平面向量内积坐运算

平面向量内积坐运算

———————————————————————————————— 作者： ———————————————————————————————— 日期：
2

课 题：平面向量数量积的坐标表示
教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式
新疆 王新敞
奎屯
⑶能用所学知识解决有关综合问题 新疆 王新敞 奎屯
教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量
a与
b
，作
OA
＝
a，
OB
＝
b
，则∠AＯB＝θ（０≤θ≤
π）叫
a与
b
的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量
a与
b
，它们的夹角是
θ，则数量|
a||
b
|cos叫
a与
b
的数量积，记作
a
b
，即有
a
b
=
|
a||
b
|cos，
（０≤θ≤π）.并规定
0
与任何向量的数量积为
0 新疆 王新敞
奎屯
3．向量的数量积的几何意义：
数量积
a
b
等于
a的长度与
b
在
a方向上投影|
b
|cos的乘积
新疆 王新敞
奎屯
4．两个向量的数量积的性质：
设
a、
b
为两个非零向量，
e是与
b
同向的单位向量
新疆 王新敞
奎屯
1 e a =
a
e
=|
a|cos；2
a
b
a
b
=0
3当
a与
b
同向时，
a
b
=
|
a||
b
|；当
a与
b
反向时，
a
b
= | a || b |新疆
王新敞
奎屯
特别的 a a = | a|2 或| a| a a
3

4cos = | aa||bb|
；5|
a
b
|
≤
|
a||
b
|
5． 平面向量数量积的运算律
交换律： a
b
=
b
a
数乘结合律：(
a)
b
=
(
a
b
)
=
a(
b
)
分配律：( a +
b
)
c
=
a c
+
b
c
二、讲解新课：
⒈平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量
a
( x1 ,
y1 )
，b
(x2
,
y2
)
，试用
a和
b
的坐标表示
a
b
新疆 王新敞
奎屯
设 i 是 x 轴上的单位向量， j 是 y 轴上的单位向量，那么
a
x1i
y1 j ， b
x2i
y2
j
所以
a
b
(x1i
y1 j )( x2i
y2
j)
x1 x2i 2
x1 y2i
j
x2
y1i
j
y1 y2
j2

又i i 1， j j 1，i j j i 0
所以
a
b
x1 x2
y1 y2
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 新疆 王新敞 奎屯
即
a
b
x1 x2
y1 y2
2.平面内两点间的距离公式
（1）设 a (x, y) ，则| a|2 x2 y 2 或| a|
x y 2
2
新疆 王新敞
奎屯
（ 2 ） 如 果 表 示 向 量 a的 有 向 线 段 的 起 点 和 终 点 的 坐 标 分 别 为 (x1, y1 ) 、
(x2 , y2 ) ，那么| a| (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (平面内两点间的距离公式)
3.向量垂直的判定
设 a
( x1 ,
y1 ) ， b
(x2 ,
y2 ) ，则 a
b
x1 x2
y1 y2
0
4

4.两向量夹角的余弦（ 0 ）
cos
=
|
a
b
a| | b
|
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x2 2 y2 2
三、讲解范例：
例1
设
a
=
(5,
7)，
b
=
(6,
4)，求
a
b
解：
a
b
=
5×(6)
+
(7)×(4)
=
30
+
28
=
2
例2
已知
a(1,
2)，
b
(2,
3)，
c(2,
5)，求证：△ABC
是直角三角形 新疆 王新敞
奎屯
证明：∵ AB =(21, 32) = (1, 1), AC = (21, 52) = (3, 3)
∴ AB AC =1×(3) + 1×3 = 0 ∴ AB AC
∴△ABC 是直角三角形
例3
已知
a
=
(3,
1)，
b
=
(1,
2)，求满足
x
a
=
9
与
x
b
新疆 = 4 的向量 x 王新敞
奎屯
解：设
x=
(t,
s)，
由
xxba94
3t t
s9 2s 4
t 2 s 3
∴
x=
(2,
3)
例 4 已知 a＝（１，
3 ），b ＝（
3 ＋１，
3
－１），则
a与
b
的夹角是多
少?
分析：为求
a与
b
夹角，需先求
a
b 及｜
a｜·｜
b
｜，再结合夹角θ的范围
确定其值.
解：由 a＝（１，
3 ）， b ＝（
3 ＋１，
3 －１）
有
a·
b
＝
3 ＋１＋
3（
3
－１）＝４，｜
a｜＝２，｜
b
｜＝２
2．
记
a与
b
的夹角为θ，则
cosθ＝
a
b
a
b
2 2
又∵０≤θ≤π，∴θ＝ 4
5

