数值线性代数第二版徐树方高立张平文上机习题第二章实验报告
（1）估计5到20阶Hilbert 矩阵的∞范数条件数
（2）设n n R A ?∈?????
??
??????
???------=111
1
111110110
01
，先随机地选取n R x ∈，并计算出x A b n =；然
后再用列主元Gauss 消去法求解该方程组，假定计算解为∧
x 。试对n 从5到30估计计算解∧
x 的精度，并且与真实相对误差作比较。
解（1）分析：利用for 使n 从5循环到20，利用()hilb 函数得到Hilbert 矩阵A ；先将算
法2.5.1编制成通用的子程序，利用算法2.5.1编成的子程序)(B opt v =，对T
A B -=求解，
得到∞
-1
A
的一个估计值v v =~
；再利用i n f ),(A n o r m 得到∞A ；则条件数i n f),(1
A n o r m v A A K *==∞∞
-。
另，矩阵A 的∞范数条件数可由inf),(A cond 直接算出，两者可进行比较。
程序为
1 算法2.5.1编成的子程序)(B opt v =
function v=opt(B)
k=1;
n=length(B);
x=1./n*ones(n,1); while k==1 w=B*x;
v=sign(w); z=B'*v;
if norm(z,inf)<=z'*x v=norm(w,1); k=0; else
x=zeros(n,1);
[s,t]=max(abs(z)); x(t)=1; k=1; end end end
2 问题（1）求解 ex2_1
for n=5:20
A=hilb(n);
B=inv(A.');
v=opt(B);
K1=v*norm(A,inf);
K2=cond(A,inf);
disp(['n=',num2str(n)])
disp(['估计条件数为',num2str(K1)])
disp(['实际条件数为',num2str(K2)])
end
计算结果为
n=5
估计条件数为943656
实际条件数为943656
n=6
估计条件数为29070279.0028
实际条件数为29070279.0028
n=7
估计条件数为985194887.5079
实际条件数为985194887.5079
n=8
估计条件数为33872789099.7717
实际条件数为33872789099.7717
n=9
估计条件数为1099649467886.422
实际条件数为1099649467886.422
n=10
估计条件数为35353368771750.67
实际条件数为35353368771750.67
n=11
估计条件数为1232433965549344
实际条件数为1232433965549344
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.547634e-17.
> In ex2_1 at 3
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.547634e-17.
> In cond at 47
In ex2_1 at 6
n=12
估计条件数为3.924509699943713e+16
实际条件数为3.924509699943713e+16
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 7.847381e-19.
> In ex2_1 at 3
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 7.847381e-19.
> In cond at 47
In ex2_1 at 6
n=13
估计条件数为1.271531365675327e+18
实际条件数为1.271531365675327e+18
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.246123e-18.
> In ex2_1 at 3
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.246123e-18.
> In cond at 47
In ex2_1 at 6
n=14
估计条件数为4.138368891288374e+17
实际条件数为4.138368891288374e+17
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 8.491876e-19.
> In ex2_1 at 3
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 8.491876e-19.
> In cond at 47
In ex2_1 at 6
n=15
估计条件数为4.633108811649674e+17
实际条件数为5.234289848563619e+17
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 9.137489e-19.
> In ex2_1 at 3
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 9.137489e-19.
> In cond at 47
In ex2_1 at 6
n=16
估计条件数为8.036171638973166e+17
实际条件数为8.036171638973167e+17
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 6.244518e-19.
> In ex2_1 at 3
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be
inaccurate. RCOND = 6.244518e-19. > In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=17
估计条件数为1.40155292233093e+18 实际条件数为1.40155292233093e+18
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 4.693737e-19. > In ex2_1 at 3
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 4.693737e-19. > In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=18
估计条件数为2.550260641580651e+18 实际条件数为2.800000737997893e+18
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 4.264685e-19. > In ex2_1 at 3
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 4.264685e-19. > In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=19
估计条件数为2.411858563109357e+18 实际条件数为2.411858563109357e+18
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 1.351364e-19. > In ex2_1 at 3
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 1.351364e-19. > In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=20
