二项式定理专题复习
二项式定理知识点、题型与方法归纳
一．知识梳理
1．二项式定理：)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ∈+++++=+-- ．其中)
,,2,1,0(n r C r
n =叫二项式系数．式中的r r
n r n b a
C -叫二项展开式的通项，用1+r T 表示，即通项r
r n r n r b a C T -+=1.
2．二项展开式形式上的特点: (1)项数为n ＋1；
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .
(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .
(4)二项式的系数从C 0
n ，C 1
n ，一直到C n －1n ，C n
n . 3．二项式系数的性质：
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即r n r
n n C C -=
(2)增减性与最大值：二项式系数C k
n ，当k ＜
n ＋1
2
时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减
小的；当n 是偶数时，中间一项2n n
C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项1122n n n
n
C C
-+=取得最大值．
(3)各二项式系数和：C 0
n ＋C 1
n ＋C 2
n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n
；
C 0
n ＋C 2
n ＋C 4
n ＋…＝C 1
n ＋C 3
n ＋C 5
n ＋…＝2n －1
.
一个防范
运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n a
n －r b r
，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一
项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r
n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负． 两种应用
(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．
(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等． 三条性质
(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和； 二．题型示例
【题型一】求()n
x y +展开特定项
例1：(1＋3x )n
(其中n ∈N *
且n ≥6)的展开式中x 5
与x 6
的系数相等，则n ＝( ) B
A.6
B.7
C.8
D.9 例2：? ??
??x y －y x 8的展开式中x 2y 2
的系数为________.(用数字作答) 70
【题型二】求()()m n
a b x y +++展开特定项
例1：在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3
的项的系数是( ) D A ．74
B ．121
C ．－74
D ．－121
【题型三】求()()m
n
a b x y +?+展开特定项
例1：已知(1＋ax )(1＋x )5
的展开式中x 2
的系数为5，则a ＝( ) D
A.－4
B.－3
C.－2
D.－1
例2：在(1＋x )6
(1＋y )4
的展开式中,记x m y n
项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( ) C
A ．45
B ．60
C ．120
D ．210
例3：若数列{}n a 是等差数列,且6710a a +=,则在1212()()()x a x a x a ---的展开式中,11x 的系数为
___.60-
【题型四】求()n
x y z ++展开特定项
例1：求? ??
??x 2＋1x ＋25
(x >0)的展开式经整理后的常数项.
解：? ????x 2＋1x ＋25在x ＞0时可化为? ????x 2
＋1x 10，
因而T r ＋1＝C r
10? ????1210－r ()x 10－2r ，则r ＝5时为常数项，即C 5
10·? ??
??125＝6322.
例2：若将10
)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）．D
A ．11
B ．33
C ．55
D ．66
解：展开后，每一项都形如a b c
x y z ，其中10a b c ++=，该方程非负整数解的对数为210266C +=。
例3：(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2
的系数为( )
A ．10
B ．20
C ．30
D ．60
解析 易知T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，对于二项式(x 2＋x )3，由T t ＋1＝C t 3(x 2)3－t x t
＝C t 3x
6－t
，令t ＝1，所以x 5y 2的系数为C 25C 1
3＝30.
【题型五】二项式展开逆向问题
例1：(2013·广州毕业班综合测试)若C 1
n ＋3C 2
n ＋32C 3
n ＋…＋3n －2C n －1n ＋3n －1
＝85，则n 的值为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
解：由C 1n ＋3C 2n ＋…＋3n －2C n －1n ＋3n －1＝13
[(1＋3)n
－1]＝85，解得n ＝4.故选B.
【题型六】赋值法求系数（和）问题
例1：已知(1－2x )7
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 7x 7
.
求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；
(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)||a 0＋||a 1＋||a 2＋…＋||a 7. 解：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.①
令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37
.②
(1)∵a 0＝C 0
7＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.
(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－3
7
2
＝－1094.③
(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋3
7
2
＝1093.④
(4)∵(1－2x )7
的展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， ∴||a 0＋||a 1＋||a 2＋…＋||a 7＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)， ∴所求即为④－③(亦即②)，其值为2187.
点拨：①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法.对形如(ax ＋b )n ，(ax
2
＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n
(a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可
.②若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋
a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）
2
.
例2：设? ??
??22＋x 2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2
＝________.
解：设f (x )＝? ??
