备战中考数学培优专题复习旋转练习题含详细答案

一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC＝

∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则BD＝CE．

(1)在图1中证明小胖的发现；

借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：

(2)如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD；

(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数（用含有m的式子表示）．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠EAF =1

2 m°.

【解析】

分析：（1）如图1中，欲证明BD=EC，只要证明△DAB≌△EAC即可；

（2）如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．首先证明△BDE是等边三角形，再证明

△ABD≌△CBE即可解决问题；

（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到

M，使得DM=DE，连接FM、CM．想办法证明△AFE≌△AFG，可得∠EAF=∠FAG=1

2 m°.

详（1）证明：如图1中，

∵∠BAC=∠DAE，

∴∠DAB=∠EAC，

在△DAB和△EAC中，

AD AE DAB EAC AB AC ??∠∠???

＝＝＝，

∴△DAB ≌△EAC ，

∴BD=EC ．

（2）证明：如图2中，延长DC 到E ，使得DB=DE ．

∵DB=DE ，∠BDC=60°，

∴△BDE 是等边三角形，

∴∠BD=BE ，∠DBE=∠ABC=60°，

∴∠ABD=∠CBE ，

∵AB=BC ，

∴△ABD ≌△CBE ，

∴AD=EC ，

∴BD=DE=DC+CE=DC+AD ．

∴AD+CD=BD ．

（3）如图3中，将AE 绕点E 逆时针旋转m°得到AG ，连接CG 、EG 、EF 、FG ，延长ED 到M ，使得DM=DE ，连接FM 、CM ．

由（1）可知△EAB ≌△GAC ，

∴∠1=∠2，BE=CG ，

∵BD=DC ，∠BDE=∠CDM ，DE=DM ，

∴△EDB ≌△MDC ，

∴EM=CM=CG ，∠EBC=∠MCD ，

∵∠EBC=∠ACF ，

∴∠MCD=∠ACF ，

∴∠FCM=∠ACB=∠ABC ，

∴∠1=3=∠2，

∴∠FCG=∠ACB=∠MCF ，

∵CF=CF ，CG=CM ，

∴△CFG ≌△CFM ，

∴FG=FM ，

∵ED=DM ，DF ⊥EM ，

∴FE=FM=FG ，

∵AE=AG ，AF=AF ，

∴△AFE ≌△AFG ，

∴∠EAF=∠FAG=12

m°． 点睛：本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用“手拉手”图形中的全等三角形解决问题，学会构造“手拉手”模型，解决实际问题，属于中考压轴题．

2．（探索发现）

如图，ABC ?是等边三角形，点D 为BC 边上一个动点，将ACD ?绕点A 逆时针旋转60?得到AEF ?，连接CE .小明在探索这个问题时发现四边形ABCE 是菱形.

小明是这样想的：

（1）请参考小明的思路写出证明过程；

（2）直接写出线段CD ，CF ，AC 之间的数量关系：______________；

（理解运用）

如图，在ABC ?中，AD BC ⊥于点D .将ABD ?绕点A 逆时针旋转90?得到AEF ?，延长FE 与BC ，交于点G .

（3）判断四边形ADGF 的形状，并说明理由；

（拓展迁移）

（4）在（3）的前提下，如图，将AFE ?沿AE 折叠得到AME ?，连接MB ，若6AD =，2BD =，求MB 的长.

【答案】（1）详见解析；（2）CD CF AC +=；（3）四边形ADGF 是正方形；（4）13【解析】

【分析】

（1）根据旋转得：△ACE 是等边三角形，可得：AB=BC=CE=AE ，则四边形ABCE 是菱形； （2）先证明C 、F 、E 在同一直线上，再证明△BAD ≌△CAF （SAS ），则∠ADB=∠AFC ，BD=CF ，可得AC=CF+CD ；

（3）先根据∠ADC=∠DAF=∠F=90°，证明得四边形ADGF 是矩形，由邻边相等可得四边形ADGF 是正方形；

（4）证明△BAM ≌△EAD （SAS ），根据BM=DE 及勾股定理可得结论．

【详解】

（1）证明：∵ABC ?是等边三角形，

∴AB BC AC ==.

