初中几何研究
初中几何研究
1．圆内三点弦AB 、CD 、EF 两两相交于P 、Q 、R ，
且P C Q E R A ==，PB QD RF ==，
求证：△PQR 是正三角形．
证明：设PC QE kPB kQD kRF ====（其中0k >的实数） ∵AB 、CD 交于P 点 ∴PC PD PA PB ?=? ∴PA k PD =?
∴()PR PA RA k PD k QD k PD QD =-=?-?=?-
PQ PD QD =-
∴PR k PQ =? 同理可得
RQ k RP =?，QP k RQ =?
∴23
QP k RQ k RP k PQ =?=?=? ∴3
1k =，∵k 是实数，∴1k = ∴PR RQ QP == ∴△PQR 是正三角形．
2．梯形ABCD 中，A B ∠=∠=90°，以AB 为直径的圆切CD 于E ，过E 作EF ∥BC 交
AB 于F ，求证：AC 平分EF ．
证明：如图，设AC 交EF 于G ∵BC 与圆相切，CD 与圆相切 ∴BC DE = 同理AD DE =
要证AC 平分EF ，即证EG FG = 在△ACD 中， ∵EG ∥AD
∴
CD BC
CD CE AD EG == ∴CD
DE
CD AD BC EG == ① 在△ABC 中， ∵FG ∥BC
∴AC
AD
BC FG = ② ∵CD CE
CD CE CD CD DE -=-=1 AC
CG
AC CG AC AC AG -=-=1 又∵CD CE
AC CG = ∴
AC
AG
CD DE =EG FG = 由①②得
BC
FG
BC EG = ∴EG FG =，即AC 平分EF
3．过AB 为直径的半圆上一点C ，作C
D A B ⊥于D ，H 与CD ，BC 分别相切于
E 、
F ，
又与AB 相切于G ，求证：AC AG =
证明：连OH 并延长后必过切点E ，连结EF 、AF 、HE 、CF ∵HE CD ⊥，AB CD ⊥ ∴HE ∥AB ∴AOF EHF ∠=∠
又HF HE
OF OA
= ∴△HEF ∽△OAF ∴OFA HFE ∠=∠ ∴A 、E 、F 三点共线 如图，在△ACE 和△AFC 中
ACE AFC ∠=∠ CAE FAC ∠=∠
∴△ACE ∽△AFC
∴2
AC AE AF =? 而2
AG AE AF =? ∴AC AG =
4．在正方形ABCD 中，F 为CD 的中点，过D 作DE AF ⊥于G ，且交AC 于E ，求证：
EFC AFD ∠=∠
证法一：延长ED 交BC 于H 在△ADF 和△DCH 中
12∠=∠
AD DC =
∴△ADF ≌△DCH ∴DF CH = 又DF FC =
∴CF CH =，DHC AFD ∠=∠ 在△CEF 和△CEH 中
CF CH = 34∠=∠ CE CE =
∴△CEF ≌△CEH ∴CHE CFE ∠=∠
∴CHE DHC AFD CFE ∠=∠=∠=∠ 即EFC AFD ∠=∠
证法二：设CFE α∠=，AFD β∠=，则135CEF α∠=-
∠CEF ＝135°－α，
90CDE β∠=- ，45CED β∠=+
在△CEF 与△CDE 中，由正弦定理，得
)
135sin(sin αα-?=CF
CE ①
)
45sin()90sin(ββ+?=
-?CD
CE ② ②÷①，并注意到2DC CF =，得
)
45sin()
135sin(2)90sin(sin βαβα+?-?=
-? 即
β
βααβαcos sin )
cos (sin 2cos sin ++=
整理得 1
tan 2tan -=
βα
又在Rt AFD ?中，有2tan ==
DF
AD
β 代入上式，得2tan =α，所以2tan tan ==βα，注意,(0,90)αβ∈ ∴αβ=
即EFC AFD ∠=∠
5．在正方形ABCD 中，作DE ∥AC ，在DE 上取一点F ，使AF ＝AC ，又作CE ∥AF 交DE 于E ，连结AE ，求证：∠DAF ＝∠FAE ＝∠EAC
证法一：过D 、F 分别作AC 的垂线DF 、FH ，则
FH ＝DG ＝21AC ＝2
1
AF
∴∠CAF ＝30° ∴∠DAF ＝15°
∵AC ∥DE ，AF ∥CE ，AC ＝AF ∴四边形ACEF 是菱形 ∴∠FAE ＝∠EAC ＝
2
1
∠CAF ＝15° ∴∠DAF ＝∠FAE ＝∠EAC
证法二：∵AC ∥DE ，AF ∥CE ，AC ＝AF ∴四边形ACEF 是菱形 ∴∠FAE ＝∠
EAC
设∠AFD ＝α∈（0，4
π），正方形ABCD 边长为a 在△ADF 中
?
