2020年高中数学人教A版必修4第1章 三角函数《任意角的三角函数一》 导学案(含答案解析)
1.2.1 任意角的三角函数(一)
学习目标
1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.
2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.
3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.
知识点一任意角的三角函数
使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x 轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.
思考1
角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？
思考2
对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？思考3
在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？
梳理
(1)单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.
(2)定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
①y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y；
②x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x；
③y
x
叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝
y
x
(x≠0).
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.
知识点二正弦、余弦、正切函数的定义域
思考对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？
梳理三角函数的定义域
知识点三
思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？
知识点四诱导公式一
思考
当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？
类型一 三角函数定义的应用
命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值 例1 已知θ终边上一点P(x ，3)(x≠0)，且cos θ＝10
10
x ，求sin θ，tan θ.
反思与感悟
(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值.
②在α的终边上任选一点P(x ，y)，设P 到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝y
r ，cos α＝
x
r
.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便. (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a ，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值.
命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值
例2 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋3
cos α
的值.
反思与感悟
在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a，b)，则对应角的三角函数值分别为
sin α＝
b
a2＋b2
，cos α＝
a
a2＋b2
，tan α＝
b
a
.
跟踪训练2 已知角α的终边在直线y＝3x上，求sin α，cos α，tan α的值.
类型二 三角函数值符号的判断
例3 (1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
反思与感悟
角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 跟踪训练3(1)已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则α是第 象限角.
类型三 诱导公式一的应用 例4 求下列各式的值.
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；
(2)sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
11π6＋cos 12π5·tan 4π.
反思与感悟
利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”. 跟踪训练4 求下列各式的值.
(1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－
15π4； (2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.
1.已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α等于( ) A.45 B.35 C.－35 D.－45
2.cos(－11π6
)等于( )
A.12
B.－12
C.32
D.－32
3.若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝3
5，则tan α等于( )
A.－34
B.34
C.43
D.－43
4.当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )
A.1
B.0
C.2
D.－2
5.已知角α的终边上有一点P(24k ，7k)，k≠0，求sin α，cos α，tan α的值.
1.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数.
2.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
3.终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等.
课时作业
一、选择题
1.sin(－1 380°)的值为( )
A.－12
B.12
C.－32
D.32
2.已知α是第二象限角，P(x ，5)为其终边上一点，且cos α＝2
4
x ，则x 的值为( ) A. 3 B.± 3 C.－ 2 D.－ 3 3.已知sin θ<0，且tan θ<0，则θ为( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角 4.已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )
A.
5π6 B.2π3 C.4π3 D.11π
6
5.已知角α的终边经过点P(3，4t)，且sin(2kπ＋α)＝－3
5(k∈Z )，则t 等于( )
A.－916
B.916
C.34
D.－34
6.某点从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2
＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐
标为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32
D.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－32，12
7.如果点P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于( ) A.±15 B.±55 C.±255 D.±1
2
二、填空题
9.tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝ .
10.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第 象限角.
11.若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P(m ，n)是α终边上一点，且|OP|＝10，则m －n ＝ .
12.函数y ＝|sin x|sin x ＋|cos x|cos x －2|sin xcos x|sin xcos x 的值域是 .
三、解答题
13.化简下列各式：
(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π
4；
(2)a 2
sin 810°－b 2
cos 900°＋2abtan 1 125°.
四、探究与拓展
14.已知角θ的终边上有一点P(x ，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x ， 则sin θ＋cos θ＝ .
15.已知1|sin α|＝－1
sin α，且lg(cos α)有意义.
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫35，m ，求m 的值及sin α的值.
参考答案
思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？
答案sin α＝y
r
，cos α＝
x
r
，tan α＝
y
x
.
思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
答案不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.
思考3 在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？
答案sin α＝y，cos α＝x，tan α＝y
x
.
知识点二正弦、余弦、正切函数的定义域
思考对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？
答案由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义，而当角α的终
边在y轴上时，任取一点P，其横坐标x都为0，此时y
x
无意义，故tan α无意义.
思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？
答案由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位
圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝y
x
.当α为第一象限角时，y>0， x>0，
故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示.
梳理记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
思考当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？
答案它们的终边重合.由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等.
例1解由题意知r＝|OP|＝x2＋9，
由三角函数定义得cos θ＝x
r
＝
x
x2＋9
.
又∵cos θ＝
10
10
x，∴
x
x2＋9
＝
10
10
x.
∵x≠0，∴x＝±1.
当x＝1时，P(1，3)，
此时sin θ＝
312
＋3
2
＝31010，tan θ＝3
1
＝3. 当x ＝－1时，P(－1，3)， 此时sin θ＝3(－1)2
＋3
2
＝31010，tan θ＝3
－1
＝－3. 跟踪训练1
解 r ＝(－3a )2
＋(4a )2
＝5|a|.
①若a>0，则r ＝5a ，角α在第二象限， sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－3
5，
∴2sin α＋cos α＝85－3
5
＝1.