估计条件数为2.31633670586674e+18 实际条件数为6.37335273308473e+18
结果分析
随着矩阵阶数增加，估计值误差开始出现，20,17,16,15=n 时估计条件数与实际值存在误差；且条件数很大，Hilbert 矩阵为病态的。
解（2）分析：先根据题目要求，利用for 和（）rand 使n 从5循环到30，作出A 和随机
的x ，并计算出Ax b =；然后再利用第一章习题中得到的)(],,[A GaussCol P U L =和
),,,,(P U L b A Gauss x =用列主元Gauss 消去法求解该方程组，假定计算解为1x ，得1*x A b r -=，利用第（1）问所得函数)).'((A inv opt 计算∞
-1
A 的一个估计值，利用
inf),(*norm 计算A b r ,,的无穷范数，则1x 的相对误差估计为))/norm(b,(A,A.'))*norm )*opt(inv(norm(r,p inf inf inf 1=，真实相对误差为))/norm(x,,norm(x-x p inf inf 12=。
程序为
1 列主元Gauss 消去法求解该方程组的程序为 A 的LU 分解：
function [L,U,P]=GaussCol(A) n=length(A); for k=1:n-1
[s,t]=max(abs(A(k:n,k))); p=t+k-1;
temp=A(k,1:n);
A(k,1:n)=A(p,1:n); A(p,1:n)=temp;
u(k)=p;
if A(k,k)~=0
A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k);
A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n); else
break ; end end
L=tril(A); U=triu(A);
L=L-diag(diag(L))+diag(ones(1,n)); P=eye(n); for i=1:n-1
temp=P(i,:);
P(i,:)=P(u(i),:); P(u(i),:)=temp; end end
高斯消去法解线性方程组
function x=Gauss(A,b,L,U,P)
if nargin<5
P=eye(length(A));
end
n=length(A);
b=P*b;
for j=1:n-1
b(j)=b(j)/L(j,j);
b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*L(j+1:n,j);
end
b(n)=b(n)/L(n,n);
y=b;
for j=n:-1:2
y(j)=y(j)/U(j,j);
y(1:j-1)=y(1:j-1)-y(j)*U(1:j-1,j);
end
y(1)=y(1)/U(1,1);
x=y;
end
2 问题（2）求解ex2_2
for n=5:30
A=2*eye(n)+tril(-1*ones(n)); A(1:n-1,n)=ones(n-1,1); x=100*rand(n,1);
b=A*x;
[L,U,P]=GaussCol(A); x1=Gauss(A,b,L,U,P);
r=b-A*x1;
p1=norm(r,inf)*opt(inv(A.'))*norm(A,inf)/norm(b,inf); p2=norm(x-x1,inf)/norm(x,inf);
disp(['n=',num2str(n)])
disp(['估计相对误差为',num2str(p1)])
disp(['实际相对误差为',num2str(p2)])
y1(n-4)=p1;y2(n-4)=p2;
end
plot(5:30,y1,5:30,y2)
legend('估计相对误差','实际相对误差')
计算结果为
n=5
估计相对误差为2.8265e-15
实际相对误差为3.1615e-16
n=6
估计相对误差为3.3434e-15
实际相对误差为2.8523e-16
n=7
估计相对误差为9.882e-16 实际相对误差为1.7941e-16 n=8
估计相对误差为4.8733e-14 实际相对误差为1.0891e-14 n=9
估计相对误差为2.2282e-14 实际相对误差为3.6143e-15 n=10
估计相对误差为1.5622e-14 实际相对误差为3.9702e-15 n=11
估计相对误差为1.9668e-14 实际相对误差为5.1566e-15 n=12
估计相对误差为4.808e-14 实际相对误差为8.5677e-15 n=13
估计相对误差为2.8696e-13 实际相对误差为4.0392e-14 n=14
估计相对误差为1.5109e-12 实际相对误差为3.8759e-13 n=15
估计相对误差为4.3829e-13 实际相对误差为1.67e-13
n=16
估计相对误差为8.7941e-13 实际相对误差为2.6417e-13 n=17
估计相对误差为2.4842e-12 实际相对误差为5.8841e-13 n=18
估计相对误差为7.6311e-12 实际相对误差为2.4718e-12 n=19
估计相对误差为1.9214e-11 实际相对误差为5.9876e-12 n=20
估计相对误差为5.612e-11 实际相对误差为1.5802e-11 n=21
估计相对误差为1.7181e-11
实际相对误差为2.1433e-12 n=22
估计相对误差为1.0565e-11 实际相对误差为2.8952e-12 n=23
估计相对误差为6.9651e-12 实际相对误差为1.2037e-12 n=24
估计相对误差为3.1487e-10 实际相对误差为1.4479e-10 n=25
估计相对误差为9.884e-10 实际相对误差为2.3499e-10 n=26
估计相对误差为4.1606e-09 实际相对误差为6.3158e-10 n=27
估计相对误差为5.8332e-09 实际相对误差为1.7298e-09 n=28
估计相对误差为3.9754e-09 实际相对误差为6.9346e-10 n=29
估计相对误差为7.8248e-09 实际相对误差为1.4376e-09 n=30
估计相对误差为1.1681e-07 实际相对误差为2.0748e-08
结果分析
n 较小时估计的较好，随着n 的增大估计值误差增大
5
1015202530
-8
线性代数习题集(带答案)
第一部分专项同步练习 第一章行列式 一、单项选择题 1．下列排列是 5 阶偶排列的是( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ). n! (A) k (B) n k (C) k 2 n(n 1) (D) k 2 3. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项. (A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)! 0 0 0 1 4． 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 0 0 1 0 5.0 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 2x x 1 1 6．在函数 1 x 1 2 f (x) 中 3 2 x 3 3 x 项的系数是( ). 0 0 0 1 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 1