=
135sin 2sin a
a α ∴?=?=
302
1
sin αα ∴∠DAF ＝45°－30°＝15° ∴∠DAF ＝∠FAE ＝∠EAC
6．已知AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AD 交BC 于E ，过E 作EF ⊥AB 于F ，求证：∠AFC ＝∠BFD 证明：∵
AB
BF
AC EF = ① AB
AF
BD EF = ② ①÷②得
∴Rt △ACF ∽Rt △BDF ∴∠AFC ＝∠BFD
7．在锐角△ABC 中，作BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，取BC 中点F ， 求证：∠FED ＝∠EDF ＝∠A
证明：EF ＝BF ＝CF ＝DF ∴∠FED ＝∠EDF
设∠BFE ＝∠1，∠CFD ＝∠2，∠DFE ＝∠3 则∠1＝180°－2∠ABC ∠2＝180°－2∠ACB
而∠3＝180°－（∠1＋∠2）＝180°－（360°－2（∠ABC ＋∠ACB ）） ＝180°－（360°－360°＋2∠A ） ＝180°－2∠A ① 又∠3＝180°－2∠FED ② 由①②得
D
B
A
C
E
C
B
A
E
D 2
3 1 BD BF
AC AF
=
∠FED ＝∠EDF ＝∠A
8．在正六边形外接圆上任取一点，求证该点至各顶点的连线中，两长者之和必等于其余四者之和．
已知：如图，P 为AF 上一点，显然PC 、PD 为两长者
求证：PC ＋PD ＝PA ＋PB ＋PE ＋PF 证明：若P 为正六边形ABCDEF 的顶点 不妨设为A 点
这里即证AD ＋AC ＝AB ＋AE ＋AF 而AC ＝AE
∴即证AD ＝AB ＋AF ，而AD ＝AB ＋AF 是显然成立 ∴命题成立 若P 在如图的AF 上
则在△PCA 、△PBD 、△PCE 、△PDF 中，分别有（其中a 为正六边形的边长）
PC PA PC PA a ?-+=2223 ① PD PB PD PB a ?-+=2223 ② PE PC PE PC a ?-+=2223 ③ PF PD PF PD a ?-+=2223 ④
由①③得
0)(22=---PA PE PC PA PE
)(PA PE PC PA PE ≠=+? ⑤
由②④得
0)(22=---PF PB PD PF PB
)(PF PB PD PF PB ≠=+? ⑥
由⑤⑥得
PC ＋PD ＝PA ＋PB ＋PE ＋PF
9．在△ABC 中，AB ＝AC ，AG ⊥BC ，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，在BC 延长线上取一点F ，使∠CDF ＝90°，求证：CF ＝4EG
证法一：延长FD 交AC 于H ，过D 作DK ∥BC 交AC 于K ∵CD 平分∠ACB ，∠CDF ＝90° ∴D 为FH 的中点 而EG ＝
2
1DK DK 为△CFH 的中位线 ∴DK ＝
2
1CF ∴CF ＝4EG
证法二：由条件，及在CB 延长线上取一点F ，使∠CDF ＝90°，知∠A ＜60° 若∠A ＞60°，则会得到B 点与F 点重合 若∠A ＝60°，则会得到F 点在线段CB 上 ∴∠A ＜60° 下面证明：
设∠BCD ＝α，则∠BAG ＝90°－2α，∠BDE ＝90°－2α，设AB ＝a ∵CD 平分∠ACB ∴
BD
AD
BC AC = ① 在△BAG 中
αα2cos )290sin(a a BG =-?= ②
在△BDE 中
αα2cos )290sin(BD BD BE =-?= ③
由②得
α2cos 2a BC =
代入①得
BD
AD
a a =α2cos 2
A B F
G
C
K
D H
α
BD
a
BD AB BF AD ==+=+112cos 21α
∴α
α
2cos 212cos 2+=a BD
代入③得
αα
α
2cos 2cos 212cos 2+=
a BE
∴ααα
α2cos 2cos 212cos 22cos +-
=a a EG αα
ααααα2cos 212cos 2cos 2112cos )cos 212cos 21(2cos +=+=+-=a a a
在△CDF 中
α
cos CD
CF =
在△CBD 中
αα
αcos 2sin 2sin ?=?=BD CD BD
CD
∴ααα
cos 22cos 212cos 2??+=
a CD ∴α
α
α2cos 212cos 4cos +==a CD CF ∴CF ＝4EG
10．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD ⊥BC ，以AD 为直径作⊙O ，由B 、C 分别作该圆的切线BE 、CF （不同于BC ）
证明：如图，设EF 分别交AB 、AD 、AC 于Q ，P ，R ，由对称性，只要证PR ＝FR ， 延长CF ，过A 作⊙O 的切线AG ，相交于 G 点，问题就转化为第2题的情形， 由第2题可得
PR ＝FR ，同理EQ ＝PQ ∴命题成立．
11．已知⊙O 1与⊙O 2交于P 、Q 两点，一外公切线切两圆于A 、B ，其中点P 与AB 在O 1O 2的两旁，求证：
（1）∠O 1PO 2＝2∠APB
（2）∠AQB ＝180°－
2
1
∠O 1PO 2 证明：（1）连O 1A 、O 2B 知O 1A ∥O 2B 过Q 作PC ∥O 1A ∴∠APC ＝∠O 1AP ∠BPC ＝∠O 2BP
∵∠O 1A ＝∠O 2PA ∠O 2BP ＝∠O 2PB ∴∠APC ＋∠BPC ＝∠O 1PA ＋∠O 2PB ∠APB ＝∠O 1PA ＋∠O 2PB ∴∠O 1PO 2＝2∠APB
（2）连PQ ，并延长交AB 于D ∴∠QBA ＝∠BPQ ∠QAB ＝∠APQ ∵∠AQB ＝180°－∠BAQ －∠ABQ ＝180°－（∠APQ ＋∠BPQ ） ＝180°－∠APB ＝180°－
2
1
∠O 1PO 2 12．在平行四边形ABCD 中，BC ＝2AB ，M 为AD 的中点，作CE ⊥AB 于E 求证：∠DME ＝3∠AEM
证明：设BC 的中点为N ，连MN 、MC ，设MN 交CE 于F ∴MN ∥BC ∴CE ⊥MN
而CF ＝EF （平行公理） ∴∠NMC ＝∠EMN ＝∠AEM 而∠CMD ＝∠NMC ∴∠DME ＝3∠AEM 13．在△ABC 中，已知AB ≤
21AC ，求证：∠ACB ＜2
1
∠ABC 证明：延长CB 至D ，使BD ＝AB ，连AD ，则 AC ＞2AB ＝AB ＋BD ＞
AD
A
E
B
C
D
M
F
N
∴∠D ＞∠C ∵AB ＝BD ∴∠ABC ＝2∠D
即∠ACB ＜2
1
∠ABC
14．在△ABC 中，已知AB ＞AC ，E 是BC 边中线AD 上一点， 求证：∠ECD ＞∠EBD 证明：在△ABD 和△ACD 中 ∵AB ＞AC AD ＝AD ，BD ＝CD ∴∠ADB ＞∠ADC
而在△EDB 和△ECD 中 ED ＝ED ，BD ＝CD ∠EDB ＞∠EDC ∴BE ＞CE ∴∠ECD ∠EBD
15．在△ACB 中，已知∠C ＝90°，∠A 平分线交BC 于D ，且BC ＝2AC ， 求证：∠CAD ＞∠ABC
证明：延长BA 至E 使AE ＝AC ，连CE ，则利用13题结论可得 ∠ABC ＜∠
2
1
BAC ＝∠CAD ∴∠ABC ＜∠CAD
16．在△ABC 中，已知∠A ＝90°，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 求证：AD 3
＝BC ·BE ·CF 证明：首先有AD ·BC ＝AB ·AC ∴AD 2
＝CD ·BD
∴AD 4
＝CD 2
·BD 2
＝CF ·CA ·BE ·AB
＝CF ·BE ·AC ·AB
即CF BE BC AD
AB
AC BE CF AD ??=??