∵ACD ?绕点A 逆时针旋转60?得到AEF ?，

∴60CAE =?，AC AE =.

∴ACE ?是等边三角形.

∴AC AE CE ==.

∴AB BC CE AE ===.

∴四边形ABCE 是菱形.

（2）线段DC ，CF ，AC 之间的数量关系：CD CF AC +=.

（3）四边形ADGF 是正方形.理由如下：

∵Rt ABD ?绕点A 逆时针旋转90?得到AEF ?，

∴AF AD =，90DAF ∠=?.

∵AD BC ⊥，

∴90ADC DAF F ∠=∠=∠=?.

∴四边形ADGF 是矩形.

∵AF AD =，

∴四边形ADGF 是正方形.

（4）如图，连接DE .

∵四边形ADGF 是正方形，

∴6DG FG AD AF ====.

∵ABD ?绕点A 逆时针旋转90?得到AEF ?，

∴BAD EAF ∠=∠，2BD EF ==，∴624EG FG EF =-=-=.

∵将AFE ?沿AE 折叠得到AME ?，

∴MAE FAE ∠=∠，AF AM =.

∴BAD EAM ∠=∠.

∴BAD DAM EAM DAM ∠+∠=∠+∠，即BAM DAE ∠=∠.

∵AF AD =，

∴AM AD =.

在BAM ?和EAD ?中，AM AD BAM DAE AB AE =??∠=∠??=?

，

∴()BAM EAD SAS ???. ∴222

246213BM DE EG DG ==

+=+=.

【点睛】

本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解．

3．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y x =于点M ，BC 边交x 轴于点N （如图）.

（1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；

（3）设MBN

?的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.

【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析

【解析】

试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数；

（3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．

试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，

∴OA旋转了45°．

∴OA在旋转过程中所扫过的面积为

2

452

3602ππ

?

=．

（2）∵MN∥AC，

∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．

∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．

又∵BA=BC，∴AM=CN．

又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．

∴∠AOM=∠CON=1

2（∠AOC-∠MON）=

1

2

（90°-45°）=22.5°．

∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．

（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．

证明：延长BA交y轴于E点，

则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，

∴∠AOE=∠CON．

又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．

∴△OAE≌△OCN．

∴OE=ON，AE=CN．

又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，

∴△OME≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．

∴MN=AM+CN，

∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．

∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．

考点：旋转的性质.

4．如图1，在Rt△ADE中，∠DAE=90°，C是边AE上任意一点（点C与点A、E不重合），以AC为一直角边在Rt△ADE的外部作Rt△ABC，∠BAC=90°，连接BE、CD．

（1）在图1中，若AC=AB，AE=AD，现将图1中的Rt△ADE绕着点A顺时针旋转锐角α，得到图2，那么线段BE．CD之间有怎样的关系，写出结论，并说明理由；

（2）在图1中，若CA=3，AB=5，AE=10，AD=6，将图1中的Rt△ADE绕着点A顺时针旋转锐角α，得到图3，连接BD、CE．

①求证：△ABE∽△ACD；

②计算：BD2+CE2的值．

【答案】（1）BE=CD，BE⊥CD，理由见角；（2）①证明见解析；②BD2+CE2=170．【解析】

【分析】

（1）结论：BE=CD，BE⊥CD；只要证明△BAE≌△CAD，即可解决问题；

（2）①根据两边成比例夹角相等即可证明△ABE∽△ACD．

②由①得到∠AEB=∠CDA．再根据等量代换得到∠DGE=90°，即DG⊥BE，根据勾股定理得到BD2+CE2=CB2+ED2，即可根据勾股定理计算．

【详解】

（1）结论：BE=CD，BE⊥CD．

理由：设BE与AC的交点为点F，BE与CD的交点为点G，如图2．

∵∠CAB=∠EAD=90°，∴∠CAD=∠BAE．

在△CAD和△BAE中，∵

AB AC

BAE CAD

AE AD

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，∴△CAD≌△BAE，∴CD=BE，

∠ACD=∠ABE．

∵∠BFA=∠CFG，∠BFA+∠ABF=90°，∴∠CFG+∠ACD=90°，∴∠CGF=90°，∴BE⊥CD．（2）①设AE与CD于点F，BE与DC的延长线交于点G，如图3．