7. 若 a a a 11 12 13 1 D a a a ，则 21 22 23 2 a a a 31 32 33 2a a 13 a 33 a 11 a 31 2a 12 2a 32 11 D 2a a a 2a ( ). 1 21 23 21 22 2a 31 (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 a a 11 ，则 12 8．若 a a a 21 22 a 12 a 11 ka 22 ka 21 ( ). 2 (D) k2a (A) ka (B) ka (C) k a 9．已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ). (A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 2 8 7 4 3 10. 若 6 2 3 1 D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). 1 1 1 1
用MATLAB解决线性代数问题实验报告
实验三使用MATLAB解决线性代数问题学院：数计学院班级：1003班姓名：黄晓丹学号：1051020144 实验目的： 学习MATLAB有关线性代数运算的指令，主要学习运用MATLAB解决矩阵除法，线性方程组的通解，矩阵相似 对角化问题，以及解决投入产出分析等应用问题。 实验内容： 矩阵转置：A=[1 2;3 4];B=[4 3;2 1]; >> A',B' ans = 1 3 2 4 ans = 4 3 3 1 矩阵加减：A-B ans= -3 -1 1 3 矩阵乘法：A*B,A.*B(数组乘法)||比较矩阵乘法与数组乘法的区别ans= 8 5 20 13 ans= 4 6 6 4 矩阵除法：A\B,B./A ans=
-6 -5 5 4 ans= 4 1.5 0.6667 0.25 特殊矩阵生成：zeros（m，n）||生成m行n列的矩阵 ones（m，n）||生成m行n列的元素全为一的矩阵 eye（n）||生成n阶单位矩阵 rand（m，n）||生成m行n列[0 ，1]上均匀分布随 机数矩阵 zeros(2,3) ans = 0 0 0 0 0 0 >> ones(3,3) ans = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 >> eye(3)
ans = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 >> rand(2,4) ans = Columns 1 through 3 0.9501 0.6068 0.8913 0.2311 0.4860 0.7621 Column 4 0.4565 0.0185 矩阵处理：trace（A）||返回矩阵的迹 diag（A）||返回矩阵对角线元素构成的向量 tril（A）||提取矩阵的下三角部分 triu（A）||提取矩阵的上三角部分 flipud（A）||矩阵上下翻转 fliplr（A）||矩阵左右翻转 reshape(A,m,n)||将矩阵的元素重排成m行n列矩阵A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; >> t=trace(A),d=diag(A),u=triu(A)
线性代数复习题-第二章
第二章 矩阵及其运算 复习题 一、填空题 1. 设A =a b c d ?? ???，且0A ad bc =-≠，则1A -= . 2. 设A =1231-?? ???，B =2103?? ??? ，(2,1)C =-，则()T A B C -= . 3. 设*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则**____.AA A A == 4. 设235α-?? ?= ? ??? ,则矩阵____.T A αα== 5．设A 是n 阶可逆方阵,*A 是A 的伴随矩阵,则*A = . 6．已知C B A ,,为同阶方阵,且C 可逆,若B AC C =-1,则=-C A C m 1 (m 是整数). 7．设矩阵500031021A ?? ?= ? ??? ，则1____A -=. 8.设???? ? ??=300020001A ,则1-A = . 9．设()()1,1,1,3,2,1==B A ,则=2 )(B A T . 10.设C B A ,,均为n 阶方阵，且E ABC =，则______________)(=T T CA B . 11.设矩阵???? ? ??=300041003A ，则逆阵______________1-A ,112_________A -=. 12. 若A ，B 都是三阶方阵，2A =，3-=B ，则13____AB -=. 14.设三阶方阵A 的行列式为 A A =2,*为A 的伴随矩阵, 则行列式 1*A A -+=_______. 二、判断题： 1.n 阶方阵A 满足2 20A A E --=，则E A -可逆. （ ） 2.对任意n 阶方阵,,A B C ，若AB AC =，且0A ≠，则一定有B C =. （ ）
数值分析实验报告1
实验一误差分析 实验1.1（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 其中ε（1.1）和（1.221,,,a a 的输出b ”和“poly ε。 （1（2 （3）写成展 关于α solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 实验过程： 程序： a=poly(1:20); rr=roots(a); forn=2:21 n form=1:9 ess=10^(-6-m);
ve=zeros(1,21); ve(n)=ess; r=roots(a+ve); -6-m s=max(abs(r-rr)) end end 利用符号函数：（思考题一）a=poly(1:20); y=poly2sym(a); rr=solve(y) n
很容易的得出对一个多次的代数多项式的其中某一项进行很小的扰动，对其多项式的根会有一定的扰动的，所以对于这类病态问题可以借助于MATLAB来进行问题的分析。 学号：06450210 姓名：万轩 实验二插值法
线性代数复习题(全)
第一章 行列式 复习题 一、填空题 1. 已知1 1 1 11 3 21 --x 是关于x 的一次多项式，该式中x 的系数为____________. 2. 已知四阶行列式D 中第三列元素依次为 1,2,0,1-，它们的代数余子式依次分别为 5,3,7,4---， 则D =_______. 3. n D n 1 1 1 1311 1 121 1111== . 4. 行列式2223 3 3 a b c a b c a b c = . 5. 当a = 时，方程组123123123(2)404(3)404(4)0 a x x x x a x x x x a x +++=?? -+-+=??-+++=? 有非零解. 6. 若行列式 0 4102040 01101 3 2 0a a =-, 则a =_______. 7.齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00 321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足的条件是 . 8. 已知2 768444424798 1 8 8 D = , 则41424344_______A A A A +++=. 二、计算题 1．计算1 111111111111 1 1 1 a a D a a +----= +----. ２.计算0 000000 a b a b D b a b a = 3.计算 3 2 1 4 214314324321 .