?=3
A
B
C
D
A
B
D E
C
A
B
E
D A
B
D
F
C
17．已知AM 是△ABC 中边BC 上的中线，任作一直线交AB 、AC 、AM 于P 、Q 、M ，求证：
AP
AB
、AN AM 、AQ
AC
成等差数列． 证明：设任一直线为l ，过B 作 BE ∥AM 交l 于E ，过C 作CF ∥AM 交
l 于F
要证
AP AB 、AN AM 、AQ AC
成等差数列 即证
AP BP 、AN MN 、AQ
CQ
成等差数列 也就是证
AN
MN
AQ CQ AP BP 2=
+ ∵M 为BC 中点 ∴BE ＋CF ＝2MN 而
AN BE AP BP = AN
CF AQ CQ = ∴
AN MN
AN CF BE AN CF AN BE AQ CQ AP BP 2=
+=+=+ ∴
AP AB 、AN AM 、AQ
AC
成等差数列 18．在⊙O 上取一点P ，作弦PA 、PB 、PC ，作直线平行于切线PQ ，且与PA 、PB 、PC 分别交于H 、K 、L ，求证：PA ·PH ＝PB ·PK ＝PC ·PL
证明：如图，∵l ∥PQ ∴∠1＝∠2
而∠2＝∠B ∴∠1＝∠B △PKH ∽△PAB
PA
PK
PB PH = A
B
C
M
N
Q
F
P
E
l
·PH ＝PB ·PK 同理
PB ·PK ＝PC ·PL ∴PA ·PH ＝PB ·PK
＝PC ·PL
19．M 、N 是以AB 为直径的半圆上的两点，设AN 与BM 交于P 求证：AP ·AN ＋BP ·BM ＝AB 2
证明：连AM 、BN ，过P 作PC ⊥AB 于C ，
则AN AC AB AP = BM
BC
AB BP = ∴AP ·AN ＝AB ·AC BP ·BM ＝AB ·BC ∴AP ·AN ＋BP ·BM ＝AB ·AC ＋ AB ·BC ＝AB(AC ＋BC)＝AB 2
20．已知P 为正方形ABCD 内一点，且PA ∶PB ∶PC ＝1∶2∶3 求证：∠APB 为定值
证明：把△BCP 逆时针旋转90，使 △BCP 与△ABE 重合，设PA ＝k PB ＝2k ，PC ＝3k ，则BE ＝k AE ＝3k
∴PE ＝22k ，∠BPE ＝45° 在△APE 中
0222982cos 222222=??-+=??-+=∠k
k k k k PA PE AE PA PE APE
∴∠APE ＝90°
∴∠APB ＝135°（定值）
21．1O 内切O 于点A ，自O 上任一点作1O 的切线PT 求证：连1OO 必过A 点，连OP 、1O P （如图） 过A 作公切线AC ，图中
221∠=∠，321∠=∠
∴23∠=∠
OP ?∥1O B
:():PB PA R r R =-
（其中R 、r 分别为O 、1O 的半径）
∴PA R
r
R PB -= 而22
PA R
r
R PA PB PT -=?= ∴R r R PA
PT -=2
2 R
r R PA
PT -=?
（定值）
22．已知半径为R 、r （R ＞r ）的两圆内切于点A ，直径AE 的垂线分别交两圆于B 、C ，且BC 在AE 的同则，求证：△ABC 的外接圆半径为定值．
证明：在△ABD 中 AB ＝2Rcos （α＋β） 在△ACE 中 AC ＝2rcos β ∴AB ∶AC ＝β
βαcos )
cos(r R + ①
在△ABC 中
))
(2
sin()
2
sin(βαπ
βπ
+-=
+AC AB
∴AB ∶AC ＝cos β∶cos （α＋β） ②
由①②
r
R
=
+)cos(cos βαβ
③ 又设△ABC 的外接圆半径为`R
2cos()2` 2cos cos sin()
2
AB AB R R αβπ
βββ+=
=
==+由③
∴R '= （定值）
∴△ABC 的外接圆半径为定值
23．已知△ABC 为正三角形，Q 为其外接圆 BC
上任一点，P 为内切圆上任一点，求证： （1）222QC QB QA ++为定值 （2）2
2
2
PC PB PA ++为定值 证明：（1）由前面的习题知QA ＝QB ＋QC 设QA ＝m ，QB ＝n ，QC ＝l ，
AB ＝BC ＝CA ＝a
在△PAB 中，由余弦定理（∠BQC ＝120°）
nl l n QC QB QC QB a BC ++=??-+==222222120cos 2
∴
(2)(2 )(2
2
2
2
22222a nl l n QB QC QB QC QB QA =++=+++=++(2)解析法：如图建立直角坐标系，设圆半径为R 则)0,3(R B -，)0,3(R C
由∠CAO ＝∠1＝30°知)3,0(R A ，设),(y x P 且有2
2
2
)(R R y x =-+
2
2222222222222222222215 12])([3 12)2(33 69633 )3()3()3(R R R y x R R Ry y x R R Ry y x y R x y R x R y x PC PB PA =+-+=++-+=++-+=+-++++-+=++则有
24．设A 、B 、C 是直线L 上三点，1A ，1B ，1C 是直线1L 上三点，且1AB ∥1A
B ，1AC
∥1AC ，求证：1BC ∥1B C
证明：分两种情况 （1）设1L L D = ∵1AB ∥1A B
∴1
1
DB DA DB DA = ① ∵1AC ∥1AC ∴
1
1DC DA DC DA =
∴
1
1
DC DB DC DB =
即1BC ∥1B C （2）设L ∥1L ∵1AB ∥1A B ∴11AB A B = ∵1AC ∥1AC ∴11AC AC =
∴11111BC AC AB AC A B B C =-=-= ∴1BC ∥1B C
