随机过程第6章习题
随机过程-习题-第6章
6.1 6.2 6.3 6.4设有n 维随机矢量)(21n ξξξξτ =服从正态分布，各分量的均值为 n i a E i ,,2,1, ==ξ，其协方差矩阵为 ????? ? ??? ? ?=22 2 2 2 2 2000000σσσσσσσ a a a B 试求其特征函数。 解：n 元正态分布的特征函数为 }2 1 e x p {),,,(21][Bt t t j t t t n '-'=μφξ n i a E i ,,2,1, ==ξ ),,,(21n t t t t =' ，则 ∑== 'n i i jat t j 1 μ ()()),,,(2 1 2 23222 2212 1' ++='n n t t t t t a t t a t t Bt t σσσσσσ =22223232222221221σσσσσσn t t a t t t a t t t ++++++ =∑∑ -=+=+ 1 1 2112 2n i i i n i i a t t t σσ
∴]21exp[)]21(exp[),,,(1 1 211 2221][∑ ∑ -=+=- -=n i i i n i i i n a t t t jat t t t σσφξ 6.5. 设n 维正态分布随机矢量)(21n T ξξξξ =各分量的均值为i E i =ξ， n i ,3,2,1=，各分量间的协方差为 n i m i m n b i m ,3,2,1,|,|,=--= 设有随机变量∑==n i i 1 ξη，求η的特征函数。 解：易得：???? ? ???????=n ξξξη 21]111[ 2 ) 1(][][1 1 += ==∑∑==n n i E E n i n i i ξη 协方差矩阵为： ??????? ??? ? ?? ???------=n n n n n n n n n n 321 312211121B 所以 ]111[]111['??= B ηD =2 2 3n n + 由于高斯分布的随机变量的线形组合依旧是高斯分布的，所以η的特征函数为： ?? ? ???????++-+=2456822)1(exp )(t n n n t n n j t ηΦ 6.6 设有三维正态分布随机矢量)(321ξξξξ=T ，其各分量的均值为零，即0][=i E ξ )3,2,1(=i ，其协方差矩阵为 ???? ? ??=333231232221131211b b b b b b b b b B
随机过程习题答案
1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx 和my ，它们的自 相关函数分别为Rx()和Ry()。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案： （1）[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== ：独立的性质和利用 （2）[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、 一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。 答案： （1） 该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω +=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为： ()2 20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数： ()??∞ ∞-Ω∞ ∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压：y(t) 电压：x(t) 电流：i(t)
上海大学随机过程第六章习题及答案
第三章 习 题 1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率 为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链. （1）写出状态空间； （2）求一步转移概率矩阵； （3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为 {2,1,0,1,2}S =-- （2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为 10000000 0000 1q r p q r p q r p ????????=???????? P （3）因为两步转移概率矩阵为 22 (2) 2222 2 2 1 0000 20222020 000 1q rq r pq pr p q rq r pq pr p q qr pq r p pr ????++????==+??++??????P P 所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为 (2) 12(1)p p pr p r =+=+ 2．设{,1,2,}i Y i = 为相互独立的随机变量序列，则 （1）{,1,2,}i Y i = 是否为Markov 链？ （2）令1 n n i i X Y == ∑，问{,1,2,}i X i = 是否为Markov 链？ 解（1）由于
