全国数学竞赛预赛试题分类：数列

全国数学竞赛预赛试题

分类：数列

IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

2014数学预赛试题分类：数列

天津3．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，并且对任意正整数n 成立243n n S S +=+，则2a 的值是（）

(A)．2(B)．6(C)．2或6(D)．2或-6

天津9．数列｛n a ｝满足11,2n n n a a a n +-=+≥．若78a =，则1210a a a +++等于． 河北11、设{n a }是等差数列，且满足：①n a ∈N *，②项数≥3，③d>0，记{n a }所有项的和为S.

（1）写出满足S=30的所有{n a }；

（2）求证：对大于8的合数m ，总存在{n a }使得S=m. 河北14、数列{n a }满足：2

11,11

1-=

=+n n a a a 。 （1）求证：3

2≥

n a ； （2）求证：27

102<

-n n a a . 山西1、将正整数数列1，2，3，…按如下方式自左至右分段，使得第一段有1×2

个数，第二段有2×3个数，…，第n 段有n ×(n+1)个数，…，则2014位于第段。

山西10、数列{n a }，{n b }满足条件：n n n n n n b a b b a a b a +=+===++1111,2,1；证

明：对每个正整数n ，下式成立：（1）

2,2221212><--n

n n n b a

b a ； （2）

2211-<-++n

n n n b a

b a 辽宁5．正项数列{}n a 满足

*1212

111

1()n n n n n n n a a a a a a ++++++=∈N ，136a a +=，1a ，2a ，3a 单调递增且成等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，则[]2014S 的值是（其中表示不超过实数的最大整数）（） A ．5368B ．5367C ．5363D ．5362

辽宁15．（本小题满分25分）

已知数列{}n a 中，12a =，对于任意的*,p q ∈N ，有p q p q a a a +=+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足1

3124234(1)21212121

21

n n n n

b b b b b

a -=

-+-++-+++++*

()n ∈N ，求数列{}n b 的通项公式；

（3）设*

3()n n n C b n λ=+∈N ，是否存在实数λ，当*n ∈N 时，1n n C C +>恒成

立，若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

吉林5、若五项的数列{n a }：54321,,,,a a a a a 满足543210a a a a a <<<<≤，且对任意的i ，j

（1≤i ≤j ≤5），均有i j a a -在该数列中。

①1a =0；②254a a =；③{n a }为等差数列；④集合A={j i a a +1≤i ≤j ≤5}含9个元素。

则上述论断正确的有（）个。A 、1B 、2C 、3D 、4 山东6、已知数列{n a }满足：)1()1(1112

2≥+++

=n n n a n ，且其前n 项和为n S ，则n S 的最大整数部分为。

山东14、数列{n a }中，)3(,,12

1

1321≥+====--+n a a a k a m a a a n n n n ，其中k 、m 均为正

整数且

（k ，m ）=1.问k 为何值时，对任意的n ∈N ，a n 均为整数？

福建11．已知{}

n

a为递增的等比数列，且

12

6

a a

+=，

34

24

a a

+=。

2

(1)

n

n

n

a

b

a

=

-

，数列{}n b的前n项和为n T，求证：对一切正整数n均有，

3

n

T<。

江西1．如果2014是一个正整数等差数列的第八项，那么该数列首项的最小值是．江西6．等差数列{}n a，{}n b的前n项和分别为n S，n T，若对任意的正整数n都有53

21

n

n

S n

T n

-

=

+

，则20

7

a

b

=．

河南4、等差数列{

n

a}满足10

2

10

2

1

≤

+a

a，则

19

11

10

...a

a

a

S+

+

+

=的取值范围是。河南12、递增数列1，3，4，9，10，12，13，…由一些正整数组成，它们或者是3的幂或者是若干个不同的3的幂的和，求第2014项的值。

湖北1.已知正整数数列}

{

n

a满足

n

n

n

a

a

a+

=

+

+1

2

，∈

n*N．若157

11

=

a，则

1

a=.