25.在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，∠B 的三等分角平分线交BC 上的高AD 于M 、N ，又CN
的延长线交AB 于E ，求证：EM ∥BN
证明：连结CM ，由对称性知 CM 平分∠ACE ∴M 为△ACE 的内心
A
E
B
C
M N A
B
C
L
C 1
D
B 1
A 1
L 1
A B C
A 1
B 1
C 1 L 1
L
则CM 平分∠AEN
而∠AEN ＝90°－∠ACE ＝60° ∴∠AEM ＝30° 又∠ABN ＝30° ∴EM ∥BN
26．在△ABC 外接圆上取一点P ，作1PA ∥
BC ，1PB ∥CA ，1PC ∥AB ，求证：1AA ∥1BB ∥
1CC ．
证明：如图，∵1PA ∥BC ∴1A B PC = ∵1PB ∥CA ∴1PA B C =
∴11111A B PC PB B C PB AP AB ==+=+= ∴1AA ∥1BB 同理可证1BB ∥1CC ∴1AA ∥1BB ∥1CC
27．以四边形ABCD 的各边为直径作四个圆，求证相邻两个圆的公共弦与另外两个圆的公共弦平行．
证明：以AB 为直径的圆为1O ，以BC 为直径的圆为2O ，以CD 为直径的圆为3O ，以DA 为直径的圆为4O ，连14O O ，23O O ，BD ，则
14O O ∥BD ∥23O O
1
而14O O ⊥AE ，23O O ⊥CF
（其中E 为1O ，4O 的另一个交点，F 为2O ，3O 的另一个交点） ∴AE ∥CF 即命题得证
28．已知正△ABC ，在AC ，BC 上各取一点E ，D 使2AE CE =，2CD BD =，设AD ，
BE 交于点P ，求证：AP CP ⊥．
证明：连结DE ，如图
∵ADB BEC ∠=∠，∴,,,P D C E 四点共圆 ∴CPD DEC ∠=∠ 下面只要证90DEC ∠=
∵1
2
CE CD =
，∴可以证明90DEC ∠= ∴90CPD ∠=
，即AP CP ⊥
29．设AD 是Rt ABC 斜边上的高，过C 、D 但不过A 作一圆与AC 交于E ，连结BE 交圆于F ，求证：
AF BE ⊥．
证明：∵2
BD BC AB ?= 而BD BC BF BE ?=?
∴2
AB BF BE =?，∴AF BE ⊥
30．设BE 、CF 是△ABC 的两条高，在射线BE 上截取BP AC =，在射线CF 上截取
CQ AB =，求证：AP AQ =，AP AQ ⊥．
证明：在△ABP 和△ACQ 中，
BP AC = 12∠=∠
CQ AB =
A
Q
B
C
E P
F
1 2
∴△ABP ≌△ACQ ∴AP AQ =
APB QAC ∠=∠
即AEB PAE QAP QAE ∠+∠=∠+∠
∴90QAP AEB ∠=∠= 即AP AQ ⊥
31．在△ABC 中，以AB 、AC 为边向形外作正方形ABEF 、ACGH ，P 、Q 各是这两个正方形的中心，M 、N 各是BC 、FH 的中点，求证：
（1）BH CF ⊥； （2）BH CF =；
（3）四边形MQNP 是正方形．
证明：以A 为中心，把△ABH 顺时针旋转90°，则AH 与BC 、AB 与AF 分别重合 ∴（1）BH CF ⊥ （2）BH CF =
（3）连BF 、CH 分别过P 、Q 两点
在△BCF 中，可证MP ∥1
2CF 在△CFH 中，可证NQ ∥1
2
CF
∴MP ∥NQ 同样MQ ∥NP ∴ MP MQ ⊥
∴四边形MQNP 是正方形
32．已知1O 与2O 相切于点P ，AB 、CD 各是这两个圆的平行弦，求证：若A 、P 、
D 三点共线，则B 、P 、C 三点也共线．
证明：连结BP 、CP ，过P 作公切线MN ，则
APM B ∠=∠，DPN C ∠=∠
∵APM DPN ∠=∠ ∴B C ∠=∠ ∵AB ∥CD ∴A D ∠=∠ ∴APB CPD ∠=∠ ∴B 、P 、C 三点也共线
33．在梯形ABCD 中，设两底AB 、CD 的中点为E 、F ，对角线的交点为G ，两腰延长线交点为H ，求证：E 、F 、G 、H 四点共线．
证明：连结HE 、HF ，∵AB ∥CD ∴△HCD ∽△HBA ，∴
AB HB
DC HC
= 又∵E 、F 分别是AB 、CD 的中点
∴1212
AB
EB AB HB FC CD HC DC ===
而HBE HCF ∠=∠
∴△HBE ∽△HCF ，∴BHE CHF ∠=∠ ∴E 、F 、H 三点共线
同理连结GE 、GF ，由△ABG ∽△CDG 可得
1212
AB
BE AB BG
DF CD CG
CD ===
，而ABG CDG ∠=∠ ∴△BEG ∽△DFG
DGF BGF ∠=∠
∵B 、G 、D 在一条直线上 ∴DGF ∠、BGE ∠为对顶角 ∴E 、G 、F 三点共线
A
B
C
D
H
F G
由上知，E 、F 、G 、H 四点共线
34．在△ABC 中，AD 、BE 、CF 是三边上的高，过D 作DM BE ⊥于M ，DN CF ⊥于N ，DK AB ⊥于K ，DL AC ⊥于L ，求证：K 、M 、N 、L 四点共线．
证明：连结MN 、ML 、EF ，可知
B 、
C 、E 、F 四点共圆
∴AEF ABC ∠=∠ ① ∵CF AB ⊥，CF DN ⊥ ∴AB ∥DN
∴ABC NDC ∠=∠ ② 而由DN CF ⊥，DL AC ⊥知
D 、C 、L 、N 四点共圆
∴NDC ELM ∠=∠ ③ 由①②③知
AEF ELM ∠=∠
∴EF ∥ML
可以证明O 、M 、D 、N 四点共圆 ∴OMN ODN ∠=∠
∵在Rt △ODC 中，DN OC ⊥ ∴ODN OCD FCB ∠=∠=∠ ∵B 、C 、E 、F 四点共圆 ∴FEB FCB ∠=∠ ∴OMN FEB ∠=∠ ∴EF ∥MN
即M 、N 、L 三点共线 同理连结NK 、NM ，可证明