??22＋x 2n ，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2
＝(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n －a 1
－a 3－a 5－…－a 2n －1)(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ＋a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＝f (－1)·f (1) ＝? ????22－12n ·? ??
??22＋12n
＝
? ????－122n ＝? ????14n . 例3：已知(x ＋1)2
(x ＋2)2014
＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 2016(x ＋2)
2016
，则a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 2016
2
2016的值为
______.
解：依题意令x ＝－32，得? ????－32＋12? ????－32＋22014＝a 0＋a 1? ????－32＋2＋a 2? ????－32＋22＋…＋a 2016? ????－32＋22016，
令x ＝－2得a 0＝0，则a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 201622016＝? ??
??122016
.
【题型七】平移后系数问题
例1：若将函数f (x )＝x 5
表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2
＋…＋a 5(1＋x )5,
其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝____________.
解法一：令x ＋1＝y ，(y －1)5＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋…＋a 5y 5，故a 3＝C 25(－1)2
＝10.
解法二：由等式两边对应项系数相等.即：?????a 5＝1，
C 4
5a 5＋a 4＝0，C 35a 5＋C 34a 4＋a 3＝0，
解得a 3＝10.
解法三：对等式：f (x )＝x 5
＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2
＋…＋a 5(1＋x )5
两边连续对x 求导三次得：60x 2
＝6a 3
＋24a 4(1＋x )＋60a 5(1＋x )2
，再运用赋值法，令x ＝－1得：60＝6a 3，即a 3＝10.故填10. 【题型八】二项式系数、系数最大值问题
例1：?
????x ＋12x n
的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________． 解析 由已知条件第五项和第六项二项式系数最大，得n ＝9，?
????x ＋12x 9
展开式的第四项为T 4＝
C 3
9
·(x )6
·? ??
??12x 3
＝21
2.
例2：把(1－x )9
的展开式按x 的升幂排列，系数最大的项是第________项
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析 (1－x )9
展开式中第r ＋1项的系数为C r
9(－1)r
，易知当r ＝4时，系数最大，即第5项系数最大，选B. 例3：(1＋2x )n
的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
解：T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n ·25＝C 6n ·26，解得n ＝8.所以(1＋2x )8
的展开式中，二项式系数
最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1 120x 4
.
设第r ＋1项系数最大，则有?
????C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，
C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1
， 解得5≤r ≤6.所以r ＝5或r ＝6，所以系数最大的项为T 6＝1 792x 5或T 7＝1 792x 6
. 点拨：
(1)求二项式系数最大项：①如果n 是偶数，则中间一项? ??
??第n 2＋1项的二项式系数最大；②如果n 是奇数，则中间两项(第
n ＋1
2
项与第
n ＋1
2
＋1项)的二项式系数相等并最大.(2)求展开式系数最大项：如求(a ＋bx )n
(a ，
b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，列出不等式组????
?A r ≥A r －1，A r
≥A r ＋1，从而解出r ，即得展开式系数
最大的项.
【题型九】两边求导法求特定数列和
例1：若(2x －3)5
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋a 3x 3
＋a 4x 4
＋a 5x 5
，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝________．
解析 原等式两边求导得5(2x －3)4
·(2x －3)′＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2
＋4a 4x 3
＋5a 5x 4
，令上式中x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝10. 【题型十】整除问题
例1：设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012
＋a 能被13整除，则a ＝( )
A ．0
B ．1
C ．11
D ．12 解析 51
2 012
＋a ＝(52－1)2 012
＋a
＝C 0
2 012·522 012－C 1
2 012·522 011
＋…＋C 2 011
2 012×52·(－1)2 011
＋C 2 0122 012·(－1)
2 012
＋a ，
∵C 0
2 012·522 012－C 12 012·52
2 011＋…＋C 2 011
2 012×52·(－1)
2 011
能被13整除．
且51
2 012＋a 能被13整除，∴C 2 012
2 012·(－1)2 012
＋a ＝1＋a 也能被13整除．
因此a 可取值12.
例2：已知m 是一个给定的正整数，如果两个整数a ，b 除以m 所得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作a ≡b (mod m )，例如：5≡13(mod 4).若22015≡r (mod 7)，则r 可能等于( )
A.2013
B.2014
C.2015
D.2016
解：22015＝22×23×671＝4×8671＝4(7＋1)671＝4(7671＋C 16717670＋…＋C 6706717＋1).因此22015
除以7的余数为4.经验证，只有2013除以7所得的余数为4.故选A. 三．自我检测
1、(2013·青岛一检)“n ＝5”是“?