4.3251103111203 2 4 D = ---. 5.1111111111111 1 1 1x x D y y +-= +- 6. 解方程： 2 2 11231223023152 3 1 9x x -=-. 第二章 矩阵及其运算 复习题 一、填空题 1. 设A =a b c d ?? ??? ，且0A ad bc =-≠，则1 A -= . 2. 设A =1 23 1-?? ???，B =210 3?? ??? ，(2,1)C =-，则()T A B C -= . 3. 设*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则**____.AA A A == 4. 设235α-?? ? = ? ??? ,则矩阵____.T A αα== 5．已知C B A ,,为同阶方阵,且C 可逆,若B AC C =-1,则=-C A C m 1 (m 是整数). 6．设矩阵5 000 31021A ?? ?= ? ???，则1 ____A -=. 7.设??? ? ? ? ?=30 0020001 A ,则1-A = . 8.设矩阵??? ? ? ? ?=30 0041 003A ，则逆阵______________1-A ,112_________A -=. 二、判断题： 1.n 阶方阵A 满足2 20A A E --=，则E A -可逆. 2.对任意n 阶方阵,,A B C ，若A B A C =，且0A ≠，则一定有B C =. 3.设,,A B C 都是n 阶矩阵，且,AB E CA E ==，则B C =. 4.若2 0A =，则必有0A =. 5.方阵A 满足A A =2，则E A =或0=A . 6.设A ,B 都是n 阶方阵,若A ,B 都可逆,则B A +可逆. 7.设A 是n 阶矩阵,* A 是A 的伴随矩阵，则当A 为非奇异阵时，* A 也非奇异，且1 *n A A -=.
线性代数第二章矩阵试题及答案
第二章矩阵 一、知识点复习 1、矩阵的定义 由m n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m n型矩阵。例如 2 -1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4 -2 9 3 3 3 -1 8 是一个45矩阵. 一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。 元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。 两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。 2、 n阶矩阵与几个特殊矩阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。 n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。 下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的. 对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵. 单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I). 数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E. 上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵. 下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵. 对称矩阵: 满足A T=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵. 反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.) 正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。 （1）A是正交矩阵?A T=A-1 （2）A是正交矩阵?2 A=1 阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足: ①如果它有零行，则都出现在下面。 ②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严 格单调递增。 把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。 每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类 计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。 请注意：一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非零 行数和台角位置是确定的。 3、矩阵的线形运算 （1）加(减)法:两个m n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m n 矩阵,记作A+B (A-B),运算法则为对应元素相加(减). （2）数乘: 一个m n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m n的矩阵, 记作c A,运算法则为A的每个元素乘c. 这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律: ①加法交换律:A+B=B+A. 2加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C). ③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A. ④数乘结合律: c(d)A=(cd)A. ⑤ c A=0 c=0 或A=0. 4、矩阵乘法的定义和性质 （1）当矩阵A的列数和B的行数相等时,则A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量 和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.
线性代数第五章 课后习题及解答
第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T
线性代数第二章矩阵练习题
