关于地球上两点间的最短航线方向问题
甲 A B E F
B 关于地球上两点间的最短航线方向问题
一.最短航线的判断依据：
球面上两点间的最短距离为两点所在大圆的劣弧。
二、图示圆弧是否属于大圆
看圆弧直径是否等于地球直径
三、找大圆上两点的劣弧
过两点的弧小于180度
1、判断图中各点之间是否为最短距离（如图1所示）
AB 、 CD 、 EF
2、图中甲乙两点间的最短距离（如图2所示）
（图1） （图2）
四、地球上两点间的最短航线方向确定
1、两点在同一经线圈上
a. 两点在同一经线上,向正北或向正南走
例如（图1） A 到B 向正北走；反之，B 到A 向正南走。
b ．两点在两条经线上（经度相对，过较近的极点判断）
过A 、B 两点经线圈劣弧通过北极点时，先向正北走后向正南走；反之过A 、B 两点经线圈劣弧通过南极点时，先向正南走后向正北。
例：如图2 从A 到B 先向正北走后向正南走；反之，从B 到A 先向正南走后向正北走。
如图1 如图2
2、两点在同一纬线上
甲 乙 A B A
B A
a. 两点在赤道上，向正东走或向正西走
如图1 A 到B 向正东走，反之，B 到A 向正西走。
b ．两点不在赤道上
①．南北方向确定，北半球偏北，南半球偏南
北半球所在纬线上的两点，先向北走后向南走；反之，南半球所在纬线上的两点，先向南走后向北走
②．东西方向的确定
走向和地球自转的方向相同，向东走；反之，走向和地球自转的方向相反，向西走。 例：如图2
A 到
B 先西北后西南，
C 到
D 先向东南后向东北
（如图
1） （如图2）
3、两点即不在同一经线，也不在同一纬线上（即A 、B 两点晨昏圈上） a.过劣弧不通过两点所在大圆与南北半球所在纬线的切点
T 时，（即两点在晨线上或在昏线上，根据地图上的方向判
断方法）
（如左图） 例:A 到B 向东南走；反之，B 到A 向西北走；
从C 到D 向东北走, 从D 到C 向西南走
b ．过两点劣弧通过两点所在大圆与南北半球所在纬线的
切点T 时（即分别在晨线和昏线上，用极点附近方向的判断）
①．南北方向: 通过北半球所在纬线切点T 时，南北方
向，先向北走，后向南走；反之，通过南半球所在纬线切点
T 时，先向南走，后向北走
②．东西方向: 走向和地球自转的方向相同，向东走；
反之，走向和地球自转的方向相反，向西走。
如左图 例: 从A 到D 先向西北后向西南;从B 向C 先东
南后东北走. C D
A B
T S
空间两点之间的距离公式
空间两点间的距离公式 教学目标： 1、通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式 2、感受空间两点间距离公式与平面两点间距离公式的联系与区别 教学重点 两点间距离公式的应用 教学难点 利用公式解决空间几何问题 教学过程 一、复习 1、空间点的坐标的特点 2、平面两点间的距离公式P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2) ________________ 线段P 1P 2中点坐标公式______________ 二、新课 1、设P 的坐标是(x,y,z),求|OP| |OP|=___________________________ 2、空间两点P 1(x 1,y 1,z 1)，P 2(x 2,y 2,z 2),求 |P 1P 2| |P 1P 2|=___________________________ 线段P 1P 2中点坐标公式_________________ 例：()()间的距离求空间两点1,0,6523 21--，P ，，P 练习：()()()513432251，，，C ，，，B ，，A ABC 的三个顶点已知? （1）求。ABC 中最短边的边长 ? （2）求边上中线的长度AC
例：试解释()()()365312222=-+++-z y x 的几何意义。 练习：1、已知()1,,222=++z y x z y x M 满足则M 点的轨迹为_________________ 2、求P ??? ? ??66,33,22到原点的距离。 3、()()。a AB a ，B ，，A 的值求设,4,,3,0210= 4、在长方体1111D C B A ABCD -，AD=2，AB=3，AA 1=2，E 为AC 中点，求D 1E 的长。 三、小结
如何证明两点之间距离最短(三维版)
如何证明两点之间距离最短(三维版) 两点之间直线最长曲线最短 证明如下： 两点之间直线最短，这是数学常识，我无异意。我只是站在另一个角度思考问题。我试图把北京和纽约这两个点用直线连接起来，因为两点之间直线最短，但折腾了半天，发现：两点之间直线最长。原理在于，地球是圆的，任何一点与另一点之间都无法直线连接，一旦想直线连接，连线必然沿切线直飞出去，很难与另一点连接在一起。唯有曲线连接，才是最短的距离。我拿了一个可口可乐瓶子，在瓶面上取两点，想把这两点用直线连接起来，结果失败，结果依然证明：两点之间直线最长，曲线最短。百般思索和试验的结果发现：所谓两点之间直线最短的结论仅仅适合于二维平面之中，超出二维平面，这个结论失效。此外，这个结论在理论上成立，在实际中不成立。这就是说，不在同一维度中两点之间无法直线连接，越想用直线连接，距离会越远。同时，理论上正确的，实际中无法应用。把这个发现引伸到其他领域结果会如何呢？在思想领域，两点之间也无法直线连接，比如耶稣、佛陀、老子、穆罕默德、马克思列宁毛泽东、奥修、赛斯等等的思想相互之间无法用直线连接，最短的距离是曲线连接。在社会领域，比如美国和中国的制度，这两点之间也无法直线连接，唯有曲线最短。在信仰领域，比如无神论和有神论，进化论和创造论，唯心论和唯物论，都无法直线连接。 在人文领域，比如东西方文化，尤其是其价值观，也无法直线连