②若a<0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝
4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝3
5
， ∴2sin α＋cos α＝－85＋3
5＝－1.
综上所述，2sin α＋cos α＝±1. 例2解 由题意知，cos α≠0.
设角α的终边上任一点为P(k ，－3k)(k≠0)，则 x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝ k 2
＋(－3k )2
＝10|k|. (1)当k>0时，r ＝10k ，α是第四象限角，
sin α＝y r ＝－3k 10k ＝－31010，1cos α＝r x ＝10k
k ＝10，
∴10sin α＋
3cos α＝10×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－31010＋310 ＝－310＋310＝0.
(2)当k<0时，r ＝－10k ，α是第二象限角， sin α＝y r ＝－3k －10k ＝310
10，
1cos α＝r x ＝－10k k ＝－10， ∴10sin α＋
3cos α＝10×310
10
＋3×(－10) ＝310－310＝0.
综上所述，10sin α＋3
cos α＝0.
跟踪训练2
解 因为角α的终边在直线y ＝3x 上，
所以可设P(a ，3a)(a≠0)为角α终边上任意一点，则r ＝a 2
＋(3a )2
＝2|a|(a≠0). 若a>0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝
3a 2a ＝32，cos α＝a 2a ＝12，tan α＝3a a
＝ 3. 若a<0，则α为第三象限角，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3a
a
＝ 3. 例3答案 D
解析 ∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P 在第四象限，故选D. (2)确定下列各三角函数值的符号. ①sin 182°；②cos(－43°)；③tan 7π
4.
解 ①∵182°是第三象限角， ∴sin 182°是负的，符号是“－”. ②∵－43°是第四象限角，
∴cos(－43°)是正的，符号是“＋”. ③∵7π
4
是第四象限角，
∴tan 7π
4是负的，符号是“－”.
跟踪训练3 答案 二
解析 由题意知tan α<0，cos α<0， ∴α是第二象限角. (2)判断下列各式的符号.
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5. 解 ①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0.
∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0. ②∵π2＜3＜π＜4＜3π
2
＜5＜2π，
∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0. 例4解：
(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°) ＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝
22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64
. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan (4π＋0)
＝sin π6＋cos 2π5×0＝1
2.
跟踪训练4解：
(1)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.
(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360° ＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.
1.答案 D
解析 由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－4
5.故选D.
2.答案 C 解析 cos(－11π6)＝cos(－2π＋π6)＝cos π6＝3
2
. 3.答案 D 解析 ∵cos α＝
3
32＋y 2
＝35，∴32＋y 2＝5，∴y 2
＝16， ∵y<0，∴y＝－4，∴tan α＝－4
3.
4.答案 C
解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴
|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α
－cos α
＝2.
5.解：当k>0时，令x ＝24k ，y ＝7k ， 则有r ＝(24k )2
＋(7k )2
＝25k ，
∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝7
24.
当k<0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝－25k ，
∴sin α＝y r ＝－725，cos α＝x r ＝－2425，tan α＝y x ＝7
24
.
课时作业 1.答案 D
解析 sin(－1 380°)＝sin(－360°×4＋60°)＝sin 60°＝3
2
. 2.答案 D
解析 ∵cos α＝x r ＝x x 2＋5＝24x ，∴x＝0或2(x 2＋5)＝16，∴x＝0或x 2
＝3，
∴x＝0(∵α是第二象限角，∴舍去)或x ＝3(舍去)或x ＝－ 3.故选D. 3.答案 D 4.答案 D 解析 ∵sin
2π3＝32，cos 2π3＝－12
.∴角α的终边在第四象限， 且tan α＝cos
2π3sin
2π3
＝－33，∴角α的最小正值为2π－π6＝11π
6.
5.答案 A
解析 sin(2kπ＋α)＝sin α＝－3
5＜0，则α的终边在第三或第四象限.
又点P 的横坐标为正数，所以α是第四象限角，所以t ＜0. 又sin α＝4t
9＋16t 2，则4t 9＋16t
2
＝－35，所以t ＝－9
16. 6.答案 A
解析 由三角函数定义可得Q ⎝
⎛
⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32
. 7.答案 C
解析 由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
sin θ＜0，cos θ＜0，∴θ为第三象限角.
8.答案 C
9.答案
32
解析：tan 405°－sin 450°＋cos 750°
＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°) ＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝3
2
. 10.答案 一或二
解析 要使原式有意义，需cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号， 所以α是第一或第二象限角. 11.答案 2
解析 ∵y＝3x 且sin α<0，
∴点P(m ，n)位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m<0，n<0，n ＝3m. ∴|OP|＝m 2
＋n 2
＝10|m|＝－10m ＝10，∴m＝－1，n ＝－3，∴m－n ＝2. 12.答案 {－4，0，2}
解析 由sin x≠0，cos x≠0知，x 的终边不能落在坐标轴上， 当x 为第一象限角时，sin x>0，cos x>0，sin xcos x>0，y ＝0； 当x 为第二象限角时，sin x>0，cos x<0，sin xcos x<0，y ＝2； 当x 为第三象限角时，sin x<0，cos x<0，sin xcos x>0，y ＝－4； 当x 为第四象限角时，sin x<0，cos x>0，sin xcos x<0，y ＝2. 故函数y ＝|sin x|sin x ＋|cos x|cos x －2|sin xcos x|
sin xcos x 的值域为{－4，0，2}.