第二章 一、选择题 1、计算13230102-???? +? ??? ???? 的值为（C ） C.3003?????? D.2902-?? ???? 2、设,A B 都是n 阶可逆矩阵，且AB BA =，则下列结论中不正确的是（D ） A. 11AB B A --= B. 11A B BA --= C. 1111A B B A ----= D.11B A A B --= 3、初等矩阵（A ） A. 都是可逆阵 B.所对应的行列式值等于1 C. 相乘仍是初等阵 D.相加仍是初等阵 4、已知,A B 均为n 阶矩阵，满足0AB =,若()2r A n =-，则（C ） A. ()2r B = B.()2r B < C. ()2r B ≤ D.()1r B ≥ 二、判断题 1、若,,A B C 都是n 阶矩阵，则()k k k k ABC A B C =. （×） 2、若,A B 是n 阶反对称方阵，则kA 与A B +仍是反对称方阵.（√） 3、矩阵324113A ??=????与矩阵2213B ?? =?? ?? 可进行乘法运算. (√) 4、若n 阶方阵A 经若干次初等变换后变成B ，则A B =. (×) 三、填空题 1、已知[]456A =，123B ?? ??=?????? ，求AB 得_________。 (32)
2、已知12 n a a A a ???? ? ?=? ???? ? O （0,1,2,,i a i n ≠=K ），则1A -= 3、设A 为n 阶方阵，2A =，求T A A 的值为_________ 。 4、设A 为33?矩阵，3A =-，把A 按列分块为()1 2 3A A A A =,求出 132,4,A A A 的值为__________。 四、计算题 1、计算()101112300121024--????????????-????????. 解 原式()12092(38)4-?? ??==-??-???? . 2、求矩阵100120135A -?? ??=-??-???? 的逆矩阵. 解 求出10A =-，11201035A ==，1210515A -=-=-，1311 113A --==--， 2100035A =-=,2210515A -==--,2310 313 A -==-, 12 11 1n a a a ????????????????????? ? O 12 1 2n +
线性代数练习册第五章题目及答案(本)复习进程
第五章 相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量 一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个） 二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ） （A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 （C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于 （ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;
三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :
数值线性代数第二版徐树方高立张平文上机习题第一章实验报告(供参考)
上机习题 1.先用你所熟悉的的计算机语言将不选主元和列主元Gauss 消去法编写成通用的子程序；然后用你编写的程序求解84阶方程组；最后将你的计算结果与方程的精确解进行比较，并就此谈谈你对Gauss 消去法的看法。 Sol ： （1）先用matlab 将不选主元和列主元Gauss 消去法编写成通用的子程序，得到P U L ,,： 不选主元Gauss 消去法：[])(,A GaussLA U L =得到U L ,满足LU A = 列主元Gauss 消去法：[])(,,A GaussCol P U L =得到P U L ,,满足LU PA = （2）用前代法解()Pb or b Ly =，得y 用回代法解y Ux =，得x 求解程序为()P U L b A Gauss x ,,,,=（P 可缺省，缺省时默认为单位矩阵） （3）计算脚本为ex1_1 代码 %算法（计算三角分解：Gauss 消去法） function [L,U]=GaussLA(A) n=length(A); for k=1:n-1 A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k); A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n); end
U=triu(A); L=tril(A); L=L-diag(diag(L))+diag(ones(1,n)); end %算法计算列主元三角分解：列主元Gauss消去法） function [L,U,P]=GaussCol(A) n=length(A); for k=1:n-1 [s,t]=max(abs(A(k:n,k))); p=t+k-1; temp=A(k,1:n); A(k,1:n)=A(p,1:n); A(p,1:n)=temp; u(k)=p; if A(k,k)~=0 A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k); A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n); else break; end end L=tril(A);U=triu(A);L=L-diag(diag(L))+diag(ones(1,n));
数值分析实验报告1
实验一 误差分析 实验（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（）和（）根的差别，从而分析方程（）的解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b =
的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve = ))20:1((ve poly roots + 上述简单的Matlab 程序便得到（）的全部根，程序中的“ess ”即是（）中的ε。 实验要求： （1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。 如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（）和（）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现表明有些解关于如此的扰动敏感性如何 （2）将方程（）中的扰动项改成18x ε或其它形式，实验中又有怎样的现象 出现 （3）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将 方程（）写成展开的形式， ) 3.1(0 ),(1920=+-= x x x p αα 同时将方程的解x 看成是系数α的函数，考察方程的某个解关于α的扰动是否敏感，与研究它关于α的导数的大小有何关系为什么你发现了什么现象，哪些根关于α的变化更敏感 思考题一：（上述实验的改进） 在上述实验中我们会发现用roots 函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。
