高中数学专题讲义-离散型随机变量及其分布列1

1． 离散型随机变量及其分布列

⑴离散型随机变量 如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y L 表示．

如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列

将离散型随机变量X 所有可能的取值i x 与该取值对应的概率i p (1,2,,)i n =L 列表表示：

X 1x 2x … i x … n x P

1p

2p

…

i p

…

n p

X 的分布列．

2．几类典型的随机分布

⑴两点分布

如果随机变量X 的分布列为

X 1 0 P p q

其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布．

二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X X 的分布列满足二点分布．

X 1

P 0.8 0.2

两点分布又称01-布又称为伯努利分布． ⑵超几何分布 一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为

C C ()C m n m

M N M

n N

P X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)．

我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，

M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列．

知识内容

离散型随机变量的定义

⑶二项分布

1．独立重复试验

如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为

()C (1)k

k n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =L ． 2．二项分布

若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复

试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k

n P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =L ．于是得到

由式

001110()C C

C C n n n k k n k n

n n n n n q p p q p q

p q p q --+=++++L L 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布， 记作~(,)X B n p ．

二项分布的均值与方差：

若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则

()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．

⑷正态分布

1． 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，

直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线．

曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布

⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布． 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为22

()2()x f x μσ--=

，

x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>

，μ-∞<<+∞．

式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望

为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．

⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论：

①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．

②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原

则．

⑷若2~()N ξμσ，，()f x 为其概率密度函数，则称()()()x

F x P x f t dt ξ-∞

==?≤为概率分布

函数，特别的，2

~(01)N ξμ

σ-，，称2

2()t x x dt φ-=?为标准正态分布函数． ()()x P x μ

ξφσ

-<=．

标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．

分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．

3．离散型随机变量的期望与方差

1．离散型随机变量的数学期望

定义：一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能的取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则1122()n n E x x p x p x p =+++L ，叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望（简称期望）．

离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平． 2．离散型随机变量的方差

一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-L 叫做这个离散型随机变量X 的方差．

离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．

()D X 叫做离散型随机变量X 的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．

3．X 为随机变量，a b ，为常数，则2()()()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=，

； 4． 典型分布的期望与方差：

⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ．

⑵二项分布：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．

⑶超几何分布：若离散型随机变量X 服从参数为N M n ，，的超几何分布，

则()nM

E X N

=，2

()()()(1)n N n N M M D X N N --=-．

4．事件的独立性

如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即(|)()P B A P B =，

这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．

如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =???I I L I L ，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立．

5．条件概率

对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示．把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =I （或D AB =）．

典例分析

【例1】以下随机变量中，不是离散型随机变量的是：

⑴某城市一天之内发生的火警次数X；

⑵某城市一天之内的温度Y．

【例2】下列随机变量中，不是离散随机变量的是（）

A．从10只编号的球（0号到9号）中任取一只，被取出的球的号码ξ

B．抛掷两个骰子，所得的最大点数ξ

C．[]

0,10区间内任一实数与它四舍五入取整后的整数的差值ξ

D．一电信局在未来某日内接到的电话呼叫次数ξ

【例3】写出下列各随机变量可能的取值．

⑴小明要去北京旅游，可能乘火车、汽车，也可能乘飞机，他的旅费分别为100元、

260元和600元，记他的旅费为X；

⑵正方体的骰子，各面分别刻着123456

，，，，，，随意掷两次，所得的点数之和X．

【例4】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．

⑴一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出

3只球，被取出的球的最大号码数ξ；

⑵某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η．

注意事件与数字间的对应关系．

ξ=表示的随机试验结果是（）【例5】抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么4

A．一颗是3点，一颗是1点

B．两颗都是2点

C．两颗都是4点

D．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点

【例6】如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是（）

A．ξ取每一个可能值的概率都是非负数；

B．ξ取所有可能值的概率之和为1；

C．ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；

D．ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和