接。在情爱方面，越是直线连接，寿命越短，"曲径通幽处，禅房花木深，"越曲，越心惊肉跳，越有滋味。在幸福快乐方面，越想直线获得幸福快乐，越得不到幸福快乐。许多人走了一辈子，最后会发现越直接的路是离幸福快乐最遥远的路，且不通向任何目的地。其实，中国人是最懂曲线道理的，行贿不直接向本人行，而是通过其夫人或七大姨八大姑行贿，也不一定直接行物行钱，而是提供获利方便。办事不直接到办公室说，而是先请到酒店意思意思。心急火燎却装得没事人似的。什么"欲擒故纵"、"围魏救赵"、"瞒天过海"、"声东击西"、"暗渡陈仓"、"借尸还魂"、"指桑骂槐"、"偷梁换柱"、"美人计"、"反间计"等等，等等就是在搞"曲线救国"。人生的路越曲越好，越直接越不好。人一出生，什么都不感受体验，就直达坟墓，有什么好的？今天谈恋爱，明天就结婚，后天生孩子，大后天就寿终正寝，有什么好的？吃饭、上班、睡觉，再吃饭、再上班、再睡觉，有什么好的？从一而终有什么好的？伟人说过，"前途是光明的，道路是曲折的，"把这句话倒过来说就是一个真理：道路曲折的，前途是光明的。起码是更有意义的。生命领域同样如此，如果师父直接告诉我们生命的奥秘，明天就去仙岛群岛洲，一是反而去不了，二是错过了丰富多彩的人生体验。如果乐着、笑着、打闹着、嘻嘻哈哈着、感受着、经历着、体验着，看起来是曲线，不直接，但实际情况是：两点之间直线最长，曲线最短。我喜欢反常思维，把正常的看作不正常，不正常的看作正常，结果，思维可以向无限陌生无限宽广的领域延伸，常常有"山穷水复疑无路，柳暗花明又一村"的感受。
飞机最短航线问题
飞机最短航线问题 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-
经纬网 ----------飞机最短航线问题 1、同一经线上的两点，其最短航线就在这条经线上，方向为正南或正北。（如图中A、C两地或B、D两地） 2、若两地经度相差180°，且两地不全在赤道上时，经过两地的大圆为经线 圈，两地最短航线过极点。 （1）两地都在北半球，最短航线过北极点。 航向为先向正北，再向正南（如图中A、B两地） （2）两地都在南半球，最短航线过南极点。 航向为先向正南，再向正北（如图中C、D两地） （3）若一地在南半球，一地在北半球时，比较两地纬度值的大小，最短航线经过两地中纬度值较大者所在半球的极点。 由A到D时,先向南，过南极点，然后向北 由B到C时, 先向北，过北极点，然后向南 3、同一纬线上的两地（经度差不是180°）
（1）两地在赤道上，因赤道是大圆，则最短航线沿赤道航行即可，方向为向东或向西。（C、D两地） （2）两地不在在赤道上，最短航线的劣弧段向较高纬度凸出。 ①两地都位于北半球时，最短航线向北凸出。 ⅰ往东时：先向东北，再向东南。（由A到B） ⅱ往西时：先向西北，再向西南。（由 B到A ） ②两地都位于南半球时，最短航线向南凸出。 ⅰ往东时：先向东南，再向东北。（由Q到M） ⅱ往西时：先向西南，再向西北。（由M到Q） 4、晨昏线上的两点 由于晨昏线本身就是一个大圆，故在晨昏线上的两点最短航线就是两点之间的最短晨昏线 总结：特殊大圆---赤道、经线圈、晨昏圈 同一纬线上（非赤道、非经线圈） 1：若一架飞机从M点起飞，沿最短航线到达P点，则飞机飞行的方 向是（） A 一直向东 B 先东北再东南
两点间的距离公式及中点公式教学设计样本
【课题】8．1 两点间距离公式及中点公式 【教材阐明】 本人所用教材为江苏教诲出版社，凤凰职教《数学·第二册》。平面解析是用代数办法研究平面几何问题学科，第八章《直线与圆方程》属于平面解析几何学基本知识。它侧重于数形结合办法和形象思维特性，综合了平面几何、代数、三角等知识。 【学情分析】 学生是一年级数控中专班，上课不能长时间集中注意力，计算能力不强，对抽象知识理解能力不强，但是对直观事物可以理解，对新事物也有较强接受能力。 【教学目的】 知识目的： 1. 理解平面直角坐标系中距离公式和中点公式推导过程． 2. 掌握两点间距离公式与中点坐标公式． 能力目的： 用“数形结合”办法，简介两个公式．培养学生解决问题能力与计算能力． 情感目的： 通过观测、对比体会数学对称美和谐美，培养学生思考能力，学会从已有知识出发积极摸索未知世界意识及对待新知识良好情感态度． 【教学重点】 两点间距离公式与线段中点坐标公式运用． 【教学难点】 两点间距离公式理解． 【教学备品】 三角板． 【教学办法】 讨论合伙法 【学时安排】 2学时．(90分钟)
【教学设计】 针对学生状况，本人在教学中引入尽量安排各种实例，多讲详细东西，少说抽象东西，以激发学生学习兴趣。在例题和练习安排上多画图，努力贯彻数形结合思想，让学生逐渐接受和养成画图习惯，用图形来解决问题。这也恰恰和学生自身专业比较符合，学生学过机械制图，数控需要编程，编程又需要对某些曲线方程有充分理解。同步在教学中经惯用分组讨论法，探究发现法，逐渐培养学生协作能力和独立思考能力。 两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何基本公式，教材采用“知识回顾”方式给出这两个公式．讲授时可结合刚学过向量坐标和向量模定义解说，但解说重点应放在公式应用上． 【教学过程】 大海中有两个小岛，
浅谈如何求几何体异面上两点间最短距离(1)