线性代数第二章习题部分答案
第二章向量组的线性相关性 §2-1 §2-2 维向量，线性相关与线性无关（一）一、填空题 1. 设3 α1α +2 α2+α =5 α3+α , 其中α1=(2,5,1,3)T, α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,1,1)T, 则α= (1,2,3,4)T . 2. 设α1=(1,1,1)T, α2=(2,1,1)T,α3=(0,2,4)T, 则线性组合α13α2+α3= (5,0,2)T . 3. 设矩阵A= 5 ，设βi为矩阵A的第i个列向量， 则2β1+β2β3= (2,8,2)T . 二、试确定下列向量组的线性相关性
1. α1=(2,1,0)T, α2=(1,2,1)T, α3=(1,1,1)T 解：设k1α1+k2α2+k3α3=0, 则k1 210 +k2 121 +k3 111 = 000 即2k1+k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=03k2k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0k2+k3=0k3=0 k1=k2=k3=0，线性无关。 2. α1=(1,1,2)T, α2=(0,0,0)T, α3=(1,4,3)T 线性相关
三、设有向量组α1=(1,1,0)T, α2=(1,3,1)T, α3=(5,3,t)T，问t取何值时该向量组线性相关。 解：设k1α1+k2α2+k3α3=0, 则k1 110 +k2 131 +k3 53t =0 即k1+k2+5k3=0k1+3k23k3=0k2+tk3=0 k1+k2+5k3=0k24k3=0k2+tk3=0 k1+k2+5k3=0k1+3k23k3=0(t4)k3=0 所以，t=4, 线性相关; t≠4, 线性无关 四、设a1,a2线性无关，a1+b,a2+b线性相关，求向量b用a1,a2线性表示的表示式。 解：因为a1+b,a2+b线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，使得k1(a1+b)+k2(a2+b)=0, 即(k1+k2)b=k1a1k2a2.又因为a1,a2线性无关，所以k1+k2≠0，于是，b=k1k1+k2a1k2k1+k2a2. 五、已知向量组α1,α2,,α2n，令β1=α1+α2,β2=α2+α3,,β2n=α2n+α1，求证向量组β1,β2,,β2n线性相关。
线性代数第五章课后习题
习题五 (A) 1. 求下列矩阵的特征值与特征向量： (1) 123213336?? ?= ? ???A ； (2) ()121,2,33?? ?= ? ??? A ； (3) 310410482?? ?=-- ? ?--??A ； (4) 563101121-?? ?=- ? ??? A . 2. 已知0是矩阵10102010t ?? ?= ? ??? A 的特征值，求参数t 以及A 的特征值和特征向量. 3. 已知2103??= ? ?? A ，问T 130(,)=x ，T 212(,)=x 是否是矩阵A 的特征向量，并说明理由. 4. 设2 32-+=0A A E ，证明A 的特征值只能是1或2. 5. 已知三阶矩阵A 的特征值为102,,-，求323-+A A E . 6. 证明n 阶矩阵A 与它的转置矩阵T A 具有相同的特征值. 7. 设矩阵A 与Λ相似，其中 1241 242 1x --?? ?=-- ? ?--? ?A ，5 4y ?? ?= ? ?-? ? Λ. 求y x ,. 8. 设矩阵20131405x ?? ?= ? ??? A 可相似对角化，求x . 9. 设A 与B 都是n 阶矩阵，且0≠A ，证明矩阵AB 与矩阵BA 相似. 10. 试求一个可逆的相似变换矩阵，将下列对称矩阵化为对角矩阵： (1) 22225424 5-?? ?=- ? ?--? ?A ； (2) 2 202 1202 0-?? ? =-- ? ?-? ? A ； (3)3 242 0242 3?? ?= ? ??? A . (B) 1. 设三阶实对称矩阵A 的特征值为1,1321==-=λλλ，1λ对应的特征向量为T 1)1,1,0(=x ，求矩阵A . 2. 已知T 1)1,1,1(-=x 是矩阵2125312a b -?? ?= ? ?--?? A 的一个特征向量. (1) 试确定参数b a ,及特征向量1x 所对应的特征值； (2) 问矩阵A 能否相似于对角阵？说明理由. 3. 设A 是n 阶方阵，n 2,,4,2 是矩阵A 的n 个特征值，E 是n 阶单位阵，计算行列式3-A E .
数值线性代数二版徐树方高立张平文上机习题第三章实验报告
- 1 - 第三章上机习题 用你所熟悉的的计算机语言编制利用QR 分解求解线性方程组和线性最小二乘问题的 通用子程序，并用你编制的子程序完成下面的计算任务： （1）求解第一章上机习题中的三个线性方程组，并将所得的计算结果与前面的结果相比较，说明各方法的优劣； （2）求一个二次多项式+bt+c y=at 2 ，使得在残向量的2范数下最小的意义下拟合表3.2中的数据； （3）在房产估价的线性模型 111122110x a x a x a x y ++++= 中，1121,,,a a a 分别表示税、浴室数目、占地面积、车库数目、房屋数目、居室数目、房龄、建筑类型、户型及壁炉数目，y 代表房屋价格。现根据表3.3和表3.4给出的28组数据，求出模型中参数的最小二乘结果。 （表3.3和表3.4见课本P99-100） 解 分析： （1）计算一个Householder 变换H ： 由于T T vv I ww I H β-=-=2，则计算一个Householder 变换H 等价于计算相应的v 、β。其中)/(2,||||12v v e x x v T =-=β。 在实际计算中， 为避免出现两个相近的数出现的情形，当01>x 时，令2 12221||||) (-x x x x v n +++= ； 为便于储存，将v 规格化为1/v v v =，相应的，β变为)/(221v v v T =β 为防止溢出现象，用∞||||/x x 代替 （2）QR 分解： 利用Householder 变换逐步将n m A n m ≥?,转化为上三角矩阵A H H H n n 11 -=Λ，则有