NK ∥EF ，NM ∥EF
∴K 、M 、N 三点共线
A
B
C
D
L
E
F
O
K M N
初中数学几何题及答案
经典难题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 经典难题（二） A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 A N F E C D B
P C G F B Q A D E 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二） 经典难题（三） 1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二） · A D H E M C B O · G A O D B E C Q P N M · O Q P B D E C N M · A A F D E C B
初中数学几何基本图形+初中数学图形与几何
初中数学几何基本图形初中数学图形与几何导读:就爱阅读网友为您分享以下“初中数学图形与几何”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对https://www.360docs.net/doc/7e5991935.html,的支持! 课程简介 初中数学图形与几何 【课程简介】 本模块主要研讨数学课程标准修订稿中“初中数学空间与图形”部分的内容要求，目的是通过研讨，使教师们明确本模块内容的具体要求，并提出教学实施过程中的一些建议。总体分为六个部分: 1. 图形与几何内容结构分析——主要探讨图形与几何部分的整体结构框架和三条主要线索; 2. 图形的性质内容与教学分析——主要探讨图形的性质部分的内容要求、与实验稿的变化以及教学实施中注意的问 1 题; 3. 图形的变化内容与教学分析——主要探讨图形的变化部分的内容要求、与实验稿的变化以及教学实施中注意的问题; 4. 图形与坐标内容与教学分析——主要探讨图形与坐标部分的内容要求、与实验稿的变化以及教学实施中注意的问题; 5. 空间观念与几何直观——主要探讨核心概念空间观念与几何直观的含义，以及在图形与几何的教学中如何培养学生的空间观念与几何直观能力; 6. 推理能力——主要探讨核心概念推理能力的含义，以及在图形与几何的教学中如何培养学生的推理能力。
课程既有理论指导，又有大量的教学实例，同时还有主讲教师间的相互交流，给教师们提供了较为广阔的思考空间。 【学习要求】 1(对“初中数学空间与图形”模块的内容结构和主线有清楚 2 的认识，能够说出这些线索之间的区别与联系; 2(了解图形的性质部分的研究的图形有哪些，认识图形的哪些方面，以及在这部分中是如何认识这些图形的; 3(体会图形的变化是研究图形的又一个途径和角度，明确它的学习意义，了解其内容组成; 4(体会图形与坐标是研究图形的又一个途径和角度，明确它的学习意义，了解其内容组成; 5(能够结合自己的教学实践，举出相应的实例，说明图形的性质、图形的变化和图形与坐标的教学经验和方法; 6(理解核心概念——空间观念、几何直观和推理能力的具体含义，体会它们与知识技能的区别和联系，能够借助具体实例说出培养学生上述能力的途径和方法。 专题讲座 初中数学图形与几何 刘晓玫(首师大数学，教授) 史炳星(北京教育学院，副教授 ) 章巍(河北保定三中分校，高级教师 ) 3 一、图形与几何内容结构分析
初中中考数学常见几何模型简介
几何问题 初中几何常见模型解析 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。（2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②；③平分。（3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②；③平分。?
（1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有 （2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有； ③；④；⑤连接AD、BC，必有 ； ⑥（对角线互相垂直的四边形） ?
（1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE; ②；③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明；?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）；②；③此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。
（2）全等型-120° ?条件：①；②平分； ?结论：①；②；③ ?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。 ?当的一边交AO的延长线于点D时（如上图右）： 原结论变成：①； ②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。 （3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②；③ . ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①； ②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。 ◇请思考初始条件的变化对模型的影响。
? 如图所示，若将条件“平分”去掉，条件①不变，平分，结论变化如下： 结论：①；②；③.