浅谈如何求几何体异面上两点间最短距离 湖北省十堰市房县上龛中学 付 彬 我们知道，在同一平面上，两点之间线段最短。但如果两点不在同一平面上，而是在几何体的两个不同面上，问题又会如何呢？众所周知，一个立体图形沿着某些棱剪开并铺平，能够展开成平面图形，如长方体，三棱锥，圆柱等。这里，我们不妨利用平面展开图把几何体异面上两点之间最短距离问题化归为同一平面上两点之间最短距离问题：先将所需几何体表面展开得到平面图形，连结两点，求出两点间线段的长，从而得到几何体异面上两点之间的最短距离。下面我们结合实例来说明侧面展开图的方法. 一、几何体为棱柱 问题1 如图1所示，已知长方体蛋糕上A 点有只蜘蛛在寻找实物，B 点有只苍蝇正在进食。若这块长方体蛋糕的长、宽、高分别为7 cm ，5cm 和5 cm ，那么这只蜘蛛在A 点发现苍蝇后，到B 点逮到苍蝇的最短爬行路线有多长？ 分析：①如图1-1，把长方体的上表面和正面展开成平面图形，连结AB ；②如图1-2，把长方体的正面和右侧面展开成平面图形，连结AB 。两者中较小的AB 值就是所求。 解：①如图1-1，由题意，得 ∠ACB ＝90。 ，AC ＝7，BC ＝5＋5＝10， ∴ AB ＝1491072222=+=+BC AC ②如图1-2，由题意，得 ∠ACB ＝90。，AC ＝7＋5＝12，BC ＝5， ∴ AB ＝135122222=+=+BC AC ∵ 13149< ∴ 所求最短爬行路线长149cm 。 二、几何体为棱锥 问题２如图２，课桌上放着一个正三棱锥S-ABC ，SA=1,∠ASB=30°, 蚂蚁从点A 沿三棱锥的侧面爬行（必须经过三棱锥的三个侧面）再回到A ，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短. 解：根据图２，沿SA 剪开得展开图２. 在⊿SAE 中，,,SE=－1. 利用尺规作图可以找到E 和F ，从而确定蚂蚁的最佳行迹AEFA. 图1-1 图 1-2 图1
球面两点间最短航线-练习题
[专题要点归纳]： 一、地图三要素：比例尺、方向、图例和注记 1、比例尺：也叫缩尺图上距离公式略 （1）比例尺的大小与地图的详略： 在同样的图幅上： 比例尺越大，地图上所表示的实际范围越小，但表示的内容越详细，精确度越高。 比例尺越小，则表示的范围越大，内容越简单，精确度越低。 规律：大范围的地区多选用较小的比例尺地图。如世界政区图、中国政区图等。 小范围的地区多选用较大的比例尺地图。如平面图、军事图、旅游图等。（2）比例尺的缩放： 地图缩放的计算 1．比例尺的缩放 地图比例尺缩放的计算常出现”放大(缩小)”、“放大到(缩小到)”和“放大了(缩小了)”不分的现象。比例尺放大到原先的几倍就是原比例尺乘以几；放大几倍或放大了几倍是比原来多了几倍。例如：“放大到”2倍，就是原比例尺乘以2；“放大”或“放大了”2倍，就是原比例尺乘以3。同样，原比例尺“缩小”或“缩小了”1/5，则原比例尺乘以4/5；“缩小到”1/5就是原比例尺乘以1/5。 2．图幅的缩放 图幅的缩放是面积的缩放，而比例尺的缩放是长度的缩放。例如，比例尺放大到原图比例尺的2倍，则图幅则放大到原图的4倍 根据实地范围和图幅纸张大小确定地图比例尺： 实地范围和纸张大小巳定，绘制地图时要求确定比例尺的大小，其方法是先用纸张的长度除以实地范围的长度，得出长度比例尺，然后用纸张的宽度除以实地宽度，求出宽度比例尺，然后比较长度和宽度比例尺的大小，只能选用较小者，可以采用比较小者更小一些的比例尺，而决不能采用大于较小者的比例尺。例如：用长和宽各1米的纸张绘制中国地图，可根据纸张长度和中国东西距离(约5200千米)求出长度比例尺为l：5200 000，根据纸张宽度和我国南北距离(约5500千米)求出宽度比例尺为1:5500 000。比较可以得出，在这张纸上绘制的中国地图比例尺不得大于1:5500 000。 比例尺放大：用原比例尺*放大到的倍数。 例如将1/10000的比例尺放大1倍，即比例尺放大到2倍，放大后的比例尺是1/5000，比例尺变大。 比例尺缩小：用原比例尺*缩小到的倍数。（分数倍）。 例如将1/50000的比例尺缩小1/4，即比例尺缩小到3/4，缩小后的比例尺应为： 3/4*1/50000=1/66500，比例尺缩小。 缩放后图幅面积的变化： 比例尺放大后的图幅面积=放大到的倍数之平方 如将比例尺放大到原图的2倍，则放大后图幅面积是原来的4倍。 比例尺缩小后的图幅面积=缩小到的倍数之平方 如将比例尺缩小到原图的1/3，则图幅面积为原图的1/9 例题1、将1：10000000的地图比例尺放大1倍后，下列说法正确的是 ( D ） A、新图比例尺为1：20000000 B、新图图幅面积比原图增加了2倍 C、新图表示的地理事物比原图简略
坐标公式大集合(两点间距离公式)
坐标公式大集合（两点间距离公式） 安徽省安庆市第四中学八年级（13）班王正宇著 在八年级上册的数学教材中（沪科版），我们学习到了平面直角坐标系这一章,由此,我们引申出一次函数、二次函数、反比例函数等知识，故完全掌握其知识是十分有必要的。今天，我们来说一说坐标公式。了解它是很有必要的哦！ 一、求平行于x与y轴的直线的距离 ①我们在平面直角坐标系中做一条线段AB平行于x轴（AB为任意直线），我们要求出线段AB的长度，可能有些同学会利用数格子的方式求出其长度，方法是对的，但是书写到作业或试卷中就麻烦了，怎么办？针对这种情况，我们先看AB两点的横坐标，会发现一个特点：随意将其相减，会有两个结果，且互为相反数。有因为其长度ab≥0的，故取正数结果。那么，每次计算都要这么麻烦的去转换吗？不用的，我们只要记住一个公式： | Ax－Bx | 即A点横坐标数减去B点横坐标数，当然，有“绝对值”符号老兄的帮助，A、B两点的横坐标数颠倒过来相减也没有关系。 ②同样的，有上面的过程支撑，我想，推出平行于Y轴的线段CD的长度肯定就好求了！！那么，同理，我们就可以得出一个关于求平行于Y轴线段长度的公式哦： | Cy－Dy | 即C点纵坐标减去D点纵坐标，与上面一样，颠倒过来不影响结论。 二、求斜线的长度 这个内容，本人在一些习题集与各个网站的习题精选里时常见到，不过要涉及到八年级下册的内容。但是，这个内容很重要，必须要讲讲，还要了解清楚。 求斜线的长度涉及到勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²＋b²＝c² 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即： A 2+ B 2 = C 2 这样一解释，想必大家都清楚了吧！这样，为我们下面推出求斜线长度的公式打下了坚实的基础。
探究球面上两点间的最短距离和走法 文档 (2)