13.解：
(1)原式＝sin 32π＋cos π
2＋cos π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.
(2)原式＝a 2
sin 90°－b 2
cos 180°＋2abtan(3×360°＋45°) ＝a 2
＋b 2
＋2abtan 45°＝a 2
＋b 2
＋2ab ＝(a ＋b)2
. 14.答案 0或－ 2
解析 ∵θ的终边过点P(x ，－1)(x≠0)，∴tan θ＝－1
x .
又tan θ＝－x ，∴x 2
＝1，即x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－
22，cos θ＝2
2，因此sin θ＋cos θ＝0； 当x ＝－1时，sin θ＝－
22，cos θ＝－2
2
， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2.故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.
15.解：
(1)∵1|sin α|＝－1
sin α，∴sin α＜0.①
∵lg(cos α)有意义，∴cos α＞0. ②
由①②得角α在第四象限.
(2)∵点M(35，m)在单位圆上，∴(35)2＋m 2
＝1，解得m ＝±45.
又α是第四象限角，∴m＜0，∴m＝－4
5.
由三角函数定义知，sin α＝－4
5.
2020高中数学 第一章 三角函数 阶段复习课 第1课 任意角的三角函数及诱导公式学案 4
第一课 任意角的三角函数及诱导公式 [核心速填] 1．与角α终边相同的角的集合为 S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．角度制与弧度制的换算 3．弧度制下扇形的弧长和面积公式 (1)弧长公式：l ＝|α|r . (2)面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2 . 4．任意角的三角函数 (1)定义1：设任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0)． (2)定义2：设任意角α的终边上任意一点P 的坐标为(x ，y )，r ＝|OP |＝x 2 ＋y 2 ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x (x ≠0)． 5．同角三角函数基本关系式 sin 2α＋cos 2 α＝1；sin αcos α＝tan α. 6．诱导公式记忆口诀 奇变偶不变，符号看象限． [体系构建]
[题型探究] 象限角及终边相同的角 已知α(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈? ?? ??－π2，π2. [解] (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14 9π， ∴α＝－800°＝14π 9 ＋(－3)×2π. ∵α与角14π 9 终边相同，∴α是第四象限角． (2)∵与α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2k π＋14π 9 ， k ∈Z . 又γ∈? ????－π2，π2，∴－π2＜2k π＋14π9＜π2，k ∈Z ， 解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π 9. [规律方法] 1.灵活应用角度制或弧度制表示角 (1)注意同一表达式中角度与弧度不能混用． (2)角度制与弧度制的换算 设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则 αrad ＝? ? ???α· 180π°，n °＝? ?? ??n ·π180rad. 2．象限角的判定方法
任意角教案(第一课时)-数学高一必修4第一章1.1.1人教A版
第一章三角函数 1.1任意角和弧度制 1.1.1 任意角 一、教学目标 1.知识与技能 （1）了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角. （2）理解象限角的概念.. （3）掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置.(重点) 2.过程与方法 借助于角、直角坐标系和单位圆等工具来引导学生了解任意角的概念，引导学生用数形结合的思想方法来认识问题. 3.情感、态度与价值观 (1)通过对角的概念的探究提高学生的推理能力. (2)通过本节学习和运用实践，培养学生应用意识，体会数学的应用价值. 二、教学重、难点 重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写. 难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写. 三、教学方法 自学探究法 四、专家建议 通过对任意角的学习，明确角的推广，借助于角、直角坐标系和单位圆等工具来引导学生了解任意角的概念，引导学生用数形结合的思想方法来认识问题.通过正确求解终边相同角提高学生的推理能力，培养学生应用意识。 五、教学过程 ●新课导入
如图将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？ 【提示】有顺时针和逆时针两种旋转方向. ●新知探究 知识1 角的概念 (1)角的形成：角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. (2)角的表示： 如图∠AOB中，O表示顶点，OA表示始边，OB表示终边. (3)角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类： ①正角：按照逆时针方向旋转而成的角. ②负角：按照顺时针方向旋转而成的角. ③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角. 知识2 象限角 把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角. 1.其终边(除端点外)可能落在坐标轴上或四个象限内； 2.如果角的终边落在坐标轴上，旋转的角的大小是90°的整数倍 平面内任意一个角都可以通过移动，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合，这时角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角. 特别地，终边在坐标轴上，这个角不属于任何象限. 知识3 终边相同的角 1.设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. 2..