∵∠CABB=∠EAD=90°，∴∠CAD=∠BAE．

∵CA=3，AB=5，AD=6，AE=10，∴AE

AB =

AD

AC

=2，∴△ABE∽△ACD；

②∵△ABE∽△ACD，∴∠AEB=∠CDA．

∵∠AFD=∠EFG，∠AFD+∠CDA=90°，∴∠EFG+∠AEB=90°，∴∠DGE=90°，∴DG⊥BE，∴∠AGD=∠BGD=90°，∴CE2=CG2+EG2，BD2=BG2+DG2，∴BD2+CE2=CG2+EG2+BG2+DG2．

∵CG2+BG2=CB2，EG2+DG2=ED2，∴BD2+CE2=CB2+ED2=CA2+AB2+AD2+AD2=170．

【点睛】

本题是几何综合变换综合题，主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用，运用类比，在变化中发现规律是解决问题的关键．

5．正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点E是AB边上的一个动点（点E不与点A、B重合），CE与BD相交于点F，设线段BE的长度为x．

（1）如图1，当AD=2OF时，求出x的值；

（2）如图2，把线段CE绕点E顺时针旋转90°，使点C落在点P处，连接AP，设△APE 的面积为S，试求S与x的函数关系式并求出S的最大值．

【答案】（1）x=﹣1；

（2）S=﹣（x﹣）2+（0＜x＜1），

当x=时，S的值最大，最大值为，．

【解析】

试题分析：（1）过O作OM∥AB交CE于点M，如图1，由平行线等分线段定理得到

CM=ME，根据三角形的中位线定理得到AE=2OM=2OF，得到OM=OF，于是得到BF=BE=x，

求得OF=OM=解方程，即可得到结果；

（2）过P作PG⊥AB交AB的延长线于G，如图2，根据已知条件得到∠ECB=∠PEG，根据

全等三角形的性质得到EB=PG=x，由三角形的面积公式得到S=（1﹣x）?x，根据二次函数的性质即可得到结论．

试题解析：（1）过O作OM∥AB交CE于点M，如图1，

∵OA=OC，

∴CM=ME，

∴AE=2OM=2OF，

∴OM=OF，

∴，

∴BF=BE=x，

∴OF=OM=，

∵AB=1，

∴OB=，

∴，

∴x=﹣1；

（2）过P作PG⊥AB交AB的延长线于G，如图2，

∵∠CEP=∠EBC=90°，

∴∠ECB=∠PEG，

∵PE=EC，∠EGP=∠CBE=90°，

在△EPG与△CEB中，

，

∴△EPG≌△CEB，

∴EB=PG=x，

∴AE=1﹣x，

∴S=（1﹣x）?x=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，（0＜x＜1），

∵﹣＜0，

∴当x=时，S的值最大，最大值为，．

考点：四边形综合题

6．在△ABC中,AB=6,AC=BC=5,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转,得到△ADE,旋转角为α（0°＜α＜180°）,点B的对应点为点D,点C的对应点为点E,连接BD，BE．

（1）如图,当α=60°时,延长BE交AD于点F．

①求证：△ABD是等边三角形；

②求证：BF⊥AD，AF=DF；

③请直接写出BE的长；

（2）在旋转过程中,过点D作DG垂直于直线AB,垂足为点G,连接CE,当∠DAG=∠ACB,且线段DG与线段AE无公共点时,请直接写出BE+CE的值．

【答案】（1）①②详见解析；③3﹣4；（2）13．

【解析】

试题分析：（1）①由旋转性质知AB=AD，∠BAD=60°即可得证；②由BA=BD、EA=ED根据中垂线性质即可得证；③分别求出BF、EF的长即可得；（2）由

∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°、∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°、∠DAG=∠ACB、∠DAE=∠BAC得∠BAE=∠BAC且AE=AC，根据三线合一可得CE⊥AB、AC=5、AH=3，继而知CE=2CH=8、BE=5，即可得答案．