探究球面上两点间的最短距离和走法 在球面上，连接甲、乙两点有一弦，在同样的弦上，半径最大，所过的弧长最短。过球面上任意两点的圆弧都是在某个过这两点的平面与该球切割出的圆上。在球面上，两点间最短距离就是过这两点的大圆（半径等于球体的半径）的劣弧，下图中甲、乙两点，最短距离就是两点所在的经过球心的大圆上的距离。 具有地理意义的大圆：经线圈、赤道、晨昏圈（线）（如下图） 1、在同一经线圈上的两点（但不在同一 条经线上），过这两点的大圆便是经线圈， 过两极点为两点间最短距离，具体又分为三 种情况： A．同位于北半球，最近航程一定是先
向北，过极点后再向南（如图1中的A、B两点） B、同位于南半球，最近航程一定是先向南，过极点后再向北（如图2中的A、B两点）。 C、两地位于南北两个半球，这时需要讨论，确定过哪个极点的为劣弧，再讨论（如图3） 2、在晨昏圈上（晨昏线就是经过球心的大圆） A、在晨线上的A、B两点（如图4）,判断较为简单. B、在昏线上的 C、D两点（如图5）,判断较为简单. C、分别在晨线和昏线上：
从A到D点间最近距离的走法是先向西北再向西南，从B到C点间最近距离的走法是先向东南再向东北（如图6） 3、在赤道上的A、B两点正东或正西，最短距离，就是过这两点的大圆的劣弧（图7） 4、同一纬线上的两点间最短距离的走法，北半球是先向高纬度，再向低纬度，如图8中的A、B两点，从A到B是先向东北，再向东南。南半球是先向高纬度，再向低纬度，如图8中的C、D两点，从C到D是先向东南，再向东北。 5、其他任意点间最短距离和方向的判断 两地经度差不等于180，则过两点的大圆不是经线圈，而与经线圈斜交，最短距离不过两极点，而是过两极地区（或上空），可分为两种情况：
地球上两点间的最短航线方向的判读(教案)
地球上两点间的最短航线方向的判读（教案） 一、教学目标 知识目标：理解数学中球面距离的定义，利用地利中地球的自转方向、纬度、经度的概念，来判断地球上两点间的最短航线的走向。 能力目标：建立空间立体感，真正理解两点间最短航线的走法。 情感目标：在实际问题中探索新知识，成功解决问题。 二、教学重点 培养空间立体感，迅速找到大圆的劣弧，再进行同纬度、同经度、赤道或相对经度、晨昏圈上的点的最短航线方向的判读。 三、教学难点 真正理解两点间最短航线的走法，遇到多种不同情况的有关习题时能够迅速正确的作答。 四、教学方法 读空间立体图形，建立空间立体感，讲练结合，理解大圆的劣弧与方向的判读。 五、教具：多媒体 六、课时安排：1课时 七、教学内容 【导入】地球上两点间最短航线方向的判读，是高考的一个考点，与数学中的球面距离有一定的关系，我们在高二讲经纬网时曾经提到过，平时做题时也时常遇到，但是有很多同学经常出错误。就我分析，主要原因在于大家缺乏空间想象能力，机械地记一些结论，没有真正理解，所以，有必要把这个问题单提出来做一个系统地讲解。 【具体内容】 1、最短航线的判读： 数学：球面上两点间的最短距离为两点所在大圆的劣弧。 大圆：球面上任意两点与球心所确定的平面与球面相交所得的圆。 2、方向的判读：
地理：①通常地图中的上北下南，左西右东 ②地球的自转方向（自西向东、北逆南顺） ③根据经纬度确定南北方向 3、读图理解大圆圈 图示圆弧是否属于大圆？ 判断图中各点之间是否为最短距离：AB、CD、EF 图中甲乙两点间的最短距离？ 4、具有地理意义的几个大圆：经线圈、赤道、晨昏圈 5、结合地理知识进行两点间最短航线方向的判读 ①经线圈上
平面内两点间的距离公式
两点间的距离公式 【教学目标】 1、 掌握平面内两点的距离公式和中点公式 2、 能熟练应用平面内两点间距离公式和中点公式进行运算 【教学重点】 平面内两点的距离公式和中点公式的应用 【教学难点】 平面内两点的距离公式和中点公式的应用 【教学过程】 引入： (如图)在数轴上有两点7,521=-=x x 则x x 2 1= -5 0 7 X 在直角三角形中，怎样求出斜边的长度 在直角坐标系中，已知点P （x,y ）,那么|OP|= x y
平面直已知两点1P P P 21说明 (1) 如果P 1P 2 x x 是x x 1 2- (2) 如果P 1和P 2两点在y 轴上或在平行于y 轴的直线上,两点距离 是y y 1 2- 试一试1：求平面上两点)7,1(),2,6(-B A 间的距离AB . 试一试2：求下列两点间的距离： （1）)0,2(),0,2(B A - （2）)7,0(),3,0(-B A （3）)4,2(),3,2(B A - (4))6,8(),9,5(B A - 试一试3：已知A （a,3），点B 在y 轴上，点B 的纵坐标为10，AB =12，求a 。 线段的中点公式 点),(111y x P ，),(2 22y x P 之间所连线段的中点P 坐标为 22 1x x x + =，221y y y +=。 说明公式对于P 1和P 2两点在平面内任意位置都是成立的 试一试3：求下列两点的中点坐标
（1）)13,2(),3,2(B A -（2）)6,18(),9,15(B A - （二）典型例题： 已知三角形的顶点是)2,7(),0,0(B A ，),4,1(-C ，求此三角形两条中线CE 和AD 的长度 （解题过程在书240页） 【自我检测】 1、平面直角坐标系中，已知两点),(111y x P ，),(2 22y x P ，两点距离公式为 2、点),(111y x P ，),(2 22y x P 之间所连线段的中点P 坐标为 3、 已知下列两点，求AB 及两点的中点坐标 （1） A （8，6），B （2，1） （2）A （-2，4）B （-2，-2） 4、 已知A(-4,4),B(8,10)两点，求两点间的距离AB 5、 已知下列两点，求中点坐标： a) A （5，10），B （-3，0）（2）A （-3，-1），B （5，7） 6、 已知点A （-1，-1），B （b,5）,且AB =10，求b.