2020年高中数学人教A版必修4第1章 三角函数《任意角的三角函数一》 导学案(含答案解析)
1.2.1 任意角的三角函数(一) 学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等. 知识点一任意角的三角函数 使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x 轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r. 思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？思考3 在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 梳理 (1)单位圆 在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： ①y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y； ②x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ y x (x≠0). 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数. 知识点二正弦、余弦、正切函数的定义域
思考对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？ 梳理三角函数的定义域 知识点三 思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ 知识点四诱导公式一 思考 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？
人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系导学案
1.2.2.同角三角函数的基本关系 学习目标.1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明. 知识点.同角三角函数的基本关系式 思考1.计算下列式子的值： (1)sin 2 30°＋cos 2 30°； (2)sin 2 45°＋cos 2 45°； (3)sin 2 90°＋cos 2 90°. 由此你能得出什么结论？尝试证明它. 答案.3个式子的值均为1.由此可猜想： 对于任意角α，有sin 2 α＋cos 2 α＝1，下面用三角函数的定义证明： 设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则由三角函数的定义，得sin α＝y ，cos α＝ x . ∴sin 2 α＋cos 2 α＝x 2 ＋y 2 ＝|OP |2 ＝1. 思考2.由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？ 答案.∵tan α＝y x ，∴tan α＝sin α cos α . 梳理.(1)同角三角函数的基本关系式 ①平方关系：sin 2 α＋cos 2 α＝1. ②商数关系：tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π 2，k ∈Z ). (2)同角三角函数基本关系式的变形 ①sin 2 α＋cos 2 α＝1的变形公式 sin 2 α＝1－cos 2 α；cos 2 α＝1－sin 2 α. ②tan α＝sin α cos α 的变形公式 sin α＝cos αtan α；cos α＝sin α tan α . 类型一.利用同角三角函数的关系式求值 命题角度1.已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值
2020年高中数学人教A版 必修4 导学案《任意角》(含答案)
1．1.1 任意角 [新知初探] 1．任意角 (1)角的概念： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶 点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”． (3)角的分类： 名称定义图示 正角按逆时针方向旋转形成的角 负角按顺时针方向旋转形成的角 零角一条射线没有作任何旋转形成的角 [点睛] 对角的概念的理解的关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转的方向；②要明确旋转量的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置． 2．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． [点睛] 象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． [点睛] 对终边相同的角的理解 (1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (2)k∈Z，即k为整数这一条件不可少； (3)终边相同的角的表示不唯一． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)－30°是第四象限角．( ) (2)钝角是第二象限的角．( ) (3)终边相同的角一定相等．( )
2．与45°角终边相同的角是( ) A．－45° B．225° C．395° D．－315° 3．下列说法正确的是( ) A．锐角是第一象限角B．第二象限角是钝角 C．第一象限角是锐角D．第四象限角是负角 4．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数________． 任意角的概念 [典例] A．终边与始边重合的角是零角 B．终边和始边都相同的两个角一定相等 C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角 D．小于90°的角是锐角 理解与角的概念有关问题的关键 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 如图，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置，接着再旋转－30°到OC的位置，则∠AOC的度数为________． 终边相同角的表示 [典例] 写出与080°范围内与75°角终边相同的角．
【人教A版】2020高中数学必修四导学案：第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式二_含答案
1.3 三角函数的诱导公式（二） 学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力. 知识点一 诱导公式五 完成下表，并由此总结角α，角π 2－α的三角函数值间的关系. (1)sin π6＝12，cos π3＝12，sin π6＝cos π3； (2)sin π4＝22，cos π4＝22，sin π4＝cos π 4； (3)sin π3＝32，cos π6＝32，sin π3＝cos π 6. 由此可得 诱导公式五 知识点二 诱导公式六 思考 能否利用已有公式得出π 2＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？ 答案 以－α代替公式五中的α得到 sin ? ????α＋π2＝cos(－α)， cos ? ????α＋π2＝sin(－α). 由此可得 诱导公式六
知识点三 诱导公式的推广与规律 1.sin(32π－α)＝－cos α，cos(3 2π－α)＝－sin α， sin(32π＋α)＝－cos α，cos(3 2π＋α)＝sin α. 2.诱导公式记忆规律： 公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”. 公式五～六归纳：π 2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加 上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”. 六组诱导公式可以统一概括为“k ·π 2 ±α(k ∈Z )”的诱导公式. 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”是指k ·π 2±α(k ∈Z )中k 的奇偶性， 当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变.“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号. 类型一 利用诱导公式求值 例1 (1)已知cos(π＋α)＝－12，α为第一象限角，求cos ? ?? ??π2＋α的值. (2)已知cos ? ????π6－α＝13，求cos ? ????5π6＋α·sin ? ?? ??2π3－α的值. 解 (1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－1 2， ∴cos α＝1 2，又α为第一象限角， 则cos ? ?? ??π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α
人教A版高中数学必修4《第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 阅读与思考 三角学与天文学》_0
“任意角的三角函数”教学设计•数学（4）》（人教A版）。三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用. 直角三角形简单朴素的边角关系，以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到简明的任意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图象和性质。三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身. 二、学情分析 在初中学生学习过锐角三角函数。因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。 三、教学方法与手段 教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发
探索、讲练结合”的方法组织教学. 四、教学目标 1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）； 2、理解任意角的三角函数不同的定义方法；掌握并能初步运用公式一；树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 3、通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.借助有向线段进一步认识三角函数. 4、通过任意三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解。 5、通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，拓展思维空间。通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。 五、教学重点和难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）. 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三
人教版高中数学必修4第一章人教版高中数学必修4第一章《三角函数》教材分析和教学建议
人教版高中数学必修4第一章《三角函数》教材分析和教学建议 函数是刻画客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律应当用不同的函数来刻画.三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要作用，它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数.本章中，学生将在数学1中学习函数概念与基本初等函数I 的基础上，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用．通过本章的学习，学生将进一步加深对函数概念的理解，提高用函数概念解决问题的能力. 一、课程标准内容 1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化. 2. 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 3. 借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(2π±α, π±α的正弦、余弦、正切)，能画出y =sin x , y =cos x , y =tan x 的图象，了解三角函数的周期性. 4. 借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（-2π，2 π）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等）. 5. 理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x +cos 2x =1，x x x tan cos sin =. 6. 结合具体实例，了解y =Asin （ωx +ϕ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y =Asin （ωx + ϕ）的图象，观察A ，ω，ϕ对函数图象变化的影响.