评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
例 5 如图，以原点和 A (5, 2)为顶点作等腰直角△ABC，使 b = 90，求点 b 和
向量 AB 的坐标新疆 王新敞 奎屯
解：设 b 点坐标(x, y)，则 OB = (x, y)， AB = (x5, y2)
∵ OB AB ∴x(x5) + y(y2) = 0 即：x2 + y2 5x 2y = 0
又∵| OB | = | AB | ∴x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2 即：10x + 4y = 29
由
x2
y2
5x
10x 4 y 29
2y
0
x1

y1

7 2
3 2
或

x2 y2

3
2 7
2
∴
b
点坐标
(
7
,
3)
或
(
3
,
7
)
；
AB
=
(
3
,
7
)
或
(
7
,
3)
2 2 22
22
22
例 6 在△ABC 中， AB =(2, 3)， AC =(1, k)，且△ABC 的一个内角为直角，
求 k 值新疆 王新敞 奎屯
解：当 a = 90时， AB AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k = 3 2
当 b = 90时， AB BC = 0， BC = AC AB = (12, k3) = (1, k3)
∴2×(1) +3×(k3) = 0 ∴k = 11 3
当 C= 90时， AC BC = 0，∴1 + k(k3) = 0 ∴k = 3 13 2
四、课堂练习：
1.若
a=(-4,3),
b
=(5,6),则
3|
a|２－４
a
b ＝（
）
A.23
B.57
C.63
2.已知
a(1,2),
b
(2,3),
c
(-2,5)，则△
ab
c为（
D.83 ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形
3.已知
a=(4,3),向量
b
是垂直
a的单位向量，则
b
等于（
）
6

A. (3 , 4) 或 ( 4 , 3) 55 55
B. (3 , 4) 或 ( 3 , 4)
55
55
C. (3 , 4) 或 ( 4 , 3)
55
55
D. (3 , 4) 或 ( 3 , 4)
55
55
4.
a=(2,3),
b
=(-2,4),则(
a+
b
)·(
a-
b
)=
.
5.已知 a(3，2)，b (-1，-1)，若点 P(x,- 1 )在线段 ab 的中垂线上，则 x=
.
2
6.已知
a(1，0)，
b
(3，1)，
c
(2，0)，且
a=
BC
,
b
=
CA
,则
a与
b
的夹角
为
.
参考答案：1.D 2.A 3.D 4. –7 5. 7 6.45° 4
五、小结 两向量数量积的坐标表示长度、夹角、垂直的坐标表示
六、课后作业：
1.已知
a=(2,3),
b
=(-4,7),则
a在
b
方向上的投影为（
）
A. 13
B. 13 5
C. 65 5
D. 65
2.已知
a=(λ，２)，b
=(-3,5)且
a与
b
的夹角为钝角，则λ的取值范围是（
）
A.λ＞ 10 3
B.λ≥ 10 3
C.λ＜ 10 3
D.λ≤ 10 3
3.给定两个向量
a=(3,4),
b
=(2,-1)且(
a+x
b
)⊥(
a-
b
),则
x
等于（
）
A.23
B. 23
C. 23
2
3
4.已知| a|=
10
,
b
=(1,2)且
a∥
b
,则
a的坐标为
D. 23 4
.
5.已知
a=(1,2),
b
(1,1),
c=
b
-k
a,若
c⊥
a，则
c＝
.
6.已知
a=(3,0),
b
=(k,5)且
a与
b
的夹角为
3
，则
k
的值为
.
4
7.已知
a=(3,-1),
b
=(1,2),求满足条件
x·
a=9
与
x· b
=-4
的向量
x.
8.已知点 A (1，2)和 B (4，-1)，问能否在 y 轴上找到一点 C，使∠ABC＝90°，
7

若不能，说明理由；若能，求 C 点坐标.
9.四边形 ABCD 中= AB (6,1), BC =(x,y)， CD =(-2,-3),
(1)若 BC ∥ DA ，求 x 与 y 间的关系式；
(2)满足(1)问的同时又有 AC ⊥ BD ,求 x,y 的值及四边形 ABCD 的面积.
参考答案：1.C 2.A 3.C 4.（ 2 ，２ 2 ）或（- 2 ，－２ 2 ）
5.( 2 , 1 ) 55
6.-5 7.(2,-3) 8.不能(理由略)
9.(1)x+2y=0
(2)
x y

36或xy

2 1
S 四边形 ABCD=16
七、板书设计（略）
八、课后记及备用资料：
已知
a＝（3，4），
b
＝（4，3），求
x,y
的值使(x
a+y
b
)⊥
a，且｜x
a+y
b
｜
=1.
分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.
解：由
a＝（3，4），
b
＝（4，3），有
x
a+y
b
=(3x+4y,4x+3y)
又（x
a+y
b
）⊥
a
(x
a+y
b
)·
a＝０
3(3x+4y)+4(4x+3y)=0
即 25x+24y＝０
①
又｜x
a+y
b
｜=1
｜x
a+y
b
｜２＝１
（３x+4y）２＋（４x+3y）２＝１
整理得：25x２＋48xy+25y２＝１即 x(25x+24y)+24xy+25y２＝１
②
由①②有 24xy+25y２＝１
③
将①变形代入③可得：y=± 5 7
再代回①得：

x

y

24 35 5
7
和

x y

5 7
24 35
8