两点之间最短的距离不一定是直线
题记：随手所为。 两点之间最短的距离不一定是直线 新东方创始人俞敏洪在给学生做演讲时，把这句话列为其讲演重点之一。 看到这句话，我突然想起了一次著名的战役：滑铁卢战役。 滑铁卢一战，拿破仑兵败。兵败原因很多，或者是对手较强，或者是运气太差。拿破仑兵败主要有两点原因，一是格鲁希元帅带了三分之一的主力部队去追击敌人，却做了无用功，最终没有及时援助拿破仑。另一个原因是拿破仑不懂得这一点：两点之间最短距离并不一定是直线。 当总攻开始后，拿破仑的精锐铁骑潮水般涌向敌人，当他们径直冲向敌人时，前面是一个山坡。他们以为，只要沿着山坡冲上去，再冲下去，就能打败敌人。谁知冲上山坡，他们却惊呆了，那边竟然有一道天堑！骑兵们速度极快，于是后面的人挤着前面的人，纷纷跌落峡谷。等到峡谷被硬生生填平时，上万铁骑已经活活丧命。丧失了精锐部队的拿破仑，岂有不败之理？ 当时负责侦察的人竟一时疏忽，忘了把阵地的前沿地形仔细侦察！也许他们凭惯性思维，认为两点之间不过是一条直线吧。 俞敏洪对这句话的解释是：我们做事情会碰到很多困难和障碍，有时候我们并不一定要硬挺、硬冲，我们可以选择有困难绕过去，有障碍绕过去，也许这样做事情更加顺利。 曾经在江南小镇骑车，远远的看见目的地就在一片树林后面。于是顺着一条小公路往前而去。走了一半，树林那里，竟是一条碧波幽幽的小河。只好回头，顺着大路绕道而行。 人际交往和事业中，往往能体会到这一点，目标和行动点之间，并不是一条直线。 大概真要做最坏的打算，赢得最潇洒的胜利罢。 伟人与钱 无论多么天才，对待金钱不一定有正确观念。一个人可能有很多优点，但未必在理财、投资方面有成。 曾经接触过不少著名教授，他们的一些挣钱点子非常新颖，但自己从不去干。有一次我问一位经济学教授，你为什么固守书屋之清贫，不去实践一下呢。他笑笑，给我讲了名人作家巴尔扎克的故事。 巴尔扎克一生工作都很辛苦，创造了无数优秀的作品。但是他却非常穷。 他曾经借钱参与出版社投资，雄心勃勃想要挣一笔，但是他的眼光太不敏锐，出版社很快运营不善而倒闭了。没有盈利也就罢了，他还欠下一屁股债。巴尔扎克不屈不饶，又筹资买下图书印刷厂。但天有不测风云，一年后，图书印刷厂又倒闭了。巴尔扎克屡战屡败，又筹资买下一家铸字厂，五个月后，厂子又完了。 债台高筑的巴尔扎克已经意识到自己的危机，于是辛勤写作，出售尚未完工的小说版权，一次次要求出版商预付资金，筹集到不少钱。 投资，从某种角度而言，是人们希望在物质上显示自己的才华。然而盲目运用其才华，巴尔扎克痴心不改，又参与银矿开采，购买铁路股份等等系列投资。一次次参与，一次次失败。这时的巴尔扎克已经不是一个清醒而理智的投资者，而是一个妄图凭借一次一夜暴富摆脱负债境地的赌徒。 在金钱方面，胆量和勇气固然是必须的，但锐利的眼光和理智的投资理念也是必须的。在这一点上，巴尔扎克明显处于劣势。晚年的巴尔扎克住进了一所昂贵的住房。非常不幸，这又让他债台高筑。在巴尔扎克去世后，家里的东西被拍卖得一干二净，才勉强打发走了债主们。
最新最短航程问题
题目 某公司在六个城市C 1,C 2,C 3,C 4,C 5,C 6都有分公司，公司成员经常往来于它们之间，已知从Ci 到C j 的直达航班票价由下述矩阵的第i 行，第j 列元素给出（∞表示无直达航班），该公司想算出一张任意两个城市之间的最廉价路线航费表。 摘要 改革开发以来，我国的经济发展迅速，人民生活水平逐渐提高，2010年，我国GDP 超越日本，排名世界第二。我国经济的发展，使人们对交通运输提出越来越多的需求， 而民航作为航空运输工具，在交通工具中起到十分重要的作用，新型飞机(民用)快速、续航能力强、安全、便捷的特点受到越来越多的人青睐。如果从交错复杂的飞机线路中找到最廉价的线路，不仅减少了中途时间，而且大大节省了开支费用，为企业和个人带来可观的经济效益。本文从航班网络的实际特点出发，对航班线路网和票价进行分析，将最佳路径搜索问题转化为图论中的最短路径的问题，通过对最短路径算法的分析，实现了Floyd 算法求航班网络中的最短路径，将之建立模型，并描述了用matlab 程序进行求解的过程。 关键词：最短路 matlab Floyd 算法 050402510500152025150102040201001025252010055102525550∞∞∞∞∞∞??????????????????