7. 会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 二、知识框图 三、教学要求 1．1任意角、弧度
四、教学建议 1．课时分配：(共16个课时)
高中数学第一章三角函数1.1任意角和弧度制教学案新人教A版必修4(new)
1。1 任意角和弧度制 第1课时任意角 [核心必知］ 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材P2～P5的内容，回答下列问题． (1)阅读教材P2“思考”的内容，你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了 1.25个小时,你应当如何将它校准?在你调整的过程中，分针转动的方向有什么区别？ 提示：当手表慢了5分钟时，通常将分针顺时针旋转进行调整；当手表快了 1.25小时时，通常将分针逆时针旋转进行调整．故在调整的过程中两种情形分针的转动方向相反．（2）体操中有“转体720°”（即“转体2周”），“转体 1 080°"(即“转体3周”）这样的动作名称，而旋转的方向也有顺时针与逆时针的不同;又如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转,而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．这样，OA 绕O旋转所成的角与O′B绕O′旋转所成的角就会有不同的方向． 利用我们以前学过的0°～360°范围的角，还能描述以上现象吗？ 提示：要准确地描述这些现象，不仅要知道角形成的结果，而且要知道角形成的过程，即必须既要知道旋转量，又要知道旋转方向．故利用0°~360°范围的角，无法描述以上现象． （3）阅读教材P3“探究"的内容，请思考:对于直角坐标系内任一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么这些终边相同的角有什么关系? 提示：不唯一．它们之间相差360°的整数倍，即相差k·360°(k∈Z）． 2．归纳总结，核心必记
(1）角的有关概念 有关概 念 描述 定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 图示其中O为顶点，OA为始边，OB为 终边 记法角α或∠α，或简记为α （2 ① ②按角的终边位置 (ⅰ)角的终边在第几象限，则此角称为第几象限角； (ⅱ）角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限． （3）终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内,可构成一个集合S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． [问题思考] （1)你能说出角的三要素吗？ 提示：角的三要素是顶点、终边、始边． (2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？ 提示：不一定，零角的终边与始边重合,但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等． （3)一条射线绕端点旋转,旋转的圈数越多，则这个角越大,这样说对吗? 提示：不对，如果一条射线绕端点按顺时针方向旋转，则它形成负角,
高中数学 1.2 任意角的三角函数导学案 新人教A版必修4 学案
某某省某某市三水区实验中学高中数学 1.2 任意角的三角函数导学 案新人教A版必修4 【学习目标】 1.掌握任意角的三角函数的定义。 2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。 【重点难点】 1. 熟练求值。 2. 理解任意角的三角函数的定义。 【预习指导】 1．阅读教材第11～13页。 2．回顾初中学过的锐角三角函数的定义？（如图） 在Rt△ABC中，sinA= ,cosA= , tanA= . 3．思考：你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？ 点的位置对这三个比值有影响吗？ 4．在平面直角坐标系中，我们称以______为圆心，以__________为半径的圆为单位圆。 【合作探究】 1. 例题研讨： 例1：求下列各角的正弦、余弦、正切值：π、4 π 、3 π 、 5 3 π (讨论求法→试求（学生板演）→订正) A B C
→小结：画角的终边与单位圆，求交点，求值. 例2：已知角α的终边经过点P(-4,-3)，求角α的正弦、余弦和正切值. （学生试求→订正→小结解法） 2. 任意角的三角函数的定义： ①思考：已知角α终边上任意一点P (x, y)，如何求它的三角函数值呢? ②定义：一般地，设角α终边上任意一点的坐标为P (x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝；cosα＝；tanα＝. ③讨论：这三个比值与点P的位置是否有关？ 当α的终边落在x轴、y轴上时，哪些三角函数值无意义？
任何实数是不是都有三角函数值？为什么？ 【达标测评】(参考《全优》P7) 1.若角α终边上有一点P(0,3)，则下列函数值无意义的是() A．tan α B．sin αC．cos α D．无法确定 2.已知角α的终边经过点P(m,-3)，且cosα=-4 5,则m等于( ) A．－11 4 B. 11 4C．-4 D．4 3.若点P(4，y)是角α终边上一点，且sin α＝－3 5，则y的值是________． 【归纳小结】 单位圆定义任意角的三角函数； 2.由终边上任一点求任意角的三角函数； 【巩固练习】（各班可按实际情况安排） 1．练习：教材P15：1，3； 2．作业：教材P15：2. 第二课时：任意角的三角函数（二） 【学习目标】 1. 掌握各象限的三角函数值的符号。 2. 灵活运用诱导公式（一），把求任意角的三角函数值转化为求0°～360°间的三角函数值。【重点难点】 1. 灵活运用诱导公式求值。 2. 理解转化与化归的思想。