?????2x ＋13x n
(n ∈N *)的展开式中含有常数项”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2、已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n
n 等于( ) A ．63 B ．64 C ．31 D ．32
3、组合式C 0
n －2C 1
n ＋4C 2
n －8C 3
n ＋…＋(－2)n C n
n 的值等于 ( ) A ．(－1)n
B ．1
C ．3n
D ．3n
－1
4、若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 12x 12
，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________． 5、已知(1＋x )10
＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2
＋…＋a 10(1－x )10
，则a 8＝( ) A ．－180
B ．180
C ．45
D ．－45
6、(1＋2x )3
(1－x )4
展开式中x 项的系数为 ( ) A ．10
B ．－10
C ．2
D ．－2
7、(1＋x )8
(1＋y )4
的展开式中x 2y 2
的系数是________． 8、在34
50(1)(1)(1)x x x ++++
++的展开式中，3x 的系数为（ ）
A. 3
51C B. 4
50C C. 4
51C D. 4
47C
9、在(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)(n ∈N *
)的展开式中一次项系数为( )
A ．C 2n
B ．
C 2n ＋1 C ．C n －1
n D.12
C 3n ＋1
10、(2015·安徽合肥二检)(x 2
－x ＋1)10
展开式中x 3
项的系数为________
知识讲解 二项式定理(理)(基础)110
二项式定理 【学习目标】 1．理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 【要点梳理】 要点一：二项式定理 1.定义 一般地,对于任意正整数n ,都有： n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110)((*N n ∈)， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式。 式中的r n r r n C a b -做二项展开式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r+1项：1r n r r r n T C a b -+=， 其中的系数r n C （r=0，1，2，…，n ）叫做二项式系数， 2．二项式(a+b)n 的展开式的特点： (1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1； (2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中； (3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列， 次数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ； 3.两个常用的二项展开式： ①011()(1)(1)n n n r r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-?++-?L L (*N n ∈) ②122(1)1n r r n n n n x C x C x C x x +=++++++L L 要点二、二项展开式的通项公式 公式特点： ①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是r n C ； ②字母b 的次数和组合数的上标相同； ③a 与b 的次数之和为n 。 要点诠释： （1）二项式(a+b)n 的二项展开式的第r+1项r n r r n C a b -和(b+a)n 的二项展开式的第r+1项r n r r n C b a -是有 区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的． （2）通项是针对在(a+b)n 这个标准形式下而言的，如(a －b)n 的二项展开式的通项是 1(1)r r n r r r n T C a b -+=-（只需把－b 看成b 代入二项式定理）。 要点三：二项式系数及其性质 1.杨辉三角和二项展开式的推导。 在我国南宋，数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》如下表，可直观地看出二项式系数。
高中数学专题讲义-二项式定理的应用 证明整除或求余数
1．二项式定理 ⑴二项式定理 () ()011222...n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N 这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项 011222...n n n n n n n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()n a b +的二项展开式，其中的系数 ()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示， 即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数 二项式()n a b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ． ②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意 ①通项1r n r r r n T C a b -+=是()n a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()n b a +的展开式的第1r +项r n r r n C b a -是有区别的，应用二项式 定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的． ③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负． 知识内容 证明整除或求余数
④通项公式是()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b -的二项展开式的通项公式是 ()11r r n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这 里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1r r n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念． ⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......n r r n n n n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r r n C a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素． ⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值． 2．二项式系数的性质 ⑴杨辉三角形： 对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算． 杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质： () n a b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n n n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自 变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图： 这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(完整word版)高考数学二项式定理专题复习专题训练)
二项式定理 1.二项式定理：)*()(011111100N n b a C b a C b a C b a C b a n n n n n n n n n n n ∈++???++=+---. 2.二项式定理的说明： （1）()n a b +的二项展开式是严格按照a 的降次幂（指数从n 逐项减到0）、 b 的升次幂（数从0逐项减到n ）排列的，其顺序不能更改，且各项关于a 、b 的指数之和等于n 。所以()n a b +与()n b a +的二项展开式是不同的。 （3）二项式项数共有(1)n +项，是关于a 与b 的齐次多项式。 （4）二项式系数：展开式中各项的系数为1-r n C ，1,...,3,2,1+=n r . （5）二项式通项：展开式中的第r 项记作r T ， ）（1,...,3,2,11 11+==--+-n r b a C T r r n r n r ，共有(1)n +项。 （6）正确区分二项式系数与项的系数：二项式系数依次是 012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ?????? 项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 如：n n r r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ）（）（）（）（）（----n r 2221110+???++???+++=---的 第2项的二次项系数为1n C ，而第2项的系数为1 n C -. （7）常见二项式： 令1,,a b x ==)*()1(111100N n x C x C x C x C x n n n n n n n n n ∈++???++=+--； 令1,,a b x ==-)*()1()1(221100N n x C x C x C x C x n n n n n n n n ∈-+???++-=-. 3.二项式系数的性质： （1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等： 即k n n k n n n n n n n C C C C C C --=???==,,,110 .