问题提出 某公司在六个城市C 1,C 2,C 3,C 4,C 5,C 6都有分公司，公司成员经常往来于它们之间，已知从Ci 到C j 的直达航班票价由下述矩阵的第i 行，第j 列元素给出（∞表示无直达航班），该公司想算出一张任意两个城市之间的最廉价路线航费表。 问题分析 若网络中的每条边都有一个数值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点和阱节点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。最短路问题，我们通常归属为三类：单源最短路径问题、确定起点终点的最短路径问题、全局最短路径问题———求图中所有的最短路径。 题中要求算出一张任意城市间的最廉价路线表，属于全局最短路问题，并且使得该公司总经理能够与各个子公司之间自由往返。（此两点为主要约束条件） 我们确定本题为全局最短路问题，并采用Floyd 算法，具体原理如下： （1） 求距离矩阵的方法 根据路线及票价表建立带权矩阵W ，并把带权邻接矩阵我w 作为距离矩阵的初始值，即(0)(0)()ij v v D d W ?== 1.()1(1)()ij v v D d ?=，其中{}1(0)(0)(0)11min ,ij ij i j d d d d =+，(1)ij d 是从i v 到j v 的只允许以1v 作为中间点的路径中最短路的长度。 2. ()2(2)()ij v v D d ?=，其中{}2(1)(1)(1)22min ,ij ij i j d d d d =+，(2)ij d 是从i v 到j v 的只允许以1v ，2v 作为中间点的路径中最短路的长度。 …… {}()()(1)(1)(1)(min ,v v v v v ij ij ij vj vD d d d d ---==+,()v ij d 是从i v 到j v 的只允许1v 、 2v 、……、v v 作为中间点的路径中最短路的长度。即是从i v 到j v 中间可插入如何 顶点的路径中最短路的长度，因此()v D 即是距离矩阵。 （2） 求路径矩阵的方法 在建立距离矩阵的同时可建立路径矩阵R ，()ij v v R r ?=，ij r 的含义是从i v 到j v 的最短路径要经过点号为ij r 的点。 (0)(0)(0)(),ij v v ij R r r j ?== 每求得一个()k D 时，按下列方式产生相应的新的()k R ： (1)(1) ()(1),,k k ij ik kj k ij k ij kd d d d r r ---?>+?=???若 否则 即当k v 被插入任何两点间的最短路径时，被记录在()k R 中，依次求得()k D 时求得()k R ，可由()v R 来查找任何点对之间最短的路径。 （3） 查找最短路径的方法 若()1v ij r p =，则点1p 是点i 到j 的最短距离的中间点，然后用同样的方法再分头查找。若： 1. 向点i 追溯得：12()()()23,,...,k v v v ip ip ip k r p r p r p ===
关于地球上两点间的最短航线方向问题
甲 A B E F B 关于地球上两点间的最短航线方向问题 一.最短航线的判断依据： 球面上两点间的最短距离为两点所在大圆的劣弧。 二、图示圆弧是否属于大圆 看圆弧直径是否等于地球直径 三、找大圆上两点的劣弧 过两点的弧小于180度 1、判断图中各点之间是否为最短距离（如图1所示） AB 、 CD 、 EF 2、图中甲乙两点间的最短距离（如图2所示） （图1） （图2） 四、地球上两点间的最短航线方向确定 1、两点在同一经线圈上 a. 两点在同一经线上,向正北或向正南走 例如（图1） A 到B 向正北走；反之，B 到A 向正南走。 b ．两点在两条经线上（经度相对，过较近的极点判断） 过A 、B 两点经线圈劣弧通过北极点时，先向正北走后向正南走；反之过A 、B 两点经线圈劣弧通过南极点时，先向正南走后向正北。 例：如图2 从A 到B 先向正北走后向正南走；反之，从B 到A 先向正南走后向正北走。 如图1 如图2 2、两点在同一纬线上 甲 乙 A B A
B A a. 两点在赤道上，向正东走或向正西走 如图1 A 到B 向正东走，反之，B 到A 向正西走。 b ．两点不在赤道上 ①．南北方向确定，北半球偏北，南半球偏南 北半球所在纬线上的两点，先向北走后向南走；反之，南半球所在纬线上的两点，先向南走后向北走 ②．东西方向的确定 走向和地球自转的方向相同，向东走；反之，走向和地球自转的方向相反，向西走。 例：如图2 A 到 B 先西北后西南， C 到 D 先向东南后向东北 （如图 1） （如图2） 3、两点即不在同一经线，也不在同一纬线上（即A 、B 两点晨昏圈上） a.过劣弧不通过两点所在大圆与南北半球所在纬线的切点 T 时，（即两点在晨线上或在昏线上，根据地图上的方向判 断方法） （如左图） 例:A 到B 向东南走；反之，B 到A 向西北走； 从C 到D 向东北走, 从D 到C 向西南走 b ．过两点劣弧通过两点所在大圆与南北半球所在纬线的 切点T 时（即分别在晨线和昏线上，用极点附近方向的判断） ①．南北方向: 通过北半球所在纬线切点T 时，南北方 向，先向北走，后向南走；反之，通过南半球所在纬线切点 T 时，先向南走，后向北走 ②．东西方向: 走向和地球自转的方向相同，向东走； 反之，走向和地球自转的方向相反，向西走。 如左图 例: 从A 到D 先向西北后向西南;从B 向C 先东 南后东北走. C D A B T S
数学建模任意两点间最短距离