11221112211122111221111221(,,,,) (,,,)(,,,) ()()()() ()() (,,,) n n n n n n n n n n n P Y i Y i Y i Y j P Y j Y i Y i Y i P Y i Y i Y i P Y i P Y i P Y i P Y j P Y j P Y j Y i P Y i Y i Y i ------================= ======== 因此，{,1,2,}n Y n = 是马尔可夫链. （2）取1111()f U X U ==，当11U i =时，212X U U =+是2U 的函数，记为22().f U 依次类推，1121n n X U U U --=+++ 为1n U -的函数，记为1112(),n n n n f U X U U U --=+++ 为n U 的函数，记为().n n f U 由于12,,,,n U U U 相互独立，则其相应的函数 1122(),(),,(),n n f U f U f U 也相互独立，从而 122111221111112211 (,,,)(,,,) (,,,)()() n n n i n i n n n n n n P X j X i X i X i P Y j X i X i X i P X Y j X i X i X i P Y j i P X j X i --=---==========+======-===∑ 因此{,1,2,}n X n = 是马尔可夫链. 3 设,1,2,i X i = 是相互独立的随机变量，且使得(),0,1,i j P X j a j === ，如果max{,1,2,,1}n i X X i n >=- ， 其中0X =-∞，就称在时刻n 产生了一个记录.若在时刻n 产生了一个记录，就称n X 为记录值，以n R 表示第n 个记录值. （1）证明，{,1,2,}n R n = 是Markov 链，并求其转移概率； （2）以i T 表示第i 个与第1i +记录之间的时间，问{,1,2,}n T n = 是否是Markov 链，若是，则计算其转移概率. 证明：（a ）根据题意有：k n k n n X R X R X R ===,....,2121，……满足 ........21k n n n X X X << 且........121k n n n <<< 故},...,|{11111i R i R i R z R P k k k k k ====--+}...|{111i i i j z R P k k k >>>>==-+ }|{1k k i j z R P >==+}|{1k k k i R z R P ===+ 故}1,{≥i R i 是一个马尔可夫链且
最新随机过程习题及答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时，＝ ＝ 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解：
所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ，其中 是常数，与是 相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关
（2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 2.5， 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？
3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ----
应用随机过程试题及答案
应用随机过程试题及答案 一．概念简答题（每题5 分，共40 分） 1. 写出卡尔曼滤波的算法公式 2. 写出ARMA（p,q）模型的定义 3. 简述Poisson 过程的随机分流定理 4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念 5. 简述Markov 状态分解定理 6．简述HMM 要解决的三个主要问题得分B 卷（共9 页）第2 页7. 什么是随机过程，随机序列？8．什么是时齐的独立增量过程？二．综合题（每题10 分，共60 分） 1 ．一维对称流动随机过程n Y , 0 1 0, , n n k k Y Y X ? ? ? ? 1 ( 1) ( 1) , 2 k k k X p x p x ? ? ? ? ? 具有的概率分布为且1 2 , , ... X X 是相互独立的。试求1 Y 与2 Y 的概率分布及其联合概率分布。 2. 已知随机变量Y 的密度函数为其他而且，在给定Y=y 条件下，随机变量X 的条件密度函数为? ? 其他试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数( , ) f x y . 得分B 卷（共9 页）第3 页 3. 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为( ,其他试求p{x<3y} 4．设随机过程( ) c o s 2 , ( , ) , X t X t t ? ? ? ? ? ? X 是标准正态分布的随机变量。试求数学期望( ) t E X ，方差( ) t D X ，相关函数1 2 ( , ) X R t t ，协方差1 2 ( , ) X C t t 。B 卷（共9 页）第4 页5 ．设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为
随机过程补充例题