高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二
二项式定理（第1课时） 一、内容和内容解析 内容：二项式定理的发现与证明． 内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视． 二、目标和目标解析 目标： （1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理． （2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用． （3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养． 目标解析： （1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法． （2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利
二项式定理 练习题 求展开式系数的常见类型
二项式定理 1．在()103x -的展开式中，6 x 的系数为 . 2.10()x -的展开式中64x y 项的系数是 . 3．92)21(x x -展开式中9x 的系数是 . 4.8)1(x x - 展开式中5x 的系数为 。 5.843)1()2 (x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 6.在65 )1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是 . 7.在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为 . 8.()()8 11x x -+的展开式中5x 的系数是 . 9.72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数是 。 10.54)1()1(-+x x 的展开式中，4x 的系数为 . 11.在6 2)1(x x -+的展开式中5x 的系数为 . 12.5)212(++x x 的展开式中整理后的常数项为 . 13.求(x 2＋3x －4)4的展开式中x 的系数．
14.(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为 . 15.若 32()n x x -+的展开式中只有第6项的系数最大，则n= ，展开式中的常数项是 . 16.已知(124 x +)n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数． 17.在(a ＋b )n 的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为64，则二项式系数的最大值为________． 18.若2004200422102004...)21(x a x a x a a x ++++=-)(R x ∈，则展开式的系数和为________． 19.已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1＋a 2＋…＋a 7的值是________． 20.已知(1－2x ＋3x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 14； (2)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13.
二项式定理练习题
10.3二项式定理 【考纲要求】 1、能用计数原理证明二项式定理. 2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 【基础知识】 1、二项式定理：n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)( 二项式的展开式有1n +项，而不是n 项。 2、二项式通项公式：r r n r n r b a C T -+=1 （0,1,2,,r n =???） （1）它表示的是二项式的展开式的第1r +项，而不是第r 项 （2）其中r n C 叫二项式展开式第1r +项的二项式系数，而二项式展开式第1r +项的 系数是字母幂前的常数。 （3）注意0,1,2,,r n =??? 3、二项式展开式的二项式系数的性质 （1）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。即 m n C =m n n C - （2）增减性和最大值：在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值， 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。 （3）所有二项式系数的和等于2n ，即n n n n n n n n n n C C C C C C 212210=++++++--ΛΛ 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即 15314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ΛΛΛΛ 4.二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ???的性质： 对于2012()n n f x a a x a x a x =++++g g g 0123(1)n a a a a a f ++++???+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+???+-=- 5、证明组合恒等式常用赋值法。 【例题精讲】 例1 若,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=-求（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +） 解：对于式子：,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=- 令x=0，便得到：0a =1
(完整版)二项式定理典型例题
1. 在二项式n x x ??? ? ? +4 21的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公 式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=?? ? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8 141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1 12312-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 14 3168 1,82,1,02 1C +- +==r r r r r T r x T Λ为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为22 888944 8 541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类 似地，100 3)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有 系数和为n 3． 2.（1）求10 3 )1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21 (++ x x 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式． 解：（1）10 3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5 510C x ；用 3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；
高中数学完整讲义——二项式定理6.二项式定理的应用3近似计算或估计