任意两点间最短距离-floyd算法matlab程序 %Floyd's Algorithm 通过一个图的权值矩阵求出它的任意两点间的最短路径矩阵。 %Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths)，是一种动态规划算法， %稠密图效果最佳，边权可正可负。 %此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法。 %a为图的带权邻接矩阵 %从图的带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n×n开始，递归地进行n次更新， %即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)； %又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……； %最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。 %矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵， %同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。 %采用的是松弛技术，对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。所以时间复杂度为O(n^3); matlab函数文件为： function [D,path]=floyd1(a) a(find(a==0))=inf; n=size(a,1); %计算出a的规模的大小. D=a;path=zeros(n,n);%设置D和path的初值. for i=1:n for j=1:n if D(i,j)~=inf path(i,j)=j; end
end end %做n次迭代，每次迭代均更新D(i,j)和path(i,j) for k=1:n for i=1:n for j=1:n if D(i,k)+D(k,j) 甲 A B C D E F 乙 B 关于地球上两点间的最短航线方向问题 一.最短航线的判断依据： 球面上两点间的最短距离为两点所在大圆的劣弧。 二、图示圆弧是否属于大圆 看圆弧直径是否等于地球直径 三、找大圆上两点的劣弧 过两点的弧小于180度 1、判断图中各点之间是否为最短距离（如图1所示） AB 、 CD 、 EF 2、图中甲乙两点间的最短距离（如图2所示） （图1） （图2） 四、地球上两点间的最短航线方向确定 1、两点在同一经线圈上 a. 两点在同一经线上,向正北或向正南走 例如（图1） A 到B 向正北走；反之，B 到A 向正南走。 b ．两点在两条经线上（经度相对，过较近的极点判断） 过A 、B 两点经线圈劣弧通过北极点时，先向正北走后向正南走；反之过A 、B 两点经线圈劣弧通过南极点时，先向正南走后向正北。 例：如图2 从A 到B 先向正北走后向正南走；反之，从B 到A 先向正南走后向正北走。 如图1 如图2 2、两点在同一纬线上 甲 乙 A B A B A a. 两点在赤道上，向正东走或向正西走 如图1 A 到B 向正东走，反之，B 到A 向正西走。 b ．两点不在赤道上 ①．南北方向确定，北半球偏北，南半球偏南 北半球所在纬线上的两点，先向北走后向南走；反之，南半球所在纬线上的两点，先向南走后向北走 ②．东西方向的确定 走向和地球自转的方向相同，向东走；反之，走向和地球自转的方向相反，向西走。 例：如图2 A 到 B 先西北后西南， C 到 D 先向东南后向东北 （如图1） （如图2） 3、两点即不在同一经线，也不在同一纬线上（即A 、B 两点晨昏圈上） a.过劣弧不通过两点所在大圆与南北半球所在纬线的切点 T 时，（即两点在晨线上或在昏线上，根据地图上的方向判 断方法） （如左图） 例:A 到B 向东南走；反之，B 到A 向西北走； 从C 到D 向东北走, 从D 到C 向西南走 b ．过两点劣弧通过两点所在大圆与南北半球所在纬线的 切点T 时（即分别在晨线和昏线上，用极点附近方向的判断） ①．南北方向: 通过北半球所在纬线切点T 时，南北方 向，先向北走，后向南走；反之，通过南半球所在纬线切点 T 时，先向南走，后向北走 ②．东西方向: 走向和地球自转的方向相同，向东走； 反之，走向和地球自转的方向相反，向西走。 如左图 例: 从A 到D 先向西北后向西南;从B 向C 先东 南后东北走. C D A B A B C D T N T S 第13课 两点间距离公式 一、新知探究： 试一试，求下列两点间的距离： （1）)0,2(),0,2(B A - （2）)5,3(),5,3(B A - （3）)7,0(),3,0(-B A （4）)7,5(),3,5(---B A （5）)0,0(),8,6(B A （6）)3,4(),0,0(--B A 总结： 若平面上的有两点111222(,),(,)P x y P x y ， 1、如果1P 、2P 两点在x 轴上或在平行于x 轴的直线上，则两点距离12PP 是 2、如果1P 、2P 两点在y 轴上或在平行于y 轴的直线上，则两点距离12PP 是 3、点1P 到原点的距离是 ，点2P 到原点的距离是 探索二：已知平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y ，如何求111222(,),(,)P x y P x y 的距离12PP 例1 已知两点)2,1(-A ，)7,2(B 。 （1）求||AB ；（2）在x 轴上求一点P ，使得||||PB PA =，并求||PA 例2 已知△ABC 的三个顶点是1(1,0),(1,0),(2A B C -，试判断△ABC 的形状。 例3 已知△ABC 的顶点坐标为A （3，2），B （1，0），C （2+3，1－3）， 求AB 边上的中线CM 的长； 练习： 1.( ) ()A两点(a,b)与(1,-2)间的距离()B两点(a,b)与(-1,2)间的距离 D两点(a,b)与(-1,-2)间的距离 () C两点(a,b)与(1,2)间的距离() 2.已知下列两点，求AB及两点的中点坐标 （1）A（8，6），B（2，1）（2）A（-2，4）B（-2，-2） （3）A（5，10），B（-3，0）（4）A（-3，-1），B（5，7） 3.