?? ? ???=0R Q A ，其中n H H H Q 21=，:),:1(n R Λ=。 在实际计算中，从n j :1=，若m j <，依次计算)),:((j m j A x =对应的)1()1()~ (+-?+-k m k m j H 即对应的j v ，j β，将)1:2(+-j m v j 储存到),:1(j m j A +，j β储存到)(j d ，迭代结束 后再次计算Q ，有??? ? ?? ??=-~001 j j j H I H ，n H H H Q 21=（m n =时1-21n H H H Q =） （3）求解线性方程组b Ax =或最小二乘问题的步骤为 i 计算A 的QR 分解； ii 计算b Q c T 11=，其中):1(:,1n Q Q = iii 利用回代法求解上三角方程组1c Rx = （4）对第一章第一个线性方程组，由于R 的结果最后一行为零，故使用前代法时不计最后一行，而用运行结果计算84x 。 运算matlab 程序为 1 计算Householder 变换 [v,belta]=house(x) function [v,belta]=house(x) n=length(x); x=x/norm(x,inf); sigma=x(2:n)'*x(2:n); v=zeros(n,1); v(2:n,1)=x(2:n); if sigma==0 belta=0; else alpha=sqrt(x(1)^2+sigma); if x(1)<=0 v(1)=x(1)-alpha; else v(1)=-sigma/(x(1)+alpha); end belta=2*v(1)^2/(sigma+v(1)^2); v=v/v(1,1); end end
线性代数第二章习题答案
习 题 2-1 1．由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3；选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3；选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6；选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3；选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4；选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5．若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序． 解： ????? ?? ? ? ? ??000010 100100110000001011 1110001110106543216 54321，选手按胜多负少排序为：6,5,4,3,2,1． 2．设矩阵???? ??-=???? ?? +-=2521 ,03231 z x y x B A ，已知B A =，求z y x ,,． 解：由于B A =得?????=-=+=-0253223z x y x ，解得：?? ? ??===211 z y x 。 习 题 2-2 1．设???? ??=0112A ，??? ? ??-=4021B ，求 （1）B A 52-； （2）BA AB -； （3）2 2B A -． 解：（1）??? ? ??--=???? ??--???? ??=???? ??--???? ??=-202892001050224402150112252B A ； （2）???? ??--=???? ??--???? ??--=???? ?????? ??--???? ??-???? ??=-2592041021820112402140210112BA AB ； （3）??? ? ??--=???? ??-???? ??=???? ??-???? ??--???? ?????? ??=-152441606112254021402101120112B A 22． 2．已知????? ??--=230412301321A ，??? ? ? ??---=052110 35123 4B ，求B A 23-． 解：??? ? ? ??----????? ??--=052110351234223041230 13 21 323B -A ??? ? ? ??----=????? ??----????? ??--=61941016151055011010422061024686901236903963 3．设??? ? ? ??----=????? ??=101012121234,432112 122121B A ，求
数值线性代数第二版徐树方高立张平文上机习题第三章实验报告
数值线性代数第二版徐树方高立张平文上机习题第三章实验报告
第三章上机习题 用 你所熟悉的的计算机语言编制利用QR 分解 求解线性方程组和线性最小二乘问题的通用子程序，并用你编制的子程序完成下面的计算任务： （1）求解第一章上机习题中的三个线性方程组，并将所得的计算结果与前面的结果相比较，说明各方法的优劣； （2）求一个二次多项式+bt+c y=at 2 ，使得在残向量 的2范数下最小的意义下拟合表3.2中的数据； （3）在房产估价的线性模型 11 1122110x a x a x a x y ++++= 中，11 2 1 ,,,a a a 分别表示税、浴室数目、占地面积、车库数目、房屋数目、居室数目、房龄、建筑类型、户型及壁炉数目，y 代表房屋价格。现根据表3.3和表3.4给出的28组数据，求出模型中参数的最小二乘结果。
（表3.3和表3.4见课本P99-100） 解 分析： （1）计算一个Householder 变换H ： 由于T T vv I ww I H β-=-=2，则计算一个Householder 变换H 等价于计算相应的 v 、β。其中 ) /(2,||||12v v e x x v T =-=β。 在实际计算中， 为避免出现两个相近的数出现的情形，当0 1 >x 时， 令 2 12 221||||)(-x x x x v n +++= ； 为便于储存，将v 规格化为1 /v v v =，相应的，β变为)/(22 1 v v v T =β 为防止溢出现象，用∞ ||||/x x 代替 （2）QR 分解： 利用Householder 变换逐步将n m A n m ≥?,转化为上三 角矩阵A H H H n n 11 -=Λ，则有
线性代数1-5章习题
线 性 代 数 习 题 集 皖西学院金数学院编制