高中数学讲义 1 思维的发掘 能力的飞跃 1．二项式定理 ⑴二项式定理 () ()011222...n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N 这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项 011222...n n n n n n n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()n a b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫 做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数 二项式()n a b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ． ②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意 ①通项1r n r r r n T C a b -+=是()n a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()n b a +的展开式的第1r +项r n r r n C b a -是有区别的，应用二项式定理时， 其中的a 和b 是不能随便交换的． ③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系 数有时可为负． ④通项公式是()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b -的二项展开式的通项公式是 ()11r r n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1r r n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系 知识内容 近似计算或者估计
二项式定理习题精选精讲
例说二项式定理的常见题型及解法 二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。 一、求二项展开式 1．“n b a )(+”型的展开式 例1．求4)13(x x +的展开式； 解：原式=4 )1 3( x x += 24)13(x x + = ])3()3()3()3([144342 243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(12 342++++x x x x x =54112848122 ++++x x x x 小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。 ） 2． “n b a )(-”型的展开式 例2．求4)13 (x x - 的展开式； 分析：解决此题，只需要把4)13 (x x - 改写成4)]1(3[x x - +的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。本 题主要考察了学生的“问题转化”能力。 3．二项式展开式的“逆用” 例3．计算c C C C n n n n n n n 3)1( (279313) 2 1 -++-+-； 解：原式= n n n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3 33 22 11 -=-=-++-+-+-+ 小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。 二、通项公式的应用 1．确定二项式中的有关元素 例4．已知9)2( x x a -的展开式中3x 的系数为4 9，常数a 的值为 】 解：923 92999 12)1()2 ()(----+???-=-=r r r r r r r r r x a C x x a C T 令 392 3 =-r ，即8=r 依题意，得 4 9 2)1(894889= ??---a C ，解得1-=a 2．确定二项展开式的常数项 例5．103 )1( x x -展开式中的常数项是 解：r r r r r r r x C x x C T 6 5510 3 1010 1 )1()1() (--+?-=-= 令06 5 5=- r ，即6=r 。 所以常数项是210 )1(6 106=-C
专题26二项式定理(原卷版)
专题26 二项式定理(原卷版) 易错点1：混淆通项公式1r n r r r n T C a b -+=与展开式中的第r 项 易错点2：混淆二项式展开式中a,b 排列顺序设置陷阱 易错点3：混淆二项式系数和项的系数 易错点4：混淆二项式最大项与展开式系数最大项 考点1 求二项展开式中特定项或指定项的系数 题组一 1.10)21(x +的展开式的第4项是 . 题组二 2．(2016年全国I)5(2x +的展开式中,x 3的系数是 ．(用数字填写答案) 3．(2018全国卷Ⅲ)252()x x +的展开式中4 x 的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 4.6(42)x x --(x ∈R)展开式中的常数项是______. 题组三 5.(2019全国III 理4)24(12)(1)x x ++的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 6．(2017新课标Ⅲ)621 (1)(1)x x ++展开式中2x 的系数为( ) A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 7.64(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数是_____.(用数字作答). 题组四 8.25()x x y ++的展开式中, 52x y 的系数为_______.(用数字作答). 9．(2017新课标Ⅲ)5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为
A ．-80 B ．-40 C ．40 D ．80 10．(2014新课标1)8 ()()x y x y -+的展开式中27x y 的系数为 ．(用数字填写答案) 考点2 已知二项展开式某项的系数求参数 题组五 11．(2014新课标2)()10x a +的展开式中,7x 的系数为15,则a =___．(用数字填写答案) 12.()()511ax x ++的展开式中的系数为5, ______. 13．(2015新课标2)4()(1)a x x ++ 的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32, 则a =______． 题组六 14.若n x x )2(-二项展开式的第5项是常数项,则自然数n 的值为______. 15.二项式1(n x -的展开式中含有x 4的项,则n 的一个可能值是( ). A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 16.(13)(6)n x n N n +∈其中且≥的展开式中5x 与6x 的系数相等,则n =_____. 17.若)(13N n x x n ∈??? ? ?-的展开式中第3项为常数项,则展开式中二项式系数最大的是第____项. 18.若1()n x x +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中 2 1x 的系数为___. 考点3 二项式各项系数的和与二项式系数的区别 题组七 19.5 12a x x x x ????+- ???? ???的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为____
二项式定理专题复习教学内容