初中数学几何题(超难)及答案分析
几何经典难题 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初三） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点， ∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1 的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交 MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 5、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初三） A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 A N F E C D M B · A D H E M C B O
P C G F B Q A D E 6、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ， 直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初三） 7、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初三 ） 8、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二） · G A O D B E C Q P N M · O Q P B D E C N M · A
《初等几何研究》教学大纲
课程名称：初等几何解题研究 课程编码：0702032110 适用专业及层次：数学教育专科生 课程总学时：72 课程总学分： 一、课程的性质、目的与任务 1、本课程的性质：专业课。 2、课程目的与任务： 通过本课程的学习使学生初中数学几何教学所需的初等几何的基础理 论、基本知识和基本技能；了解中学数学的内容和知识结构。并对初等几 何的一些定理进行补充，使学生在数学思想上得到启发，在数学方法上得 到初步的培训，为教好中学数学打下较好的基础。 二、教学内容、教学要求及教学重难点 总论 教学内容：了解初等几何研究的对象和目的，了解中学几何的逻辑结 构。应根据中学数学的内容和知识结构，把初等数学的一些基本问题分别 组成若干专题，在内容上适当延伸和充实，在理论、观点和方法上予以提 高的原则。 教学要求：着重于基本知识基本理论的讲授和学生对几何问题的观察、分析、综合、推究能力的培养， 重点难点：了解中学几何的逻辑结构 第一章几何题的证明 教学内容： 第一节．几何证明的概述 1.几何证明的一般方法 了解直观与推理，了解关于命题的证明；了解直接证法与间接证法； 几种证题方法：综合法与分析法; 演绎法与归纳法. 2.几何证明的特殊方法 了解几何证明一些特殊方法：分解法、扩充法、特殊化法、类比法、 面积法、转换法、变换法、代数法、三角法、解析法等 第二节正度量关系 1.证两线段相等关系 掌握常用的证明线段相等的方法技巧
2.证两角的相等关系 证明两角相等的方法，了解证明两角相等的途径 3.证线段合角的和差倍分关系 和差倍分的证题方法及常用定理 4.证线段与角的不等关系 掌握证明不等量的常用定理 5.证成比例线段的关系 成比例线段证题方法及常用定理 6.证定值问题 了解两种处理定值问题的方法 第三节证位置关系 1.证两线段平行的关系 掌握证明平行线的方法及常用定理 2.证两直线的垂直关系 掌握垂直线的证法及常用技巧 3.证点的共线关系 共线点的证法，了解梅涅劳定理 4.证线的共点关系 共点线的证法，了解锡瓦定理 5.证点的共圆关系 掌握共圆点的证题方法 6.证圆的共点关系 掌握共点圆的证题方法 教学要求：讲授证题法与证题术，对初等几何的一些定理进行补充，使学生在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步的培训。 重点、难点：证题法与证题术 其它教学环节：习题课 第二章几何量的计算 教学内容： 第一节线段的度量 了解线段度量的概念 1.线段的长度 了解线段度量的性质 2.度量线段的基本理论 了解度量线段的基本理论 3.线段的公度与不可公度 4.三角形中重要线段的计算 掌握已知三边求中线、高和面积的方法及三角形中一些线段的计算；斯特瓦尔特定理及其应用 第二节角与弧的度量 1.角与弧的度量 了解角与弧的度量的性质 2.圆周长、圆周率
初中数学知识点几何部分总结大全
初中数学知识点几何部分总结大全（初一、二部分） 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 推论2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（等
在教学中如何运用几何直观
在教学中如何运用几何直观 学生的思维水平止处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡，离不开具体事物的支持。几何直观凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，抽象思维同形象思维结合起来，充分展现问题的本质，能够帮助学生打开思维的大门，开启智慧的钥匙，突破数学理解上的难点。 （一）以图连线—搭建桥梁，沟通联系 “在传统领域之间界限的日趋消失是现代数学的特性之一，而几何直观在其间起着联络作用。”某些问题的信息之间，某个知识块之间，代数与几何之间，几何直观使复杂多样的分类变得简单明了。比如俞止强老师的讲座中提到这样个例子:生说自然数就像条射线，它们都有个起点，没有终点，可以无限延长。这位学生惊人的发现无不体现了知识间是相通的，把代数中的自然数概念和空间形式联系起来，不但缩短了知识间的距离，而且还减少记忆容量。 （二）以图促思—渗透数形结合思想 “数无形不直观，形无数难入微”，“数形结合”的思想是重要的数学思想，其实质是使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。小学数学教材中特别注重这种思想的渗透，借助几何直观，可以把数形结合思想更好地反映出来。通过图形的直观性质来阐明数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题简捷明快，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了条重要的途径。 利用直观的图形，学生能积极地思考图中正方形的面积的变化和算式之间的联系。在此基础上用数学式子表达它的规律。从而发现;n个奇数相加的和等于n×n;再如，教学“连除两步计算问题”时，学校图书室买来200本新书，放在2个书架上，每个书架有4层。平均每层放了多少本书?最初可以出示书架的实物模刑，逐步用长方形的图示代替来说明解决问题的过程。①先算每个书架放了几本?②先算两个书架共有几层? ③先算两个书架的一层共放几本书?以数形结合的方式帮助学生感悟用连除两步计算解决问题的数学本质。借助“形”的直观，能促进小学生形成从“数”和“形”的角度把“数和形”结合起来考虑问题的意识，有机渗透数形结合是一种重要的数学思想。 （三）以图求解—有助于数学方法的再创造 直观是抽象思维问题的信息源，又是途径信息源，它不仅为抽象思维提供信息，而且由于直观形象在认知结构中鲜明性强，可以多思路、
中考数学几何专题知识点总结78点中考数学几何压轴题
中考数学几何专题知识点总结78点中考数学 几何压轴题 1 同角或等角的余角相等 2 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 3 过两点有且只有一条直线 4 两点之间线段最短 5 同角或等角的补角相等 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边
16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
最新初中数学几何题解题技巧
最新初中数学几何题解题技巧 初中数学几何题解题技巧一.添辅助线有二种情况 1按定义添辅助线： 如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此"添线"应该叫做"补图"!这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下： (1)平行线是个基本图形： 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线
(2)等腰三角形是个简单的基本图形： 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。 (3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形： 出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。 (4)直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。 (5)三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整
时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。 (6)全等三角形： 全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线 (7)相似三角形： 相似三角形有平行线型(带平行线的相似三角形)，相交线型，旋转型;当出现相比线段重叠在一直线上时(中点可看成比为1)可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。 (8)特殊角直角三角形
初中数学几何定理大全