试题解析：（1）①∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，

∴AB=AD，∠BAD=60°，

∴△ABD是等边三角形；

②由①得△ABD是等边三角形，

∴AB=BD，

∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，

∴AC=AE，BC=DE，

又∵AC=BC，

∴EA=ED，

∴点B、E在AD的中垂线上，

∴BE是AD的中垂线，

∵点F在BE的延长线上，

∴BF⊥AD， AF=DF；

③由②知BF⊥AD，AF=DF，

∴AF=DF=3，

∵AE=AC=5，

∴EF=4，

∵在等边三角形ABD中，BF=AB?sin∠BAF=6×=3，

∴BE=BF﹣EF=3﹣4；

（2）如图所示，

∵∠DAG=∠ACB，∠DAE=∠BAC，

∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180°，

又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°，

∴∠BAE=∠ABC，

∵AC=BC=AE，

∴∠BAC=∠ABC，

∴∠BAE=∠BAC，

∴AB⊥CE，且CH=HE=CE，

∵AC=BC，

∴AH=BH=AB=3，

则CE=2CH=8，BE=5，

∴BE+CE=13．

考点：三角形综合题.

7．(1)观察猜想

如图(1)，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是BC的中点．以点D为顶点作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG，则线段BG和AE的数量关系是

_____；

(2)拓展探究

将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图2，则(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.

(3)解决问题

若BC=DE=2，在(2)的旋转过程中，当AE为最大值时，直接写出AF的值．

【答案】（1）BG＝AE．

（2）成立．

如图②，

连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．

∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．

∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．…………………………………………7分

（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．

正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°时，BG最大，如图③．

若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．

在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．

∴AF＝

【解析】

解：（1）BG＝AE．

（2）成立．

如图②，连接AD．

∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．

∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．

∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．

∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．

（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．Z+X+X+K]

因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点D为圆心，DG为半径的圆，故当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG最大，如图③．

若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．

在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．

∴AF＝．

即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF＝．

8．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是线段AB上的一点（不与A、B重合）．过点B作BE⊥CD，垂足为E．将线段CE绕点C顺时针旋转90?，得到线段CF，连结EF．设∠BCE度数为α.

（1）①补全图形；

②试用含α的代数式表示∠CDA．

（2）若

3

2

EF

AB

=，求α的大小．

（3）直接写出线段AB、BE、CF之间的数量关系．

【答案】（1）①答案见解析；②45α?+；（2）30α=?；（3）22222AB CF BE =+．

【解析】

试题分析：（1）①按要求作图即可；

②由∠ACB=90°，AC=BC ，得∠ABC=45°,故可得出结论； （2）易证FCE ?∽ ACB ?，得3CF AC =；连结FA ，得△AFC 是直角三角形，求出∠ACF=30°，从而得出结论；

（3）222A 22B CF BE =+.

试题解析：（1）①补全图形．

②∵∠ACB=90°，AC=BC ，

∴∠ABC=45°

∵∠BCE=

α ∴∠CDA=45α?+

（2）在FCE ?和ACB ?中，45CFE CAB ∠=∠=? ，90FCE ACB ∠=∠=? ∴ FCE ?∽ ACB ?

∴

CF EF AC AB = 32

EF AB = ∴ 3CF AC =连结FA ．

90,90FCA ACE ECB ACE ∠=?-∠∠=?-∠

∴ FCA ECB ∠=∠=α

在Rt CFA ?中，90CFA ∠=?，3cos 2FCA ∠= ∴ 30FCA ∠=?即30α=?. （3）22222AB CF BE =+