二项式定理知识点、题型与方法归纳 一．知识梳理 1．二项式定理：)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ∈+++++=+--ΛΛ．其中) ,,2,1,0(n r C r n Λ=叫二项式系数．式中的r r n r n b a C -叫二项展开式的通项，用1+r T 表示，即通项r r n r n r b a C T -+=1. 2．二项展开式形式上的特点: (1)项数为n ＋1； (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n . (3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n . (4)二项式的系数从C 0n ，C 1 n ，一直到C n － 1n ，C n n . 3．二项式系数的性质： (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即r n r n n C C -= (2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋1 2时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项1122n n n n C C -+=取得最大值． (3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n ； C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5 n ＋…＝2 n － 1. 一个防范 运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n a n －r b r ，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负． 两种应用 (1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等． (2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等． 三条性质 (1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和； 二．题型示例 【题型一】求()n x y +展开特定项 例1：(1＋3x )n (其中n ∈N *且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( ) B A.6 B.7 C.8 D.9
二项式定理
二项式定理 编写人：王超 审核人：高三数学组 时间：2019.3.14 典例1 的展开式中, 的系数为 A ．60 B ．-60 C ．240 D ．-240 典例2 若a =d x (e 为自然对数的底数),则二项式(x-)6的展开式中的常数项为 A ．-160 B ．160 C ．20 D ．-20 典例3 已知关于x 的二项式(ax- )n 展开式的二项式系数之和为256,常数项为112,则a 的值为 A ．1 B ．±1 C ．2 D ．±2 1．( -2x )6 的展开式中x 2 项的系数为 A ．240 B ．-240 C ．160 D ．-160 2．已知二项式 (n (a >0)的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，展开式中x 2 项的系数为84,则a 的值为 A ．1 B ． C ．2 D ． 3 ．在二项式n 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列. （1）求展开式的第四项； （2）求展开式的常数项. 典例4 若(x 2+1)(x-3)9=a 0+a 1(x-2)+a 2(x-2)2+a 3(x-2)3+…+a 11(x-2)11,则a 1+a 2+…+a 11的值为 A ．0 B ．-5 C ．5 D ．255 典例5 已知(1-2x )n 的展开式中的二项式系数的和是64,则n = ;若(1-2x )n =a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ,则|a 0|+|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |= .
典例6 在二项式 n 的展开式中, (1)若所有二项式系数之和为,求展开式中二项式系数最大的项． (2)若前三项系数的绝对值成等差数列,求展开式中各项的系数和. 4．在的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为32,则的系数为A．50 B．70 C．90 D．120 5．已知(1-x)4+4(1-x)3+6(1-x)2-4x+5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,那么a2+a4的值为A．9 B．18 C．25 D．41 6．已知二项式且. （1）若,展开式中含项的系数为960,求的值; （2）若展开式中各项系数和为,且,求展开式的所有二项式系数之和. 典例7 利用二项式定理证明2n+2·3n+5n－4(n* ∈N)能被25整除. 7．被49除所得的余数是 A．-14 B．0 C．14 D．35 1．(1+x)7的展开式中x2的系数是 A．42 B．35 C．28 D．21 2．二项式 6 2 x x ?? - ? ?? 的展开式的第二项是 A．6x4B．﹣6x4 C．12x4D．﹣12x4 3．若实数a=2-,则a10-2a9+22a8- (210) A．32 B．-32 C．1024 D．512 4．已知x (x-)5的展开式中含x4项的系数为30,则a= A．B．-C．-6 D．6
二项式展开式专题
二项式展开式专题 一、基础知识： 1、二项式()()n a b n N *+∈展开式 () 011222n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++，从恒等式中我们 可以发现这样几个特点 （1）()n a b +完全展开后的项数为()1n + （2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点。指数和为n （3）在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a ，右边的项为b ，比如：()1n x +与()1n x +虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x 的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列。如果是()n a b -，则视为()n a b +-????进行展开 （4）二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+= （注意是第1r +项） 2、二项式系数：项前面的01,,,n n n n C C C 称为二项式系数，二项式系数的 和为2n 二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项。对于()n a b +可看作是n 个()a b +相乘，对于n r r a b - 意味着在这n 个()a b +中，有()n r -个式子出a ，剩下r 个式子出b ，那么这种出法一共有r n C 种。所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。而二项式系数便是这个组合问题的结果。
二项式定理(基础+复习+习题+练习)
课题：二项式定理 考纲要求： 1.能用计数原理证明二项式定理 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 教材复习 1.二项式定理及其特例： ()101()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， ()21(1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ + 2.二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1210(n r ，，， = 3.常数项、有理项和系数最大的项： 求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性. 4.二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式 系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. 5.二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量 的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） 6.()1对称性． 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（m n m n n C C -=）．直线2 n r = 是图象的对称轴. ()2增减性与最大值： 当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C -，12n n C +取得最大值 ()3各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +， 令1x =，则012 2n r n n n n n n C C C C C =+++ ++ +
