高中数学离散型随机变量及其分布列全章复习题型完美版

第十二讲 随机变量及其分布列

课程类型：□复习 □预习 □习题 针对学员基础：□基础 □中等 □优秀

本章主要内容

：

1.离散型随机变量的定义；

2.期望与方差；

3.二项分布与超几何分布.

本章教学目标：

1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重点)

2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点)

3.理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用．(难点)

第一节 离散型随机变量及其分布列

【知识与方法】

一．离散型随机变量的定义

1定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．

①随机变量是一种对应关系； ②实验结果必须与数字对应； ③数字会随着实验结果的变化而变化.

2.表示：随机变量常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示．

授课班级

授课日期 学员

月 日 组

“超几何分布”一词来源于超几何数列，就像“几何分布”来源于几何数列。

几何数列又叫等比数列，“几何分布”、'几何数列"名称的来源前面的文章已经解释过，请看一些带"几何"的数学名词来源解释。几何分布（ ）是离散型机率分布。其中一种定义为：在第n 次伯努利试验，才得到第一次成功的机率。详细的说，是：n 次伯努利试验，前1次皆失败，第n 次才成功的机率。

课外拓展

3.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( ) .

4.连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间或某几个区间内的一切值，这样的变量就叫做连续 型随机变量

5.注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，0=ξ，

表示正面向上，1=ξ，表示反面向上

（2）若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量二．离散型随机变量的分布列

1.一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，，…，, X 取每一个值(1,2，…，n )的概率P ()，则称表：

为离散型随机变量X

用等式可表示为P ()，1,2，…，n, 也可以用图象来表示X 的分布列． 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①≥0，1,2，…，n ；②

11

=∑=n

i i

p

．

1.两点分布),1(~P B X

若随机变量X (1)为成功概率． 2.超几何分布),,(~n M N H X

一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P ()=n

N

k n M

N k M C C C --，0,1,2，…，

m ，其中{}n M ,，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.

【例题与变式】

题型一随机变量

【例1】判断正误：

(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．()

(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．()

(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量．()

(4)试验之前可以判断离散型随机变量的所有值．()

【例2】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．

(1)北京国际机场候机厅中2016年5月1日的旅客数量；

(2)2016年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数；

(3)2016年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；

(4)体积为1 000 3的球的半径长．

【变式1】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．

(1)某天腾讯公司客服接到咨询电话的个数；

(2)标准大气压下，水沸腾的温度；

(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；

(4)体积为64 3的正方体的棱长．

【例3】指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．

(1)某座大桥一天经过的车辆数X；

(2)某超市5月份每天的销售额；

(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；

(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.

【变式2】下列变量中属于离散型随机变量的有．(填序号)

(1)在2 017张已编号的卡片(从1号到2 017号)中任取1张，被取出的编号数为X；

(2)连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X；

(3)在广州至武汉的电气化铁道线上，每隔50 m有一电线铁塔，从广州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，其中某一电线铁塔的编号；

(4)投掷一枚骰子，六面都刻有数字8，所得的点数X.

题型二 随机变量的可能取值及试验结果

【例1】口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X 表示取出的最大号码，则X 的所有可能取值有哪些？

【例2】（2017春?清河区月考）设b ，c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．设随机变量ξ，求随机变量ξ的取值情况．

【变式】（2017春?大武口区期中）袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球的1分，现在从袋中随机摸出4个球，列出所得分数X 的所有可能.

题型三 分布列及其性质的应用

【例1】设随机变量X 的分布列为P ()(1,2,3,4)，求：

(1)P (1或2)；

(2))2721(<

【例2】（2017春?文昌月考）设随机变量X 的分布列为,5,4,3,2,1,25)(==

=i k i X P 则)2

5

21(<

（ ） A ．

152 B ．52 C ．51 D ．15

1

【例3】已知数列{}n a 是等差数列，随机变量X 的分布列如下表：

求3a .

【变式1】若离散型随机变量X 的分布列为：

求常数a ．

【变式2】（2017春?秦都区月考）设随机变量X 的分布列为,3,2,1,)3

2

()(=?==i a i X P i ，则a 的值为（ ）

A ．

3817 B ．3827 C ．1917 D ．19

27 【变式3】（2017春?武陵区月考）若离散型随机变量X 的分布列为：

则实数a 的值为．

【例4】设离散型随机变量X 的分布列为：

求：(1)21的分布列；

(2)1|的分布列.

【变式4】(2017·南宁二模)设随机变量X 的概率分布列如下表，则P (21)=（ ）

题型四 求离散型随机变量的分布列

【例1】口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X 表示取出的最大号码，求X 的分布列．

【例2】（2017春?清河区月考）设b ，c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．

(1)设{}

R x c bx x x A ∈<+-=,022，求φ≠A 的概率； (2设随机变量ξ，求ξ的分布列．

【例3】(2016·天津卷节选)某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列.

【变式1】将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．

【变式2】某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

试销结束后(件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.

(1)求当天商店不进货的概率；

(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列.

题型五 两点分布

【例1】(1)利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？

(2)只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？

【例2】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列.

【变式】设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ=0)等于（）A．0 B．C．D．

题型六超几何分布

【例1】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客乙从10张奖券中任意抽取2张.

(1)求顾客乙中奖的概率；

(2)设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．

【例2】老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：