随机过程补充例题 例题1 设袋中有a 个白球b 个黑球。甲、乙两个赌徒分别有n 元、m 元，他们不知道那一种球多。他们约定：每一次从袋中摸1个球，如果摸到白球甲给乙1元，如果摸到黑球乙给甲1元，直到两个人有一人输光为止。求甲输光的概率。 解 此问题是著名的具有两个吸收壁的随机游动问题，也叫赌徒输光问题。 由题知，甲赢1元的概率为b p a b =+，输1元的概率为 a q a b =+，设n f 为甲输光的概率，t X 表示赌t 次后甲的赌金， inf{:0 }t t t X or X m n τ===+，即τ 表示最终摸球次数。如果 inf{:0 }t t t X or X m n τ===+=Φ（Φ为空集），则令τ=∞。 设A =“第一局甲赢”，则()b p A a b = +，()a p A a b = +，且第一局甲赢的条件下(因甲有1n +元)，甲最终输光的概率为1n f +，第一局甲输的条件下(因甲有1n -元)，甲最终输光的概率为1n f -，由全概率公式，得到其次一元二次常系数差分方程与边界条件 11n n n f pf qf +-=+ 01f =，0m n f += 解具有边界条件的差分方程 由特征方程 2()p q p q λλ+=+
（1）当q p ≠时，上述方程有解121,q p λλ==，所以差分方程的 通解为 212()n q f c c p =+ 代入边界条件得 1()11()n n n m q p f q p +-=- - （2）当q p =时，上述方程有解121λλ==，所以差分方程的通解为 12n f c c n =+ 代入边界条件得 1n n f n m =- + 综合（1）（2）可得 1()11() 1n n m n q p p q q f p n p q n m +? -?- ≠?? -=?? ?-=? +? 若乙有无穷多的赌金，则甲最终输光概率为 () lim 1n jia n m q p q p p f p q →∞ ?>?==??≤? 由上式可知，如果赌徒只有有限的赌金，而其对手有无限的赌金，当其每局赢的概率p 不大于每局输的概率q ，即p q ≤时，
北大随机过程课件：第 3 章 第 2 讲 马尔可夫过程
马尔可夫过程 ?1马尔可夫过程概论 6 1.1马尔可夫过程处于某个状态的概率 6 1.2马尔可夫过程的状态转移概率 6 1.3参数连续状态离散马尔可夫过程的状态转移的切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 齐次切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 转移概率分布函数、转移概率密度函数 6 1.4马尔可夫过程状态瞬时转移的跳跃率函数和跳跃条件分布函数 瞬时转移概率分布函数 6 1.5确定马尔可夫过程Q矩阵 跳跃强度、转移概率Q矩阵 ?2参数连续状态离散马尔可夫过程的前进方程和后退方程 柯尔莫哥洛夫-费勒前进方程（利用Q矩阵可以导出、转移概率的微分方程）福克-普朗克方程（状态概率的微分方程） 柯尔莫哥洛夫-费勒后退方程（利用Q矩阵可以导出、转移概率的微分方程）?3典型例题 排队问题、机器维修问题、随机游动问题的分析方法 ?4马尔可夫过程的渐进特性 稳态分布存在的条件和性质 稳态分布求解 ?5马尔可夫过程的研究 1概论 1.1 定义及性质 1.2 状态转移概率 1.3 齐次马尔可夫过程的状态转移概率 1.5跳跃强度、转移概率Q矩阵 2 前进方程和后退方程 2.1 切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 2.2柯尔莫哥洛夫-费勒前进方程 2.2福克-普朗克方程 2.3柯尔莫哥洛夫-费勒后退方程 3典型的马尔可夫过程举例 例1 例2 例3 例4，随机游动 4马尔可夫过程的渐进特性 4.1 引理1 4.2 定理2 4.3 定理
5马尔可夫过程的研究 6关于负指数分布的补充说明：
1概论 1.1定义：马尔可夫过程 ()t ξ： 参数域为T ，连续参数域。以下分析中假定[0,)T =∞； 状态空间为I ，离散状态。以下分析中取{0,1,2,}I ="； 对于T t t t t m m ∈<<<<+121"，若在12m t t t T <<<∈"这些时刻观察到随机过程的值是12,,m i i i "，则 1m m t t T +>∈时刻的条件概率满足: {}{}1111()/(),,()()/(), m m m m m m P t j t i t i P t j t i j I ξξξξξ++======∈" 则称这类随机过程为具有马尔可夫性质的随机过程或马尔可夫过程。 1.2 定义：齐次马尔可夫过程 对于马尔可夫过程()t ξ，如果转移概率{}21()/()P t j t i ξξ==只是时间差12t t ?=τ的函数,这类马尔可夫过程称为齐次马尔可夫过程。 1.３ 性质 马尔可夫过程具有过程的无后效性； 参数连续状态离散的马尔可夫过程的条件转移概率为： {}{}212112()/()0()/(),,P t j t t t P t j t i t t i j I ξξξξ′′=≤≤===≤∈ 马尔可夫过程的有限维联合分布律可以用转移概率来表示 {} {}{}{}32132211123(),(),()()/()()/()(),,,P t k t j t i P t k t j P t j t i P t i t t t i j k I ξξξξξξξξ=========≤≤∈ 马尔可夫过程的有限维条件分布律可以用转移概率来表示
2012-2013秋季学期《随机过程》第六章习题
中科院研究生院2012～2013第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 第六章 高斯过程（维纳过程） 习题 1、 设有随机过程Y ，∞<= ∫t ds s Y t Z t 2、 设是初值为零的标准布朗运动，令0,)(≥t t B 10)],1/([)1()(<≤??=t t t B t t ξ，的常数，试求随机过程0,0),12>≥?a t at η()(=?e B e t at )(t ξ和)(t η的均值函数和相关函数，并说明)(t ξ和)(t η是否是正态过程。 3、 设是标准的布朗运动，试求与的相关系数，其中： 。 }0,)({≥t t B 1≤≤t )(t B ∫1 0)(du u B 04、 已知是初值为0的标准布朗运动， 求在0),(>t t B 0)1(=B 时的条件概率分布密度函数。 )10()(<