人教版高中数学二项式定理教学设计全国一等奖
二项式定理（第1课时） 一、容和容解析 容：二项式定理的发现与证明． 容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此容安排在组合数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可以导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识有好处。 由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视． 二、学情分析 这一堂课是面对高二学生。学生已经初步具备了多项式乘法，同类项合并，排列计数原理，组合数计数原理以及归纳推理等知识储备。能够在教师的引导下理解并掌握本节课中的推理演绎过程。但是，学生的自我探究，归纳，分析的能力还有待提高。 三、课程学习目标 （1）知识目标：使学生掌握二项式定理及推导方法，二项式展开式、通项公式的特点，并能利用二项式定理计算或证明一些简单问题。 （2）能力目标：在学生对二项式定理形成的参与讨论过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力，以及学生的化归意识及知识迁移能力。 （3）情感目标：通过二项式定理的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美。 四、设计思想： 本课采用合作探究、自主学习、合作交流的研究性学习方式，重点放在定理的形成、证明的探究及定理基本应用上，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。 目标解析： （1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二
二项式定理及数学归纳法
二项式定理及数学归纳法 【真题体验】 1．(2012·苏北四市调研)已知a n ＝(1＋2)n (n ∈N *) (1)若a n ＝a ＋b 2(a ，b ∈Z )，求证：a 是奇数； (2)求证：对于任意n ∈N *都存在正整数k ，使得a n ＝k －1＋k . 证明 (1)由二项式定理，得a n ＝C 0n ＋C 1n 2＋C 2n (2)2＋C 3n (2)3＋…＋C n n (2)n ， 所以a ＝C 0n ＋C 2n (2)2＋C 4n (2)4＋…＝1＋2C 2n ＋22C 4n ＋…， 因为2C 2n ＋22C 4n ＋…为偶数，所以a 是奇数． (2)由(1)设a n ＝(1＋2)n ＝a ＋b 2(a ，b ∈Z )，则(1－2)n ＝a －b 2， 所以a 2－2b 2＝(a ＋b 2)(a －b 2)＝(1＋2)n (1－2)n ＝(1－2)n ， 当n 为偶数时，a 2＝2b 2＋1，存在k ＝a 2，使得a n ＝a ＋b 2＝a 2＋2b 2＝k ＋k －1， 当n 为奇数时，a 2＝2b 2－1，存在k ＝2b 2，使得a n ＝a ＋b 2＝a 2＋2b 2＝k －1＋k ， 综上，对于任意n ∈N *，都存在正整数k ，使得a n ＝k －1＋k . 2．(2010·江苏，23)已知△ABC 的三边长都是有理数． (1)求证：cos A 是有理数； (2)求证：对任意正整数n ，cos nA 是有理数． (1)证明 设三边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ， ∵a ，b ，c 是有理数， b 2＋ c 2－a 2是有理数，分母2bc 为正有理数，又有理数集对于除法具有封闭性， ∴b 2＋c 2－a 2 2bc 必为有理数，∴cos A 是有理数． (2)证明 ①当n ＝1时，显然cos A 是有理数； 当n ＝2时，∵cos 2A ＝2cos 2A －1，因为cos A 是有理数， ∴cos 2A 也是有理数； ②假设当n ≤k (k ≥2)时，结论成立，即cos k A 、cos(k －1)A 均是有理数． 当n ＝k ＋1时，cos(k ＋1)A ＝cos k A cos A －sin k Asin A ＝cos k A cos A －12 [cos(k A －A )－cos(k A ＋A )] ＝cos k A cos A －12cos(k －1)A ＋12 cos(k ＋1)A 解得：cos(k ＋1)A ＝2cos k A cos A －cos(k －1)A ∵cos A ，cos k A ，cos(k －1)A 均是有理数，
(完整版)二项式定理学生讲义
二项式定理 【2013年高考会这样考】 1.二项式定理是高考重点考查内容之一．分值一般为5～9分．考查比较稳定，试题难度起伏不大；题目一般为选择、填空题. 2.高考主要考查二项展开式和通项的应用，具体会涉及到求特定的项或系数，以及二项式系数等问题，是高考的必考点之一。 【复习指导】 二项式定理的核心是其展开式的通项公式，复习时要熟练掌握这个公式，注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用． 基础梳理 1．二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0 n a n ＋C 1 n a n －1 b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N * )这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的 ．其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫 系数． 式中的C r n a n －r b r 叫二项展开式的 ，用T r ＋1表示，即通项T r ＋1＝C r n a n －r b r . 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为 . (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为 _______ (3)字母a 按 排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按 排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n . (4)二项式的系数从C 0 n ，C 1 n ，一直到C n －1n ，C n n . 3．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 ．即C r n ＝C n －r n . (2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜ n ＋1 2 时，二项式系数逐渐 ．由对称性知它的后 半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项T 12 +n 二项式系数取得最大值；当n 是奇数时， 中间两项1 2 1 2 1n ,+++n T T 的二项式系数相等且最大。 (3)各二项式系数和：C 0 n ＋C 1 n ＋C 2 n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝_____； C 0 n ＋C 2 n ＋C 4 n ＋…＝C 1 n ＋C 3 n ＋C 5 n ＋…＝________.