人教A版数学必修四第一章《三角函数》单元教学设计
高中数学人教A版必修4第一章《三角函数》单元教学设计 ［教材地位分析］ 三角函数是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。三角函数是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数。三角函数是高中数学课程的传统内容，本模块的内容属于“传统内容”。“三角函数”一章，突出了三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质。通过发现生活中的周期现象，使学生感受引入三角函数的必要性，从而引出三角函数。在研究三角函数的基本性质过程中，除了研究函数问题的常规方法外，教材也体现了研究周期性问题的方法，突出了数形结合的数学思想，最终目标是用三角函数的知识解决一大类生活中的问题，来服务生活。 ［本单元教学内容］ ［教学内容分析］ 本单元教学 课堂主线：1、坐标系、单位圆几乎贯穿每节课 2、数学思想：数形结合思想 3、计算能力：代数变形与三角变换 教学要素分析： 1、任意角讲课时需说明，锐角、直角、钝角已不能解决问题，需要对角的概念推广，角的概念的推广是解决现实生活和生产中实际问题的需要，且这种推广是符合逻辑推理的。如何刻画圆周上一点周而复始的的运动？从生活中事例出发，如：体操中有“转体2周”，手表慢了5分钟，手表快了5分钟等，然后把课堂交给学生，学习小组讨论之后，小组代表发言，①用什么方法研究任意角？如何写出终边相同的角的集合，并介绍自己是如何思考的，为什么这样写？②如何判断两个角终边相同？弄清楚这两个问题，本节课目标完成。建议充分利用教材中所提供的问题情境，如教材上所附的“思考”、“探究”中的问题等等都能够使学生参与到教学中来，建构他们的数学知识。 2、引入弧度制，建立角的集合与实数集之间的对应关系，为以后研究角的问题提供方便。讲弧度制时，角度与弧度如何对应起来，就是说实数与度数如何来对应，先提出问题，让学生分小组合作探究，各小组说出想法，最后统一。这样的课堂比较轻松，学生会主动学习知识，接受知识。事实上，圆的周长是实数统
海南省海口市第十四中学高一数学(新人教A版必修四)第一章三角函数导学案课题《任意角的三角函数》
一、教学目标 知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义； 2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值； 3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。 能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义； （2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； （3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、 探究、解决问题的能力。 德育目标：（1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式； （2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神； 二．重点与难点: 重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。 难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来. 三．教学方法： 学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 四：学习过程： （一）、知识连接 1、如图①sinα=cosα=tanα= B
B 图 ① 图 ② 2、如图②设α是任意角，它的终边与单位圆交于(,)P x y ，那么 1）y 叫做a 的正弦，记作sin α，即 sin α= 2）x 叫做a 的余弦，记作cos α，即 cos α= 3）x y 叫做a 的正切，记作tan α，即 tan α= 3、在各象限内的角的三种三角函数值的符号 在各象限内的角的三种三角函数值的符号 归纳： b x a x y 余弦函数 x 正弦函数 x 正切函数
高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数知识巧解学案新人教A版必修4(2021学年)
高中数学第一章三角函数 1.２任意角的三角函数知识巧解学案新人教A版必修4 编辑整理: 尊敬的读者朋友们: 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.2 任意角的三角函数知识巧解学案新人教A版必修4)的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。 本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章三角函数 1.２任意角的三角函数知识巧解学案新人教A版必修4的全部内容。
1．2 任意角的三角函数 疱工巧解牛 知识•巧学 一、任意角的三角函数 1．如图1—２-2，设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x ，y)，那么y 叫做α的正弦，记作sinα,即si ｎα=y;x 叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x;x y 叫做α的正切,记作tanα=x y (x≠0）。像这种以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数。 图1－2-2 ２。利用角α的终边上任意一点P 的坐标来定义三角函数. 设α是一个任意角,α的终边上一点P （除端点外）的坐标是(x ，y),它与原点的距离是r(0||||2222>+=+=y x y x r )，如图1-２—３所示。 图1—２-3