随机过程复习试题及答案
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明：当12n 0t t t t <<< <<时， 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1 1、修理一个机器所需要的时间T 是均值为1/2（小时）的指数随机变量 （a ）问修理时间超过1/2小时的概率是多少？ （b ）已知修理持续时间超过12小时，问修理时间至少需要12.5小时的概率是多少？ 2、考察一个由两个办事员经营的邮局。假设当甲进入邮局的时候，他发现乙正在接受一个办事员的服务，丙正在接受另一个办事员的服务。甲被告知，只要乙或丙中的一个离开，他的服务就可以立刻开始。如果一个办事员用在一个顾客上的时间是以均值为1/λ指数地分布的，那么在这3个顾客中，甲是最后一个离开邮局的概率是多少？ 3、若X1和X2是独立的非负连续随机变量，证明： )()()(}),min(|{2112121t r t r t r t X X X X P +==< 其中)(t r i 是Xi 的失效率函数。 4、某种理论假设细胞分裂的错误按速率每年2.5个的泊松过程发生，而人体在发生了196个这种错误后死亡。假设该理论成立，求 （1）人的平均寿命 （2）人在67.2岁前死亡的概率 （3）人活到90岁的概率 （4）人活到100岁的概率 5、令{N(t)，t ≥0}是速率为λ的泊松过程，以Sn 记第n 个事件发生的时间。求 （1）][4S E （2）]2)1(|[4=N S E （3）]3)1(|)2()4([=-N N N E 6、事件按速率为每小时λ=24的泊松过程发生。 （1）在下午8：00到9:00没有事件发生的概率是多少？ （2）从正午开始，到第四个事件发生的期望时间是多少？ （3）在下午6:00到8:00有两个或两个以上事件发生的概率是多少？ 7、顾客按速率为λ的泊松过程进入银行。假设两个顾客在第一小时内到达。下面的概率分别是多少？ （1）两个顾客都在前20分钟内到达 （2）至少一个顾客在前20分钟内到达 8、某人负责订阅杂志，设前来订阅的顾客是一天内平均达到率为8的泊松过程，他们分别以概率1/2、1/3和1/6订阅1季、2季和3季的杂志，其选择是相互独立的。每次订阅1季时，该负责人可得1元钱手续费。令X（t）表示在[0,t)内此人的全部手续费，试求E[X(t)]。 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意0 12 ≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 6 18}4)3(|6)5({-===e X X P 15 3 2 6 2 3 2 92! 23 ! 2)23(! 23 }2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=? ?? ==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 6 6 2 18! 26 }2)3()5({}4)3(|6)5({--== =-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ????? ? ?? ? ????? ??? ?=434 10313131 04341 1)(P ，则167)2(12 =P ，16 1}2,2,1{210= ===X X X P ???????? ? ????? ????=48 3148 1348 436133616367164167165)1()2(2 P P 16 7)2(12= P 16 1314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 4 2++= ωωω ωS ，则)(t X 的均方值 = 212 1- 222 22 2 11221)2(2 221 1 1 22 )(+??-+?? = +- += ωωωωωS τ τ τ--- = e e R X 2 12 1)(2 | . 设有n 维随机矢量)(21n ξξξξτ =服从正态分布，各分量的均值为 n i a E i ,,2,1, ==ξ，其协方差矩阵为 ????? ???? ? ?=22 2 2 2 2 2000000σσσσσσσ a a a B 试求其特征函数。 解：n 元正态分布的特征函数为 }2 1exp{),,,(21][Bt t t j t t t n '-'=μφξ n i a E i ,,2,1, ==ξ ),,,(21n t t t t =' ，则 > ∑== 'n i i jat t j 1 μ ( )()),,,(21 2 232222212 1' ++='n n t t t t t a t t a t t Bt t σσσσσσ =22223232222221221σσσσσσn t t a t t t a t t t ++++++ =∑∑ -=+=+ 1 1 2112 2n i i i n i i a t t t σσ ∴]21exp[)]21(exp[),,,(1 1 211 2221][∑ ∑ -=+=--=n i i i n i i i n a t t t jat t t t σσφξ . 设n 维正态分布随机矢量)(21n T ξξξξ =各分量的均值为i E i =ξ， n i ,3,2,1=，各分量间的协方差为 n i m i m n b i m ,3,2,1,|, |,=--= 设有随机变量∑==n i i 1 ξη，求的特征函数。 [ 解：易得：???? ? ???????=n ξξξη 21]111[ 2 ) 1(][][1 1 += ==∑∑==n n i E E n i n i i ξη 协方差矩阵为： ??????? ??? ? ?? ???