初中数学 几何变换之平移

平移的性质：

1．经过平移，对应点的连线平行且相等，对应边平行或在一条边上且相等，对应角度相等．

2．平移前后，所对应的图形全等．

1．平行四边形与平移变换

由于在平移变换下，与平移方向不平行的线段变为与原线段平行且相等的线段，因此，对于已知条件中有平行四边形的平面几何问题，我们就可以考虑用平移变换处理．平移沿平行四边形的某条边进行．

2．平行六边形和平移变换

因为在平移变换下，平面上任意一点与其像点的连线总是平行于平移方向的，所以对于条件中有平行线（或平行线段）的平面几何问题当然也可以考虑用平移变换处理，平移方向平行于平行线（或平行线段），平移距离则要视具体情况（特别是所要证明的结论）而定．这种平移方式经常用来对分散图形进行集中．

如图所示，P为平行四边形ABCD内一点，求证：以AP、BP、CP、DP为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB和BC．

A

C

D

B

P

A

C

D

B

P Q

如图所示，将PAB

△平移至QDC

△的位置，易证DQ AP

=，CQ BP

=，则四边形DPCQ 恰好是一个以AP、BP、CP、DP为边的四边形，并且它的对角线恰好等于平行四边形ABCD的两条邻边．

模块一平行多边形和平移的构造

如图2-1，四边形EFGH 中，若12∠=∠，则3∠必然等于4∠． 请运用结论证明下述问题：如图2-2，在平行四边形ABCD 中取一点P ，使得56∠=∠，求证：78∠=∠．

F G

H

E

142

3 B A D C 5

8

6

7

P

图2-1 图2-2

【分析】 此题为信息题，难点在于如何理解已知条件，经观察我们发现，若1∠和2∠，

位置为时，可得出3∠和4∠相等（本质为四点共圆），图（2）中，5∠与

6∠关系并不像条件所示，因此，需要改变角位置，而这点可以通过构造平行

四边形来解决．而构造平行四边形，恰可以达到改变角位置作用，为使5∠与6∠成形，我们可有如下四种方法．

分别过点B 、P 作BK AP ∥，PK AB ∥，交于点K ，连接CK ．

∵BK AP ∥，PK AB ∥，∴BK AP =，PK AB =，5BKP ∠=∠，7BPK ∠=∠ ∵AB CD =，AB CD ∥，∴PK CD ∥，PK CD =

∴四边形PKCD 为平行四边形，∴PD CK =，∵AD BC = ∴ADP BCK △≌△，∴8BCK ∠=∠

在四边形BKCP 中，56BKP ∠=∠=∠，∴BPK BCK ∠=∠，∴78∠=∠

8

76

5B D

C

A K

P

K

8

76

5P

D

C

B

A （6∠不动移5∠） （5∠不动移6∠）

K

A B

C

D

P 56

78

K

8

7

6

5P D C B

A （5∠，6∠均移动） （5∠，6∠均移动）

【教师备课提示】老师们可以让学生自由发挥，体味构造平行四边形带来的快乐．

如图，以ABC

△的边AB、AC、BC为一边，分别向三角形的外侧作正方形ABDE、正方形ACGF、正方形BCMN．以EF、DN、GM为边能否构成三角形？为什么？

D

E

F

G

N M

B C

A

D

E

F

G

N M

B C

P

A

过点E作PE DN

∥，过点N作PN DE

∥，PE与PN交于点P，连结PM、PF．

∵PE DN

∥，DE PN

∥，∴DE PN

=，PE DN

=

∵AB DE

∥，PN DE

∥，∴AB PN

∥，∵BC MN

∥，

∴ABC PNM

∠=∠，∵AB DE PN

==，BC NM

=，∴ABC PNM

△≌△

∴AC PM FG

==，ACB PMN

∠=∠，∴AC FG PM

∥∥，

∴四边形FGMP是平行四边形，

∴MG PF

=

∴PEF

△就是以EF、DN、GM的长为边的三角形．

【教师备课提示】这道题还可以给学生拓展PEF

△的面积为ABC

△的3倍.