湖北6.去掉集合{|10000,

A n n n

=≤∈*N}中所有的完全平方数和完全立方数后，将剩下的元素按从小到大的顺序排成一个数列，这个数列的第2014项为.

湖北13.在单调递增数列}

{n a中，

1

2

a=，

2

4

a=，且

1

2

2

1

2

,

,

+

-n

n

n

a

a

a成等差数列，2

2

1

2

2

,

,

+

+n

n

n

a

a

a成等比数列，

,3,2,1

=

n．

（1）求数列}

{

n

a的通项公式；

（2）设数列}

1

{

n

a

的前n项和为

n

S，证明：

4

3(3)

n

n

S

n

>

+

，*

n∈N．

四川3、已知公差为d的等差数列}

{

n

a满足：d>0，

正整数n，都有，则公差d的取值范围是（）

四川15、已知k 为给定正整数，数列}{n a 满足

，其中

是}{n a 的前n 项和，令

。

，求k 的所有可能

值。

陕西2、已知等差数列}{n a 、}{n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且对于一切正整数n ，都有

1312+-=n n b a n n ， 则

=5

6

T S 。 陕西加2、已知数列}{n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且对任意n ∈N +，都

有0)()1(222

=+--+-n n S n n S n n

。 甘肃1、在数列{n a }中，3,121==a a ，且)(*12N n a a a n n n ∈-=++，则2014a =。 甘肃11、在数列{n a }中，11=a ，*1,22N n n a a n n ∈+-=+.求数列{n a }的前n 项和

n S .

黑11、已知数列{n a }满足n a =)10,(*<<∈?p N n p n n ，下面说法正确的是（） A 、①②B 、③④C 、②④D 、②③ ①当p=21时，数列{n a }为递减数列；②当2

1

2

1

时，数列{n a }为递减数列；④当p p -1为正整数是，数列{n a }必有两

项相等的最大项；

江苏4、已知等比数列{n a }的公比为q ，前n 项和n S >0（n=1，2，3，…），则q 的取值范围是。

江苏9、设数列{n a }的前n 项和为n S ，*111,232,0N n a S S a n n ∈=-≠+。 （1）证明数列{n a }为等比数列

（2）若1a 、)3(≥p a p 两项均为正整数，且存在正整数m ，使11-≥p m a ，

1)1(-+≤p p m a ，求n a 。 贵州9．（本小题满分16分）

已知数列{}n a 中，11a =，且121n n a a +=+． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2

）设数列}

1)n a +的前n 项和为n S ，求证：22(1)(41)

3

n n

n n S +-≤．

安徽10.设数列{}n a 满足2113

1,,12n n n

a a a n a ++==≥．求证：

（1）当2n ≥时，n a 严格单调递减．（2）当1n ≥

时，1|n

n a +-=

2r =

浙江4．已知等比数列{a n }：a 1=5,a 4=625，则2014

1

551

1

log log k k k a a =+∑

=（）

A ．2014

2015 B ．

2013

2014

C ．

2012

4028

D ．20134030

浙江20．设数列{a n }定义为a 1=a ,a n +1=1+121

1

n a a a ++???+-，n ≥1，求所有实数a ，

使得0

湖南3．若{}n a 是等差数列，首项10a >，201320140a a +>，201320140a a ?<，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（）A ．4025B ．4026C ．4027D ．4028 湖南10．已知一无穷等差数列中有3项（顺次排列但不一定相连）：13，25，41，

则可以判断得出2013

（填“是”、“不是”、“不能确定”）数列中的一项．

湖南16．（本小题满分20分）

已知数列{}n x 满足：212n n n x x x ++=+，12x =，26x =；数列{}n y 满足：

212n n n y y y ++=+，13y =，29y =．

求证：存在正整数0n ，使得对任意0n n >都有n n x y >．

新疆1、已知一个等比数列前2014项之和为200，前4028项之和为380，则前6042项之和为。 全国4、 全国10、