------=n n n n n n n n n n 321 312211121B 所以 ]111[]111['??= B ηD =2 2 3n n + 由于高斯分布的随机变量的线形组合依旧是高斯分布的，所以η的特征函数为： ?? ? ???????++-+=2456822)1(exp )(t n n n t n n j t ηΦ 设有三维正态分布随机矢量)(321ξξξξ=T ，其各分量的均值为零，即0][=i E ξ 随机过程习题解答（一） 第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。 （a）分别写出随机变量和的分布密度 （b）试问：与是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。 （a）试求和的相关系数； （b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用的独立性，由计算有： （b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为 ，且是一个周期为T的函数，即，试求方差 函数。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中： 式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。 （a）求的均值、方差和相关函数； （b）若与独立，求与Y的互相关函数。 解：（a） （b） 第二讲作业： P33/2．解： 其中为整数，为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有： 反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中 由题意可知，的联合概率密度为： 利用变换：，及雅克比行列式： 我们有的联合分布密度为： 因此有： 且V和相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且 所以。 （4）由于： 所以因此 当时， 当时， 由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有： P37/10. 解：（1） 当i =j 时；否则 令 ，则有 第三讲作业： P111/7．解： （1 ）是齐次马氏链。经过 次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： （2）由齐次马氏链的性质，有： （2） 第三章习题 1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率 为 r ，其中 p, q, r 0, p q r 1 ，设每局比赛后，胜者得 1 分，负者得1分，平局不记分，当两个人中有一个人得到 2 分时比赛结束，以X n表示比赛至第n 局时甲获得的分数， 则{ X n , n 1} 是一齐冯马尔可夫链. （1）写出状态空间； （2）求一步转移概率矩阵； （3）求在甲获得 1 分的情况下，再赛 2 局甲胜的概率 . 解（ 1）{ X n, n0} 的状态空间为 S { 2, 1,0,1,2} （ 2）{ X n, n 0} 的一步转移概率矩阵为 1 0 0 0 0 q r p 0 0 P 0 q r p 0 0 0 q r p 0 0 0 0 1 （ 3）因为两步转移概率矩阵为 1 0 0 0 0 q rq r 2 pq 2 pr p2 0 P(2) P 2 q2 2rq r 2 2 pq 2 pr p2 0 q2 2qr pq r 2 p pr 0 0 0 0 1 所以在甲获得 1 分的情况下，再赛 2 局甲胜的概率为 p12(2) p pr p(1 r ) 2．设{ Y i,i 1,2,L } 为相互独立的随机变量序列，则 （1）{ Y i,i 1,2,L } 是否为Markov链？ n （2）令X n Y i，问 { X i , i 1,2,L } 是否为Markov链？ i 1 解（ 1）由于 P(Y n j Y 1 i 1 ,Y 2 i 2 ,L ,Y n 1 P(Y 1 i 1, Y 2 i 2 ,L ,Y n 1 i ,Y n j ) i) P(Y 1 i 1 ,Y 2 i 2 ,L , Y n 1 i) P(Y 1 i 1 )P(Y 2 i 2 )L P(Y n 1 i )P(Y n j ) j ) P(Y n j Y n 1 i ) 1 i 2 , L ,Y n 1 i ) P(Y n P(Y i 1 ,Y 2 因此， { Y n , n 1,2,L } 是马尔可夫链 . （ 2）取 f 1 (U 1 ) X 1 U 1 ，当 U 1 i 1 时， X 2 U 1 U 2 是 U 2 的函数，记为 f 2 (U 2 ). 依 次类推， X n 1 U 1 U 2 L U n 1 为 U n 1 的函数，记为 f n 1 (U n 1 ), X n U 1 U 2 L U n 为 U n 的 函 数 ， 记 为 f n (U n ). 由 于 U 1,U 2 ,L ,U n ,L 相 互 独 立 ， 则 其 相 应 的 函 数 f 1 (U 1), f 2 (U 2 ),L , f n (U n ),L 也相互独立，从而 n P( X n j X 1 i 1 , X 2 i 2 ,L , X n 1 i ) P( Y i j X 1 i 1, X 2 i 2 ,L , X n 1 i ) i 1 P( X n 1 Y n j X 1 i 1 , X 2 i 2 ,L , X n 1 i) P(Y n j i ) P( X n j X n 1 i ) 因此 { X n , n 1,2,L } 是马尔可夫链 . 