如图所示，一个六边形的六个内角都是120?，连续四边的长依次是1、3、3、2，则该六边形的周长是多少？

2

1

3

3D

F

E

C

B

A

C1

E1

2

1

3

3

A1

D

F

E

C

B

A

（方法1）：如图所示，由于六边形的内角都是120?，

易知CD AF

∥，AB ED

∥，BC FE

∥．

把BC、DE、F A分别平移至

1

AC、

1

CE、

1

EA，

可得等边

111

AC E

△，

其边长11111C E CE CC DE BA =-=-=． 在此基础上可求得EF 、AF 的长， 进而求得六边形的周长：

11111312EF AA AC C A BC ==-=-=-=， 11111134AF A E A E E E CD ==+=+=+=，

故六边形的周长是13322415+++++=． （方法2）：如图所示，将六边形补全为等边PQR △． 易得PQR △的边长为1337++=， 则7322EF =--=，7124FA =--=， 故六边形的周长是13322415+++++=．

在六边形ABCDEF 中，AB DE ∥，BC EF ∥，CD AF ∥，对边之差BC EF -= 0ED AB AF CD -=->．求证：六边形ABCDEF 的各内角均相等．

F

E

D

C

B

A

P

F

E R

Q

D C

B

A

平移线段DE 到CR ，平移线段BC 到AQ ，平移线段F A 到EP ，如图所示，得到PQR △．

易知PQ AQ AP BC EF =-=-， RQ RC QC ED AB =-=-，

PR PE RE AF CD =-=-．

由于BC EF ED AB AF CD -=-=-，

∴PQ RQ PR ==，即PQR △是等边三角形， 60PQR QRP RPQ ∠=∠=∠=?．

故6060120DEF DER REF QRP RPQ ∠=∠+∠=∠+∠=?+?=?． 180********CDE CRE QRP ∠=∠=?-∠=?-?=?．

同理，120DCB CBA BAF AFE ∠=∠=∠=∠=?，

∴六边形ABCDEF 的各内角均相等．

如图所示，在六边形ABCDEF 中，AB ED ∥，AF CD ∥，BC FE ∥，AB ED =，AF CD =，BC FE =．又知对角线FD BD ⊥，24FD =厘米，18BD =厘米．请你回答：六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？

2133R

Q

P

D F E

C B A

A C

D

B

F

E

A C

D

B

F

E

G

将DEF

△平移到BAG

△的位置；

将BCD

△平移到GAF

△的位置，

则长方形BDFG的面积等于六边形ABCDEF的面积．

易知长方形BDFG的面积等于2418432

?=（平方厘米），

∴六边形ABCDEF的面积是432平方厘米．

设凸六边形ABCDEF的三组对边分别平行．求证：ACE

△的面积与BDF

△的面积相等．

如图，将B、D、F分别沿CD、EF、AB

平移至B'、D'、F'，则F'在BB'上，B'

在DD'上，D'在FF'上，且

D F AB DE

''=-，F B CD FA

''=-，

B D EF BC

''=-．

记六边形ABCDEF的面积为S，B D F

'''

△的面积为T．因四边形FABF'、BCDB'、DEFD'均为平行四边形，于是，

11

()()

22

BDF

S S T T S T

=-+=+

△

．

A

B C

D

E

F

B'

D'

F'A

B C

D

E

F

A'C'

E'

同样，如果我们作另外三个平移变换将六边形用类似的方式剖分为三个平行四边形与一个三角形A C E

'''，则有||

A C A

B DE

''=-，||

C E C

D FA

''=-，||

E A E

F BC

''=-．

因而A C E

'''

△的面积也为T，于是也有

1

()

2

ACE

S S T

=+

△

，故

BDF ACE

S S

=

△△

．

A

B C

D

E

F

如果两条相等线段既不平行也不共线，则其中一条线段不可能是另一条线段在某个平移变换下的像．但我们可以通过平移变换移动其中的一条线段，使两条线段有一个公共端点，然后通过等腰三角形的性质再加上其他相关条件使问题得到解决．

如图所示，两条长度为1的线段AB和CD相交于O点，且60

AOC

∠=?，求证：1

AC BD

+≥．

C

A

O

B

D

C

A

O

'B D

B

考虑将AC、BD和AB集中到同一个三角形中，以便运用三角形的不等关系．

作CB AB

'∥且CB AB

'=，则四边形ABB C'是平行四边形，从而AC BB'

=．

在BB D'

△中可得BB BD B D

''

+≥，（当AC BD

∥时，BB BD B D

''

+=），即AC BD B D'

+≥．由于1

CD AB CB'

===，60

B CD AOC

'

∠=∠=?，所以B CD

'