已知点A（-1，-1），B（b,5）,且AB=10，求b. 4.已知A在y轴上，B（4，-6），且两点间的距离AB=5，求点A的坐标 5.已知A（a,-5），点B在y轴上，点B的纵坐标为10，AB=17，求a。 6.已知A（2，1）,B（-1，2）,C（5,y）,且为等腰三角形，求y并求底上中线的长度 巩固提高： 1．若A(-1,3)、B（2，5）则AB=___________．AB的中点M的坐标为 求任意两点间最短路径的长度 在网络分析中求指定两点之间的最短路径并不难，但要求一个点集合内任意两点之间的最短路径对新手来说就比较困难了，下面介绍一下如何解决这个问题。 1、建立网络数据集。 2、将要求最短路径的点建成一点shapefiles。 3、将网络数据集和点加进arcmap，点network analyst工具条上的 打开网络分析窗口。图中红点是要求最短路径的点。 4、新建OD cost matrix并求要求最短路径点的OD cost matrix： 在网络分析窗口内origins和destinations上分别点右键，选load locations，将点加入 点network analyst工具条上的 求出OD cost matrix 5、生成origin点和destination点文件 首先将OD cost matrix的line导出，并将total_leng字段为0的记录删掉。然后用下图中工具分别生成生成origin点和destination点文件。 生成origin点文件时point type选start，生成destination点文件时point type选end。 生成的两个点文件的属性表是这样的 6、生成任意两点间最短路径 新建路径 在网络分析窗口内右键点stops，选选load locations，加入起点: 点相应的property的field字段，使name后的field值为空，routename后的field值为"name”，如上图所示。 重复上面步骤，加入终点: 加入起点、终点后网络分析窗口的情形： 探究球面上两点间的最短距离和走法---文档-(2) 探究球面上两点间的最短距离和走法 在球面上，连接甲、乙两点有一弦，在同样的弦上，半径最大，所过的弧长最短。过球面上任意两点的圆弧都是在某个过这两点的平面与该球切割出的圆上。在球面上，两点间最短距离就是过这两点的大圆（半径等于球体的半径）的劣弧，下图中甲、乙两点，最短距离就是两点所在的经过球心的大圆上的距离。 具有地理意义的大圆：经线圈、赤道、晨昏圈（线）（如下图）1、在同一经线圈上的两点（但不在同一 条经线上），过这两点的大圆便是经线圈， 过两极点为两点间最短距离，具体又分为三 种情况： A．同位于北半球，最近航程一定是先 向北，过极点后再向南（如图1中的A、B两点） B、同位于南半球，最近航程一定是先向南，过极点后再向北（如图2中的A、B两点）。 C、两地位于南北两个半球，这时需要讨论，确定过哪个极点的为劣弧，再讨论（如图3） 2、在晨昏圈上（晨昏线就是经过球心的大圆） A、在晨线上的A、B两点（如图4）,判断较为简单. B、在昏线上的 C、D两点（如图5）,判断较为简单. C、分别在晨线和昏线上： 从A到D点间最近距离的走法是先向西北再向西南，从B到C点间最近距离的走法是先向东南再向东北（如图6） 3、在赤道上的A、B两点正东或正西，最短距离，就是过这两点的大圆的劣弧（图7） 4、同一纬线上的两点间最短距离的走法，北半球是先向高纬度，再向低纬度，如图8中的A、B两点，从A到B是先向东北，再向东南。南半球是先向高纬度，再向低纬度，如图8中的C、D两点，从C到D是先向东南，再向东北。 5、其他任意点间最短距离和方向的判断 两地经度差不等于180，则过两点的大圆不是经线圈，而与经线圈斜交，最短距离不过两极点，而是过两极地区（或上空），可分为两种情况： 如何确定地球表面两点间最短航线的方向 在近年的地理试题中，考查地球上两点间最短航线的方向问题经常出现，由于很多学生 对这类问题没有从本质上搞清楚，又缺乏空间想象能力，只是机械地背一些结论，造成解这 类题目时经常出错。本文对此问题简单归纳如下。 判读依据： 数学知识：球面上两点间的最短距离为两点所在大圆的劣 弧。 地理知识：地图上的方向。 如图1 中所示几个圆中，只有AC 所在的圆和EF 所在的圆 为大圆。 图1 对于地理考查来说，一般是考查具有地理意义的大圆，主要包括：赤道、经线圈和晨昏 圈，对于这几个大圆上的最短航线方向的判断方法归纳如下： 1、两点位于赤道上：向正东或正西。 如图1 中C 点到A 点最短航线方向为向正西。 2、两点位于同一经线圈上： 若两点位于同一经线上，则向正南或正北。如图 2 中B 点 到A 点最短航线方向为向正北。 图2 若两点经度相对，最短航线则需过较近的极点，北极点附 近先向正北再向正南，现极点附近先向正南再向正北。如图 2 中E 点到C 点最短航线方向为先向正北再向正南； E 点到D 点最短航线方向为先向正南再向正北。 3、两点位于晨昏圈上： 若两点均在晨线上或昏线上，则根据地图上的方向判断 即可。如图3中A 点到B 点最短航线方向为向东南方向。 若两点分别在晨线和昏线上，也需要考虑极点附近的方向 问题。如图 3 中，A 点到D 点最短航线的方向为先向西北再 图3 向西南；B 点到C 点最短航线的方向为先向东南再向东北。 经常考查的还有同一纬线上两点的最短航线方向。若两点 在北纬，则最短航线方向需先向北偏再向南偏；若两点在南纬， 则最短航线需先向南偏再向北偏。 如图4 中，B 点到A 点最短航线的方向为先向西北再向西 南；C 点到D 点最短航线的方向为先向东南再向东北。 其他任意两点间的最短航线的方向考查较少，而且相对也 图4关于地球上两点间的最短航线方向问题
两点距离公式专项练习
在ArcGIS中求任意两点间最短路径的长度
探究球面上两点间的最短距离和走法---文档
地球上两点间的最短航线方向问题.doc