知识讲解二项式定理(理)(基础)110
知识讲解二项式定理 (理)(基础)110 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
二项式定理 【学习目标】 1．理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 【要点梳理】 要点一：二项式定理 1.定义 一般地,对于任意正整数n ,都有： n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)((*N n ∈)， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式。 式中的r n r r n C a b -做二项展开式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r+1项： 1r n r r r n T C a b -+=， 其中的系数r n C （r=0，1，2，…，n ）叫做二项式系数， 2．二项式(a+b)n 的展开式的特点： (1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1； (2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中； (3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ； 3.两个常用的二项展开式： ①011()(1)(1)n n n r r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-?++-?(*N n ∈) ②122 (1)1n r r n n n n x C x C x C x x +=+++++ + 要点二、二项展开式的通项公式 公式特点： ①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是r n C ； ②字母b 的次数和组合数的上标相同； ③a 与b 的次数之和为n 。 要点诠释： （1）二项式(a+b)n 的二项展开式的第r+1项r n r r n C a b -和(b+a)n 的二项展开式的第r+1项 r n r r n C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的．
高中数学二项式定理全章复习
第十一讲 二项式定理 课程类型：□复习 □预习 □习题 针对学员基础：□基础 □中等 □优秀 1.二项式定理的定义； 2.二项式定理的通项公式； 3.二项式定理的应用. 1.能用计数原理证明二项式定理(重点)； 2.能记住二项式定理和二项展开式的通项公式(重点)； 3.能解决与二项式定理有关的简单问题(重点、难点). 【知识与方法】 一．二项式定理的定义 在44443 444421个 n n b a b a b a b a )())(()(+???++=+中，每个括号都能拿出a 或b ，所以每个括号有2种选择，n 个括号 就是n 2种情况.22-n b a 这一项，表达的意思是_________________________；所以，22-n b a 共有________个.
(a ＋b )n 的二项展开式本来共有_______项，合并之后共有_______项，其中各项的系数______________叫做二项式系数． 二．二项展开式的通项 (a ＋b )n 的二项展开式的通项公式为__________.. 注意：1.r n r C T 与1+的关系，例如第5项，应该是4n C ； 2.二项式的展开式是按照前项降幂排列，例如10)1(+x 与10)1(x +中的第4项是不同的； 3.a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等 于n ； 4.注意正确区分二项式系数与项的系数. 三．二项式系数的基本性质 四．展开式的二项式系数和 1.(a ＋b )n 展开式的各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝_______. 2.偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 0 n ＋C 2 n ＋C 4 n ＋…＝C 1 n ＋C 3 n ＋C 5 n ＋…＝_______. 五．展开式的系数和 若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2 ＋…＋a n x n ，则 f (x )展开式中各项系数之和为_______，奇数项系数之和为a 0＋ a 2＋a 4＋…= 2 ) 1()1(-+f f ，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…=________________. 【例题与变式】 题型一 通项公式及其应用 类型一 二项式定理的原理应用 【例1】(2015·全国卷Ⅰ)(x 2 ＋x ＋y )5 的展开式中，x 5y 2 的系数为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 【例2】（2018?滨州二模）52)32(--x x 的展开式中，x 的系数为________. 【变式1】（2018?濮阳一模）82017 )11(++ x x 的展开式中，x 3 的系数为________. 【变式2】（2018?龙岩模拟）已知二项式4)21 1(x x -+ ，则展开式的常数项为（ ） A ．-1 B ．1 C ．-47 D ．49 类型二 单括号型 【例4】（2018?内江三模）4)2 (x x -展开式中的常数项为（ ）