△是等边三角形，故1

B D'=，所以1

AC BD

+≥．

如图，ABC

△中，AB AC

=，D、E是AB、AC上的点且AD CE

=．求证：2DE BC

≥．E

D

C

B

A

G

H

F

E

D

C

B

A A

B C

D

E

F

H G H

G

H

F

E

D

C

B

A

方法一：通过构造平行四边形把DE和

1

2

BC平移成共顶点的线段（如下图，作中位线利用斜边大于直角边）．

模块二共端点的平移构造

方法二：通过构造平行四边形平移DE ，使得DE 和BC 共顶点． 下面写出方法二的解析：（如下图2）

过点B 作BF DE ∥，且BF DE =，连接EF 、FC ． ∴DAE CEF =∠∠，AE BD EF ==

又∵AD EC = ∴ADE ECF △≌△，∴DE CF = ∴BF CF BC +≥ 即2DE BC ≥，当且仅当DE 为ABC △的中位线时，取到等号．

另外，此题还可以如图1，3，4那样平移，每次均产生一个平行四边形、一对全等三角形，和一个新的等腰三角形．

图1

图2

图3

图

4A

B

C

D

E F

A

B

C

D

E F A

B

C D

E

F

F

E D

C B

A

已知：ABC △．

（1）如果AB AC =，D 、E 是AB 、AC 上的点，若AD AE =，请你写出此图中的另一组相等的线段；

（2）如果AB AC >，D 、E 是AB 、AC 上的点，若BD CE =，请你确定DE 与BC 的数量关系，并证明你的结论．

C A

E

B

D N

F

E

D

C B

A

（1）DB EC =；

（

2）结论：BC DE >．

过E 点作EF AB ∥，截取EF DB =，连结BF ，作CEF ∠的平分线EN 交BC 于N ，连结NF ．∵DB EF =，又∵DB EC =，∴EF EC =． ∵EN 平分CEF ∠，∴FEN CEN ∠=∠． 在ENF △和ENC △中，EF EC =，FEN CEN ∠=∠，

EN 为公共边，∴ENF ENC △≌△． ∴NF NC =．∵DB EF ∥，DB EF =，∴四边形BDEF 是平行四边形．∴DE BF =． 在BFN △中，BN FN BF +>，即BN CN DE +>，所以BC DE >．

已知：矩形ABCD内有定点M，试证：2222

AM CM BM DM

+=+．

C

A

B

D

M C

A

B

D

M

F

E

过点B、点M分别作AM、AB的平行线，交于点E，连接CE，ME，BC交ME于点F．∵AB EM

∥，AM BE

∥

∴AM BE

=，AB EM

=

∵AB CD

=，AB CD

∥

∴EM CD

∥，EM CD

=

∴ECDM为平行四边形，∴CE DM

=

∵EM BC

⊥

∴222

BM BF FM

=+，222

CE EF CF

=+，

222

CM CF FM

=+，222

BE BF EF

=+

∴2222

AM CM BM DM

+=+．

如图所示，设ABCD是矩形，K为矩形所在平面上的一点，连接KA与KD均与BC相交．由点B向直线DK引垂线，由点C向直线AK引垂线，两垂线相交于M，求证MK AD

⊥．

A

B C

D

E

F

M

K

K

M

F

E

D

C

B

A A

B C

D

E

F

M

P

K

模块一平行多边形和平移的构造

如图，过点K 作KP AB ∥，且KP AB =． 连接PB ，PC ，KM ． ∵PK BA ∥，PK BA =

∴四边形PKAB 为平行四边形 ∴BP KA ∥

又CF AK ⊥，∴CF PB ⊥

又在矩形ABCD 中，AB CD ∥，AB CD = ∴PK CD ∥，PK CD =

∴四边形PKDC 为平行四边形 ∴PC KD ∥

又BE KD ⊥，∴BE PC ⊥ ∴M 为PBC △的重心 ∴PM BC ⊥

又AB BC ⊥，AB PK ∥，∴PK AB ⊥ ∴P ，K ，M 三点共线 且KM BC ⊥

又∵AD BC ∥，∴KM AD ⊥．

如图A 、B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN 。桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥与河垂直.）

L 2

L 1B

A

N

M

C

L 2

L 1B

A

（1）设河宽为d ，作1AC L ⊥且AC d =； （2）连接CB 交2L 于N 点； （3）作2MN L ⊥交1L 于M 点； （4）连接AM ，则路线AMNB 最短．

模块二 共端点的平移构造

如图所示，长为2的三条线段'AA ，'BB ，'CC 交于O 点，并且''B OA C OB ∠=∠'60A OC =∠=?，则三个三角形的面积的和123S S S ++________3．（填“<”、“=”或“>”）．

<．

图6

S 3

S 2

S 1O C'C A

B'

B

A'