那么，比值 r y 叫做α的正弦,记作sinα，即s ｉnα=r y ； 比值r x 叫做α的余弦，记作ｃｏｓα,即co ｓα=r x ； 比值x y 叫做α的正切，记作ｔanα,即tan α=x y ; 比值y x 叫做角α的余切,记作ｃotα=y x ； 比值x r 叫做角α的正割,记作secα＝x r ； 比值y r 叫做角α的余割，记作cscα=y r . 这些函数都是以角α为自变量,以比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。 3.明确各个三角函数的记法的意义 ｓi ｎα、cosα、tanα等都表示一个整体，离开自变量α的ｓｉn 、ｃos 、tan 等都是没有意义的.sinα并不表示“sin"与“α"的乘积,就像函数“ｆ（x)"不表示“f"与“x＂的乘积一样,sinα是一个比值，例如ｓi ｎ 6π，它表示6 π的正弦值，即216sin =π.同理，cosα、tanα的意义也是一样的。 二、三角函数的定义域 由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数,它的定义域的每一个值应使相应的比值有意义,即使比值的分母不等于零。设点P （x ，y)，当x ＝0时，角α的终边落在y 轴上,终边落在y 轴上的角的集合是{α｜α＝2π+kπ,ｋ∈Ｚ｝;当y=0时,角α的终边落在ｘ轴上，终边落在x 轴上的角的集合是｛α|α=ｋπ，ｋ∈Z }.由三个三角函数的定义可知它们的定义域是： 三角函数 定义域 si ｎα Ｒ co ｓα R Ta ｎα {α|α≠2 π+kπ，k∈Ｚ}
高中数学第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角导学案(无答案)新人教A版必修4(202
浙江省台州市高中数学第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角导学案（无答案）新人教A版必修4 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（浙江省台州市高中数学第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角导学案（无答案）新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为浙江省台州市高中数学第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角导学案（无答案）新人教A版必修4的全部内容。
1。1.1任意角 教学目标:理解任意角、象限角的概念，并会用集合来表示终边相同的角. 一、 知识链接： 复习1、回忆初中所学的角是如何定义?角的范围? 复习2、举例实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？ 二、自主学习： 1、学习教科书P2-P3（探究之上)的内容，掌握下面的内容: （1）角的分类(按旋转方向）： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧_________ __________________ (2)任意角: (3)象限角的概念: ① 请分别写出一个第一、二、三、四象限的角 ________、_________、_________、_________ ② 角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限? 2、终边相同的角： 学习教科书P3(探究）—PP4（例1之上）的内容 一般地,我们有： 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合: 三、合作探究： 1、在0°~360°间,找出与下列角终边相同的角，并判断它是第几象限角。 (1）1040°；(2）－940°
(新课程)高中数学《1.1.1 任意角》教案 新人教A版必修4
第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）推广角的概念、引入大于角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 2、过程与方法 通过创设情境：“转体，逆（顺）时针旋转”，角有大于360︒角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习. 3、情态与价值 通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物. 二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示. 三、学法与教学用具 之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等. 教学用具:电脑、投影机、三角板 四、教学设想 【创设情境】
2019-2020年高考数学一轮总复习 5.1 任意角的三角函数的概念教案 理 新人教A版
2019-2020年高考数学一轮总复习 5.1 任意角的三角函数的概念教案理 新人教A版 高考导航
知识网络 5.1 任意角的三角函数的概念 典例精析 题型一 象限角与终边相同的角 【例1】若α是第二象限角，试分别确定2α、的终边所在的象限. 【解析】因为α是第二象限角， 所以k360°＋90°＜α＜k360°＋180°(k∈Z). 因为2k360°＋180°＜2α＜2k360°＋360°(k∈Z)，故2α是第三或第四象限角，或角的终边在y 轴的负半轴上. 因为k180°＋45°＜α 2＜k180°＋90°(k∈Z)， 当k ＝2n(n ∈Z)时，n360°＋45°＜α 2＜n360°＋90°， 当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，n360°＋225°＜α 2＜n360°＋270°. 所以α 2 是第一或第三象限角. 【点拨】已知角α所在象限，应熟练地确定α 2 所在象限.