3 设 X i , i 1,2,L 是相互独立的随机变量，且使得 P( X i j ) a j , j 0,1,L ，如 果 X n max{ X i ,i 1,2,L ,n 1} ，其中 X 0 ，就称在时刻 n 产生了一个记录 .若在时刻 n 产生了一个记录，就称 X n 为记录值，以 R n 表示第 n 个记录值 . （1）证明， { R n , n 1,2,L } 是 Markov 链，并求其转移概率； （2）以 T i 表示第 i 个与第 i 1 记录之间的时间， 问 { T n , n 1,2,L } 是否是 Markov 链，若是， 则计算其转移概率 . 明 ：（ a ） 根 据 意 有 ： R 1 X n 1 , R 2 X n 2 ,....R k X n k ， ? ? 足 X n 1 X n 2 .... X n k .... 且 1 n 1 n 2 .... n k .... 故 P{ R k 1 z | R k i k , R k 1 i k 1 ,...R 1 i 1} P{ R k 1 z | j i k i k 1 ... i 1} P{ R k 1 z | j i k } P{ R k 1 z | R k i k } 故 { R i , i 1} 是一个 可夫 且 第二章 随机过程分析 1.1 学习指导 1.1.1 要点 随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。 2. 随机过程的分布函数和概率密度函数 如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为 F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1) 如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为 1111111 (,) (, ) (2 - 2)?=?F x t f x t x 对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率 {}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤ 称为随机过程ξ (t )的二维分布函数。如果 2212122121212 (,;,) (,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ?=??? 存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ (t )的二维概率密度函数。 对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(), ,() (2 - 5) =≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程ξ (t )的n 维分布函数。如果 n n 12n 12n n 12n 12n 12n (x ) () (2 - 6)?=???F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，， 存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ (t )的n 维概率密度函数。 3. 随机过程的数字特征 随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。 随机过程ξ (t )在任意给定时刻t 的取值ξ (t )是一个随机变量，其均值为 []1()(, )d (2 - 7)E t xf x t x ξ∞ -∞ =? 上海大学随机过程第六章习题及答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第三章 习 题 1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率 为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链. （1）写出状态空间； （2）求一步转移概率矩阵； （3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为 {2,1,0,1,2}S =-- （2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为 10000000 0000 1q r p q r p q r p ????????=???????? P （3）因为两步转移概率矩阵为 22 (2) 2222 2 2 1 0000 20222020 000 1q rq r pq pr p q rq r pq pr p q qr pq r p pr ????++????==+??++??????P P 所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为 (2) 12(1)p p pr p r =+=+ 2．设{,1,2,}i Y i =L 为相互独立的随机变量序列，则 （1）{,1,2,}i Y i =L 是否为Markov 链？ （2）令1 n n i i X Y == ∑，问{,1,2,}i X i =L 是否为Markov 链？ 解（1）由于第六章 随机过程
随机过程复习题(含答案)
随机过程-习题-第6章
随机过程习题答案
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第2章 随机过程习题及答案
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