初中数学公理和定理 一、公理（不需证明） 1、两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条 直线平行; 2、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3、两边和夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS） 4、角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA） 5、三边对应相等的两个三角形全等; （SSS） 6、全等三角形的对应边相等,对应角相等. 7、线段公理：两点之间，线段最短。 8、直线公理：过两点有且只有一条直线。 9、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线 平行 10、垂直性质：经过直线外或直线上一点，有且只有一条 直线与已知直线垂直 以下对初中阶段所学的公理、定理进行分类： 一、直线与角 1、两点之间，线段最短。 2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 3、同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。 4、对顶角相等 二、平行与垂直 5、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 6、经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 7、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 8、夹在两平行线间的平行线段相等 9、平行线的判定： （1）同位角相等，两直线平行； （2）内错角相等，两直线平行； （3）同旁内角互补，两直线平行； （4）垂直于同一条直线的两条的直线互相平行. （5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行 10、平行线的性质： （1）两直线平行，同位角相等。 （2）两直线平行，内错角相等。 （3）两直线平行，同旁内角互补。 三、角平分线、垂直平分线、图形的变化（轴对称、平称、旋转） 11、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 12、角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 13、线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等. 14、线段垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 15、轴对称的性质： （1）如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分. （2）对应线段相等、对应角相等。 16、平移：经过平移，图形上的每个点都沿着相同方向移动了相同的距离，平移后，新图形和原图形的形状和大小都没有发现改变，即它们是全等图形。即对应线段平行且相等，对应角相等，对应点所连的线段平行且相等 17、旋转对称： (1)图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度(2)对应点到旋转中心的距离相等； (3)对应线段相等、对应角相等 18、中心对称： （1）具有旋转对称的所有性质： （2）中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对 称中心平分 四、三角形： （一）一般性质 19、三角形内角和定理：三角形的内角和等于180° 20、三角形外角的性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角； ③三角形的外角和等于360° 21、三边关系： （1）两边之和大于第三边； （2）两边之差小于第三边 22、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 23、三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心），这点 到三个顶点的距离（外接圆半径）相等。 24、三角形的三条角平分线交于一点（内心），这点到三 边的距离（内切圆半径）相等。 （二）特殊性质： 25、等腰三角形、等边三角形 （1）等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的 边也相等．（简写成“等角对等边”） （3）“三线合一”定理：等腰三角形的顶角平分线、底边 上的中线和底边上的高互相重合 （4）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等 于60°． （5）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （6）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 26、直角三角形： （1）直角三角形的两个锐角互余； （2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方； （3）勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. （4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. （5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所 对的直角边等于斜边的一半. （6）三角形一边的中线等于这边的一半，这个三角形是直 角三角形。 五、四边形 27、多边形中的有关公理、定理： （1）四边形的内角和为360° （2）N边形的内角和：（ n－2）×180°. （3）任意多边形的外角和都为360° 28、平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边平行且相等； （2）平行四边形的对角相等； （3）平行四边形的对角线互相平分。
几何直观和空间观念的差异及优秀教学侧重点
几何直观和空间观念地差异及教学侧重点 东北师范大学孔凡哲 东北师范大学第二附属小学王延萍 几何直观作为核心名词，2011年底首次出现在小学阶段（尽管2003年颁布地《普通高中数学课程标准（实验）》早就明确提出了针对“几何直观”地要求“培养和发展学生地…几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程地基本要求”）；同时，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（《标准（2011年版）》）以下简称首次将几何直观与空间观念、推理能力并列，成为“图形与几何”领域地核心目标地三大组成要素.b5E2R。 几何直观与推理能力差异是显而易见地.但是，几何直观与空间观念究竟是什么关系？在教学中，如何有针对性地培养学生地几何直观与空间观念？这些问题都是小学数学领域亟待理清地问题.本文就此阐述.p1Ean。 一、几何直观与空间观念地含义差异分析 正如《标准（2011年版）》指出地，“直观与推理是图形与几何领域地核心目标”，其中，“空间观念”是指“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述地实际物体；想象出物体地方位和相互之间地位置关系；描述图形地运动和变化；依据语言描述画出图形等”，“几何直观”是指“利用图形描述和分析数学问题.借助几何直观可以把复杂地数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题地思路，预测结果.特别地，空间观念地培养要贯穿整个数学学习过程中”.DXDiT。 我们认为，“严格意义上讲，这是针对几何直观地作用地解释性说明，而不是针对几何直观地含义地诠释”，即不是针对“几何直观”地明确定义.RTCrp。 对此，我们可以这样定义几何直观： 几何直观是指借助于见到地（或想象出来地）几何图形地形象关系，对数学地研究对象（即空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握地能力.5PCzV。 几何直观有助于将抽象地数学对象直观化、显性化，因而，寻找数学对象地直观模型是有效发挥几何直观地重要环节之一.jLBHr。 作为“图形与几何”地核心名词，几何直观与空间观念分别从不同地角度涵盖了几何学习地重要目标，二者有局部地差异，但是，各有侧重.xHAQX。
初中几何十大模型-无水印
初中几何十大模型 模型，可理解为数学定理（培训辅导机构总结归纳出来的定理）。但是不是课本上出现的定理，故不能在证明题中直接使用其结论（需要证明一遍）。模型主要作用还是简化图形，为证明或者添加辅助线提供思路。 一、 中位线模型 多个中点构造中位线 【例】 ①在Rt △ABC 中，F 为斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，且满足∠DFE=90°，AD=3，BE=4，求线段DE 长度． ②如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠= ∠=°，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =． E D F C B A
二、 角平分线模型 角平分线+垂线=等腰三角形 角平分线+垂线=等腰三角形 【例】如图所示，△ ABC 中，∠ A=60°，BD 、CE 是△ABC 的角平分 线，交于F 点，求证：DF=EF 三、 三垂直模型与弦图 【例】在平面直角坐标系中，A （0,3 ），点B 的纵坐标为2，点C 的 纵坐标为 0，当A 、B 、C 三点围成的等腰直角三角形时，求B 、C 坐标。
四、 手拉手模型 【例】在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连 接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC 五、 倍长中线与婆罗摩笈多模型 倍长中线、倍长类中线、中点遇平行延长相交 条件： 1、两个等腰三角形 2、顶角相等 3、顶点重合 结论： 1、手相等 2、三角形全等 3、手的夹角相等 4、顶点连手的交点得平分 D
初中数学几何知识点总结