如果用α1、α2、α3、α4分别表示第一、二、三、四象限角，则α12、α22、α3 2、 α4 2 分布如图，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略)，熟记右图，解有关问题就方便多了. 【变式训练1】若角2α的终边在x 轴上方，那么角α是( ) A.第一象限角 B.第一或第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角 【解析】由题意2k π＜2α＜2k π＋π，k ∈Z ， 得k π＜α＜k π＋π 2 ，k ∈Z. 当k 是奇数时，α是第三象限角. 当k 是偶数时，α是第一象限角.故选C. 题型二 弧长公式，面积公式的应用 【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R. (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值C(C ＞0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值？并求出这个最大值. 【解析】(1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， 因为α＝60°＝π3，R ＝10 cm ，所以l ＝10π 3 cm ， S 弓＝S 扇－S Δ＝12×10×10π3－12×102×sin 60°＝50(π3－3 2) cm2. (2)因为C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，所以R ＝C 2＋α， S 扇＝12αR2＝12α(C 2＋α)2＝C22αα2＋4α＋4＝ C22 1α＋4α ＋4 ≤C2 16， 当且仅当α＝4α时，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形的面积有最大值为C2 16 . 【点拨】用弧长公式l ＝ |α| R 与扇形面积公式S ＝12lR ＝1 2R2|α|时，α的单位必须是弧 度. 【变式训练2】已知一扇形的面积为定值S ，当圆心角α为多少弧度时，该扇形的周长C 有最小值？并求出最小值. 【解析】因为S ＝1 2Rl ，所以Rl ＝2S ， 所以周长C ＝l ＋2R≥22Rl ＝24S ＝4S ， 当且仅当l ＝2R 时，C ＝4S ， 所以当α＝l R ＝2时，周长C 有最小值4S. 题型三 三角函数的定义，三角函数线的应用 【例3】(1)已知角α的终边与函数y ＝2x 的图象重合，求sin α；(2)求满足sin x≤ 3 2 的
任意角三角函数教案
12、任意角的三角函数（1） 一、教学内容分析： 高一年《普通高中课程标准教科书·数学（必修4）》（人教版A版）第12页1.2.1任意角的三角函数第一课时。 本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。 二、学生学习情况分析 我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程，以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣。我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味。所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准)的教学设计就很值得思考探索。如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中？ 《普通高中数学课程标准(实验)解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点： 第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。 第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象（周期振荡现象），解决一些实际问题，这也是《课程标准》在三角函内容处理上的一个突出特点。 根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题： 其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型； 其二：借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号。
人教A版高中数学必修四 第一章 三角函数 《任意角的三角函数》学习过程
1.2任意角的三角函数 学习过程 知识点1：三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ， 它与原点的距离为 (0) r r ==>，那么 （1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即 sin y r α= ； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即 cos x r α= ； （3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即 tan y x α= ； （4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即 cot x y α= ； （5）比值r x 叫做α的正割，记作sec α，即 sec r x α= ； （6）比值r y 叫做α的余割，记作csc α，即 csc r y α= ． 知识点2：三角函数的定义域、值域 ①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置； ②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当 () 2 k k Z π απ= +∈时，α的终边在 y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所 以tan y x α=与 sec r x α= 无意义；同理，当()k k Z απ=∈时，x coy y α=与csc r y α=无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y x 、x y 、r x 、r y 分别是一个确定 的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函
数，以上六种函数统称为三角函数。 三角函数的定义域、值域 知识点3：．三角函数的符号 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： ①正弦值y r 对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）； ②余弦值x r 对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）； ③正切值y x 对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号） ． 说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。 αα csc sin 为正 全正 ααcot tan 为正 αα sec cos 为正 知识点4：诱导公式 由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。 即有： sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k α πα+=，其中k Z ∈． tan( 2)tan k απα+=， 这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题． 知识点5：三角函数线的定义： 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (,)x y ， 正切、余切 余弦、正割正弦、余割
高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(1)学案(含解析)新人教A版必修4-新人教
1.2.1 任意角的三角函数(一) 班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________ ♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒ 温馨寄语 志不立，如无舵之舟，无衔之马，漂荡奔逸，何所底乎？志不立，天下无可成之事。虽百工技艺，未有不本于志者。——《训欲遗规》 学习目标 1．借助于单位圆,理解三角函数的定义. 2．会判断给定角的三角函数值的符号. 3．会利用公式一把任意角的三角函数值转化为[0,2π)范围内的角的三角函数值. 学习重点 任意角三角函数的定义 学习难点 正弦、余弦和正切函数的定义域 自主学习 1．三角函数的定义 (1)单位圆：圆心是____________,半径长为____________.
(2)定义：设任意角的终边与单位圆交于点,P(x,y),则sin=______,cos=_____, tan=____________. 2．三角函数的定义域 函数定义域 y=sin y=cos y=tan 3．三角函数值的符号法则 结合任意角的三角函数的定义,请将三种三角函数的值在各象限的符号填入下图的横线上： 4．诱导公式一 (1)语言表示：终边相同的角的_____________三角函数的值相等. (2)式子表示： 预习评价
1．已知角的终边与单位圆的交点,则sin+cos= A. B. C. D. 2．已知为第二象限角,则sin•cos__________0(填>,<). 3．已知角的终边与单位圆的交点坐标为,则 sin=__________,cos=_________,tan=_____________. 4．用“>”或“<”填空. sin3_____________0,cos2_____________0,tan1_____________0. 5．计算sin=_____________, ♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒ 合作探究 1．任意角的三角函数的定义 如图P(x,y)为任意角a终边与单位圆的交点,结合任意角的三角函数的定义,思考下面的问题：