a + bθ 其中a和b为常数。阿基米德螺线呈现出均匀的螺旋形状，可以在多个领域中找到应用，如建筑设计和机械工程。对数螺线对数螺线是另一种常见的螺线，其极坐标方程为： r = a * e^(bθ) 其中a和b为常数。对数螺线在自然界中广泛存在，如蜗牛的壳的形状就类似于对数螺线。超越螺线超越螺线是一类特殊的螺线，其极坐标方程为： r = a * exp(θ) 其中a为常数。超越螺线在数学研究中具有一定的重要性，它们通常具有无理数的特性。总结本文介绍了常见的极坐标方程，包括圆的极坐标方程、直线的极坐标方程、螺线的极坐标方程等内容。通过了解这些方程，可以更好地理解和应用极坐标系，从而解决各种实际问题。同时，不同的极坐标方程也反映了曲线的不同特性和形状，对于数学和物理等学科的研究具有一定的意义。在实际应用中，极坐标方程常常用于描述旋转对称的问题，如涡旋运动、天体运动等。通过将问题转化为极坐标方程，可以简化计算和分析过程，得到更加直观和具体的结果。因此，熟练掌握常见的极坐标方程对于工程师、科学家和数学家来说是非常重要的。参考文献： 1. Etkina, E., Freeman, D. L., & Gentile, M. (2017). College Physics Explorations: Help for Students to Understand the Foundations of Physics: Mechanics and Thermodynamics. John Wiley & Sons. 2. Arfken, G., Weber, H. J., & Harris, F. J. (2012). Mathematical methods for physicists. Academic press. 3. Larsen-Freeman, D. (2014). Futuristics: Looking ahead. TESOL Quarterly, 48(2), 328-386.

极坐标与参数方程解题技巧

极坐标与参数方程解题技巧极坐标与参数方程是解决几何与曲线问题的两种常用方法。极坐标可以描述圆形，椭圆形等曲线，而参数方程可以描述任意形状的曲线。在解题过程中，使用这两种方法可以帮助我们更好地理解问题，从而找到最佳的解题方法。首先，我们来看一下极坐标的解题技巧。在使用极坐标解题时，我们需要注意以下几点： 1. 熟记常见的极坐标方程，例如圆的方程为$r=a$，直线的方程为$theta=k$，其中$a$和$k$为常数。 2. 了解各种曲线在极坐标下的特征，例如椭圆形的方程为 $frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$，则在极坐标下的方程为 $r=frac{a b}{sqrt{b^2 cos ^2 theta+a^2 sin ^2 theta}}$。 3. 熟练掌握极坐标下的坐标转换公式，例如$(x,y) ightarrow (r,theta)$的公式为$x=r cos theta$，$y=r sin theta$。接下来，我们来看一下参数方程的解题技巧。在使用参数方程解题时，我们需要注意以下几点：

1. 熟记常见的参数方程，例如圆的参数方程为$x=a+r cos t$，$y=b+r sin t$，其中$a,b$为圆心坐标，$r$为半径，$t$为参数。 2. 熟悉参数方程中$t$的取值范围，例如在圆的参数方程中，$t$的取值范围为$0leq tleq 2pi$。 3. 注意参数方程与极坐标的相互转换，例如一个曲线的极坐标方程为$r=f(theta)$，则它的参数方程可以表示为$x=f(t)cos t$， $y=f(t)sin t$。使用极坐标与参数方程解题的方法可以帮助我们更好地理解几何形状和曲线方程，并找到最佳的解题方法。在实际解题过程中，需要根据具体情况选择适合的方法，并熟练掌握相应的解题技巧。

极坐标系直线方程

极坐标系直线方程极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系统，其中每个点由距离原点的半径和与正极轴的夹角表示。在极坐标系中，直线的方程可以通过一定的方法求解。要求直线的极坐标系方程，首先需要确定直线在直角坐标系中的方程。一般而言，直线的方程可以表示为y = mx + b，其中m为斜率，b为y轴上的截距。在直角坐标系中，斜率m可以通过两点之间的坐标差的比值来求解。假设直线过点P(x1, y1)和点Q(x2, y2)，则直线的斜率m可以通过以下公式计算： m = (y2 - y1) / (x2 - x1) 在极坐标系中，直线的方程可以表示为r = p / (cosθ - sinθ * tanα)，其中r为点到原点的距离，θ为与正极轴的夹角，p为直线到原点的距离，α为直线与正极轴的夹角。要将直角坐标系中的直线方程转换为极坐标系中的方程，需要将直线上的点的直角坐标(x, y)转换为极坐标(r, θ)。根据直角坐标系和极坐标系之间的转换公式，可以得到以下关系： x = r * cosθ y = r * sinθ