初中数学几何知识点总结 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
初中几何模型及常见结论的总结归纳
初中几何模型及常见结论的总结归纳 三角形的概念 三角形边、角之间的关系：①任意两边之和大于第三边（任意两边之差小于第三边）；②三角形内角和为0180（外角和为0 360）；③三角形的外角等于不相邻的两内角和。 三角形的三线：(1)中线（三角形的顶点和对边中点的连线）;三角形三边中线交于一点（重心） 如）；DE 之到?S 如图，已知AB ，AC 的长，求AF 的取值范围时。我们可以通过倍长 中线。利用三角形边的关系在三角形ABD 中构建不等关系。（AC AB AF AC AB +- 2）. (2)角平分线（三角形三内角的角平分线）；三角形的三条内角平分线交于一点（内心）
如等 OE ； r = 2
（3）垂线（三角形顶点到对边的垂线）；三角形三条边上的高交于一点（垂心） 如图，O为三角形ABC的垂心，我们可以得到比较多的锐角相等如 COD ABC ACO ABO∠ = ∠ ∠ = ∠；等。因此垂线（或高）这样的条件在题目中出现，我们往往可以得出比较多的锐角相等。（等角或同角的余角相等），此外，如果要求垂线段的长度或与垂线段有关的长度问题，我们通常用面积法求解。在上图中，若已知CE AC AB， ，的长度，求BE的长。 特别注意：在等腰三角形中，我们通常所指的三线合一就是指中线、角平分线、高线。三线合一：已知三角形三线中的任意两个条件是重合的，那么就可以得出第三条线也是重合的。在具体运用时，我们往往时把三线合一的等腰三角形补充完整再加以运用。 三角形全等 三角形全等我们要牢记住它的五个判定方法。（SSS,SAS,ASA,AAS,HL） 在具体运用时，我们需要找出判定三角形全等的各种条件，不外乎是关于边相等或相等的问题。 对于寻找角相等：常有四种方法：①两条平行线被第三条直线所截得出的“三线八角”的结论；②对顶角相等；③锐角互余；④三角形的外角等于不相邻的两内角和。 对于寻找边相等：常有三种方法：①特殊图形中隐含的条件（如等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形。。。。。）；②利用三线合一的正逆定理；③通过已有的全等三角形性质得出。对于证明角相等，证明边相等，我们都要优先考虑边或角所在的三角形全等。（一定要注意对应）如果不能直接通过全等证明，我们就要转化角或转化边（用上面的几种方法）然后再考虑全等。 全等三角形的基本图形： 平移类全等；对称类全等；旋转类全等；
初中数学几何证明经典题(含答案)
初中几何证明题 经典题（一） 1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初二） .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150． 求证：△PBC是正三角形．（初二） .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 A P C D B A F G C E B O D
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 经典题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 B
(0775)《中学几何研究》作业四答案
（0775）《中学几何研究》作业3答案 一、填空题： 1．希尔伯特在其巨著《几何基础》中，建立了完备化的公理系统，其基本元素是点、线、 面。 2．用公理化方法写成的第一部几何巨著是《几何原本》。 3．欧氏几何与罗氏几何的本质区别是平行公理不同。 4．直线AB 与PQ 交于M ，则:PAB QAB S S ??=:PM QM 。 5．复数32z i =-，则||z = 6．图形F 绕O 逆时针旋转90 得图形F '，该变换可记为(0,90) R F F '????→ 。 7．凸四边形ABCD 内接于圆的充要条件是AB CD BC AD AC BD ?+?=?。 8．与两定点A 、B 距离相等的点的轨迹是线段AB 的中垂线。 9．在中学平面几何中，常用的作图方法是交轨法和三角形奠基法。 二、解答下列各小题： （1）设O 为锐角三角形ABC 的外心，若,,AO BO CO 分别交对边于,,L M N 三点， 设O 的半径为R ，求证：1112AL BM CN R ++=。 证明：1BCO ABC S OL AL R R S AL AL AL -===- 同理可得 1ACO ABC S R S BM =- ， 1ABO ABC S R S CN =- 如上三式相加得 11113( )R AL BM CN =-++ 所以 1112AL BM CN R ++= （2）作图题（只写作法）：已知O 及外一点P ，过P 作O 的切线。 作法：连接OP ，以OP 为直径作圆交O 于点A 、B ，则直线AP 、BP 为过点P 的两切线。
第三题图 三、简述尺规作图的作图公理。 以下是尺规作图中可用的基本方法，也称为作图公理，任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法： ·通过两个已知点可作一直线。 ·已知圆心和半径可作一个圆。 尺规作图 ·若两已知直线相交，可求其交点。 ·若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。 ·若两已知圆相交，可求其交点。
人教版初中数学中考几何知识点大全
目录 知?????????????????????????????? 2 形的认 一、图 点????????????????????????????? 3 知识 二、平行线 、定理?????????????????????????????? 3 三、命题 四、平移????????????????????????????????? 3 点????????????????????????? 4 五、平面直角坐标 系知识 段?????????????????????????? 5 六、与三角形有关的线 七、与三角形有关的角??????????????????????????? 5 形及其内角和??????????????????????????? 6 八、多边 九、镶 嵌????????????????????????????????? 6 点???????????????????????????7 十、全等三角形知识 十一、轴 对称???????????????????????????????7 十二、勾股定理??????????????????????????????8 形???????????????????????????????8 十三、四边 ????????????????????????????????9 十四、旋转 总 ????????????????????????????10 点汇 知识 十五、圆 十六、相似三角形?????????????????????????????13 ?????????????????????????????14 图 十七、投影与视 ??????????????????????????????15 十八、尺规 作图
初中数学知识点几何部分总结大全
初中数学知识点几何部分总结 大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离 相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于 斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线 段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
中考数学几何题集锦
地区：浙江省金华市年份：2011 分值：12.0 难度：难 如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF.（1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长； （2）当DE＝8时，求线段EF的长； （3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由. 地区：浙江省湖州市年份：2011 分值：14.0 难度：难 如图1．已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M 是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D． (1)求点D的坐标（用含m的代数式表示）； (2)当△APD是等腰三角形时，求m的值； (3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）
地区：山东省济宁市年份：2011 分值：10.0 难度：难 如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C 的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y＝kx ＋3. (1)设点P的纵坐标为p，写出p随K变化的函数关系式. (2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP.请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明; (3)是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值;若不存在，请说明理由. 地区：湖南省邵阳市年份：2011 分值：10.0 难度：难 如图（十一）所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A（，0），点C（0,3） 点B是x轴上一点（位于点A右侧），以AB为直径的圆恰好经过点C. （1）求角ACB的度数； （2）已知抛物线y=ax2+bx+3经过A，B两点，求抛物线的解析式； （3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由.