第一章 行 列 式 一、判断题 1．行列式如果有两列元素对应成比例，则行列式等于零. ( 1 ) 2. 213210 124121012342 =-.( 2 ) 3. 134 34 121.42042=-( 1) 4. 123213 123213123213 .a a a b b b b b b a a a c c c c c c =( 1 ) 5. 123123 123123123123 .a a a a a a b b b b b b c c c c c c ---------=---( 1 ) 6. n 阶行列式n D 中元素ij a 的代数余子式ij A 为1n -阶行列式. ( 1 ) 7. 312143 245328836256 =.( 2 ) 8. 111213212223313233a a a a a a a a a 122r r + 111213 211122122313313233 222+++a a a a a a a a a a a a ( 2 ) 9．如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必等于零. ( 1 ) 10. 如果方程个数与未知数个数相等，且系数行列式不为零，则方程组一定有解. (1 ) 二、选择题 1．若12532453r s a a a a a 是5阶行列式中带正号的一项，则,r s 的值为（ B ）． A.1,1r s == B.1,4r s == C.4,1r s == D.4,4r s == 2.下列排列是偶排列的是（ C ） A. 4312 B. 51432 C. 45312 D. 654321
线性代数第五章习题答案
思考题5-1 1. 1123123100,000=?+?+?=?+?+?a a a a 0a a a . 2.不一定。例如，对于123101,,012?????? ===???????????? a a a ，它们中的任两个都线性无关，但 是123,,a a a 是线性相关的。 3. 不一定。也可能是2a 能由13,a a 线性表示，还可能是3a 能由12,a a 线性表示。 4. 不一定。例如，对于12121100,;,0012-???????? ====???????????????? a a b b 。12,a a 和12,b b 这两个 向量组都线性相关，但1122,++a b a b 却是线性无关的。 5. 向量组121,,,,n n +a a a a 线性无关。根据定理5-4用反证法可以证明这一结论。 习题5-1 1.提示：用行列式做。 （1）线性无关。 （2）线性相关。. 2. 0k ≠且1k ≠。 3.证：1212,,,1,,,,n n ==∴e e e E e e e 线性无关。 设[]12,,,,T n b b b =b 则1122.n n b b b =+++b e e e 4. 证法1：因为A 可逆，所以方程组=Ax b 有解。根据定理5-1，向量b 能由A 的列向量组12,,,n a a a 线性表示，所以向量组12,,,,n a a a b 线性相关. 证法2：通过秩或根据m n >时m 个n 元向量一定线性相关也可马上证明。 5. .证： （1）因为A 的列向量组线性相关，所以齐次线性方程组=Ax 0有非零解，设≠u 0是它的非零解，则.=Au 0 由=B PA ，得.=Bu 0可见=Bx 0有非零解，所以B 的列向量组线性相关。 （2）若P 可逆，则1-=A P B 。由（1）的结论可知，B 的列向量组线性相关时，A 的列向量组也线性相关，所以A 和B 的列向量组具有相同的线性相关性。 注：该题也可根据性质5-6和性质5-3来证明。 6. 证：由A 可逆知，A 的列向量组线性无关。根据定理5-6，增加两行后得到的矩阵B 的列向量组也线性无关.
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第三章上机习题 用你所熟悉的的计算机语言编制利用QR分解求解线性方程组和线性最小二乘问题的通 用子程序，并用你编制的子程序完成下面的计算任务： （1）求解第一章上机习题中的三个线性方程组，并将所得的计算结果与前面的结果相比较，说 明各方法的优劣； （2）求一个二次多项式y=at 2+bt+c ，使得在残向量的 2 范数下最小的意义下拟合表中的 数据； 表 t i -1 0 y i 1 1 （3）在房产估价的线性模型 y x0 a1x1 a2 x2 a11x11 中， a1 ,a2 ,, a11分别表示税、浴室数目、占地面积、车库数目、房屋数目、居室数目、房 龄、建筑类型、户型及壁炉数目，y 代表房屋价格。现根据表和表给出的28 组数据，求出模型中参数的最小二乘结果。 （表和表见课本P99-100 ） 解分析： （1）计算一个 Householder 变换 H： 由于H I 2ww T Ivv T，则计算一个Householder 变换 H 等价于计算相应的、 v 。 其中 v x || x || 2 e1 , 2 /( T ) v v 。 在实际计算中， 为避免出现两个相近的数出现的情形，当x1 0 时，令v1 - ( x22 x n2 ) ； x1 || x ||2 为便于储存，将v 规格化为 v v / v1，相应的，变为2v2 /(v T v) 1 为防止溢出现象，用x / || x || 代替 （2） QR分 解： 利用 Householder 变换逐步将 A m n , m n 转化为上三角矩阵H n H n 1 H 1 A ，则有
R A Q，其中Q H1H 2 H n， R (1: n,:) 。 ~ 在实际计算中，从j 1: n ，若j m ，依次计算x A(( j : m, j )) 对应的( H j)( m k 1) ( m k 1) 即对应的 v j，j，将 v j (2 : m j 1) 储存到 A( j 1: m, j) ，j储存到 d ( j) ，迭代结束 后再次计算 Q ，有 H j I j 1 0 H n（ n m 时 Q H 1H 2 ~ ， Q H1H 2 H n-1 ）0 H j （3）求解线性方程组Ax b 或最小二乘问题的步骤为 i计算 A 的QR分解； ii计算 c1Q1T b ，其中 Q1Q (:,1: n) iii利用回代法求解上三角方程组 Rx c1 （4）对第一章第一个线性方程组，由于 R 的结果最后一行为零，故使用前代法时不计最后一行，而用运行结果计算 x84。 运算 matlab 程序为 1 计算 Householder变换[v,belta]=house(x) function [v,belta]=house(x) n=length(x); x=x/norm(x,inf); sigma=x(2:n)'*x(2:n); v=zeros(n,1); v(2:n,1)=x(2:n); if sigma==0 belta=0; else alpha=sqrt(x(1)^2+sigma); if x(1)<=0 v(1)=x(1)-alpha; else v(1)=-sigma/(x(1)+alpha); end belta=2*v(1)^2/(sigma+v(1)^2); v=v/v(1,1); end end