将直线方程中的x和y替换为r * cosθ和r * sinθ，得到： r * sinθ = (p / (cosθ - sinθ * tanα)) * cosθ + b 将上式进行化简，可以得到直线在极坐标系中的方程： r = (p * cosθ) / (cosθ - sinθ * tanα) + (b * sinθ) / (cosθ - sinθ * tanα) 通过这个方程，可以得到直线在极坐标系中的方程。这个方程能够描述直线在极坐标系中的位置和特征。需要注意的是，极坐标系中的直线方程存在一些限制条件。首先，直线的斜率m不能为零，否则极坐标系中的方程无法表示。其次，直线不能经过极点，否则极坐标系中的方程也无法表示。此外，直线的截距b也会影响直线在极坐标系中的方程。总结起来，直线在极坐标系中的方程可以通过直线在直角坐标系中的方程进行转换得到。通过一定的计算和代换，可以得到直线在极坐标系中的方程，这个方程能够描述直线在极坐标系中的位置和特征。在实际问题中，极坐标系直线方程的求解可以帮助我们更好地理解和描述问题。

极坐标方程典例剖析

极坐标方程典例剖析山东平邑县第二中学（273300）胡少达一、根据条件求直线或圆的极坐标方程求曲线的极坐标方程与求曲线的直角坐标方程类似，先建立极坐标系，并设),(θρM 是所求方程的曲线上任意一点，然后找点),(θρM 在曲线上运动时所满足的几何条件（这个几何条件常常是在以θρ,为一边和一个内角的三角形中得到的），并根据这个几何条件得到关于θρ,的一个等式，最后通过化简这个等式得到所求曲线的极坐标方程。例1、自极点O 向直线l 作垂线，垂足为)4,2(π M ，求直线的极坐标方程。分析：由曲线方程的定义和求曲线极坐标方程的基本步骤，只需设),(θρP 是直线上的任意一点，求出θρ,满足的关系式，验证即可。解：如图，设直线l 上任一点),(θρP ，在Rt △OMP 中，2,==OM OP ρ， 4π θ-=∠MOP （或θπ -4），则2)4cos(=-π θρ. 点评：直接求解，建立θρ,的关系式，一般是将θρ,放在一个三角形中，可借助正、余弦定理，特别地，在直角三角形中，求解变得更容易。二、极坐标与直角坐标方程的互化极坐标方程与直角坐标方程的互化是重点内容之一，互化时一定要熟悉互化的公式并注意互化的条件。例2、在极坐标系中，点)611,2(πP 到直线1)6 sin(=-πθρ的距离是_____. 分析：把点的极坐标化为直角坐标，把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线的距离公式求解。解：把点P 的极坐标化为直角坐标是)1,3(-，由1cos 2 sin 23)6sin(=-=-θρθρπ θρ，可得直线的直角坐标方程是023=+-y x ，所以点P 到直线的距离.13)3(1| 2)1(33|22+=-++-⨯-=d 点评：在极坐标系中求距离时，常把极坐标（方程）化为直角坐标（方程）求解，这是为了利用直角坐标系中的距离公式。常见的求长度问题有：求曲线的弦长，切线长等，一般也要转化后在直角坐标系中求解。例3、点)2,1(π关于直线2 1cos =θρ的对称点的极坐标为______.

任意直线的极坐标方程

任意直线的极坐标方程直线的极坐标方程是一种描述直线在极坐标系下的方程形式。极坐标系是一种以原点为中心的坐标系，其中直线的方程可以使用极径和极角来表示，而不是使用直角坐标系中的x轴和y轴。直线的极坐标方程可以写成r = a + bθ的形式，其中r表示极径，θ表示极角，a和b是常数。这个方程可以表示直线在极坐标系下的形状和位置。对于不同的直线，它们的极坐标方程表达了不同的特征和性质。下面将介绍几种常见的直线的极坐标方程及其特点。 1. 极轴（Polar Axis）：极轴是以原点为中心的直线，它的极坐标方程为r = a，其中a是一个常数。极轴与x轴平行，位于极坐标系的正半轴上。 2. 极径（Polar Radius）：极径是以原点为起点的直线，它的极坐标方程为θ = a，其中a是一个常数。极径与y轴平行，位于极坐标系的负半轴上。 3. 斜线（Slant Line）：斜线的极坐标方程为r = a + bθ，其中a 和b是常数。斜线可以表示为从原点发出的一条斜线，斜率为b/a。当b=0时，斜线退化为极径。 4. 直线（Line）：直线的极坐标方程为r = a sec(θ - α)，其中a

是常数，α是直线与极轴的夹角。直线可以表示为以极轴为对称轴的一条直线。 5. 圆（Circle）：圆的极坐标方程为r = a，其中a是常数。圆可以表示为以极轴为对称轴的一个闭合曲线。 6. 椭圆（Ellipse）：椭圆的极坐标方程为r = a(1 - εcosθ)，其中a和ε是常数，ε表示离心率。椭圆可以表示为以极轴为对称轴的一个闭合曲线，离心率越接近于0，椭圆越接近于圆形。 7. 双曲线（Hyperbola）：双曲线的极坐标方程为r = a(1 + εcosθ)，其中a和ε是常数，ε表示离心率。双曲线可以表示为以极轴为对称轴的一个开口曲线，离心率越大，双曲线越扁平。以上是几种常见直线的极坐标方程及其特点。通过极坐标方程，我们可以更方便地描述和分析直线在极坐标系下的性质和形状。极坐标方程的使用不仅可以简化计算，还可以提供更直观的几何图像，使得问题的解决更加简单和直观。希望本文对读者对直线的极坐标方程有所了解，并能够在实际问题中灵活运用。